Recapitulare: limite de șiruri și limite de funcții

Treizeci și una de lecții, două capitole și o singură întrebare, pusă de fiecare dată altfel: spre ce se îndreaptă valorile? Un șir se apropie de un număr sau fuge la infinit; o funcție se apropie de o valoare când argumentul se apropie de un punct. Restul — vecinătățile, criteriile, cele șapte nedeterminări, cele cinci limite fundamentale — sunt unelte pentru a răspunde la această întrebare atunci când răspunsul nu se vede.

Recapitularea de față adună uneltele într-un singur rețetar, organizat după forma expresiei, pentru că așa se recunosc problemele la examen: nu după capitolul din care vin, ci după cum arată. Ea se oprește exact acolo unde începe continuitatea: aceea, împreună cu proprietatea valorilor intermediare, este subiectul recapitulării următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești corect vocabularul: șir convergent, șir divergent, limită care există dar e infinită, limită care nu există.
• Vei ști să alegi tehnica potrivită după forma expresiei, nu după capitolul din care vine problema.
• Vei ști să recunoști cele șapte cazuri de nedeterminare și să ridici fiecare dintre ele.
• Vei ști să folosești cele cinci limite fundamentale, inclusiv în forma compusă, cu substituția justificată.
• Vei ști când o limită nu există și cum se demonstrează asta, cu limite laterale sau cu două șiruri.

Hai să descoperim împreună

1. Firul roșu: de la $\mathbb{R}$ la limita unei funcții

Cele două capitole formează un singur drum, în patru trepte.

Treapta întâi — terenul de joc. Mulțimea numerelor reale primește noțiunile de mulțime majorată, minorată, mărginită, cu $\sup$ și $\inf$. Apoi i se adaugă două puncte noi, $-\infty$ și $+\infty$, obținând dreapta reală încheiată $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, împreună cu vecinătățile — mulțimile în care „stau, de la un moment încolo," valorile.

Treapta a doua — șirurile. Un șir capătă monotonie, mărginire și, în fine, limită. Aici se învață toate tehnicile de calcul, pentru că un șir este cel mai simplu obiect care „tinde" undeva.

Treapta a treia — puntea. Limita unei funcții într-un punct se definește cu șiruri, exact cum cere programa: $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ dacă pentru orice șir $(x_n)$ din $D\setminus \{x_0\}$ cu $x_n\to x_0$ avem $f(x_n)\to \ell$. Toate rezultatele despre șiruri se transferă astfel la funcții — și tot de aici vine metoda cea mai bună de a arăta că o limită nu există.

Treapta a patra — uneltele specifice funcțiilor. Limitele laterale, limitele la infinit și cele cinci limite fundamentale, care rezolvă nedeterminările pe care algebra elementară nu le poate desface.

Firul roșu, într-un rând: $\overline{\mathbb{R}}$ și vecinătăți $\to$ șiruri și limitele lor $\to$ definiția cu șiruri a limitei de funcție $\to$ nedeterminări și limite fundamentale.

Unde ne oprim. Această recapitulare acoperă lecțiile 56–86. Continuitatea, punctele de discontinuitate, proprietatea valorilor intermediare și semnul unei funcții continue (lecțiile 87–93) sunt materia recapitulării următoare, împreună cu derivatele.

2. Vocabularul care se cere exact

Distincția din rândul al treilea este cea mai des greșită. Un șir care tinde la $+\infty$ are limită — spunem „limita este $+\infty$" — dar nu este convergent, pentru că nu are limită finită. În schimb $a_n=(-1{)}^n$ chiar nu are limită: subșirul termenilor pari tinde la $1$, cel al termenilor impari la $-1$, iar limita, dacă ar exista, ar fi unică.

Cazul-etalon în care limita nu există este $(q^n{)}_n$, cu tabelul de reținut:

Analog, pentru puteri, $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a$ este $+\infty$ pentru $a>0$, este $1$ pentru $a=0$ și este $0$ pentru $a<0$.

