Recapitulare: drepte în planul cartezian

Unitatea de geometrie analitică are treisprezece lecții și o singură idee: orice afirmație geometrică despre puncte și drepte se poate transforma într-un calcul cu numere. „Punctele sunt coliniare" devine „un determinant este nul". „Dreptele sunt perpendiculare" devine „$a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$". „Aria este $12,5$" devine „jumătate din modulul unui determinant de ordinul al treilea".

Această traducere este ceea ce face capitolul valoros la Bacalaureat M1: nu ai nevoie de o figură ingenioasă, ci de o formulă aplicată corect. Recapitularea de față adună formulele într-o singură trusă, arată când se folosește fiecare și lămurește o ambiguitate de notație care produce, an de an, confuzii: același simbol $\Delta$ apare în două roluri complet diferite.

Ce vei învăța

• Vei ști să treci, în ambele sensuri, între cele patru forme ale ecuației unei drepte și să spui de fiecare dată ce se întâmplă în cazul vertical.
• Vei ști să folosești determinantul în ambele lui roluri geometrice: coliniaritate și arie, respectiv poziția relativă a două drepte.
• Vei ști să alegi între criteriul cu pante și criteriul cu coeficienți pentru paralelism și perpendicularitate.
• Vei ști să calculezi distanțe și arii pe două căi independente, ca să te poți verifica singur.
• Vei ști să rezolvi problemele de optimizare din acest capitol fără derivate, recunoscând cele trei tipare.

Hai să descoperim împreună

1. Firul roșu: punct, dreaptă, configurație

Capitolul urcă în trei trepte, iar fiecare o folosește pe cea dinainte.

Treapta întâi — punctul. În reperul cartezian fiecărui punct îi corespunde o pereche ordonată $(x,y)$, iar între două puncte se pot măsura două lucruri: distanța $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$ și mijlocul segmentului $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Din ele iese totul: lungimi de laturi, natura unui triunghi, mediane, mediatoare.

Treapta a doua — dreapta. O dreaptă capătă o ecuație, adică o condiție pe care o îndeplinesc exact punctele ei. Direcția ei se măsoară prin pantă, definită ca $m=\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha \in [0^{\circ },180^{\circ })$ este unghiul făcut cu semiaxa pozitivă $Ox$.

Treapta a treia — configurația. Cu două sau trei drepte apar întrebări noi: se intersectează? sub ce unghi? cât de departe e un punct de o dreaptă? ce arie închid trei puncte? Aici capitolul se leagă de algebră: pozițiile relative se decid rezolvând un sistem, iar ariile se calculează cu determinanți.

Firul roșu, într-un rând: coordonate $\to$ pantă $\to$ ecuație $\to$ configurații $\to$ măsurători (distanțe, unghiuri, arii).

De ce merită capitolul recitit acum, în mai. Panta nu rămâne o noțiune de geometrie. În a doua jumătate a anului ea revine ca panta tangentei la graficul unei funcții: ecuația tangentei în punctul $(x_0,f(x_0))$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, adică exact forma „prin punct, cu panta dată", în care panta este derivata. Tot ce ai construit în această unitate despre perpendicularitate se transferă imediat: normala la grafic într-un punct are panta $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$, când $f^{\prime }(x_0)\ne 0$. Geometria analitică este, deci, limbajul în care se scriu rezultatele analizei — motiv în plus ca formulele ei să fie știute exact.

2. Cele patru forme ale ecuației dreptei

Numele lor sunt fixe și se folosesc ca atare, în lecții, în teste și în baremele de Bacalaureat M1.

Ultima are și forma cu determinant, cerută explicit de programa de mate-info, care are avantajul că funcționează inclusiv când dreapta e verticală:

$$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\end{array}\right|=0.$$

⚠️ Cazul vertical, de spus de fiecare dată. Dreapta verticală are ecuația $x=a$. Ea nu are pantă — nu se spune „panta este infinită", ci „panta nu este definită", pentru că $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există. Prin urmare ea nu se poate scrie sub forma explicită $y=mx+n$ și corespunde cazului $b=0$ din ecuația generală. Regula de lucru: orice raționament care folosește pante trebuie să spună ce se întâmplă dacă una dintre drepte este verticală.

