Recapitulare: matrice, determinanți și sisteme de ecuații liniare

Primele patruzeci și două de lecții ale acestui an au construit, pas cu pas, un singur lanț. La început ai avut un tablou de numere fără nicio operație pe el. La final poți lua un sistem cu patru necunoscute, îi poți spune dintr-o privire dacă are soluții, câte are, și îl poți rezolva pe trei căi diferite, alegând-o pe cea mai scurtă. Între cele două capete stau trei capitole care par separate — matrice, determinanți, sisteme — dar care sunt, de fapt, trei etaje ale aceleiași clădiri.

Lecția aceasta nu adaugă nimic nou. Ea așază piesele în ordine, arată cusăturile dintre capitole și pune la un loc greșelile care se plătesc cel mai scump la Bacalaureat M1. Dacă o singură propoziție merită reținută din tot ce urmează, este aceasta: determinantul este numărul care decide, iar tot ce se întâmplă cu inversele și cu sistemele atârnă de el.

Ce vei învăța

• Vei ști să refaci firul roșu al celor trei capitole, de la tabloul de date până la discuția unui sistem cu parametru.
• Vei ști să alegi, motivat, metoda de calcul a unui determinant și metoda de ridicare la putere a unei matrice.
• Vei ști să parcurgi arborele de decizie al unui sistem: Cramer, rang și Kronecker-Capelli, Rouché, metoda lui Gauss.
• Vei ști să treci de la un capitol la altul în aceeași problemă, pentru că exercițiile de Bacalaureat M1 le amestecă deliberat.
• Vei ști care sunt greșelile care se repetă an de an și cum se evită fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Firul roșu: de la tablou la sistem

Povestea are patru momente, iar fiecare îl cere pe cel dinainte.

Momentul întâi — tabloul capătă operații. O matrice este la început doar un tabel: stocuri, costuri, note. Devine obiect matematic în clipa în care i se dau adunarea, înmulțirea cu un scalar și, mai ales, înmulțirea a două matrice — singura operație care nu seamănă cu nimic din ce știai. Din ea vine tot restul: puterile, ecuațiile matriceale, forma $AX=B$ a unui sistem.

Momentul al doilea — tabloului i se atașează un număr. Fiecărei matrice pătratice i se atașează determinantul, un singur număr care condensează informația despre întreaga matrice. Definiția lui riguroasă vine din permutări, dar rolul lui este simplu: $\det A\ne 0$ înseamnă „matricea se poate inversa"; $\det A=0$ înseamnă „ceva s-a pierdut pe drum".

Momentul al treilea — numărul decide inversabilitatea. Criteriul determinantului transformă o întrebare grea („există $B$ cu $AB=BA=I_n$?") într-un calcul. Iar inversa, odată obținută, rezolvă ecuațiile matriceale.

Momentul al patrulea — totul se întoarce în sisteme. Un sistem liniar se scrie $AX=B$; dacă $A$ e pătratică și inversabilă, soluția e $X=A^{-1}B$, iar formulele lui Cramer o dau direct. Când $\det A=0$ sau când matricea nu e pătratică, intră în scenă rangul, care măsoară „câtă informație independentă" conține sistemul.

Firul roșu, într-un rând: tablou $\to$ operații $\to$ determinant $\to$ inversabilitate $\to$ compatibilitate $\to$ soluție.

2. Operațiile cu matrice: ce se păstrează și ce se pierde

Când treci de la numere la matrice, unele reguli supraviețuiesc, altele nu. Tabelul acesta merită știut pe de rost, pentru că fiecare rând „pierdut" este o greșeală de subiect.

Ultima linie deschide capitolul puterilor. Aici planul lecțiilor a fixat o numărătoare pe care o folosim peste tot: calculul direct nu se numără printre metode — el este procedeul de bază. Metodele elementare sunt patru, iar ecuația Hamilton-Cayley este a cincea.

Criteriul de alegere, în ordinea în care se aplică, este cel din sinteza celor cinci metode: dacă matricea e de ordin $2$, Hamilton-Cayley funcționează întotdeauna; dacă se scrie ca $\alpha I_n$ plus o matrice cu pătratul nul, binomul lui Newton dă răspunsul în două rânduri.

3. Determinanții: metoda potrivită pentru fiecare ordin

Rândul al treilea este cel mai important din toată recapitularea. Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul 3. Un „Sarrus" scris pentru un determinant $4\times 4$ produce $8$ termeni în loc de $24$ și un rezultat fals; la Bacalaureat M1 el se depunctează integral, oricât de corecte ar fi înmulțirile. Pentru ordinul $4$ ai două unelte, care se folosesc împreună: faci zerouri pe o linie sau pe o coloană cu transformări elementare, apoi dezvolți după acea linie, $\det A={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\delta }_{ij}$, unde ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$.

