Recunoașterea unei conice din ecuație sau din grafic; conicele ca reuniuni de grafice de funcții

Un enunț de examen nu îți spune niciodată „se consideră elipsa…". Îți pune în față o egalitate — $25x^2+9y^2=225$, $9y^2-16x^2=144$, $xy=32$ — și te lasă pe tine să hotărăști ce curbă este. Recunoașterea conicelor este exact deprinderea care leagă cele unsprezece lecții de până acum ale acestei unități de clasa a 12-a: nu adaugă nicio formulă nouă, dar le pune pe toate într-o singură ordine de citire. Recunoașterea unei conice înseamnă să aduci ecuația la forma canonică și să citești din ea tipul curbei: semnul plus între cele două pătrate dă elipsă sau cerc, semnul minus dă hiperbolă, iar prezența unui singur pătrat dă parabolă.

Lecția are trei părți. Prima strânge într-un tabel unic tot ce s-a fixat despre cerc, elipsă, hiperbolă și parabolă, ca să poți decide tipul curbei în două întrebări. A doua face drumul invers, cerut și el de programă: dintr-un desen dat, cu vârfuri și focare marcate, scoți $a$, $b$, $c$ și $p$, apoi ecuația. A treia răspunde întrebării care revine de la prima lecție de elipsă încoace — dacă o conică nu este graficul unei funcții, ce este? — și dă răspunsul complet: reuniunea graficelor a două funcții cu radical, cu domeniile lor precise.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tipul unei conice după forma ecuației canonice, în două întrebări puse în ordine fixă.
• Vei ști să aduci la forma canonică o ecuație dată sub forma $A{x}^2+B{y}^2=D$ sau sub forma generală a cercului.
• Vei ști să lucrezi cu formele „întoarse", cu axa mare sau cu axa transversă pe $Oy$, și să nu confunzi rolurile axelor.
• Vei ști să deosebești o conică adevărată de un caz degenerat: mulțimea vidă, un punct, două drepte concurente.
• Vei ști să citești elementele unei conice de pe reprezentarea ei grafică și să scrii apoi ecuația.
• Vei ști să scrii orice conică drept reuniune de grafice de funcții și să faci și drumul invers, de la două funcții la conică.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să recunoști o conică?

A recunoaște o conică înseamnă a stabili, dintr-o ecuație dată sau dintr-un desen dat, care dintre cele patru curbe ale unității este — cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă —, cum este așezată față de axe și cât valorează elementele ei caracteristice: centrul, vârfurile, focarele, semiaxele, parametrul, asimptotele sau directoarea.

Sunt trei întrebări puse una după alta: ce tip?, cum e așezată?, cât valorează elementele? — prima se decide dintr-o privire, a doua din poziția numitorilor, a treia prin calcule cunoscute. Materialul de lucru al lecției este mereu o ecuație în formă canonică — cea în care centrul curbei (respectiv vârful, la parabolă) stă în origine, iar axele reperului sunt axele de simetrie ale curbei. Ecuațiile care nu arată așa se aduc la forma canonică prin împărțire sau, la cerc, prin completarea pătratelor, așa cum s-a lucrat la lecția despre ecuația generală a cercului.

2. Cum aduci ecuația la forma canonică?

Două operații acoperă tot ce cere programa, și amândouă sunt deja cunoscute.

Împărțirea cu termenul liber. O ecuație de forma $A{x}^2+B{y}^2=D$, cu $D\ne 0$, se împarte prin $D$ și devine o ecuație cu $1$ în membrul drept. Rețeta e cea din lecția despre elementele elipsei: numitorii care apar sunt $\frac{D}{A}$ și $\frac{D}{B}$, deci coeficientul mic dă numitorul mare. Exemplu: $25x^2+9y^2=225$ devine $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$.