3. Cele două fețe ale lui $\Delta$ — dezambiguizare

Aceasta este singura ambiguitate reală de notație din capitol și merită o secțiune întreagă, pentru că amândouă folosirile sunt corecte și amândouă se cer la examen.

Fața întâi — $\Delta$ ca determinant de coliniaritate și de arie. Pentru trei puncte $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$, $C(x_C,y_C)$ se formează determinantul de ordinul al treilea

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|,{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |.$$

El răspunde la două întrebări deodată: punctele sunt coliniare dacă și numai dacă $\Delta =0$, iar dacă nu sunt, jumătate din modulul lui este aria triunghiului. Forma scurtă, obținută prin scăderea primei linii din celelalte două, este

$$\Delta =(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A),$$

și este identică cu cea de mai sus — se folosește când vrei calculul rapid, fără să scrii tabloul.

Fața a doua — $\Delta$ ca determinant al unui sistem. Când vrei să afli poziția relativă a dreptelor $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ și $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$, rezolvi sistemul format din cele două ecuații, iar determinantul lui este cel de ordinul al doilea:

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=a_1{b}_2-a_2{b}_1.$$

Cum le deosebești. Prima este de ordinul $3$ și lucrează cu puncte; a doua este de ordinul $2$ și lucrează cu coeficienții unor ecuații. Prima măsoară o suprafață; a doua decide dacă un sistem are soluție unică. Regula de redactare pe care o aplicăm peste tot: la prima apariție într-o problemă care le folosește pe amândouă, se scrie o propoziție care spune care este care — de exemplu „notăm cu $\Delta$ determinantul de coliniaritate al punctelor $A$, $B$, $C$" și, mai încolo, „notăm cu $\Delta$ determinantul sistemului format din ecuațiile celor două drepte". Vei vedea ambele în Exemplul 2.

4. Poziții relative: trei criterii, un singur adevăr

Coloana a doua este cea sigură: ea funcționează și pentru verticale, unde pantele nici nu există. Cazurile speciale, spuse în cuvinte: o verticală $x=a$ este paralelă cu orice altă verticală și perpendiculară pe orice orizontală $y=b$; o verticală și o orizontală sunt întotdeauna perpendiculare, deși produsul pantelor nu se poate scrie.

Există și a treia cale, cea mai bogată în informație, care leagă acest capitol de unitatea de sisteme: se rezolvă sistemul format din cele două ecuații și se citește rezultatul.

Unghiul a două drepte neverticale se calculează cu

$$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1{m}_2}\right|,\theta \in [0^{\circ },90^{\circ }],$$

formulă definită doar când $1+m_1{m}_2\ne 0$; dacă numitorul se anulează, dreptele sunt perpendiculare și $\theta =90^{\circ }$.

5. Trusa de măsurat: distanțe și arii

Ultimele două rânduri sunt cele mai economice unelte ale capitolului. Formula $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$ vine din scrierea ariei în două moduri, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)$, și îți economisește un pas întreg. Iar $k$ din formula piciorului perpendicularei are un sens: $|k|\sqrt{a^2+b^2}$ este chiar distanța de la punct la dreaptă.

6. Optimizare fără derivate: cele trei tipare

Problemele de optimizare din acest capitol se rezolvă complet elementar, pentru că mărimea studiată are întotdeauna una dintre trei forme. Recunoașterea tiparului este toată rezolvarea.

• Mărime constantă. Dacă un vârf al triunghiului se mișcă pe o paralelă la latura opusă, înălțimea corespunzătoare nu se schimbă, deci aria rămâne aceeași. Răspunsul este „aria nu depinde de poziția punctului", nu o valoare minimă.
• Mărime liniară în parametru, pe un interval: extremele se ating în capetele intervalului, niciodată în interior.
• Mărime pătratică, $f(t)=a{t}^2+bt+c$ cu $a>0$: minimul se atinge în vârful parabolei, $t=-\frac{b}{2a}$. Acesta este tiparul sumelor de pătrate de distanțe.

