Recapitulare: limite de șiruri și de funcții: pe scurt

Două capitole, o singură întrebare: spre ce se îndreaptă valorile? Vocabularul se cere exact. Un șir convergent are limită finită; unul divergent nu e convergent — inclusiv atunci când are limită infinită. Iar $\lim a_n=+\infty$ înseamnă că limita există în $\overline{\mathbb{R}}$; „nu există limită" se spune doar când e adevărat, ca la $(-1{)}^n$.

Etalonul este $(q^n{)}_n$: limita este $0$ pentru $|q|<1$, este $1$ pentru $q=1$, este $+\infty$ pentru $q>1$ și nu există pentru $q\le -1$.

Tehnica se alege după forma expresiei: raport de polinoame — se împarte prin puterea cea mai mare din numitor; diferență cu radicali — conjugata; sumă de puteri — factor comun puterea dominantă; șir dat prin recurență — monotonie, mărginire, teorema lui Weierstrass (care garantează că limita există și e finită) și abia apoi trecerea la limită.

Limita unei funcții se definește cu șiruri, ceea ce dă și metoda de a arăta că o limită nu există: două șiruri care tind la $x_0$ cu imagini de limite diferite. Criteriul cu limite laterale spune același lucru: limita există dacă și numai dacă $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$ există și sunt egale.

Cele șapte nedeterminări, în ordinea canonică: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$, $0^0$. Iar dintre cele cinci limite fundamentale, atenție la $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ — nu $1$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Despre șirul $a_n=-n^2+3$ este adevărat că:

   • a) este convergent, cu limita $-\infty$
   • b) nu are limită
   • c) are limita $-\infty$, deci este divergent
   • d) este mărginit
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) are limita $-\infty$, deci este divergent

   Termenii coboară oricât de jos, deci limita există în $\overline{\mathbb{R}}$ și este $-\infty$. Cuvântul „convergent" este însă rezervat limitelor finite, așa că șirul este divergent. „Nu are limită" ar fi altceva — cazul șirurilor care oscilează, ca $(-1{)}^n$. Iar mărginit nu este, tocmai pentru că nu are minorant.

2. Șirul $a_n=(-2{)}^n$:

   • a) are limita $+\infty$
   • b) nu are limită
   • c) are limita $0$
   • d) are limita $-2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are limită

   Se aplică tabelul lui $q^n$, cu $q=-2\le -1$: acesta este cazul în care limita nu există. Motivul se vede pe subșiruri: termenii de rang par tind la $+\infty$, cei de rang impar la $-\infty$, iar limita, dacă ar exista, ar fi unică. Este singurul rând al tabelului în care răspunsul nu este un element al lui $\overline{\mathbb{R}}$.

3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3^x-1}{x}$ este egală cu:

   • a) $\ln 3$
   • b) $1$
   • c) $3$
   • d) $0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\ln 3$

   Este a treia limită fundamentală, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$, pentru $a>0$. Valoarea $1$ apare numai în cazul particular $a=e$ — de aceea greșeala e ușor de făcut. Aici $a=3$, deci limita este $\ln 3\approx 1,0986$.