Proprietățile se citează prin nume, nu se renumerotează: transpusa nu schimbă determinantul, o linie nulă îl anulează, factorul comun de pe o linie iese în față, determinantul e liniar pe fiecare linie — proprietăți demonstrate în lecția 18. Schimbarea a două linii îi schimbă semnul, două linii egale sau proporționale îl anulează, iar transformarea $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ nu îl modifică — acestea sunt din lecția 19. Notația $\det (B_1,\dots ,B_n)$, cu $B_i$ liniile matricei, se folosește ori de câte ori vorbim despre liniaritatea pe o linie. La ea se adaugă rezultatul cel mai des cerut la examen, $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, din care ies imediat $\det (A^n)=(\det A{)}^n$ și, pentru înmulțirea cu un scalar, formula $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det A$ demonstrată tot acolo.

Transformările elementare, cu notațiile lor obligatorii. Pe linii: $L_i\leftrightarrow L_j$, $L_i\leftarrow \alpha L_i$ cu $\alpha \ne 0$, și $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ cu $i\ne j$. Pe coloane, identic: $C_i\leftrightarrow C_j$, $C_i\leftarrow \alpha C_i$, $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$ cu $i\ne j$. Condiția $i\ne j$ nu este un capriciu de notație: dacă am accepta $i=j$ cu $\alpha =-1$, operația ar anula linia și ar distruge informația, în loc s-o rearanjeze. Toate transformările elementare trebuie să fie reversibile.

4. Inversa și ecuațiile matriceale

O matrice $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$ este inversabilă (se mai spune nesingulară) dacă și numai dacă $\det A\ne 0$. Ai învățat două căi de a construi inversa, iar programa le cere pe amândouă:

Pentru ordinul $2$ merită memorată forma explicită: dacă $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ și $\det A=ad-bc\ne 0$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$.

Ecuațiile matriceale se rezolvă înmulțind cu inversa de partea corectă, iar aceasta e greșeala cea mai frecventă din capitol:

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B;XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1};AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}.$$

Fiindcă înmulțirea matricelor nu e comutativă, $A^{-1}B$ și $B{A}^{-1}$ sunt, în general, matrice diferite — le vei vedea calculate pe amândouă în Exemplul 1.

5. Sisteme: arborele de decizie

Aici se adună toate capitolele. Un sistem liniar are matricea sistemului $A$, matricea extinsă $\overline{A}$ (cu coloana termenilor liberi adăugată la dreapta), matricea coloană a necunoscutelor $X$ și forma $AX=B$. Întrebarea „ce fac cu el?" are un răspuns algoritmic.

Vocabularul care nu se improvizează: minorul principal este un minor nenul de ordin maxim $r=\mathrm{rang}A$; necunoscutele ai căror coeficienți intră în el sunt principale, celelalte secundare; liniile care intră în el dau ecuațiile principale, restul sunt secundare. Determinantul caracteristic al ecuației secundare $k$, notat ${\Delta }_{car}^{(k)}$, se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi corespunzători. Când sistemul e compatibil, se rezolvă sistemul principal: ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept ca parametri $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$, rezolvat cu Cramer pe minorul principal. Gradul de nedeterminare este $n-r$: simplu nedeterminat pentru $n-r=1$, dublu nedeterminat pentru $n-r=2$.

6. Cusăturile dintre capitole

Un exercițiu de Bacalaureat M1 rareori rămâne într-un singur capitol. Iată punctele în care se trece, de obicei, dintr-unul în altul.

• De la puteri la determinanți: $\det (A^n)=(\det A{)}^n$ transformă o întrebare despre $A^{10}$ într-o ridicare de număr la putere.
• De la determinanți la inversă: o matrice cu parametru e inversabilă exact pentru valorile care nu anulează determinantul; discuția inversabilității este, de fapt, rezolvarea unei ecuații în $m$.
• De la inversă la sisteme: $X=A^{-1}B$ și formulele lui Cramer sunt același lucru scris altfel — a doua îți dă o singură necunoscută fără să calculezi toată inversa.
• De la sisteme înapoi la matrice: o ecuație matriceală $AX=B$ cu $X$ de tip $n\times p$ se desface în $p$ sisteme liniare cu aceeași matrice $A$.
• De la algebră la geometrie: determinantul $3\times 3$ care apare la coliniaritatea a trei puncte și la aria unui triunghi este exact obiectul din lecțiile 16–21, folosit într-un alt limbaj.

