Recapitulare: studiul variației funcțiilor

Unitatea despre variație are paisprezece lecții, dar o singură idee: derivata întâi spune încotro merge funcția, derivata a doua spune cum se curbează. Tot restul — extreme, imagine, inegalități, numărul soluțiilor unei ecuații, problemele de optimizare — sunt citiri diferite ale acelorași două semne.

Lecția aceasta nu repredă nimic. Ea strânge într-un singur loc regulile de completare a tabelelor, care sunt sursa numărul unu de puncte pierdute, așază față în față cele trei tabele diferite folosite în clasa a XI-a și adună capcanele care se repetă an de an. Exercițiile sunt noi și traversează capitolele: din același tabel vei citi, pe rând, monotonia, imaginea, o inegalitate și o discuție după un parametru.

Ce vei învăța

• Vei ști să treci corect de la semnul lui $f^{\prime }$ la monotonie și extreme, respectând distincția punct–valoare.
• Vei ști să deosebești cele trei tabele ale clasei a XI-a și să le completezi după regulile fiecăruia.
• Vei ști să construiești tabelul de variație complet, inclusiv la puncte excluse și la capete închise.
• Vei ști să numești corect punctul de inflexiune al funcției și pe cel al graficului și să eviți cele două capcane clasice.
• Vei ști să folosești tabelul pentru imagine, inegalități, numărul soluțiilor și pentru problemele de optimizare.

Hai să descoperim împreună

1. Harta celor paisprezece lecții

Toate pornesc din același loc: Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, care traduce semnul derivatei în monotonie. Dacă ai uitat de unde vine dreptul de a citi monotonia din semn, acolo e demonstrația.

2. Lanțul: semn, monotonie, extreme

Consecința 2 a teoremei lui Lagrange: dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }>0$ pe $I$, atunci $f$ e strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }<0$, e strict descrescătoare. Cuvântul „interval" e ipoteză, nu decor: pe o reuniune de intervale concluzia cade.

Punctele critice. Sunt punctele în care $f^{\prime }(x_0)=0$. Ele sunt candidați la extrem, nu extreme: teorema lui Fermat dă o condiție necesară, nu suficientă. Un punct critic devine punct de extrem doar dacă $f^{\prime }$ își schimbă semnul acolo — de la $+$ la $-$ pentru maxim, de la $-$ la $+$ pentru minim. Dacă semnul nu se schimbă, punctul rămâne critic și atât.

Regula permanentă de redactare: PUNCT $\ne$ VALOARE. Punctul de extrem este abscisa $x_0$; valoarea extremă este $f(x_0)$. „Maximul funcției este $2$" și „punctul de maxim este $2$" spun lucruri diferite, iar baremele le separă. Formularea completă sună așa: „$x_0=-1$ este punct de maxim local, iar valoarea maximă locală este $f(-1)=4$."

Nu uita nici extremele care nu vin din puncte critice: la un capăt închis al domeniului funcția poate avea un extrem fără ca derivata să se anuleze, exact cazul din care se vede că ipoteza „din interiorul intervalului" a teoremei lui Fermat nu e de ornament.

3. Cele trei tabele — și cum nu se confundă

Clasa a XI-a folosește trei tabele care seamănă la prima vedere și au reguli diferite la capete. Confuzia dintre ele e cea mai scumpă greșeală de format a anului.

Rândul cel mai important e penultimul. La șirul lui Rolle, un punct exclus din domeniu împarte studiul în două tabele, câte unul pe fiecare interval, pentru că șirul de semne se citește separat pe fiecare bucată. La tabelul de variație, același punct exclus rămâne într-un singur tabel, cu o coloană proprie. Sunt reguli opuse, fixate deliberat, pentru obiecte diferite.

Iar la $\pm \infty$: în tabelul șirului lui Rolle se scriu limitele (fără ele nu poți citi semnul la capăt), în timp ce în tabelul de semn și pe rândurile derivatelor din tabelul de variație celulele rămân goale, pentru că $\pm \infty$ nu sunt puncte ale axei.

4. Tabelul de variație: ce se scrie în fiecare celulă

Rândul de antet este rândul lui $x$. Sub el vin $f^{\prime }(x)$, apoi $f^{\prime \prime }(x)$ (numai în tabelul complet) și, la sfârșit, $f(x)$. Cu $k$ puncte marcate în interior, tabelul are $2k+4$ coloane — numărarea lor e cea mai rapidă verificare.

