Determinantul unei matrice de ordinul $$4$$ se calculează:

prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană

cu formula $$a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$, aplicată pe blocuri

Acasă · Învață ușor · clasa a XI-a · Recapitulare: matrice, determinanți, sisteme

Recapitulare: matrice, determinanți, sisteme: pe scurt

Cele trei capitole sunt trei etaje ale aceleiași clădiri, iar firul roșu se scrie într-un rând: tablou $\to$ operații $\to$ determinant $\to$ inversabilitate $\to$ compatibilitate $\to$ soluție. Propoziția de reținut: determinantul este numărul care decide.

La trecerea de la numere la matrice, unele reguli se pierd. Înmulțirea nu este comutativă, din $A B = O_{n}$ nu rezultă că un factor e nul, iar $(A + B)^{2}$ se desface după formula obișnuită numai dacă $A B = B A$ . Împărțirea nu există: se spune „înmulțire cu inversa", precizând partea. Metodele de ridicare la putere sunt patru elementare — inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație — plus Hamilton-Cayley, a cincea.

La determinanți, metoda se alege după ordin: formula directă la ordinul $2$ , regula lui Sarrus numai la ordinul $3$ , iar de la ordinul $4$ transformări elementare urmate de dezvoltarea $det A = \sum_{j} a_{ij} δ_{ij}$ . Transformările se scriu cu notațiile lor: $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ , $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ cu $i \neq = j$ , analog pe coloane.

$A$ este inversabilă exact când $det A \neq = 0$ ; inversa se obține cu adjuncta, $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , sau prin Gauss-Jordan.

La sisteme, arborele de decizie: $det A \neq = 0$ cu $n$ ecuații și $n$ necunoscute $\to$ Cramer; altfel $rang A$ și Kronecker-Capelli, iar gradul de nedeterminare este $n - r$ .

Exerciții din această mini-lecție

Determinantul unei matrice de ordinul $4$ se calculează:
- a) cu regula lui Sarrus
- b) cu regula triunghiului
- c) cu formula $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , aplicată pe blocuri
- d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) prin transformări elementare, urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană

Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul $3$ ; aplicate la ordinul $4$ produc $8$ termeni în loc de $24$ și un rezultat fals, care se depunctează integral. Procedeul corect este să faci zerouri pe o linie sau pe o coloană, cu operații de tipul $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ (care nu schimbă valoarea), și apoi să dezvolți după acea linie.
Fie $A, B \in M_{2} (C)$ , cu $det A \neq = 0$ . Soluția ecuației matriceale $X A = B$ este:
- a) $X = B A^{- 1}$
- b) $X = A^{- 1} B$
- c) $X = \frac{B}{A}$
- d) $X = A B^{- 1}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $X = B A^{- 1}$

Se înmulțește cu $A^{- 1}$ de partea în care apare $A$ , adică la dreapta: din $X A = B$ rezultă $X A A^{- 1} = B A^{- 1}$ , deci $X = B A^{- 1}$ . Fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă, $A^{- 1} B$ și $B A^{- 1}$ sunt, în general, matrice diferite. Împărțirea de matrice nu există ca operație.
Matricea $A (m) = (m 3 2 m - 1)$ nu este inversabilă pentru:
- a) $m \in {- 3, 2}$
- b) $m = 6$
- c) $m \in {- 2, 3}$
- d) niciun $m$ real
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \in {- 2, 3}$

$det A (m) = m (m - 1) - 6 = m^{2} - m - 6 = (m - 3) (m + 2)$ , iar criteriul determinantului spune că matricea este inversabilă exact când $det A \neq = 0$ . Determinantul se anulează pentru $m = 3$ și $m = - 2$ , deci pentru aceste două valori matricea este singulară; pentru orice altă valoare a lui $m$ ea are inversă.

Recapitulare: matrice, determinanți, sisteme: pe scurt

Exerciții din această mini-lecție

Continuă cu