Recunoașterea conicelor din ecuație: pe scurt

Tipul unei conice se decide în două întrebări: câte variabile apar la pătrat — una singură înseamnă parabolă — și ce semn stă între cele două pătrate — plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă; numitori egali după normalizare înseamnă cerc. Întrebările se pun însă numai după normalizare: ecuațiile de forma $A{x}^2+B{y}^2=D$ se împart la $D$, iar ecuația generală a cercului se aduce la formă canonică prin completarea pătratelor.

Poziția numitorului mare arată axa. La elipsă, semiaxa mare este radicalul numitorului mai mare și stă pe axa variabilei de sub care apare: dacă numitorul mare e sub $y^2$, axa mare și focarele urcă pe $Oy$. La hiperbolă, axa transversă este cea a termenului cu plus, deci $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ are vârfurile și focarele pe $Oy$. Panta asimptotelor, valabilă la ambele orientări, este raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$, obținut înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică.

Nu orice ecuație de gradul al doilea este conică: membrul drept nul dă un punct sau două drepte concurente, iar un membru drept negativ dă mulțimea vidă. O conică este reuniunea graficelor funcțiilor obținute scoțând $y$ cu ambele semne ale radicalului, pe domeniul dat de condiția de existență — domeniul face parte din răspuns. Excepțiile, singurele conice care sunt grafice de funcții, sunt $x^2=\pm 2py$ și $xy=k$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Focarele conicei $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$ sunt:

   • a) $(0,\pm 6)$
   • b) $(\pm 10,0)$
   • c) $(0,\pm 10)$
   • d) $(\pm 6,0)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(0,\pm 6)$

   Numitorul mai mare, $100$, stă sub $y^2$, deci semiaxa mare este $a=10$ și se află pe axa $Oy$, iar $b=8$. Atunci $c=\sqrt{100-64}=6$ și focarele sunt $(0,\pm 6)$, pe axa mare. Presupunerea automată că axa mare este $Ox$ este exact greșeala pe care o testează întrebarea.

2. Asimptotele hiperbolei $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ sunt:

   • a) $y=\pm x$
   • b) $y=\pm \frac{3}{4}x$
   • c) $y=\pm \frac{4}{3}x$
   • d) $y=\pm \frac{16}{9}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $y=\pm \frac{4}{3}x$

   Regula valabilă la ambele orientări: panta este raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$, adică $\frac{4}{3}$. Se obține imediat înlocuind $1$ cu $0$: $\frac{y^2}{16}=\frac{x^2}{9}$. Regula „numărătorul e semiaxa de sub termenul cu minus” este adevărată doar pentru forma cu axa transversă pe $Ox$.

3. Ecuația $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=0$ descrie:

   • a) un singur punct
   • b) o hiperbolă
   • c) mulțimea vidă
   • d) două drepte concurente, $y=\pm \frac{5}{3}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) două drepte concurente, $y=\pm \frac{5}{3}x$

   Membrul drept fiind nul, ecuația se factorizează: $\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}\right)=0$, deci mulțimea este reuniunea dreptelor $y=\pm \frac{5}{3}x$ — chiar asimptotele hiperbolei cu același membru stâng. Este una dintre conicele degenerate, cazul planului care trece prin vârful conului.