Ce operații sunt permise cu simbolurile $\pm \infty$. Pe dreapta reală încheiată se poate calcula, dar nu orice. Sunt permise, și se folosesc fără nicio precauție: $a+(+\infty )=+\infty$ și $a+(-\infty )=-\infty$ pentru orice $a$ real sau infinit de același semn; $a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty$, cu semnul dat de semnul lui $a$, pentru orice $a\ne 0$; $\frac{a}{\pm \infty }=0$ pentru $a$ real; iar la puteri, $a^{+\infty }$ este $+\infty$ dacă $a>1$ și $0$ dacă $0<a<1$, cu rezultatele inversate pentru $a^{-\infty }$.

Nu sunt operații, ci cazuri de nedeterminare, combinațiile din lista de la secțiunea 5. Iar $\frac{a}{0}$ nu este operație în $\overline{\mathbb{R}}$ deloc: când numitorul tinde la zero, nu ai voie să scrii un rezultat înainte de a-i studia semnul, prin limite laterale. Distincția aceasta — între o operație permisă, care se face pe loc, și o nedeterminare, care cere prelucrare — este singurul lucru care trebuie limpede înainte de orice calcul de limită. Un elev care o are nu greșește niciodată tipul problemei; unul care nu o are aplică tehnici complicate acolo unde ar fi fost de ajuns o înlocuire directă.

3. Rețetarul limitelor de șiruri, după forma expresiei

Ultimul rând este singurul care nu se rezolvă prin calcul direct și tocmai de aceea apare la Bacalaureat M1. Rețeta lui, în cinci pași: se arată că șirul este monoton (de obicei prin inducție), se arată că este mărginit, se invocă teorema lui Weierstrass pentru a garanta că limita $\ell$ există și e finită, se trece la limită în relația de recurență obținând o ecuație în $\ell$, apoi se alege rădăcina potrivită folosind mărginirea sau trecerea la limită în inegalități. Pasul al treilea nu se sare: fără el, „trecerea la limită" ar presupune ceva ce încă nu s-a demonstrat.

4. Puntea către funcții: definiția cu șiruri și limitele laterale

Definiția cu șiruri are o consecință practică pe care baremele o cer explicit: pentru a arăta că o limită NU există, dai două șiruri $x_n\to x_0$ și $x_n^{\prime }\to x_0$ pentru care $f(x_n)$ și $f(x_n^{\prime })$ au limite diferite.

Limitele laterale, în forma de scriere obligatorie:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x<x_0\end{array}}{\lim }f(x)\text{(la staˆnga)},\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ x>x_0\end{array}}{\lim }f(x)\text{(la dreapta)}.$$

În celulele de tabel și în enunțuri scurte se folosește forma compactă $l_s(x_0)$ și $l_d(x_0)$. Criteriul de existență a limitei într-un punct: funcția are limită în $x_0$ (punct de acumulare bilateral) dacă și numai dacă cele două limite laterale există și sunt egale; valoarea comună este limita.

De aici vine metoda standard pentru funcțiile cu modul sau definite pe ramuri: se calculează separat $l_s$ și $l_d$ și se compară. La fel se procedează la numitorii care se anulează, unde semnul contează: se scrie $\frac{a}{0^{+}}=+\infty$ pentru $a>0$ și $\frac{a}{0^{-}}=-\infty$, notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$ fiind folosite numai pentru a marca semnul cu care numitorul se apropie de zero.

5. Cele șapte nedeterminări și cum se ridică fiecare

Lista canonică, în această ordine:

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0.$$

Ele nu sunt „rezultate", ci cazuri în care rezultatul nu se poate decide fără o prelucrare. Iar prelucrarea diferă de la caz la caz.

Există și o unealtă mai puternică pentru primele două cazuri, regulile lui L'Hôpital, studiate mai târziu în an, la capitolul de derivate. La recapitularea aceasta rămânem însă la tehnica algebrică: ea este cea cerută în baremele care spun „calculați limita", este mai rapidă pe expresii raționale simple și, spre deosebire de L'Hôpital, nu are ipoteze de verificat.