Un avertisment de vocabular: cuvântul permutare are două înțelesuri diferite în manualele tale. La clasa a X-a el numără așezările a $n$ obiecte, $P_n=n!$; la clasa a XI-a, o permutare este o funcție bijectivă $\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$, iar puntea dintre cele două este tocmai egalitatea $\mathrm{card}{S}_n=n!$. În determinanți contează al doilea înțeles: al lui $\sigma$ ne interesează semnul $\epsilon (\sigma )=(-1{)}^{m(\sigma )}$, unde $m(\sigma )$ este numărul de inversiuni.

7. Harta celor trei unități: lecțiile 1–42

Sunt patruzeci și două de lecții, așa că le privim pe grupe. Fiecare grupă rezolvă o singură problemă, iar problema următoare nu se poate pune înainte ca ea să fie rezolvată.

Întrebarea de control pe care ți-o pui la orice problemă nouă: de ce grupă am nevoie și ce presupune ea? O ecuație matriceală cere inversa, care cere determinantul, care cere proprietățile. Cine sare o treaptă face calcule mult mai lungi decât e nevoie.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un lanț complet pe ordinul 2

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 5& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -3\end{array}\right)$. Calculați $AB$ și $BA$, verificați relația $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, apoi rezolvați ecuațiile $AX=B$ și $YA=B$.

Rezolvare. $\det A=3\cdot (-2)-(-1)\cdot 5=-1$ și $\det B=1\cdot (-3)-4\cdot 2=-11$.

$$AB=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ 5& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 15\\ 1& 26\end{array}\right),BA=\left(\begin{array}{cc}23& -9\\ -9& 4\end{array}\right).$$

Cele două produse sunt diferite, dar au același determinant: $\det (AB)=26-15=11$ și $\det (BA)=92-81=11$, iar $\det A\cdot \det B=(-1)(-11)=11$.

Cum $\det A=-1\ne 0$, matricea $A$ e inversabilă și $A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -5& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& -3\end{array}\right)$. Verificăm: $A\cdot A^{-1}=I_2$.

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}0& 11\\ -1& 29\end{array}\right);YA=B\Rightarrow Y=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}22& -13\\ -11& 7\end{array}\right).$$

Cele două rezultate nu au nimic în comun — dovada că partea din care înmulțești cu inversa nu e o formalitate.

Exemplul 2 — Determinant de ordinul 3 pe două căi, apoi unul de ordinul 4

Calculați $D_3=\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 1& 4& -2\\ 3& 0& 5\end{array}\right|$ prin două metode, apoi $D_4=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 2& 3& 1& 0\\ 0& 1& 2& 3\\ 1& 0& 1& 2\end{array}\right|$.

Rezolvare. Metoda 1 — Sarrus (permisă, fiind ordinul 3):

$$D_3=2\cdot 4\cdot 5+(-1)(-2)\cdot 3+3\cdot 1\cdot 0-(3\cdot 4\cdot 3+2\cdot (-2)\cdot 0+(-1)\cdot 1\cdot 5)=46-31=15.$$

Metoda 2 — dezvoltare după linia a treia, care are un zero:

$$D_3=3\cdot (-1{)}^{3+1}\left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 4& -2\end{array}\right|+0+5\cdot (-1{)}^{3+3}\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 4\end{array}\right|=3(2-12)+5(8+1)=-30+45=15.$$

Cele două metode coincid, deci $D_3=15$.

Pentru $D_4$, Sarrus este INTERZIS. Facem zerouri pe prima coloană cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$ (ambele cu $i\ne j$, deci reversibile, și niciuna nu schimbă valoarea determinantului):

$$D_4=\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 1\\ 0& -1& 1& -2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& -2& 1& 1\end{array}\right|=1\cdot (-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}-1& 1& -2\\ 1& 2& 3\\ -2& 1& 1\end{array}\right|=-16.$$

Ultimul determinant, de ordinul 3, se calculează cu Sarrus: $-2-6-2-(8-3+1)=-16$.

Exemplul 3 — Matrice cu parametru: inversabilitate

Fie $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& m& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $m$ pentru care $A(m)$ este inversabilă.

Rezolvare. Dezvoltăm după prima linie:

$$\det A(m)=1(2m-1)-2(4-3)+(-1)(2-3m)=2m-1-2-2+3m=5m-5=5(m-1).$$

Prin urmare $\det A(m)=0⟺m=1$. Matricea este inversabilă pentru orice $m\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ și singulară exact pentru $m=1$.