Simbolurile sunt fixe: $\nearrow$ pentru „strict crescătoare", $\searrow$ pentru „strict descrescătoare", $\cup$ pentru convexă („ține apa"), $\cap$ pentru concavă („varsă apa"), $\text{M}$ pentru maxim local, $\text{m}$ pentru minim local, $\text{I}$ pentru punct de inflexiune.

Trei situații speciale, care se cer separat la Bacalaureat M1:

• Punct exclus dinăuntrul domeniului. Rândurile $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ primesc $|$, iar rândul $f$ primește cele două limite laterale, despărțite de $|$. Tabelul rămâne unul singur.
• Capăt finit deschis (de exemplu $0$ pentru o funcție definită pe $(0,+\infty )$). Aceeași regulă: $|$ la derivate, limita la funcție. Pe scurt: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol.
• Capăt închis al domeniului. Se scrie valoarea derivatei laterale în rândul $f^{\prime }$ și valoarea funcției, cu marcajul $\text{M}$ sau $\text{m}$, în rândul $f$. Dacă derivata există, dar e infinită, se scrie $-\infty$ sau $+\infty$, nu $\nexists$ — simbolul $\nexists$ se rezervă cazului în care derivatele laterale sunt diferite.

Sub fiecare tabel se scrie obligatoriu o citire: două-trei propoziții care traduc tabelul în cuvinte.

5. Convexitate și inflexiune, fără cele două capcane

$f$ e convexă pe intervalul $I$ dacă graficul stă sub coardă; echivalent, pentru $f$ de două ori derivabilă, dacă $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe $I$. Concavă înseamnă invers. Metafora unică, folosită peste tot: convexă = ține apa ($\cup$), concavă = varsă apa ($\cap$).

Punctul de inflexiune este punctul din interiorul domeniului în care $f$ e continuă și își schimbă convexitatea. Se numește în două feluri, amândouă corecte, dar cu obiecte diferite: $x_0$ e punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_0,f(x_0))$ e punctul de inflexiune al graficului. Când scrii răspunsul, spune care dintre ele dai.

Cele două capcane, de reținut ca pereche:

• $f(x)=x^4$ în origine. Avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ nu își schimbă semnul: funcția rămâne convexă, deci $0$ nu e punct de inflexiune. Anularea derivatei a doua e o condiție necesară, nu suficientă.
• $f(x)=\frac{1}{x}$ în origine. Aici $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$ își schimbă semnul în $0$, dar $0$ nu aparține domeniului. Fără punct nu există punct de inflexiune. Regula practică: verifici întâi apartenența la domeniu, abia apoi schimbarea de semn.

6. Ce se citește dintr-un tabel gata făcut

Un tabel complet răspunde, fără niciun calcul în plus, la cinci întrebări:

1. monotonia — din săgeți, formulată pe intervale închise acolo unde funcția e definită;
2. extremele — din marcajele $\text{M}$ și $\text{m}$, cu punctul și valoarea numite separat;
3. imaginea — se ia fiecare interval de monotonie, se notează valorile de la capete (valori efective sau limite) și se reunesc intervalele obținute; capetele care sunt limite nu se includ;
4. inegalitățile — un extrem global dă direct o inegalitate valabilă pe tot domeniul, de tipul $f(x)\ge f(x_0)$;
5. numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ — se numără intersecțiile dreptei orizontale de nivel $m$ cu ramurile de monotonie; pragurile sunt exact valorile extreme și limitele.

Pentru cerințele de forma „arătați că ecuația are exact $n$ soluții" se folosește calea cu două picioare: monotonia strictă (sau Consecința 2 a teoremei lui Rolle) dă cel mult o soluție pe fiecare ramură, iar consecința de semn a proprietății valorilor intermediare dă cel puțin una pe fiecare interval cu capete de semne contrare. Împreună dau „exact".

7. Optimizarea: aceleași unelte, alte etichete

La problemele de extrem, funcția studiată nu se mai numește $f$, iar tabelul trebuie să arate asta: etichetele rândurilor se instanțiază. Scrii ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)$ pentru o arie, $V^{\prime }(r)$ pentru un volum, $C^{\prime }(q)$ pentru un cost, $P^{\prime }(q)$ pentru un profit — nu $f^{\prime }(x)$ „prin obișnuință".

Rețetele au numere diferite de pași, fixate de lecțiile lor: cinci pași la geometrie (alegi variabila, exprimi mărimea, stabilești domeniul real al variabilei, derivezi și studiezi semnul, interpretezi în contextul problemei) și șase pași la economie, unde derivarea e pas separat.