Procedura, în trei pași, este aceeași de fiecare dată: parametrizezi punctul mobil (dacă se mișcă pe dreapta $y=x$, îl scrii $M(t,t)$; dacă se mișcă pe $ax+by+c=0$, exprimi o coordonată în funcție de cealaltă), scrii mărimea cerută ca expresie în acel parametru, apoi recunoști tiparul. Abia în ultimul pas se decide dacă răspunsul este o constantă, un capăt de interval sau vârful unei parabole. Aceleași probleme se pot relua, mai târziu în an, cu derivata — dar aici nu ai nevoie de ea, iar la Bacalaureat M1 calea elementară este adesea mai scurtă.

7. Harta unității: lecțiile 43–55

Întrebarea de control la orice problemă nouă: ce am — puncte sau ecuații? Dacă am puncte, drumul cel mai scurt trece prin determinantul de ordinul $3$. Dacă am ecuații, trece prin coeficienți și prin sistem. Aproape toate rezolvările lungi vin din alegerea drumului greșit.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — De la două puncte la toate formele

Fie $P(-3,4)$ și $Q(5,-2)$. Calculați $PQ$ și mijlocul segmentului, apoi scrieți ecuația dreptei $PQ$ în toate formele.

Rezolvare. $PQ=\sqrt{(5+3{)}^2+(-2-4{)}^2}=\sqrt{64+36}=10$, iar mijlocul este $M\left(\frac{-3+5}{2},\frac{4-2}{2}\right)=M(1,1)$.

Panta: $m=\frac{-2-4}{5-(-3)}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$.

Prin punct și pantă: $y-4=-\frac{3}{4}(x+3)$. Explicit: $y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$. General: înmulțind cu $4$ și trecând totul într-un membru, $3x+4y-7=0$.

Cu determinantul:

$$\left|\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ -3& 4& 1\\ 5& -2& 1\end{array}\right|=x(4+2)-y(-3-5)+(6-20)=6x+8y-14=0⟺3x+4y-7=0.$$

Cele două căi dau aceeași ecuație. Verificare: $3(-3)+4\cdot 4-7=0$ și $3\cdot 5+4(-2)-7=0$.

Exemplul 2 — Cele două fețe ale lui $\Delta$, în aceeași problemă

a) Stabiliți dacă punctele $D(1,2)$, $E(4,8)$, $F(-2,-4)$ sunt coliniare. b) Determinați poziția relativă a dreptelor $d_1:2x-3y+1=0$ și $d_2:x+2y-10=0$.

Rezolvare. a) Notăm cu $\Delta$ determinantul de coliniaritate al celor trei puncte și folosim forma scurtă:

$$\Delta =(4-1)(-4-2)-(-2-1)(8-2)=3\cdot (-6)-(-3)\cdot 6=-18+18=0.$$

Cum $\Delta =0$, punctele sunt coliniare (toate se află pe dreapta $y=2x$).

b) Aici $\Delta$ înseamnă altceva: determinantul sistemului format din ecuațiile celor două drepte, deci un determinant de ordinul al doilea, format din coeficienții necunoscutelor.

$$\Delta =\left|\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 2\end{array}\right|=4+3=7\ne 0,$$

deci sistemul are soluție unică și dreptele sunt concurente. Cu formulele lui Cramer, $x=4$ și $y=3$, adică punctul de intersecție este $(4,3)$. Verificare: $8-9+1=0$ și $4+6-10=0$.

Aceeași literă, două obiecte diferite: la punctul a) un determinant de ordinul $3$ format din coordonate, la punctul b) unul de ordinul $2$ format din coeficienți.

Exemplul 3 — Un triunghi citit complet

Se consideră $A(-2,1)$, $B(2,4)$, $C(5,0)$. Determinați natura triunghiului $ABC$ și calculați-i aria pe două căi.

Rezolvare. Lungimile laturilor, prin pătrate: $A{B}^2=16+9=25$, $B{C}^2=9+16=25$, $A{C}^2=49+1=50$. Deci $AB=BC=5$ și $AC=5\sqrt{2}$.

Cum $A{B}^2+B{C}^2=50=A{C}^2$, triunghiul este dreptunghic în $B$, și, fiind $AB=BC$, este dreptunghic isoscel. Aceeași concluzie se obține din pante: $m_{AB}=\frac{4-1}{2+2}=\frac{3}{4}$ și $m_{BC}=\frac{0-4}{5-2}=-\frac{4}{3}$, iar $m_{AB}\cdot m_{BC}=-1$.