Control rapid: pentru $m=0$ formula dă $-5$, iar calculul direct al determinantului matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 0& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ dă tot $-5$.

Exemplul 4 — Alegerea metodei de ridicare la putere

Determinați $A^n$, $n \in \mathbb{N}^{}$,pentru$A=\begin{pmatrix}2&1\-1&4\end{pmatrix}$.*

Rezolvare. Trecem în revistă lista: nu e matrice de rotație, iar elementele nu sugerează o recurență simplă. Observăm însă că $\mathrm{tr}(A)=6$ și $\det A=9$, deci scriem $A=3I_2+N$, unde

$$N=A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2.$$

Matricele $3I_2$ și $N$ comută (una este multiplu al lui $I_2$), deci se aplică binomul lui Newton — metoda a doua din listă. Cum $N^k=O_2$ pentru orice $k\ge 2$, din toată dezvoltarea rămân doi termeni:

$$A^n=(3I_2+N{)}^n=3^n{I}_2+C_n^1{3}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{3}^n-n{3}^{n-1}& n{3}^{n-1}\\ -n{3}^{n-1}& 3^n+n{3}^{n-1}\end{array}\right).$$

Verificare pentru $n=2$: formula dă $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ -6& 15\end{array}\right)$, iar calculul direct al lui $A^2$ dă același rezultat.

Exemplul 5 — Discuția unui sistem cu parametru

Discutați, după valorile parametrului real $m$, sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y-z=3\\ 2x-y+3z=1\\ 3x+y+2z=m\end{array}$ și rezolvați-l în cazul compatibil.

Rezolvare. Pasul 1 — determinantul sistemului.

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=1(-2-3)-2(4-9)+(-1)(2+3)=-5+10-5=0.$$

Determinantul este nul indiferent de $m$, deci sistemul nu este niciodată de tip Cramer și decizia se ia cu rangul.

Pasul 2 — rangul. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\right|=-5\ne 0$, deci $\mathrm{rang}A=2$ (nu poate fi $3$, pentru că $\Delta =0$). Îl luăm ca minor principal: necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, necunoscuta secundară este $z$; ecuațiile principale sunt primele două, ecuația secundară este a treia.

Pasul 3 — determinantul caracteristic. Bordăm minorul principal cu coeficienții ecuației secundare și cu coloana termenilor liberi:

$${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& -1& 1\\ 3& 1& m\end{array}\right|=1(-m-1)-2(2m-3)+3(2+3)=-5m+20=5(4-m).$$

Pasul 4 — concluzia. După teorema lui Rouché, sistemul este compatibil dacă și numai dacă ${\Delta }_{car}^{(3)}=0$, adică $m=4$. Pentru $m\ne 4$ sistemul este incompatibil.

Pasul 5 — rezolvarea pentru $m=4$. Notăm $z=\alpha$, $\alpha \in \mathbb{R}$, și rezolvăm sistemul principal $\{\begin{array}{l}x+2y=3+\alpha \\ 2x-y=1-3\alpha \end{array}$ cu formulele lui Cramer pe minorul principal: $\Delta =-5$, ${\Delta }_1=-5+5\alpha$, ${\Delta }_2=-5-5\alpha$, deci $x=1-\alpha$ și $y=1+\alpha$. Sistemul este compatibil simplu nedeterminat ($n-r=3-2=1$), cu

$$S=\{(1-\alpha ,1+\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$

Verificare: pentru $\alpha =0$ obținem $(1,1,0)$, iar pentru $\alpha =1$ obținem $(0,2,1)$; ambele verifică toate cele trei ecuații.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$ și sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+2z=1\\ 2x-y+z=-1\\ x+2y-z=6\end{array}$. a) Calculați $\det A$. b) Arătați că $A$ este inversabilă și determinați $A^{-1}$. c) Rezolvați sistemul, pe două căi.

Rezolvare. a) Cu regula lui Sarrus (ordinul 3, deci permisă):

$$\det A=1\cdot (-1)(-1)+1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2-(2\cdot (-1)\cdot 1+1\cdot 1\cdot 2+1\cdot 2\cdot (-1))=1+1+8-(-2)=12.$$

b) Cum $\det A=12\ne 0$, matricea e inversabilă. Complemenții algebrici dau matricea adjunctă (transpusa matricei complemenților):

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-1& 5& 3\\ 3& -3& 3\\ 5& -1& -3\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{ccc}-1& 5& 3\\ 3& -3& 3\\ 5& -1& -3\end{array}\right).$$

Verificarea $A\cdot A^{-1}=I_3$ confirmă rezultatul.

c) Calea 1 — cu inversa. $X=A^{-1}B$, cu $B={}^t\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 6\end{array}\right)$:

$$X=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{ccc}-1& 5& 3\\ 3& -3& 3\\ 5& -1& -3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 6\end{array}\right)=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{c}12\\ 24\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right).$$

Calea 2 — cu formulele lui Cramer. $\Delta =12$, iar înlocuind pe rând fiecare coloană cu coloana termenilor liberi obținem ${\Delta }_1=12$, ${\Delta }_2=24$, ${\Delta }_3=-12$, deci $x=1$, $y=2$, $z=-1$.