6. Cele cinci limite fundamentale

Formele exacte, de reprodus cuvânt cu cuvânt:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a,a>0;$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r,r\in \mathbb{R}.$$

⚠️ A treia are valoarea $\ln a$, nu $1$; cazul $a=e$ dă $1$, și tocmai de aceea greșeala e ușor de făcut. Prima are corolarele $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$.

Forma compusă este cea de care ai nevoie la aproape toate exercițiile. Dacă $u(x)\to 0$ și $u(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a lui $x_0$, atunci $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$, și analog pentru celelalte patru. Substituția se justifică de fiecare dată, cu formula consacrată: „notăm $t=u(x)$; cum $u(x)\to 0$ când $x\to x_0$, obținem…". Baremele cer acest pas scris.

Tehnica practică, la limite trigonometrice și la cele cu exponențială și logaritm, este amplificarea: pentru $\frac{\sin 3x}{\mathrm{tg}5x}$ scrii $\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\mathrm{tg}5x}\cdot \frac{3x}{5x}$, iar primii doi factori tind la $1$.

7. Harta celor două unități: lecțiile 56–86

Întrebarea de control la orice limită nouă: este sau nu caz de nedeterminare? Dacă nu este, se înlocuiește direct și se aplică operațiile din $\overline{\mathbb{R}}$. Dacă este, se identifică tipul și abia apoi se alege tehnica. Sărirea acestui pas produce cele mai multe răspunsuri greșite din capitol.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei șiruri raționale și comparația gradelor

Calculați limitele șirurilor $a_n=\frac{3n^2-2n+1}{2n^2+n-4}$, $b_n=\frac{n+5}{n^2-3}$, $c_n=\frac{2n^3+1}{n^2+n}$.

Rezolvare. Toate trei sunt cazuri $\frac{\infty }{\infty }$. Împărțim, de fiecare dată, prin puterea cea mai mare a lui $n$ din numitor.

$$a_n=\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{4}{n^2}}\to \frac{3}{2};b_n=\frac{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}}{1-\frac{3}{n^2}}\to 0;c_n=\frac{2n+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{1}{n}}\to +\infty .$$

Regula generală, de reținut: la un raport de polinoame, limita este raportul coeficienților dominanți dacă gradele sunt egale, este $0$ dacă gradul numărătorului e mai mic și este $\pm \infty$ dacă e mai mare, cu semnul dat de coeficienții dominanți.

Control numeric: pentru $n=10^5$, $a_n\approx 1,49998$, ceea ce confirmă limita $\frac{3}{2}$.

Exemplul 2 — Nedeterminarea $\infty -\infty$ cu radicali

Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+6n+2}-n\right)$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+n}-2n\right)$.

Rezolvare. Ambele sunt cazuri $\infty -\infty$; amplificăm cu conjugata.

$$\sqrt{n^2+6n+2}-n=\frac{\left(n^2+6n+2\right)-n^2}{\sqrt{n^2+6n+2}+n}=\frac{6n+2}{\sqrt{n^2+6n+2}+n}.$$

Am ajuns la un caz $\frac{\infty }{\infty }$; împărțim prin $n$:

$$\frac{6+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}+1}\to \frac{6}{1+1}=3.$$

La fel, $\sqrt{4n^2+n}-2n=\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}\to \frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$.

Observă tiparul: rezultatul este raportul dintre coeficientul lui $n$ din numărătorul rămas și suma coeficienților dominanți de la numitor. Control numeric: pentru $n=10^7$, prima expresie dă $2,99999965$, a doua $0,24999999$.

Exemplul 3 — Criteriul cleștelui și teorema lui Weierstrass

a) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n}\right)$. b) Arătați că șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$ este convergent și calculați-i limita.