Aria, calea 1 — cu determinantul:

$$\Delta =(2+2)(0-1)-(5+2)(4-1)=-4-21=-25,{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|-25|=\frac{25}{2}.$$

Aria, calea 2 — cu catetele: $\mathcal{S}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}$. Cele două rezultate coincid.

Exemplul 4 — Distanță și picior de perpendiculară

Pentru triunghiul din Exemplul 3, scrieți ecuația generală a dreptei $AC$, calculați $d(B,AC)$ pe două căi și determinați piciorul perpendicularei din $B$ pe $AC$.

Rezolvare. Panta lui $AC$ este $m=\frac{0-1}{5+2}=-\frac{1}{7}$, deci $y-1=-\frac{1}{7}(x+2)$, adică $AC:x+7y-5=0$. Verificare: $-2+7-5=0$ și $5+0-5=0$.

Distanța, calea 1 — formula:

$$d(B,AC)=\frac{|1\cdot 2+7\cdot 4-5|}{\sqrt{1^2+7^2}}=\frac{25}{\sqrt{50}}=\frac{25}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$

Distanța, calea 2 — din arie: $d(B,AC)=\frac{|\Delta |}{AC}=\frac{25}{5\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Rezultatele coincid, iar valoarea este exact jumătate din ipotenuză — ceea ce se și aștepta, pentru că într-un triunghi dreptunghic isoscel înălțimea din unghiul drept este jumătate din ipotenuză.

Piciorul perpendicularei. Cu $M_0=B(2,4)$ și $AC:x+7y-5=0$ calculăm întâi

$$k=\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}=\frac{2+28-5}{1+49}=\frac{25}{50}=\frac{1}{2},$$

de unde $N\left(2-1\cdot \frac{1}{2},4-7\cdot \frac{1}{2}\right)=N\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$. Verificare: $N$ este chiar mijlocul lui $AC$, ceea ce se potrivește cu triunghiul isoscel; în plus, $\frac{3}{2}+7\cdot \frac{1}{2}-5=0$, deci $N\in AC$.

Exemplul 5 — Unghiuri, cu tot cu cazul vertical

a) Calculați unghiul dintre $d_1:y=\frac{1}{2}x+1$ și $d_2:y=3x-2$. b) Calculați unghiul dintre $d_1$ și dreapta $d_3:x=4$.

Rezolvare. a) Pantele sunt $m_1=\frac{1}{2}$ și $m_2=3$, iar $1+m_1{m}_2=\frac{5}{2}\ne 0$, deci formula se poate aplica:

$$\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{3-\frac{1}{2}}{1+3\cdot \frac{1}{2}}\right|=\left|\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right|=1\Rightarrow \theta =45^{\circ }.$$

b) Dreapta $d_3$ este verticală, deci nu are pantă și formula de mai sus nu se poate folosi. Raționăm geometric: $d_1$ face cu $Ox$ un unghi $\alpha$ cu $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{2}$, iar $d_3$ face $90^{\circ }$. Unghiul dintre ele este $90^{\circ }-\alpha$, cu

$$\mathrm{tg}(90^{\circ }-\alpha )=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=2\Rightarrow \theta =\mathrm{arctg}2.$$

Concluzia de reținut: în orice problemă cu unghiuri, verifică înainte dacă vreuna dintre drepte este verticală.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră punctele $A(1,2)$, $B(5,4)$ și $C(3,8)$. a) Arătați că punctele nu sunt coliniare și calculați aria triunghiului $ABC$. b) Scrieți ecuația generală a dreptei $AB$. c) Calculați distanța de la $C$ la dreapta $AB$, pe două căi.

Rezolvare. a) Determinantul de coliniaritate, în forma scurtă:

$$\Delta =(5-1)(8-2)-(3-1)(4-2)=24-4=20\ne 0,$$

deci punctele nu sunt coliniare și formează un triunghi, cu ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 20=10$.

b) Panta lui $AB$ este $m=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}$, deci $y-2=\frac{1}{2}(x-1)$, adică $AB:x-2y+3=0$. Verificare: $1-4+3=0$ și $5-8+3=0$.

c) Calea 1 — formula distanței:

$$d(C,AB)=\frac{|3-16+3|}{\sqrt{1+4}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}.$$

Calea 2 — prin arie: $AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$, deci $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}=\frac{20}{2\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$.

