Recapitulare: studiul variației funcțiilor: pe scurt

Paisprezece lecții, o singură idee: derivata întâi spune încotro merge funcția, derivata a doua spune cum se curbează. Extremele, imaginea, inegalitățile, numărul soluțiilor și problemele de optimizare sunt citiri diferite ale acelorași două semne.

Lanțul de bază: Consecința 2 a teoremei lui Lagrange traduce semnul lui $f^{\prime }$ în monotonie, pe un interval; punctele critice sunt doar candidați, iar unul devine extrem numai dacă $f^{\prime }$ își schimbă semnul acolo. Regula permanentă de redactare: PUNCT $\ne$ VALOARE — punctul de extrem este $x_0$, valoarea extremă este $f(x_0)$.

Clasa a XI-a folosește trei tabele cu reguli diferite la capete: cel de semn, cel al șirului lui Rolle și cel de variație. Deosebirea cea mai scumpă: la șirul lui Rolle un punct exclus din domeniu cere două tabele, iar la tabelul de variație rămâne un singur tabel, cu $|$ la derivate și cele două limite laterale la $f$. La un capăt închis se scrie valoarea derivatei laterale; dacă ea este infinită, se scrie $-\infty$ sau $+\infty$, nu $\nexists$ — acesta se rezervă derivatelor laterale diferite.

Convexă = ține apa ($\cup$), concavă = varsă apa ($\cap$). Cele două capcane ale inflexiunii, ca pereche: $x^4$ are $f^{\prime \prime }(0)=0$ fără schimbare de semn, iar $\frac{1}{x}$ are schimbare de semn într-un punct care nu aparține domeniului.

La optimizare, etichetele rândurilor se instanțiază: ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)$, $V^{\prime }(r)$, $C^{\prime }(q)$ — cinci pași la geometrie, șase la economie.

Exerciții din această mini-lecție

1. Un punct exclus din domeniu se tratează:

   • a) la fel în toate cele trei tabele ale clasei
   • b) prin două tabele, atât la șirul lui Rolle, cât și la tabelul de variație
   • c) prin celulă goală, în ambele tabele
   • d) prin două tabele la șirul lui Rolle, dar printr-un singur tabel, cu bară, la tabelul de variație
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) prin două tabele la șirul lui Rolle, dar printr-un singur tabel, cu bară, la tabelul de variație

   Regulile sunt deliberat opuse, pentru că obiectele sunt diferite. La șirul lui Rolle șirul de semne se citește separat pe fiecare interval al domeniului, deci se scriu două tabele. La tabelul de variație punctul exclus primește o coloană proprie, cu $|$ pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale, despărțite tot de $|$, pe rândul funcției.

2. Pentru $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{9-x}$, în coloana capătului $x=9$ rândul $f^{\prime }(x)$ conține:

   • a) $\nexists$
   • b) $-\infty$
   • c) celulă goală
   • d) bara $|$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\infty$

   $f^{\prime }(x)=\frac{18-3x}{2\sqrt{9-x}}$, iar când $x\to 9$ prin valori mai mici numărătorul tinde la $-9$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive: derivata laterală există și este $-\infty$. Se scrie ca atare — $\nexists$ se rezervă cazului cu derivate laterale diferite, celula goală se folosește doar la $\pm \infty$, iar bara doar acolo unde funcția nu e definită. Aici $9$ aparține domeniului, cu $f(9)=0$.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$, formularea corectă este:

   • a) $x_0=1$ este punct de maxim local, iar valoarea maximă locală este $f(1)=6$
   • b) maximul local al funcției este $x_0=1$
   • c) punctul de maxim local este $6$
   • d) valoarea maximă locală este $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x_0=1$ este punct de maxim local, iar valoarea maximă locală este $f(1)=6$

   $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ are semnele $+$, $-$, $+$, deci în $1$ trecerea este de la $+$ la $-$: maxim local, cu $f(1)=6$. Punctul de extrem este abscisa, valoarea extremă este ordonata — celelalte trei variante le confundă între ele, iar baremele punctează cele două informații separat. În $3$ se află minimul local, cu $f(3)=2$.