Verificare prin substituție în toate cele trei ecuații: $1+2-2=1$ ✓, $2-2-1=-1$ ✓, $1+4+1=6$ ✓.

Să exersăm

1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ -2& 1\end{array}\right)$. Calculați $AB$, $BA$ și verificați că $\det (AB)=\det (BA)$.

2. Pentru matricea $A$ de la exercițiul 1, calculați $\det (A^5)$ fără a calcula $A^5$.

3. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Determinantul unei matrice de ordinul 4 se calculează cu regula lui Sarrus."

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\det A=0$, atunci sistemul $AX=B$ este incompatibil."

5. Determinați valorile lui $m\in \mathbb{R}$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 2\\ 1& m& 1\\ 2& 1& m\end{array}\right)$ nu este inversabilă.

6. Calculați $\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 2& 0\\ 2& 1& 0& 1\\ 0& 2& 1& 3\\ 1& 0& 2& 1\end{array}\right|$ folosind transformări elementare, precizând fiecare operație.

7. Rezolvați ecuația matriceală $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 9& 0\end{array}\right)$.

8. Aceleași matrice ca la exercițiul 7: rezolvați $YA=B$ și comparați rezultatul cu cel de la exercițiul 7.

9. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$. Determinați $A^n$ și precizați ce metodă ați folosit și de ce.

10. Folosind ecuația Hamilton-Cayley pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$, exprimați $A^{-1}$ în funcție de $A$ și de $I_2$.

11. Determinați rangul matricei $\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 6& 8\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$ și indicați un minor principal.

12. (Problemă aplicată.) La o cofetărie, trei rețete folosesc făină, zahăr și unt. Rețeta întâi consumă $2$, $1$ și $1$ unități, a doua $1$, $3$ și $2$, iar a treia $3$, $1$ și $4$. Într-o zi s-au consumat $17$ unități de făină, $15$ de zahăr și $18$ de unt. Scrieți sistemul în forma $AX=B$ și determinați câte porții s-au făcut din fiecare rețetă.

13. Rezolvați prin metoda lui Gauss sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+2z=5\\ 2x-y+z=4\\ 3x+2y-z=7\end{array}$, scriind fiecare transformare elementară.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 1& 3& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$. a) Calculați $\det A$ prin două metode. b) Arătați că $A$ este inversabilă. c) Rezolvați sistemul asociat cu termenii liberi $1$, $6$, $5$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Discutați, după valorile lui $m\in \mathbb{R}$, sistemul $\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+2y+3z=6\\ x+4y+mz=12\end{array}$.

16. Determinați valorile lui $m$ pentru care sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 3x-y+2z=0\\ mx+y+z=0\end{array}$ admite și soluții diferite de cea banală.

17. Arătați că, dacă $A,B\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{C})$ și $\det A=2$, $\det B=-5$, atunci matricea $AB$ este inversabilă, iar $\det ((AB{)}^{-1})=-\frac{1}{10}$.

18. (Provocare.) Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ cu $A^2=O_2$. Arătați că $\det A=0$, că $\mathrm{tr}(A)=0$ și că $(I_2+A{)}^n=I_2+nA$ pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Răspunsuri și explicații

1. $AB=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -2& 13\end{array}\right)$, $BA=\left(\begin{array}{cc}12& 4\\ -1& 3\end{array}\right)$. Determinanții: $\det (AB)=26+14=40$ și $\det (BA)=36+4=40$. Egalitatea nu e o coincidență: ambele sunt egale cu $\det A\cdot \det B=5\cdot 8=40$.

2. $\det (A^5)=(\det A{)}^5=5^5=3125$, folosind $\det (AB)=\det A\cdot \det B$ cu $A=B$, repetat.

3. Fals. Regula lui Sarrus și regula triunghiului se aplică exclusiv la ordinul 3. La ordinul 4 se fac zerouri cu transformări elementare și se dezvoltă după o linie sau o coloană. Un „Sarrus" de ordinul 4 ar produce $8$ termeni, în loc de cei $4!=24$ ceruți de definiție.