Rezultatele coincid, iar aria se poate reface și din ele: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=10$.

Să exersăm

1. Calculați distanța dintre $M(-4,3)$ și $N(2,-5)$ și determinați mijlocul segmentului $MN$.

2. Determinați panta dreptei prin $A(2,-1)$ și $B(6,5)$, apoi scrieți ecuația ei în formă generală.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice dreaptă din plan se poate scrie sub forma $y=mx+n$."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă produsul pantelor a două drepte nu este $-1$, atunci dreptele nu sunt perpendiculare."

5. Scrieți ecuația generală a dreptei care trece prin $P(3,-2)$ și este perpendiculară pe $d:2x-5y+3=0$.

6. Stabiliți, folosind determinantul, dacă punctele $A(1,-1)$, $B(4,5)$, $C(-2,-7)$ sunt coliniare.

7. Determinați $m\in \mathbb{R}$ astfel încât punctele $A(2,3)$, $B(-1,m)$ și $C(4,7)$ să fie coliniare.

8. Calculați aria triunghiului cu vârfurile $O(0,0)$, $Q(6,2)$ și $R(3,7)$, folosind scurtătura pentru triunghiurile cu un vârf în origine.

9. Stabiliți poziția relativă a dreptelor $d_1:3x-2y+5=0$ și $d_2:6x-4y-1=0$.

10. Calculați distanța de la $M(4,-3)$ la dreapta $d:3x-4y+2=0$.

11. Calculați unghiul dintre dreptele $d_1:y=2x+1$ și $d_2:y=-3x+4$.

12. (Problemă aplicată.) Punctul $M$ se deplasează pe dreapta $d:x-2y+10=0$. Arătați că aria triunghiului $ABM$, unde $A(0,0)$ și $B(4,2)$, nu depinde de poziția lui $M$, și calculați-o.

13. Scrieți ecuația mediatoarei segmentului $AB$, unde $A(-2,1)$ și $B(2,4)$, și verificați că un punct al ei este egal depărtat de $A$ și de $B$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A(1,2)$, $B(5,4)$ și $C(3,8)$. a) Determinați coordonatele mijlocului laturii $BC$. b) Scrieți ecuația medianei din $A$. c) Verificați dacă triunghiul este dreptunghic.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $A(-1,3)$, $B(3,1)$ și $C(5,7)$. a) Calculați aria triunghiului $ABC$. b) Calculați lungimea laturii $AB$. c) Deduceți lungimea înălțimii din $C$, fără a scrie ecuația dreptei $AB$.

16. Determinați punctul $M$ de pe dreapta $y=x$ pentru care suma $M{A}^2+M{B}^2$ este minimă, unde $A(1,3)$ și $B(5,1)$, și calculați valoarea minimă.

17. Pentru punctele $A(1,1)$, $B(4,2)$, $C(2,5)$ și dreptele $d_1:x+y-3=0$, $d_2:2x-y-1=0$, calculați determinantul de coliniaritate al punctelor și determinantul sistemului format din cele două ecuații. Explicați, în două propoziții, ce reprezintă fiecare.

18. (Provocare.) Arătați că, oricare ar fi $m\in \mathbb{R}$, dreapta $d_m:(m+1)x-(m-1)y-2m=0$ trece printr-un punct fix și determinați-l.

Răspunsuri și explicații

1. $MN=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{100}=10$; mijlocul este $\left(\frac{-4+2}{2},\frac{3-5}{2}\right)=(-1,-1)$.

2. $m=\frac{5-(-1)}{6-2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$; din $y+1=\frac{3}{2}(x-2)$ rezultă $3x-2y-8=0$. Verificare: $6+2-8=0$ și $18-10-8=0$.

3. Fals. Dreptele verticale, de ecuație $x=a$, nu au pantă și nu se pot scrie sub forma explicită. Forma care acoperă toate dreptele este cea generală, $ax+by+c=0$, cu $a$ și $b$ nu simultan nule.