Împărțirea funcționează la fel când semnul dintre termeni este minus: $9y^2-16x^2=144$ devine $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$. Și funcționează la cerc: $3x^2+3y^2-12x+18y-15=0$ se împarte întâi prin $3$, iar abia apoi se completează pătratele.

Completarea pătratelor, numai la cerc. Ecuația generală $x^2+y^2+2mx+2ny+p=0$ are centrul $(-m,-n)$ și $r^2=m^2+n^2-p$. Pentru $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ avem $m=-5$, $n=2$, $p=13$, deci centrul este $C(5,-2)$ și $r^2=25+4-13=16$, adică $r=4$; forma canonică este $(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=16$.

⚠️ Programa nu cere reducerea la forma canonică prin rotații sau translații generale. Singurul termen mixt care apare în tot capitolul este cel din $xy=k$, iar el a fost lămurit prin rotația de $\frac{\pi }{4}$ la lecția despre hiperbola echilateră raportată la asimptote.

3. Tabelul-sinteză: care ecuație, care conică?

Iată harta completă a unității, în ordinea în care se citește o ecuație. În toate rândurile, $a$, $b$, $p$, $r$ sunt pozitive.

Forma cu axa transversă pe $Oy$ este singura noutate a tabelului și merită scrisă pe îndelete. În $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ litera $a$ păstrează înțelesul de semiaxă reală și își schimbă doar poziția: curba taie axa $Oy$ în $(0,\pm a)$ și nu taie deloc axa $Ox$. Focarele urcă și ele pe $Oy$, iar $c=\sqrt{a^2+b^2}$ rămâne neschimbat. Aceeași convenție se aplică elipsei: în $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$, $a$ este tot semiaxa mare, doar că stă pe $Oy$.

Asimptotele se scriu, în ambele orientări, cu scurtătura fixată la lecția despre elementele hiperbolei: înlocuiești $1$ cu $0$ și factorizezi. Din $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=0$ rezultă $\left(\frac{y}{4}-\frac{x}{3}\right)\left(\frac{y}{4}+\frac{x}{3}\right)=0$, adică $y=\pm \frac{4}{3}x$. Regula de memorat, valabilă la amândouă orientările: $$\text{panta asimptotelor}=\frac{\text{semiaxa de sub }{y}^2}{\text{semiaxa de sub }{x}^2}.$$ Ea reproduce, în cazul $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, panta cunoscută $\frac{b}{a}$, iar în cazul întors dă $\frac{a}{b}$ — cine reține doar „semiaxa de sub minus" greșește a doua situație.

O observație frumoasă: hiperbolele $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ și $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ au același dreptunghi fundamental, deci exact aceleași asimptote, dar vârfuri pe axe diferite. Se numesc hiperbole conjugate și se desenează comod împreună.

4. Care semn decide tipul conicei?

Decizia se ia în două întrebări, în această ordine.

Întrebarea 1: câte variabile apar la pătrat? Dacă apare una singură, curba este parabolă; cealaltă variabilă e la puterea întâi și îți spune, prin semnul ei, încotro se deschide. Dacă nu apare niciun pătrat, dar apare produsul $xy$, curba este hiperbolă echilateră raportată la asimptote.

Întrebarea 2: ce semn stă între cele două pătrate? Semnul $+$ dă elipsă, semnul $-$ dă hiperbolă. Iar dacă, după aducerea la forma canonică, cei doi numitori sunt egali, elipsa este de fapt cerc.

Trei capcane, toate întâlnite în lucrări.

• „Numitorul mare sub $y^2$ înseamnă că rolurile axelor se schimbă." Este avertismentul lăsat de lecția despre elementele elipsei și se aplică identic la hiperbolă. În $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ semiaxa mare este $5$ și stă pe $Oy$, deci focarele sunt $(0,\pm 4)$, nu $(\pm 4,0)$.
• Semnul minus decide hiperbola, indiferent de ordinea termenilor. $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$ nu este „o elipsă scrisă invers": este hiperbolă, pentru că un termen este scăzut.
• Coeficienți egali la $x^2$ și la $y^2$ înseamnă cerc — dar numai după normalizare. În $3x^2+3y^2-12x+18y-15=0$ coeficienții sunt egali, deci curba este cerc; împărțind prin $3$ și completând pătratele obții $C(2,-3)$ și $r=3\sqrt{2}$.