Rezolvare. a) Suma are $n$ termeni, fiecare cuprins între cel mai mic și cel mai mare dintre ei:

$$n\cdot \frac{n}{n^2+n}\le S_n\le n\cdot \frac{n}{n^2+1},\text{adica˘}\frac{n^2}{n^2+n}\le S_n\le \frac{n^2}{n^2+1}.$$

Ambele margini tind la $1$, deci, prin criteriul cleștelui, $\lim S_n=1$. Control numeric: pentru $n=1000$, $S_n\approx 0,9995$.

b) Mărginirea: arătăm prin inducție că $1\le a_n<3$. Este adevărat pentru $n=1$; dacă $1\le a_n<3$, atunci $7\le 6+a_n<9$, deci $\sqrt{7}\le a_{n+1}<3$, iar $\sqrt{7}>1$.

Monotonia: $a_{n+1}-a_n=\sqrt{6+a_n}-a_n=\frac{6+a_n-a_n^2}{\sqrt{6+a_n}+a_n}$, iar $-t^2+t+6=-(t-3)(t+2)$ este strict pozitiv pentru $t\in (-2,3)$, deci și pentru $t=a_n\in [1,3)$. Prin urmare șirul este strict crescător. Observă că mărginirea a fost folosită ca să obținem monotonia — ordinea celor doi pași nu e întâmplătoare.

Weierstrass: fiind monoton și mărginit, șirul este convergent, deci limita $\ell$ există și este finită. Abia acum trecem la limită în relația de recurență: $\ell =\sqrt{6+\ell }$, deci ${\ell }^2-\ell -6=0$, cu rădăcinile $3$ și $-2$. Cum toți termenii sunt pozitivi, $\ell \ge 0$, deci $\ell =3$. Control numeric: $a_4\approx 2,9900$, iar după $60$ de pași termenul este $3$ cu $40$ de zecimale exacte.

Exemplul 4 — Când limita NU există

a) Arătați că $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$ nu are limită în $x_0=1$. b) Studiați comportarea funcției $g(x)=\frac{1}{x-3}$ în vecinătatea lui $x_0=3$.

Rezolvare. a) Calculăm limitele laterale. Pentru $x<1$ avem $|x-1|=1-x$, deci $f(x)=-1$ și

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-1,\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=1.$$

Cele două limite laterale există, sunt finite, dar sunt diferite, deci $f$ nu are limită în $1$.

Aceeași concluzie, cu definiția prin șiruri: pentru $x_n=1-\frac{1}{n}\to 1$ avem $f(x_n)=-1\to -1$, iar pentru $x_n^{\prime }=1+\frac{1}{n}\to 1$ avem $f(x_n^{\prime })=1\to 1$. Două șiruri care tind la $1$ dau imagini cu limite diferite, deci limita nu există.

b) Aici numitorul se anulează, iar semnul lui decide:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x<3\end{array}}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty ,\underset{\begin{array}{c}x\to 3\\ x>3\end{array}}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{0^{+}}=+\infty .$$

Ambele limite laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar sunt diferite, deci $g$ nu are limită în $3$. Atenție la formulare: nu spunem „limita este infinită", ci precizăm fiecare parte separat.

Exemplul 5 — Trei nedeterminări la funcții

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x^2-3x+2}$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$.

Rezolvare. Prima este $\frac{0}{0}$ la o funcție rațională: factorizăm și simplificăm factorul care se anulează.

$$\frac{x^3-8}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)\left(x^2+2x+4\right)}{(x-2)(x-1)}=\frac{x^2+2x+4}{x-1}\to \frac{4+4+4}{1}=12.$$

A doua este $\frac{0}{0}$ cu radical: amplificăm cu conjugata.

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(1+x)-1}{x\left(\sqrt{1+x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to \frac{1}{2}.$$

(Aceeași limită se obține și din a cincea limită fundamentală, cu $r=\frac{1}{2}$.)