4. Fals. $\det A=0$ exclude doar cazul Cramer. Sistemul poate fi incompatibil, dar poate fi și compatibil nedeterminat — vezi Exemplul 5, unde pentru $m=4$ are o infinitate de soluții. Decizia se ia cu rangul, prin Kronecker-Capelli sau prin Rouché.

5. Cu regula lui Sarrus, $\det =m^3+2+2-(4m+m+m)=m^3-6m+4$. Ecuația $m^3-6m+4=0$ are rădăcina evidentă $m=2$, iar prin împărțire rămâne $m^2+2m-2=0$, cu $m=-1\pm \sqrt{3}$. Matricea nu este inversabilă pentru $m\in \{2,-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\}$.

6. Cu $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_4\leftarrow L_4-L_1$ (ambele cu $i\ne j$) prima coloană devine $(1,0,0,0)$, iar dezvoltarea după ea dă $\left|\begin{array}{ccc}-5& -4& 1\\ 2& 1& 3\\ -3& 0& 1\end{array}\right|=-5+36+0-(-3+0-8)=31+11=42$. Determinantul este $42$.

7. $\det A=-1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}-2& -5\\ 3& 3\end{array}\right)$. Verificare: $AX=B$.

8. $Y=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-17& 7\\ -45& 18\end{array}\right)$, complet diferit de $X$. Motivul: înmulțirea matricelor nu e comutativă, deci partea din care înmulțești cu inversa schimbă rezultatul.

9. $A=I_2+N$ cu $N=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $N^2=O_2$; matricele comută, deci binomul lui Newton dă $A^n=I_2+nN=\left(\begin{array}{cc}1& 2n\\ 0& 1\end{array}\right)$. Aceeași formulă se poate demonstra și prin inducție, dar binomul e mai scurt.

10. $\mathrm{tr}(A)=7$, $\det A=10$, deci $A^2-7A+10I_2=O_2$. Înmulțind cu $A^{-1}$: $A-7I_2+10A^{-1}=O_2$, de unde $A^{-1}=\frac{1}{10}(7I_2-A)=\frac{1}{10}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$.

11. Linia a doua este dublul primei, deci orice minor de ordin $3$ care le conține pe amândouă se anulează; celelalte se verifică nule și ele. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=-1\ne 0$ (liniile 1 și 3, coloanele 1 și 2) este principal, deci $\mathrm{rang}=2$.

12. $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 1& 3& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$, $B={}^t\left(\begin{array}{ccc}17& 15& 18\end{array}\right)$, necunoscutele fiind numerele de porții. Cum $\det A=24+1+6-(9+4+4)=14\ne 0$, sistemul e de tip Cramer: ${\Delta }_1=56$, ${\Delta }_2=42$, ${\Delta }_3=28$, deci $x=4$, $y=3$, $z=2$. Verificare în toate ecuațiile: $8+3+6=17$ ✓, $4+9+2=15$ ✓, $4+6+8=18$ ✓ — patru porții din prima rețetă, trei din a doua, două din a treia.

13. $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ și $L_3\leftarrow L_3-3L_1$ dau $\{\begin{array}{l}x+y+2z=5\\ -3y-3z=-6\\ -y-7z=-8\end{array}$; apoi $L_3\leftarrow 3L_3-L_2$ dă $-18z=-18$, deci $z=1$, $y=1$ și $x=5-1-2=2$. Verificarea în sistemul inițial: $2+1+2=5$ ✓, $4-1+1=4$ ✓, $6+2-1=7$ ✓.

14. a) Sarrus: $12+0+0-(0+2-2)=12$; dezvoltare după prima linie: $2(6-1)+1(2-0)+0=10+2=12$. b) $\det A=12\ne 0$, deci $A$ este inversabilă. c) Cu Cramer: ${\Delta }_1=12$, ${\Delta }_2=12$, ${\Delta }_3=24$, deci $x=1$, $y=1$, $z=2$; substituția în toate cele trei ecuații confirmă: $2-1=1$ ✓, $1+3+2=6$ ✓, $1+4=5$ ✓.

15. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& m\end{array}\right|=2m+3+4-(2+12+m)=m-7$. Pentru $m\ne 7$ sistemul e de tip Cramer, cu soluție unică. Pentru $m=7$: $\mathrm{rang}A=2$ (minorul principal $\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1\ne 0$), iar ${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 2& 6\\ 1& 4& 12\end{array}\right|=24+6+12-(18+24+12)=0$, deci sistemul este compatibil simplu nedeterminat. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $\{\begin{array}{l}x+y=3-\alpha \\ x+2y=6-3\alpha \end{array}$ dă $y=3-2\alpha$ și $x=\alpha$, deci $S=\{(\alpha ,3-2\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

16. Un sistem omogen are soluții nebanale exact când determinantul se anulează: $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& -1& 2\\ m& 1& 1\end{array}\right|=-1+4m-3-(m+2+6)=3m-12$, deci $m=4$.

17. $\det (AB)=\det A\cdot \det B=2\cdot (-5)=-10\ne 0$, deci $AB$ e inversabilă. Din $(AB)(AB{)}^{-1}=I_3$ și proprietatea determinantului produsului rezultă $\det (AB)\cdot \det ((AB{)}^{-1})=1$, adică $\det ((AB{)}^{-1})=-\frac{1}{10}$.

18. Din $A^2=O_2$ avem $\det (A^2)=(\det A{)}^2=0$, deci $\det A=0$. Ecuația Hamilton-Cayley dă $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$, adică $-\mathrm{tr}(A)A=O_2$; dacă $A\ne O_2$, rezultă $\mathrm{tr}(A)=0$ (iar pentru $A=O_2$ urma e oricum nulă). În fine, $I_2$ și $A$ comută, deci binomul lui Newton dă $(I_2+A{)}^n=I_2+nA+C_n^2{A}^2+\cdots =I_2+nA$, toți termenii de la al treilea încolo conținând $A^2=O_2$.

De reținut

• Determinantul este numărul care decide. $\det A\ne 0$ înseamnă matrice inversabilă, sistem de tip Cramer, soluție unică; $\det A=0$ mută discuția la rang, la Kronecker-Capelli și la Rouché.
• Sarrus și regula triunghiului: numai la ordinul 3. La ordinul 4 se fac zerouri cu $L_i\leftarrow L_i+\alpha L_j$ (cu $i\ne j$) sau cu $C_i\leftarrow C_i+\alpha C_j$, apoi se dezvoltă după linia sau coloana pregătită.
• Înmulțirea matricelor nu e comutativă. De aceea $AX=B$ dă $X=A^{-1}B$, iar $XA=B$ dă $X=B{A}^{-1}$ — două rezultate, în general, diferite.
• Cele cinci metode de ridicare la putere, cu calculul direct ca procedeu de bază: inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente, matricea de rotație și Hamilton-Cayley. Pentru ordinul 2, ultima merge întotdeauna.
• Vocabularul compatibilității nu se improvizează: minor principal, necunoscute și ecuații principale/secundare, ${\Delta }_{car}^{(k)}$, sistem principal, grad de nedeterminare $n-r$. Baremele îl cer scris ca atare.

Greșeli frecvente

• Aplici Sarrus la un determinant de ordinul 4. Este greșeala numărul unu a capitolului și se depunctează integral. Reține: $4!=24$ de termeni, iar schema lui Sarrus produce doar $8$.
• Înmulțești cu inversa din partea greșită. Din $AX=B$ scrii $X=B{A}^{-1}$ și obții altă matrice. Scrie de fiecare dată explicit „înmulțim la stânga cu $A^{-1}$" sau „la dreapta cu $A^{-1}$".
• Confunzi minorul ${\Delta }_{ij}$ cu complementul algebric ${\delta }_{ij}$. Complementul are semnul $(-1{)}^{i+j}$ în față; uitat, el schimbă semnul întregii dezvoltări și, mai departe, al inversei.
• Declari sistemul incompatibil doar pentru că $\det A=0$. Determinantul nul spune numai că nu e Cramer. Compatibilitatea se decide comparând $\mathrm{rang}A$ cu $\mathrm{rang}\overline{A}$ sau anulând toți determinanții caracteristici.
• Nu verifici soluția în toate ecuațiile. O soluție care verifică două ecuații din trei nu e soluție. Substituția în toate ecuațiile costă treizeci de secunde și prinde orice greșeală de calcul.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură foaie, din memorie, cele trei tabele-cheie ale acestei lecții: metodele de calcul pe ordine pentru determinanți, cele cinci metode de ridicare la putere și arborele de decizie al sistemelor. Compară apoi cu lecția și notează ce ai uitat — acelea sunt exact locurile de reluat.

2. Aceeași problemă, trei rezolvări. Ia un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute, cu determinant nenul, și rezolvă-l de trei ori: cu formulele lui Cramer, cu matricea inversă și prin metoda lui Gauss. Cronometrează fiecare cale. Vei descoperi singur care e cea mai rapidă pentru tine — și pe aceea o vei folosi la examen.