4. Fals ca formulare generală. Afirmația este adevărată doar pentru drepte care au amândouă pantă. O verticală și o orizontală sunt perpendiculare, deși produsul pantelor nu se poate nici măcar scrie. Criteriul sigur este $a_1{a}_2+b_1{b}_2=0$.

5. Panta lui $d$ este $\frac{2}{5}$, deci perpendiculara are panta $-\frac{5}{2}$: din $y+2=-\frac{5}{2}(x-3)$ rezultă $5x+2y-11=0$. Verificare cu criteriul general: $2\cdot 5+(-5)\cdot 2=0$, deci dreptele sunt într-adevăr perpendiculare.

6. $\Delta =(4-1)(-7+1)-(-2-1)(5+1)=-18+18=0$, deci punctele sunt coliniare.

7. $\Delta =(-1-2)(7-3)-(4-2)(m-3)=-12-2m+6=-6-2m$. Din $\Delta =0$ rezultă $m=-3$. Verificare: pantele $AB$ și $AC$ sunt amândouă $2$.

8. $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|x_Q{y}_R-x_R{y}_Q|=\frac{1}{2}|42-6|=18$.

9. $a_1{b}_2-a_2{b}_1=3\cdot (-4)-6\cdot (-2)=0$, deci dreptele sunt paralele sau confundate. Nu sunt confundate, pentru că $d_1$ înmulțită cu $2$ dă $6x-4y+10=0$, iar termenul liber diferă de $-1$. Sunt paralele distincte, iar sistemul format din ele este incompatibil.

10. $d=\frac{|12+12+2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{26}{5}=5,2$.

11. $\mathrm{tg}\theta =\left|\frac{-3-2}{1+2\cdot (-3)}\right|=\left|\frac{-5}{-5}\right|=1$, deci $\theta =45^{\circ }$.

12. Dreapta $AB$ are panta $\frac{1}{2}$ și ecuația $x-2y=0$; dreapta $d$ are aceeași pantă, deci $d\parallel AB$. Înălțimea din $M$ este distanța dintre cele două paralele, aceeași pentru orice $M\in d$: luând $M(0,5)$, $d(M,AB)=\frac{|0-10|}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$. Cum $AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$, aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=10$, constantă. Este tiparul „mărime constantă: vârf pe o paralelă la latura opusă".

13. Mijlocul lui $AB$ este $\left(0,\frac{5}{2}\right)$, iar panta lui $AB$ este $\frac{3}{4}$, deci mediatoarea are panta $-\frac{4}{3}$: din $y-\frac{5}{2}=-\frac{4}{3}x$ rezultă $8x+6y-15=0$. Pentru punctul $\left(0,\frac{5}{2}\right)$ de pe ea: distanțele la $A$ și la $B$ au același pătrat, $\frac{25}{4}$.

14. a) Mijlocul lui $BC$ este $\left(4,6\right)$. b) Panta medianei din $A$ este $\frac{6-2}{4-1}=\frac{4}{3}$, deci $y-2=\frac{4}{3}(x-1)$, adică $4x-3y+2=0$. c) $A{B}^2=20$, $A{C}^2=4+36=40$, $B{C}^2=4+16=20$; cum $A{B}^2+B{C}^2=40=A{C}^2$, triunghiul este dreptunghic în $B$ (și isoscel).

15. a) $\Delta =(3+1)(7-3)-(5+1)(1-3)=16+12=28$, deci $\mathcal{S}=14$. b) $AB=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$. c) Din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)$ rezultă $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}=\frac{28}{2\sqrt{5}}=\frac{14\sqrt{5}}{5}$.

16. Punctele dreptei $y=x$ sunt $M(t,t)$, deci $M{A}^2+M{B}^2=(t-1{)}^2+(t-3{)}^2+(t-5{)}^2+(t-1{)}^2=4t^2-20t+36$. Este o funcție pătratică cu coeficientul dominant pozitiv, deci minimul se atinge în vârf, la $t=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}$. Punctul căutat este $M\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$, iar valoarea minimă este $11$.