A treia este $\infty -\infty$ la $+\infty$: conjugata, apoi împărțirea prin $x$.

$$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}\to \frac{3}{2}.$$

Control numeric: pentru $x=10^6$ ultima expresie dă $1,49999887$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Calculați: a) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\mathrm{tg}5x}$; b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\ln (1+3x)}$; c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2x+1}{2x-3}\right)}^x$.

Rezolvare. a) Caz $\frac{0}{0}$. Amplificăm astfel încât să apară cele două limite fundamentale, cu argumentele lor:

$$\frac{\sin 3x}{\mathrm{tg}5x}=\frac{\sin 3x}{3x}\cdot \frac{5x}{\mathrm{tg}5x}\cdot \frac{3x}{5x}\to 1\cdot 1\cdot \frac{3}{5}=\frac{3}{5}.$$

Justificarea substituției: notăm $t=3x$; cum $t\to 0$ când $x\to 0$, primul factor tinde la $1$ prin limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t}{t}=1$. Analog pentru al doilea, cu $t=5x$.

b) Caz $\frac{0}{0}$. Amplificăm cu $x$ la numărător și la numitor:

$$\frac{e^{2x}-1}{\ln (1+3x)}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{3x}{\ln (1+3x)}\cdot \frac{2}{3}\to 1\cdot 1\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$

Primul factor tinde la $1$ prin a treia limită fundamentală cu $a=e$ (unde $\ln e=1$), al doilea prin a patra.

c) Caz $1^{\infty }$, pentru că baza tinde la $1$, iar exponentul la $+\infty$. Scriem baza sub forma $1+u(x)$:

$$\frac{2x+1}{2x-3}=1+\frac{4}{2x-3},u(x)=\frac{4}{2x-3}\to 0.$$

Atunci

$${\left(1+\frac{4}{2x-3}\right)}^x={\left[{\left(1+\frac{4}{2x-3}\right)}^{\frac{2x-3}{4}}\right]}^{\frac{4x}{2x-3}}\to e^2,$$

pentru că paranteza dreaptă tinde la $e$ prin a doua limită fundamentală, iar exponentul $\frac{4x}{2x-3}$ tinde la $2$. Control numeric: pentru $x=10^7$ expresia dă $7,38906$, iar $e^2\approx 7,38906$.

Să exersăm

1. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5n^2+3n}{2n^2-1}$.

2. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+1}{n^3-2}$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3}{2n^2+1}$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un șir care are limita $+\infty$ este convergent."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$, atunci $\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^n{a}_n=0$."

5. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+5n}-n\right)$.

6. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n+5^n}{5^n+3^n}$.

7. (Problemă aplicată.) O sumă de $1000$ de lei este depusă cu o dobândă anuală de $5\%$. Dacă dobânda se capitalizează de $n$ ori pe an, suma de la sfârșitul anului este $S_n=1000{\left(1+\frac{0,05}{n}\right)}^n$. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ și explicați ce înseamnă rezultatul.

8. Precizați, cu justificare, dacă șirul $a_n=(-2{)}^n$ are limită.

9. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\cos n}{n^2+1}$, precizând criteriul folosit.

10. Arătați că șirul $a_1=1$, $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$ este convergent și determinați-i limita.

11. Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$.

12. Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^2-x}{x^2+2x+5}$.

13. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 5x}{\sin 2x}$.

14. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+4x)}{e^{2x}-1}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{x+2}{x-1}\right)}^x$.

17. Studiați limitele laterale ale funcției $f(x)=\frac{1}{x-3}$ în $x_0=3$ și precizați dacă funcția are limită acolo.

18. (Provocare.) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{tg}x-\sin x}{x^3}$.

Răspunsuri și explicații

1. Caz $\frac{\infty }{\infty }$; împărțind prin $n^2$ se obține $\frac{5+\frac{3}{n}}{2-\frac{1}{n^2}}\to \frac{5}{2}$. Gradele fiind egale, limita este raportul coeficienților dominanți.