Notațiile economice, cu semnificația lor: $\overline{C}(q)$ e costul mediu, $\overline{Q}(n)$ e productivitatea medie, $c(v)$ e consumul pe kilometru. Iar cele două rezultate care se cer pe nume:

• Regula costului mediu: în punctul de minim al costului mediu are loc $C^{\prime }(q_0)=\overline{C}(q_0)$ — costul marginal egalează costul mediu;
• Regula profitului: profitul e maxim acolo unde $V^{\prime }=C^{\prime }$ — venitul marginal egalează costul marginal.

8. Unde se oprește clasa a XI-a

Studiul variației se încheie la tabelul de variație complet. Asimptotele și trasarea graficului nu fac parte din programa clasei a XI-a — ele vin în clasa a XII-a. Limitele la capetele domeniului se calculează și se trec în tabel, pentru că ele aparțin capitolului de limite; ce nu se cere aici e cuvântul „asimptotă" și desenarea curbei.

Harta deciziei, pentru orice problemă nouă: ce mi se cere? Dacă e monotonie sau extreme, ajunge $f^{\prime }$ și un tabel simplu. Dacă apar convexitatea sau inflexiunea, îți trebuie și $f^{\prime \prime }$, deci tabelul complet. Dacă e o inegalitate sau o discuție după un parametru, îți trebuie tabelul plus limitele la capete. Dacă e o problemă practică, mai adaugi un pas la început (alegerea variabilei și domeniul ei real) și unul la sfârșit (interpretarea).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tabel complet, cu un punct critic care nu e extrem

Studiați variația funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^4-8x^3+9x^2$.

Rezolvare. Funcția e polinomială: domeniul e $\mathbb{R}$, iar limitele la $\pm \infty$ sunt amândouă $+\infty$ (termenul dominant e $2x^4$).

$$f^{\prime }(x)=8x^3-24x^2+18x=2x\left(4x^2-12x+9\right)=2x(2x-3{)}^2,f^{\prime \prime }(x)=24x^2-48x+18=6(2x-1)(2x-3).$$

Punctele critice sunt $0$ și $\frac{3}{2}$; zerourile lui $f^{\prime \prime }$ sunt $\frac{1}{2}$ și $\frac{3}{2}$. Valorile: $f(0)=0$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{8}$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{8}$; apoi $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=4$ și $f^{\prime \prime }(0)=18$. Trei puncte marcate, deci $2\cdot 3+4=10$ coloane.

Citirea tabelului: $f$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$; are un singur extrem, punctul de minim $x=0$, cu valoarea minimă $f(0)=0$, care e chiar minim global. Funcția e convexă pe $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$ și pe $\left[\frac{3}{2},+\infty \right)$ și concavă pe $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right]$, cu două puncte de inflexiune ale graficului: $\left(\frac{1}{2},\frac{11}{8}\right)$ și $\left(\frac{3}{2},\frac{27}{8}\right)$. Imaginea este $[0,+\infty )$.

Punctul $x=\frac{3}{2}$ merită privit de două ori: acolo $f^{\prime }$ se anulează fără să schimbe semnul (factorul $(2x-3{)}^2$ e un pătrat), deci nu e extrem — dar $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul, deci e punct de inflexiune, cu tangentă orizontală. (Verificat: semnele lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ prin eșantionare pe $400$ de puncte pe fiecare interval; $f\left(\frac{3}{2}-10^{-3}\right)<f\left(\frac{3}{2}\right)<f\left(\frac{3}{2}+10^{-3}\right)$.) ✓

Exemplul 2 — Punct exclus din domeniu: un singur tabel

Studiați variația funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-5x+7}{x-2}$.

Rezolvare. Domeniul este $D=(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )$. Împărțind, $f(x)=x-3+\frac{1}{x-2}$, formă din care derivatele ies imediat: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-2{)}^3}.$$

Punctele critice sunt $1$ și $3$, cu $f(1)=-3$ și $f(3)=1$; apoi $f^{\prime \prime }(1)=-2$ și $f^{\prime \prime }(3)=2$. Limitele: la $\pm \infty$, $f$ tinde la $\pm \infty$; în $2$, numărătorul valorează $1>0$, deci limita la stânga e $-\infty$ și cea la dreapta $+\infty$. Punctele marcate sunt $1$, $2$ și $3$, deci tabelul are tot $10$ coloane — și e unul singur.

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,1]$, scade pe $[1,2)$ și pe $(2,3]$, apoi crește pe $[3,+\infty )$; are maximul local $f(1)=-3$ și minimul local $f(3)=1$. E concavă pe $(-\infty ,2)$ și convexă pe $(2,+\infty )$. Imaginea este $(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$.