17. Determinantul de coliniaritate: $\Delta =(4-1)(5-1)-(2-1)(2-1)=12-1=11$, deci punctele nu sunt coliniare și aria triunghiului $ABC$ este $\frac{11}{2}$. Determinantul sistemului: $\Delta =\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right|=-3\ne 0$, deci dreptele sunt concurente, în punctul $\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$. Primul este un determinant de ordinul $3$ format din coordonate și măsoară o arie; al doilea este de ordinul $2$, format din coeficienți, și decide dacă un sistem are soluție unică.

18. Grupăm termenii după $m$: $(m+1)x-(m-1)y-2m=m(x-y-2)+(x+y)$. Expresia se anulează pentru orice $m$ dacă și numai dacă $x-y-2=0$ și $x+y=0$, sistem cu soluția unică $x=1$, $y=-1$. Punctul fix este $(1,-1)$; verificare pentru $m=0$: dreapta $x+y=0$ trece prin el.

De reținut

• Patru forme, un singur criteriu de alegere: explicită pentru pante, generală pentru distanțe și perpendicularitate, prin punct și pantă când ai o direcție, cu determinant când ai două puncte. Forma generală este singura care acoperă și verticalele.
• Verticala $x=a$ nu are pantă. Nu se spune „pantă infinită". Orice raționament cu pante trebuie completat cu verificarea acestui caz.
• $\Delta$ are două fețe: determinantul $3\times 3$ al coordonatelor a trei puncte (coliniaritate și arie) și determinantul $2\times 2$ al coeficienților a două ecuații (poziția relativă). Se numesc explicit la prima apariție.
• Aria dă distanțe. Din $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(C,AB)$ se obține $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$, fără a mai scrie ecuația dreptei $AB$.
• Optimizarea din acest capitol nu cere derivate: mărimea este constantă (vârf pe o paralelă), liniară (extreme în capete) sau pătratică (vârful parabolei).

Greșeli frecvente

• Aplici formula pantei unei drepte verticale. Împărțirea $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ nu are sens când $x_A=x_B$. Verifică întâi abscisele; dacă sunt egale, dreapta este $x=x_A$ și discuția merge pe forma generală.
• Folosești formula distanței pe o ecuație scrisă explicit. $d(M_0,h)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ cere forma $ax+by+c=0$. Din $y=2x+1$ trebuie întâi să scrii $2x-y+1=0$.
• Uiți modulul. Atât la aria triunghiului, cât și la distanța punct-dreaptă, un rezultat negativ înseamnă că ai omis modulul: ariile și distanțele sunt întotdeauna pozitive.
• Confunzi cele două determinante notate $\Delta$. Dacă lucrezi cu trei puncte, determinantul este de ordinul $3$; dacă lucrezi cu două ecuații, este de ordinul $2$. Scrie de fiecare dată o propoziție care spune despre care e vorba.
• Declari triunghi fără să verifici. Înainte de a calcula aria sau înălțimile, verifică $\Delta \ne 0$. Dacă determinantul este nul, punctele sunt coliniare și nu există triunghi, deci nici înălțime.

Aplică acasă

1. Harta cartierului tău. Alege trei repere din localitate (școala, un magazin, casa) și fixează un reper cartezian pe hartă, cu o unitate egală cu $100$ de metri. Citește coordonatele celor trei puncte, calculează aria triunghiului pe care îl formează și distanța de la unul dintre ele la dreapta care le unește pe celelalte două. Compară cu ce vezi pe hartă.

2. Trusa pe o pagină. Scrie, din memorie, cele patru forme ale ecuației dreptei, cele două criterii de paralelism și perpendicularitate și cele șase formule din tabelul de măsurători. Verifică apoi cu lecția și marchează cu roșu tot ce ai uitat: exact acelea sunt formulele pe care le vei căuta și în timpul examenului.

3. Aceeași distanță, două drumuri. Inventează un triunghi cu vârfuri de coordonate întregi și calculează o înălțime în două feluri: cu ecuația laturii și formula distanței, apoi direct din arie, cu $d=\frac{|\Delta |}{AB}$. Cronometrează. Vei ști astfel, la examen, care drum e mai scurt pentru tine.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează unitatea „Drepte în planul cartezian" a programei de matematică-informatică, clasa a XI-a. Este important de știut că, la profilul real, geometria analitică se studiază în această clasă, nu mai devreme: pentru elevul de mate-info, reperul cartezian cu drepte, pantele și ecuațiile dreptei sunt materie de clasa a XI-a, iar accentul cerut de programă cade pe aplicațiile determinanților în geometrie — ecuația dreptei prin două puncte sub formă de determinant, condiția de coliniaritate, aria triunghiului.