2. Prima: gradul numărătorului e mai mic, deci limita este $0$. A doua: gradul numărătorului e mai mare, iar coeficienții dominanți sunt pozitivi, deci limita este $+\infty$.

3. Fals. Un șir este convergent numai dacă are limită finită. Un șir cu limita $+\infty$ are limită, în $\overline{\mathbb{R}}$, dar este divergent. Cele două afirmații nu se contrazic: „divergent" înseamnă „nu e convergent", nu „nu are limită".

4. Adevărat. Cum $|(-1{)}^n{a}_n|=|a_n|\to 0$, criteriul majorării dă $\lim (-1{)}^n{a}_n=0$. Alternarea semnului nu strică nimic atunci când modulul tinde la zero.

5. Amplificând cu conjugata, $\sqrt{n^2+5n}-n=\frac{5n}{\sqrt{n^2+5n}+n}\to \frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}$.

6. Scoatem factor $5^n$ din numărător și din numitor: $\frac{5^n\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^n+1\right)}{5^n\left(1+{\left(\frac{3}{5}\right)}^n\right)}\to \frac{0+1}{1+0}=1$, folosind $\lim q^n=0$ pentru $|q|<1$.

7. Este cazul $1^{\infty }$. Scriem ${\left(1+\frac{0,05}{n}\right)}^n={\left[{\left(1+\frac{0,05}{n}\right)}^{\frac{n}{0,05}}\right]}^{0,05}\to e^{0,05}$, deci $\lim S_n=1000e^{0,05}\approx 1051,27$ lei. Aceasta este capitalizarea continuă: oricât de des s-ar adăuga dobânda, suma nu depășește această valoare. Compară: la o capitalizare pe an se obțin $1050$ de lei, la una lunară $1051,16$, la una zilnică $1051,27$ — creșterea se oprește.

8. Cum $q=-2\le -1$, șirul $(q^n{)}_n$ nu are limită: subșirul termenilor de rang par tinde la $+\infty$, cel al termenilor de rang impar la $-\infty$, iar limita, dacă ar exista, ar fi unică.

9. $\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|\le \frac{1}{n^2+1}\to 0$, deci limita este $0$ prin criteriul majorării (numărătorul e mărginit, numitorul tinde la infinit).

10. Prin inducție, $1\le a_n<2$: dacă $1\le a_n<2$, atunci $2\le 2a_n<4$, deci $\sqrt{2}\le a_{n+1}<2$. Monotonia: $a_{n+1}-a_n=\frac{2a_n-a_n^2}{\sqrt{2a_n}+a_n}>0$ pentru $a_n\in [1,2)$, deci șirul e strict crescător. Prin Weierstrass el este convergent, cu limita $\ell$ finită; din $\ell =\sqrt{2\ell }$ rezultă ${\ell }^2=2\ell$, deci $\ell \in \{0,2\}$, iar cum $a_n\ge 1$, limita este $\ell =2$.

11. Caz $\frac{0}{0}$: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}\to \frac{2}{-1}=-2$.

12. Caz $\frac{\infty }{\infty }$: împărțind prin $x^2$, limita este $\frac{3}{1}=3$.

13. Amplificăm: $\frac{\sin 5x}{5x}\cdot \frac{2x}{\sin 2x}\cdot \frac{5x}{2x}\to 1\cdot 1\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{2}$.

14. $\frac{\ln (1+4x)}{4x}\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}\cdot \frac{4x}{2x}\to 1\cdot 1\cdot 2=2$.

15. Caz $\frac{0}{0}$; amplificăm cu conjugata: $\frac{(x+2)-4}{(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\to \frac{1}{4}$.

16. Caz $1^{\infty }$: $\frac{x+2}{x-1}=1+\frac{3}{x-1}$, deci expresia se scrie ${\left[{\left(1+\frac{3}{x-1}\right)}^{\frac{x-1}{3}}\right]}^{\frac{3x}{x-1}}\to e^3$, pentru că exponentul $\frac{3x}{x-1}$ tinde la $3$.