Atenție la inflexiune: $f^{\prime \prime }$ chiar își schimbă semnul „în $2$", dar $2\notin D$ — deci funcția nu are puncte de inflexiune. E exact capcana lui $\frac{1}{x}$, într-o haină mai complicată.

Exemplul 3 — Capăt închis, cu derivată infinită

Determinați valorile extreme ale funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{4-x}$.

Rezolvare. Funcția e continuă pe $[0,4]$ și derivabilă pe $[0,4)$: $$f^{\prime }(x)=\sqrt{4-x}-\frac{x}{2\sqrt{4-x}}=\frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}=\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}.$$

Singurul punct critic este $x=\frac{8}{3}$, cu $f\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{9}$. La capete: $f(0)=0$ cu $f_d^{\prime }(0)=\frac{8}{4}=2$, iar $f(4)=0$ cu $f_s^{\prime }(4)=-\infty$ — derivata există acolo, dar e infinită, deci în tabel se scrie $-\infty$, nu $\nexists$. Tabel simplu, cu un singur punct marcat în interior:

Citirea tabelului: funcția crește pe $\left[0,\frac{8}{3}\right]$ și scade pe $\left[\frac{8}{3},4\right]$; valoarea maximă este $\frac{16\sqrt{3}}{9}\approx 3,08$, atinsă în punctul $x=\frac{8}{3}$, iar valoarea minimă este $0$, atinsă în ambele capete. Imaginea este $\left[0,\frac{16\sqrt{3}}{9}\right]$. (Verificat: valoarea din $\frac{8}{3}$ e mai mare decât în $1000$ de puncte de probă din $[0,4]$.) ✓

Exemplul 4 — Discuția numărului de soluții

Discutați, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor ecuației $\frac{x^2-5x+7}{x-2}=m$.

Rezolvare. Folosim tabelul din Exemplul 2, fără să recalculăm nimic. Pe $(-\infty ,2)$ funcția urcă de la $-\infty$ la $-3$, apoi coboară înapoi la $-\infty$: valorile atinse sunt $(-\infty ,-3]$, fiecare de câte două ori, în afară de $-3$, atins o singură dată. Pe $(2,+\infty )$ funcția coboară de la $+\infty$ la $1$ și urcă înapoi la $+\infty$: valorile sunt $[1,+\infty )$, cu aceeași observație.

• $m<-3$: două soluții, amândouă mai mici decât $2$;
• $m=-3$: o soluție, $x=1$;
• $-3<m<1$: nicio soluție — intervalul $(-3,1)$ nu e atins de funcție;
• $m=1$: o soluție, $x=3$;
• $m>1$: două soluții, amândouă mai mari decât $2$.

(Verificat prin eșantionare densă pe fiecare ramură, pentru $m\in \{-10,-3,0,1,7\}$: numărul de rădăcini coincide cu discuția.) ✓

Exemplul 5 — Cost mediu și profit, cu etichete instanțiate

Costul total al producerii a $q$ unități dintr-un produs este $C(q)=2q^2+3q+50$ (lei), $q>0$. a) Determinați producția la care costul mediu este minim. b) Dacă produsul se vinde cu $43$ lei bucata, determinați producția de profit maxim.

Rezolvare. a) Costul mediu este $\overline{C}(q)=\frac{C(q)}{q}=2q+3+\frac{50}{q}$, cu $${\overline{C}}^{\prime }(q)=2-\frac{50}{q^2}=\frac{2\left(q^2-25\right)}{q^2},$$ al cărei singur zerou pozitiv este $q=5$.

Costul mediu minim este $\overline{C}(5)=23$ lei pe unitate. Se verifică Regula costului mediu: $C^{\prime }(q)=4q+3$, deci $C^{\prime }(5)=23=\overline{C}(5)$. ✓

b) Venitul este $V(q)=43q$, iar profitul $P(q)=V(q)-C(q)=-2q^2+40q-50$, cu $P^{\prime }(q)=-4q+40$, care se anulează în $q=10$ și își schimbă semnul din $+$ în $-$: maxim. Profitul maxim este $P(10)=150$ lei. Se verifică și Regula profitului: $V^{\prime }(q)=43$, iar $C^{\prime }(10)=43$, deci $V^{\prime }(10)=C^{\prime }(10)$. ✓

Observă că cele două optimuri sunt în puncte diferite: producția de cost mediu minim ($q=5$) nu e producția de profit maxim ($q=10$). E rezultatul economic care surprinde cel mai des.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3\ln x$. a) Studiați variația funcției. b) Determinați imaginea ei. c) Arătați că $\ln x\le \frac{x}{3}-1+\ln 3$ pentru orice $x>0$. d) Discutați, după $m$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$.