Ce verifică lecția: (1) trecerea corectă între formele ecuației unei drepte, cu tratarea explicită a cazului vertical; (2) folosirea determinantului în ambele roluri, fără confuzia dintre ele; (3) calculul distanțelor și al ariilor pe două căi, cu verificare reciprocă; (4) recunoașterea tiparelor de optimizare, fără derivate.

Întrebări bune de control: „Ce se întâmplă dacă dreapta este verticală?", „Determinantul acesta este de ordinul 2 sau 3 și de ce?", „Poți afla înălțimea fără să scrii ecuația laturii?", „De ce ai pus modul acolo?". La BAC M1, geometria analitică apare de regulă în subiectul I, sub forma unui exercițiu scurt: o pantă, o ecuație de dreaptă, o arie, o distanță. Sunt cerințe care se rezolvă în două-trei rânduri, dar care se punctează integral doar dacă redactarea este completă — de aceea insistăm pe verificările duble din exemple. Semn că elevul a înțeles: la o problemă cu trei puncte scrie determinantul înainte de a face orice desen.

Întrebări frecvente

Care sunt cele patru forme ale ecuației unei drepte? Ecuația explicită $y=mx+n$, ecuația generală $ax+by+c=0$, ecuația dreptei prin punct cu panta dată $y-y_0=m(x-x_0)$ și ecuația dreptei prin două puncte, care are și o scriere cu determinant de ordinul al treilea. Numai forma generală acoperă toate dreptele, inclusiv verticalele.

De ce se spune că o dreaptă verticală nu are pantă? Pentru că panta este tangenta unghiului făcut de dreaptă cu axa $Ox$, iar pentru o verticală acel unghi este de $90^{\circ }$, unde tangenta nu există. Formularea corectă este „panta nu este definită", nu „panta este infinită".

Cum aflu dacă trei puncte sunt coliniare? Formezi determinantul de ordinul al treilea cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$. Punctele sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul este nul. Dacă nu este nul, jumătate din modulul lui este aria triunghiului format.

Ce înseamnă cele două utilizări ale simbolului $\Delta$? Într-o problemă cu trei puncte, $\Delta$ este determinantul de ordinul $3$ care decide coliniaritatea și dă aria. Într-o problemă cu două drepte, $\Delta$ este determinantul de ordinul $2$ al sistemului format din ecuațiile lor, care decide dacă dreptele sunt concurente. Se precizează în cuvinte, la prima apariție, despre care este vorba.

Cum calculez o înălțime fără să scriu ecuația laturii? Folosești legătura dintre arie și distanță: $d(C,AB)=\frac{|\Delta |}{AB}$, unde $\Delta$ este determinantul de coliniaritate al celor trei vârfuri, iar $AB$ este lungimea laturii. Metoda economisește un pas întreg de calcul.

Cum stabilesc poziția relativă a două drepte? Cel mai sigur, rezolvând sistemul format din cele două ecuații: soluție unică înseamnă concurente, sistem incompatibil înseamnă paralele distincte, sistem nedeterminat înseamnă confundate. Criteriul rapid, $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$, separă doar cazul paralelism-sau-confundare de cel de concurență.

Se pot rezolva problemele de optimizare din acest capitol fără derivate? Da, și așa se cere la această unitate. Mărimea studiată este fie constantă, dacă un vârf se mișcă pe o paralelă la latura opusă, fie liniară, caz în care extremele sunt în capetele intervalului, fie pătratică, iar atunci extremul este în vârful parabolei.

Unde apare geometria analitică în subiectele de Bacalaureat M1? De obicei în subiectul I, ca exercițiu scurt de câteva puncte: calculul unei pante, scrierea ecuației unei drepte prin două puncte, aria unui triunghi cu determinantul sau distanța de la un punct la o dreaptă. Sunt cerințe rapide, pe care se pierd puncte doar din neatenție la semne sau la modul.