17. $l_s(3)=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$ și $l_d(3)=\frac{1}{0^{+}}=+\infty$. Ambele limite laterale există în $\overline{\mathbb{R}}$, dar sunt diferite, deci funcția nu are limită în $3$.

18. Scriem $\mathrm{tg}x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\frac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}$, deci expresia devine $\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$, folosind prima limită fundamentală și corolarul ei. Control numeric: pentru $x=10^{-6}$ expresia dă $0,5000000000$.

De reținut

• „Divergent" nu înseamnă „fără limită". Un șir cu limita $\pm \infty$ are limită în $\overline{\mathbb{R}}$, dar nu este convergent. Singurele cazuri în care limita chiar nu există sunt cele cu două comportări diferite, ca la $q^n$ cu $q\le -1$.
• Prima întrebare la orice limită: este caz de nedeterminare? Dacă nu, se înlocuiește direct. Dacă da, se numește tipul — unul dintre cele șapte — și abia apoi se alege tehnica.
• Cele patru tehnici algebrice acoperă aproape tot: factorizare și simplificare, amplificare cu conjugata, scoaterea termenului dominant, folosirea limitelor fundamentale prin amplificare.
• Șirurile recurente au o rețetă fixă: monotonie, mărginire, Weierstrass, trecerea la limită în recurență, alegerea rădăcinii. Weierstrass nu se sare — el garantează că limita există.
• Limita există într-un punct dacă și numai dacă limitele laterale există și sunt egale. Pentru a arăta că o limită nu există, sunt de ajuns două șiruri cu imagini de limite diferite.

Greșeli frecvente

• Scrii $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=1$. Valoarea corectă este $\ln a$; doar pentru $a=e$ ea devine $1$. Este cea mai frecventă confuzie din setul limitelor fundamentale.
• Aplici o limită fundamentală fără să justifici substituția. Din $\frac{\sin 3x}{x}$ nu rezultă $1$: trebuie amplificat cu $3$ și scris „notăm $t=3x$", altfel se pierd puncte chiar dacă rezultatul final e corect.
• Spui „nu există limită" în loc de „limita este $+\infty$". Sunt afirmații diferite. Prima se folosește numai când cele două comportări, de o parte și de alta, sunt incompatibile.
• Împărți printr-o putere greșită la raportul de polinoame. Se împarte prin puterea cea mai mare din numitor; împărțirea prin puterea din numărător duce la expresii inutil de complicate.
• Treci la limită în recurență înainte de a ști că limita există. Din $a_{n+1}=\sqrt{3+a_n}$ nu poți scrie direct $\ell =\sqrt{3+\ell }$: mai întâi demonstrezi monotonia și mărginirea și invoci teorema lui Weierstrass.

Aplică acasă

1. Rețetarul pe o pagină. Scrie, din memorie, cele șapte nedeterminări în ordinea canonică și, în dreptul fiecăreia, tehnica de ridicare. Adaugă cele cinci limite fundamentale. Verifică apoi cu lecția și marchează diferențele — sunt exact locurile în care vei ezita la examen.

2. Zece limite, fără calcul. Alege zece limite din exercițiile capitolului și, fără să le rezolvi, scrie pentru fiecare doar două lucruri: dacă este caz de nedeterminare și, dacă da, care. Abia după ce ai clasificat toate zece, rezolvă-le. Vei observa că împărțirea pe tipuri face rezolvarea aproape automată.

3. Un șir recurent, urmărit pe calculator. Alege un șir definit prin recurență, de pildă $a_1=1$ și $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$, și calculează primii cincisprezece termeni cu calculatorul telefonului, notându-i într-un tabel. Observă două lucruri: că șirul crește la fiecare pas și că se apropie de $3$ fără să-l atingă. Apoi scrie demonstrația care confirmă ce ai văzut — tabelul sugerează, dar numai monotonia, mărginirea și teorema lui Weierstrass demonstrează.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează două unități mari ale programei de matematică-informatică pentru clasa a XI-a: „Mulțimea numerelor reale și limite de șiruri" și „Limite de funcții". Este o lecție de sinteză și de metodă, organizată deliberat după forma expresiei, nu după ordinea din manual, pentru că aceasta este forma în care problemele apar la examen.