Rezolvare. a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{x}=\frac{x-3}{x}$, cu singurul zerou $x=3$; pe $(0,3)$ derivata e negativă, pe $(3,+\infty )$ pozitivă. Apoi $f^{\prime \prime }(x)=\frac{3}{x^2}>0$ pe tot domeniul: funcția e convexă peste tot, deci fără puncte de inflexiune. Limitele: când $x\to 0$, $x>0$, avem $-3\ln x\to +\infty$, deci $f\to +\infty$; când $x\to +\infty$, termenul $x$ domină și $f\to +\infty$. Capătul $0$ e finit și deschis: primește bară la derivate și limită la funcție.

Citire: $f$ scade pe $(0,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$; punctul de minim este $x=3$, iar valoarea minimă $f(3)=3-3\ln 3\approx -0,30$, minim global.

b) Fiind continuă, scăzând de la $+\infty$ la $3-3\ln 3$ și crescând înapoi la $+\infty$, funcția ia exact valorile din $[3-3\ln 3,+\infty )$. Aceasta e imaginea.

c) Minimul global dă $f(x)\ge f(3)$ pentru orice $x>0$, adică $x-3\ln x\ge 3-3\ln 3$. Împărțind la $3$ și rearanjând, $\ln x\le \frac{x}{3}-1+\ln 3$, cu egalitate numai în $x=3$. (Verificat în zece puncte de probă, de la $0,01$ la $1000$.) ✓

d) Din tabel: pentru $m<3-3\ln 3$ ecuația nu are soluții; pentru $m=3-3\ln 3$ are exact una ($x=3$); pentru $m>3-3\ln 3$ are exact două, câte una pe fiecare ramură de monotonie — „cel mult una" pe ramură din stricta monotonie, „cel puțin una" din consecința de semn a proprietății valorilor intermediare.

Să exersăm

1. Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, precizați punctele de extrem și valorile extreme, numindu-le separat.

3. Pentru aceeași funcție, determinați punctul de inflexiune al funcției și punctul de inflexiune al graficului.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune al funcției $f$."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, are punct de inflexiune în $0$, pentru că $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul acolo."

6. Alcătuiți tabelul de semn al funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-4}{x+1}$.

7. Determinați valorile lui $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+a{x}^2+3x$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

8. Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{x^2+3}$.

9. Studiați convexitatea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+5$, și determinați punctele de inflexiune ale graficului.

10. (Problemă aplicată.) Suma a două numere pozitive este $12$. Determinați numerele pentru care produsul dintre primul și pătratul celui de-al doilea este maxim.

11. Costul producerii a $q$ unități este $C(q)=3q^2+2q+48$ lei, $q>0$. Determinați producția de cost mediu minim și verificați Regula costului mediu.

12. Alcătuiți tabelul de variație cu derivata întâi pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2+1}$, și citiți imaginea funcției.

13. Discutați, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor ecuației $x^4-6x^2+5=m$.

14. Arătați că $x^3-6x^2+9x+2\ge 2$ pentru orice $x\ge 0$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }>0$ pe fiecare interval al domeniului, atunci $f$ este strict crescătoare pe tot domeniul."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{2}-4\ln x$. Studiați variația funcției și determinați imaginea ei.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați punctul de pe parabola de ecuație $y=x^2$ aflat la distanță minimă față de punctul $A(3,0)$ și calculați această distanță.

18. (Provocare.) Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^4-8x^3+9x^2$, are un singur punct de extrem, deși $f^{\prime }$ are două rădăcini reale, și formulați regula generală care explică fenomenul.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, cu semnele $+,-,+$. Funcția e strict crescătoare pe $(-\infty ,1]$, strict descrescătoare pe $[1,3]$ și strict crescătoare pe $[3,+\infty )$. (Semnele verificate prin eșantionare pe $400$ de puncte pe fiecare interval.)

2. Punctul de maxim local este $x=1$, iar valoarea maximă locală este $f(1)=6$; punctul de minim local este $x=3$, iar valoarea minimă locală este $f(3)=2$. Niciunul nu e extrem global, pentru că limitele la $\pm \infty$ sunt $\mp \infty$.

3. $f^{\prime \prime }(x)=6x-12$, cu zeroul $x=2$, unde își schimbă semnul din $-$ în $+$. Punctul de inflexiune al funcției este $x_0=2$; punctul de inflexiune al graficului este $(2,4)$, pentru că $f(2)=4$.

4. Fals. Condiția e necesară, nu suficientă: la $f(x)=x^4$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ nu își schimbă semnul, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu e punct de inflexiune.