5. Când o ecuație nu descrie nicio conică?

La lecția despre conicele ca secțiuni ale conului ai văzut că planul dus prin vârful conului dă figuri strivite. Ele au și corespondent algebric, iar la Bacalaureat M1 apar ca subpuncte de discuție. Le trecem pe scurt, fără să le dezvoltăm.

• Mulțimea vidă. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=-1$ nu are nicio soluție: membrul stâng este mereu nenegativ. La cerc, situația se recunoaște după $m^2+n^2-p<0$: pentru $x^2+y^2+2x-4y+9=0$ obții $1+4-9=-4<0$.
• Un singur punct. $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=0$ are ca unică soluție originea, pentru că o sumă de două pătrate se anulează numai când ambele sunt nule. La cerc: $x^2+y^2-6x+4y+13=0$ dă $9+4-13=0$, adică punctul $(3,-2)$.
• Două drepte concurente. $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0$ se descompune în $\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0$, deci reprezintă reuniunea dreptelor $y=\pm \frac{b}{a}x$. Pentru $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=0$ ele sunt $y=\pm \frac{5}{3}x$ — chiar asimptotele hiperbolelor cu aceiași numitori. Tot aici intră $xy=0$, adică reuniunea axelor.

Reține regula practică: membrul drept egal cu $1$ dă o conică adevărată; egal cu $0$ sau negativ, nu.

6. Cum citești elementele de pe un grafic dat?

Programa cere explicit și acest drum: identificarea elementelor unei conice căreia i se cunoaște reprezentarea grafică. Procedura are trei pași și se sprijină numai pe măsurători pe desen.

1. Citește punctele în care curba taie axele. La elipsă ele sunt cele patru vârfuri și îți dau direct $a$ și $b$; la hiperbolă sunt cele două vârfuri și îți dau $a$, împreună cu axa pe care stau; la parabolă, singura intersecție este vârful.
2. Citește a doua mărime. La hiperbolă, panta unei asimptote — urcușul pe verticală când înaintezi pe orizontală — sau, dacă dreptunghiul fundamental e desenat, jumătățile laturilor lui. La parabolă, un punct marcat pe curbă sau lățimea curbei în dreptul focarului, care este $2p$.
3. Calculează restul și verifică. Afli $c$ cu formula tipului, marchezi focarele și, obligatoriu, substitui în ecuație un punct citit de pe desen. Dacă egalitatea nu iese, ai citit greșit o mărime.

Pe figura de mai sus: vârfurile dau $a=13$ și $b=12$, deci $c=\sqrt{169-144}=5$, focarele sunt $(\pm 5,0)$, excentricitatea este $e=\frac{5}{13}$, iar ecuația este $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{144}=1$. Controlul: punctul $\left(5,\frac{144}{13}\right)$, capătul coardei prin focar, verifică ecuația.

7. Conica scrisă ca reuniune de grafice de funcții

Aici este cerința pe care programa o formulează cuvânt cu cuvânt: identificarea funcțiilor a căror reuniune a graficelor reprezintă o conică dată.

De ce e nevoie de două funcții? Pentru că o conică nu trece testul verticalei: dreapta $x=0$ taie cercul $x^2+y^2=36$ în două puncte, $(0,6)$ și $(0,-6)$, deci nu poate exista o funcție al cărei grafic să fie tot cercul. Rezolvarea este să scoți $y$ din ecuație și să iei, separat, cele două semne ale radicalului.

Trei lucruri de citit din tabel.