Două accente merită subliniate. Primul este vocabularul: în școala românească, un șir cu limita infinită are limită, dar nu este convergent, iar confuzia dintre „divergent" și „fără limită" este cea mai persistentă din capitol. Al doilea este justificarea substituției la limitele fundamentale: baremele acordă punctaj separat pentru pasul „notăm $t=u(x)$, cu $t\to 0$", iar el se pierde ușor la elevii care fac calculul în minte.

Ce verifică lecția: (1) clasificarea corectă a unei limite înainte de a o calcula; (2) stăpânirea celor patru tehnici algebrice; (3) rețeta completă a șirurilor recurente, cu teorema lui Weierstrass invocată explicit; (4) folosirea limitelor laterale pentru a decide existența limitei.

Întrebări bune de control: „Este caz de nedeterminare și care?", „De ce ai amplificat cu asta?", „De unde știi că limita există înainte s-o calculezi?", „Șirul acesta e convergent sau doar are limită?". La BAC M1, limitele apar în subiectul I și în subiectul al III-lea, aproape sigur cel puțin o dată pe variantă. Semn că elevul a înțeles: înainte de orice calcul, spune cu voce tare tipul nedeterminării.

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre un șir divergent și unul care nu are limită? Divergent înseamnă „nu este convergent", adică nu are limită finită. Un șir cu limita $+\infty$ este divergent, dar are limită, în dreapta reală încheiată. Un șir ca $(-1{)}^n$ este divergent și, în plus, nu are limită deloc.

Care sunt cele șapte cazuri de nedeterminare? În ordinea consacrată: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $\infty -\infty$, $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ și $0^0$. Ele nu sunt rezultate, ci situații în care răspunsul nu poate fi decis fără o prelucrare a expresiei.

Cum se calculează limita unui raport de polinoame? Se împarte numărătorul și numitorul prin puterea cea mai mare a variabilei din numitor. Dacă gradele sunt egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă gradul de sus e mai mic, limita este $0$; dacă e mai mare, limita este infinită, cu semnul dat de coeficienții dominanți.

Care sunt cele cinci limite fundamentale? $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$, $\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^r-1}{x}=r$. A treia are valoarea $\ln a$, nu $1$.

Cum arăt că o funcție nu are limită într-un punct? Cel mai simplu, calculând limitele laterale și arătând că sunt diferite. A doua cale, cerută uneori explicit, folosește definiția cu șiruri: dai două șiruri care tind la $x_0$ și pentru care șirurile imaginilor au limite diferite.

De ce trebuie teorema lui Weierstrass la șirurile definite prin recurență? Pentru că trecerea la limită în relația de recurență presupune că limita există. Weierstrass garantează exact acest lucru: orice șir monoton și mărginit este convergent. Fără acest pas, ecuația obținută la final nu demonstrează nimic.

Ce înseamnă notațiile $0^{+}$ și $0^{-}$? Ele marchează semnul cu care numitorul se apropie de zero și se folosesc doar în acest context, pentru a decide semnul rezultatului: $\frac{a}{0^{+}}=+\infty$ pentru $a>0$, iar $\frac{a}{0^{-}}=-\infty$. Nu sunt notații pentru limite laterale — acelea se scriu cu condiția $x<x_0$, respectiv $x>x_0$, sub semnul limitei.

Se pot calcula aceste limite mai simplu, cu derivate? Unele da, cu regulile lui L'Hôpital, studiate mai târziu în an. Ele se aplică însă doar cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$, au ipoteze care trebuie verificate de fiecare dată și nu înlocuiesc tehnica algebrică, pe care baremele o cer la capitolul de limite.