5. Fals. Punctul de inflexiune trebuie să aparțină domeniului, iar $0\notin {\mathbb{R}}^{\ast }$. Schimbarea de semn a lui $f^{\prime \prime }$ „peste" un punct care lipsește din domeniu nu produce nicio inflexiune.

6. Zeroul funcției e $x=4$; în $x=-1$ funcția nu e definită. Semnele, testate cu câte un punct din fiecare interval: $f(-2)=6>0$, $f(0)=-4<0$, $f(5)=\frac{1}{6}>0$.

7. $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$ trebuie să fie nenegativă pe $\mathbb{R}$. Coeficientul dominant e $3>0$, deci condiția este $\Delta =4a^2-36\le 0$, adică $a\in [-3,3]$. La capete, derivata se anulează într-un singur punct, deci monotonia rămâne strictă.

8. $f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^2+3\right)-3x\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}=\frac{3\left(3-x^2\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}$, cu zerourile $\pm \sqrt{3}$ și semnele $-,+,-$. Deci $-\sqrt{3}$ e punct de minim, cu $f(-\sqrt{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\sqrt{3}$ e punct de maxim, cu $f(\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Cum limitele la $\pm \infty$ sunt $0$, iar funcția e continuă, imaginea este $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

9. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$, cu semnele $+,-,+$. Funcția e convexă pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$ și concavă pe $[-1,1]$. Cum $f(\pm 1)=1-6+5=0$, punctele de inflexiune ale graficului sunt $(-1,0)$ și $(1,0)$.

10. Fie $y$ al doilea număr; primul e $12-y$, cu $y\in (0,12)$. Maximizăm $P(y)=(12-y)y^2$, cu $P^{\prime }(y)=24y-3y^2=3y(8-y)$, pozitivă pe $(0,8)$ și negativă pe $(8,12)$. Maximul e în $y=8$, deci numerele sunt $4$ și $8$, iar produsul maxim este $4\cdot 64=256$. (Verificat pe $1000$ de puncte de probă.)

11. $\overline{C}(q)=3q+2+\frac{48}{q}$, cu ${\overline{C}}^{\prime }(q)=3-\frac{48}{q^2}$, al cărei zerou pozitiv e $q=4$; semnul trece de la $-$ la $+$, deci minim. Costul mediu minim este $\overline{C}(4)=12+2+12=26$ lei. Regula costului mediu: $C^{\prime }(q)=6q+2$, iar $C^{\prime }(4)=26=\overline{C}(4)$. ✓

12. Scriem $f(x)=2-\frac{1}{x^2+1}$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu zeroul $0$ și semnele $-,+$. Limitele la $\pm \infty$ sunt $2$.

Minimul global este $f(0)=1$, iar valoarea $2$ nu se atinge niciodată: imaginea este $[1,2)$.

13. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x=4x\left(x^2-3\right)$, cu zerourile $-\sqrt{3}$, $0$, $\sqrt{3}$ și valorile $f(\pm \sqrt{3})=-4$, $f(0)=5$; limitele la $\pm \infty$ sunt $+\infty$. Discuția: $m<-4$ — nicio soluție; $m=-4$ — două soluții ($\pm \sqrt{3}$); $-4<m<5$ — **patru** soluții; $m=5$ — **trei** soluții; $m>5$ — două soluții.

14. Pe $[0,+\infty )$, din exercițiul 1, funcția crește pe $[0,1]$, scade pe $[1,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$. Valorile candidate pentru minim sunt $f(0)=2$ și $f(3)=2$, iar pe ultima ramură funcția crește la $+\infty$. Minimul pe $[0,+\infty )$ este așadar $2$, deci $f(x)\ge 2$ acolo, cu egalitate în $x=0$ și în $x=3$.

15. Fals. Consecința 2 a teoremei lui Lagrange se aplică pe un interval. La $f(x)=\frac{x-4}{x+1}$ din exercițiul 6, derivata $f^{\prime }(x)=\frac{5}{(x+1{)}^2}$ e pozitivă pe tot domeniul, dar $f(-2)=6>f(0)=-4$, deși $-2<0$: între cele două puncte domeniul e întrerupt.

16. $f^{\prime }(x)=x-\frac{4}{x}=\frac{x^2-4}{x}$, cu singurul zerou pozitiv $x=2$; semnul trece de la $-$ la $+$, deci minim global, cu $f(2)=2-4\ln 2\approx -0,77$. Cum $f^{\prime \prime }(x)=1+\frac{4}{x^2}>0$, funcția e convexă pe tot domeniul, fără inflexiune. Limitele la ambele capete sunt $+\infty$, deci imaginea este $[2-4\ln 2,+\infty )$.