3. Bugetul familiei ca sistem. Alege trei cheltuieli lunare care se repetă (abonamente, transport, mâncare) și trei luni în care totalurile diferă. Scrie sistemul care leagă prețurile unitare de totaluri, calculează determinantul matricei și spune, înainte de a rezolva, dacă datele pe care le-ai ales sunt suficiente pentru un răspuns unic.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide prima jumătate a programei de clasa a XI-a, mate-info: unitățile „Matrice și operații cu matrice", „Permutări, determinanți și matrice inversabile" și „Sisteme de ecuații liniare". Este o lecție de sinteză și de metodă — nu introduce noțiuni noi, ci reașază cele patruzeci și două de lecții anterioare într-o singură hartă și antrenează alegerea metodei, care este exact ceea ce diferențiază un elev sigur pe el de unul care știe formulele pe rând.

Ce verifică lecția: (1) trecerea corectă între capitole în cadrul aceleiași probleme; (2) alegerea motivată a metodei de calcul, nu aplicarea mecanică a primeia care vine în minte; (3) folosirea exactă a vocabularului de compatibilitate; (4) obișnuința verificării finale prin substituție.

Întrebări bune de control: „De ce nu poți folosi Sarrus aici?", „Din ce parte înmulțești cu inversa și de ce?", „Ce îți spune determinantul nul și ce nu îți spune?", „Care e minorul principal pe care l-ai ales și de ce e principal?". La BAC M1, algebra ocupă în mod obișnuit subiectul al II-lea în întregime: o matrice cu parametru, o ecuație matriceală și un sistem discutat după parametru. Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă de sistem calculând determinantul, chiar înainte de a citi ce se cere.

Întrebări frecvente

Care este ordinea corectă de abordare a unui sistem liniar? Întâi verifici dacă are tot atâtea ecuații câte necunoscute și calculezi determinantul matricei sistemului. Dacă e nenul, folosești Cramer sau matricea inversă. Dacă e nul, calculezi rangul, îl compari cu rangul matricei extinse și, dacă sistemul e compatibil, rezolvi sistemul principal cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept.

Când se poate folosi regula lui Sarrus? Exclusiv pentru determinanți de ordinul 3. Pentru ordinul 2 există formula directă, pentru ordinul 4 și mai mare se folosesc transformări elementare urmate de dezvoltarea după o linie sau o coloană. Aceasta este cea mai frecventă greșeală de la Bacalaureat M1 pe acest capitol.

Ce înseamnă că un sistem este compatibil nedeterminat? Că are o infinitate de soluții. Se întâmplă când rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse, dar mai mic decât numărul necunoscutelor. Diferența $n-r$ se numește grad de nedeterminare și arată câți parametri apar în soluția generală.

Cum aleg metoda de ridicare la putere a unei matrice? Dacă matricea este de ordinul 2, ecuația Hamilton-Cayley funcționează întotdeauna. Dacă se scrie ca $\alpha I_n$ plus o matrice cu pătratul nul, binomul lui Newton dă răspunsul imediat. Dacă are forma unei rotații, folosești structura ei. În rest, calculezi primele puteri, ghicești formula și o demonstrezi prin inducție.

De ce contează partea din care înmulțesc cu inversa? Pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă. Din $AX=B$, înmulțind la stânga cu $A^{-1}$, obții $X=A^{-1}B$; dacă ai înmulți la dreapta, ai obține $XA{A}^{-1}$, care nu simplifică nimic. Verificarea finală, $AX=B$, prinde imediat greșeala.

Ce este determinantul caracteristic și la ce folosește? Este determinantul obținut bordând minorul principal cu coeficienții unei ecuații secundare și cu coloana termenilor liberi corespunzători; se notează ${\Delta }_{car}^{(k)}$ pentru ecuația secundară $k$. Teorema lui Rouché spune că sistemul este compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli.

Un sistem omogen poate fi incompatibil? Nu. Un sistem omogen admite întotdeauna soluția banală, în care toate necunoscutele sunt nule, deci este mereu compatibil. Întrebarea reală este dacă are și alte soluții: pentru un sistem pătratic, asta se întâmplă exact când determinantul matricei sistemului este nul.

Cât de mari pot fi matricele cerute la Bacalaureat M1? Programa lucrează cu matrice inversabile și cu sisteme de cel mult ordinul 4. Determinanții se definesc în cazul general, de ordin $n$, dar proprietățile se aplică pe ordinele 3 și 4, iar calculul efectiv nu depășește ordinul 4.