17. Un punct al parabolei are forma $M\left(x,x^2\right)$, iar pătratul distanței este $d^2(x)=(x-3{)}^2+x^4$ — lucrăm cu pătratul, ca să scăpăm de radical. Atunci $${\left(d^2\right)}^{\prime }(x)=2(x-3)+4x^3=4x^3+2x-6=2(x-1)\left(2x^2+2x+3\right),$$ iar trinomul $2x^2+2x+3$ are $\Delta =-20<0$, deci e strict pozitiv. Semnul derivatei e dat de $x-1$: negativ înainte de $1$, pozitiv după. Minimul e în $x=1$, adică în punctul $M(1,1)$, iar distanța minimă este $\sqrt{(1-3{)}^2+1}=\sqrt{5}$.

18. $f^{\prime }(x)=2x(2x-3{)}^2$ are rădăcinile $0$ și $\frac{3}{2}$, dar a doua e dublă: factorul $(2x-3{)}^2$ e un pătrat, deci nu schimbă semnul. Prin urmare $f^{\prime }$ trece de la $-$ la $+$ doar în $0$, singurul punct de extrem. Regula generală: un punct critic este extrem doar dacă derivata își schimbă semnul acolo, adică doar dacă rădăcina are ordin de multiplicitate impar în factorizarea derivatei.

De reținut

• Semnul lui $f^{\prime }$ dă monotonia pe un INTERVAL, prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange. Pe o reuniune de intervale concluzia nu se transferă.
• Un punct critic devine extrem doar dacă $f^{\prime }$ își schimbă semnul acolo. Anularea singură nu decide nimic; la fel, anularea lui $f^{\prime \prime }$ nu decide inflexiunea.
• PUNCT $\ne$ VALOARE: punctul de extrem e $x_0$, valoarea extremă e $f(x_0)$; punctul de inflexiune al funcției e $x_0$, al graficului e $(x_0,f(x_0))$.
• Punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol. În tabelul de variație, punctul exclus și capătul finit deschis primesc $|$ la derivate și limita la funcție; celulele rămân goale numai la $\pm \infty$.
• Un punct exclus dă DOUĂ tabele la șirul lui Rolle, dar UN singur tabel de variație. Sunt obiecte diferite, cu reguli diferite, iar confuzia dintre ele costă puncte la redactare.

Greșeli frecvente

• „$f^{\prime }>0$ pe domeniu, deci $f$ e crescătoare pe domeniu." Greșit când domeniul nu e interval. Corect: se enunță monotonia pe fiecare interval separat, iar între ramuri nu se compară valorile.
• Se declară extrem în orice punct critic. Corect: se verifică schimbarea de semn a derivatei; la o rădăcină de ordin par, cum e $\frac{3}{2}$ în Exemplul 1, nu există extrem.
• Se declară inflexiune în orice zerou al lui $f^{\prime \prime }$, sau chiar într-un punct care nu e în domeniu. Corect: punctul trebuie să fie din domeniu și $f^{\prime \prime }$ trebuie să își schimbe semnul acolo — capcanele-pereche $x^4$ și $\frac{1}{x}$.
• Se scrie $\nexists$ la un capăt unde derivata e infinită. Corect: dacă derivata există și e infinită, se scrie $-\infty$ sau $+\infty$; $\nexists$ se rezervă cazului în care derivatele laterale sunt diferite.
• La optimizare, tabelul poartă etichetele $f^{\prime }$ și $f$, deși mărimea studiată e o arie sau un cost. Corect: etichetele se instanțiază — ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)$, $V^{\prime }(r)$, $C^{\prime }(q)$, $P^{\prime }(q)$ — și se precizează unitatea de măsură a rezultatului.

Aplică acasă

1. Cartonașul celor trei tabele. Desenează pe un cartonaș, unul lângă altul, scheletul celor trei tabele (semn, șirul lui Rolle, variație) și scrie sub fiecare ce se pune la $\pm \infty$ și ce se pune la un punct exclus. Ține-l la vedere o săptămână; e cea mai ieftină asigurare împotriva greșelilor de format.
2. Optimizarea din bucătărie. Alege o situație reală din casă — cantitatea de folie pentru o cutie de volum dat, prețul la care se vinde cel mai bine un produs făcut de tine, drumul cel mai scurt până la stație — modeleaz-o printr-o funcție, precizează domeniul real al variabilei și rezolvă complet, cu etichete instanțiate în tabel.
3. Zece tabele contra cronometru. Ia zece funcții din lecțiile 110–123, acoperă tabelele lor și reconstruiește-le din memorie, cu tot cu numărul de coloane. Verifică apoi rând cu rând: greșelile care apar de două ori sunt exact cele pe care trebuie să le repari.

Pentru părinți și profesori

Lecția recapitulează unitatea „Studiul variației funcțiilor cu derivate" (lecțiile 110–123) și răspunde competențelor XI.CS.5.6, XI.CS.1.6 și XI.CS.6.6 din programă. Nu introduce conținut nou: adună regulile de completare a tabelelor, distincțiile de limbaj cerute de bareme și capcanele recurente, apoi le pune la lucru pe exerciții noi, care traversează capitolul.

Un punct de graniță, ca și la lecția 123: asimptotele și reprezentarea grafică a funcțiilor nu sunt în programa clasei a XI-a; ele apar în clasa a XII-a. Limitele la capetele domeniului se calculează, pentru că fac parte din capitolul de limite, dar cerințe de tipul „trasați graficul" nu sunt de nivelul acestei clase.

Ce verifică lecția: (1) trecerea corectă de la semn la monotonie, cu ipoteza „pe un interval" enunțată; (2) distincția punct–valoare la extreme și la inflexiune; (3) completarea corectă a tabelului la puncte excluse și la capete închise; (4) citirea imaginii și a numărului de soluții din tabel; (5) folosirea etichetelor instanțiate în problemele de optimizare.

Întrebări bune de control: „Câte coloane are tabelul tău și de ce atâtea?", „De unde știi că acesta e punct de extrem și nu doar punct critic?", „Ce se scrie la $\pm \infty$ pe rândul derivatei?", „Punctul de inflexiune pe care mi-l dai e al funcției sau al graficului?". La BAC M1, subiectul al III-lea conține aproape sigur monotonia, un extrem și o inegalitate sau o discuție dedusă din el. Semn că elevul a înțeles: după fiecare tabel scrie, din reflex, două-trei propoziții de citire.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un punct critic este punct de extrem? Verifici dacă derivata își schimbă semnul acolo: de la $+$ la $-$ înseamnă maxim, de la $-$ la $+$ înseamnă minim. Dacă semnul rămâne același — cazul rădăcinilor de ordin par ale derivatei — punctul rămâne doar critic, fără să fie extrem.

Care e diferența dintre punctul de inflexiune al funcției și cel al graficului? Punctul de inflexiune al funcției este abscisa $x_0$, un număr; punctul de inflexiune al graficului este perechea $(x_0,f(x_0))$, un punct din plan. Ambele formulări sunt corecte, dar răspunsul trebuie să spună limpede care dintre ele îl dai.

Ce scriu în tabel într-un punct care nu aparține domeniului? Bară $|$ pe rândurile $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, iar pe rândul $f$ cele două limite laterale, despărțite tot printr-o bară. Tabelul rămâne unul singur. Regula de memorat: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol.

De ce la șirul lui Rolle se fac două tabele, iar la variație doar unul? Pentru că șirul lui Rolle citește succesiunea semnelor valorilor, iar succesiunea aceasta se rupe acolo unde se rupe domeniul: două intervale înseamnă două șiruri de citit. Tabelul de variație, în schimb, descrie funcția pe toată axa și marchează golul printr-o coloană, fără să piardă legătura vizuală dintre ramuri.

Cum citesc imaginea unei funcții din tabelul de variație? Iei fiecare interval de monotonie, notezi valorile de la capetele lui — valori efective sau limite — și scrii intervalul de valori parcurs; imaginea e reuniunea acestor intervale. Capetele care sunt limite, nu valori atinse, nu se includ.

Cum discut numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$? Compari nivelul $m$ cu valorile extreme și cu limitele de la capete. Pe fiecare ramură de monotonie strictă poate exista cel mult o soluție, iar dacă $m$ e cuprins între valorile de la capetele ramurii, există exact una. Pragurile discuției sunt tocmai valorile extreme.

De ce se schimbă etichetele tabelului la problemele de optimizare? Pentru că mărimea studiată nu mai e o funcție abstractă, ci o arie, un volum, un cost sau un profit. Scriind ${\mathcal{S}}^{\prime }(x)$ sau $C^{\prime }(q)$ în loc de $f^{\prime }(x)$, tabelul rămâne legat de problemă, iar interpretarea finală — cu unitate de măsură — vine natural.

Se cere graficul funcției la clasa a XI-a? Nu. Programa clasei a XI-a se oprește la tabelul de variație complet; asimptotele și reprezentarea grafică se studiază în clasa a XII-a. Limitele la capete se calculează totuși, pentru că ele completează tabelul și dau imaginea funcției.