Domeniul iese singur, din condiția de existență a radicalului. La elipsă, $a^2-x^2\ge 0$ dă $[-a,a]$; la hiperbola cu axa pe $Ox$, $x^2-a^2\ge 0$ dă reuniunea celor două semidrepte, cu „gaura" $(-a,a)$ în care curba nu are puncte; la hiperbola cu axa pe $Oy$, radicandul $x^2+b^2$ este mereu pozitiv, deci domeniul este tot $\mathbb{R}$ și fiecare funcție descrie o ramură întreagă.

Ultimele două rânduri au o singură funcție. Parabolele cu axa verticală, $x^2=\pm 2py$, sunt grafice de funcții, cum s-a arătat la lecția despre elementele parabolei — sunt chiar parabolele de gimnaziu. Iar $xy=k$ este graficul funcției de proporționalitate inversă, singura conică ce apare ca grafic al unei funcții elementare, studiată la funcția putere cu exponent întreg. Toate celelalte au nevoie de reuniune.

Cele două grafice se lipesc în vârfuri. În capetele domeniului, radicalul se anulează, deci $f_1$ și $f_2$ iau aceeași valoare: acolo se închide curba. La cerc și la elipsă asta se întâmplă în $x=\pm a$, la hiperbola cu axa pe $Ox$ în $x=\pm a$, la parabola $y^2=2px$ în $x=0$.

Funcțiile cu radical de acest tip au fost studiate la lecția despre graficul funcțiilor cu radicali.

8. Din două funcții, ce conică obții?

Drumul invers apare la fel de des: ți se dau două funcții și ți se cere curba. Rețeta are trei etape.

Etapa 1. Notează $y=f(x)$ și ridică la pătrat, ca să scapi de radical. Etapa 2. Adu egalitatea obținută la una dintre formele din tabelul-sinteză, trecând totul într-un membru și normalizând. Etapa 3. Citește tipul și elementele, apoi verifică pe un punct.

Trei situații lucrate:

• $f_{1,2}(x)=\pm \frac{2}{3}\sqrt{36-x^2}$ pe $[-6,6]$. Ridicând la pătrat, $y^2=\frac{4}{9}(36-x^2)$, adică $9y^2=144-4x^2$, deci $4x^2+9y^2=144$ și, după împărțire, $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$: elipsă cu $a=6$, $b=4$, $c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
• $f_{1,2}(x)=\pm \sqrt{52x}$ pe $[0,+\infty )$. Ridicând la pătrat, $y^2=52x$: parabolă deschisă spre dreapta, cu $2p=52$, deci $p=26$, focarul $(13,0)$ și directoarea $x=-13$.
• $f_{1,2}(x)=\pm 3\sqrt{x^2-4}$ pe $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$. Ridicând la pătrat, $y^2=9x^2-36$, adică $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{36}=1$: hiperbolă cu $a=2$, $b=6$, $c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ și asimptotele $y=\pm 3x$.

⚠️ Ridicarea la pătrat este o operație care poate adăuga soluții. Aici nu adaugă, pentru că luăm ambele semne ale lui $f$: reuniunea celor două grafice acoperă exact mulțimea punctelor cu $y^2$ egal cu expresia de sub radical. Dacă ți se dă o singură funcție, obții doar jumătate din conică — o precizare care se scrie în răspuns. Odată tipul recunoscut și elementele scrise, urmează studiul pozițiilor relative, care începe cu intersecția unei conice cu o dreaptă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Recunoașterea tipului, dintr-o privire

Precizăm ce conică descrie fiecare ecuație: a) $\frac{x^2}{289}+\frac{y^2}{64}=1$; b) $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$; c) $y^2=44x$; d) $xy=32$; e) $x^2+y^2-10x+4y+13=0$.

a) Două pătrate, semnul $+$, numitori diferiți: elipsă, cu $a=17$ pe $Ox$ și $b=8$; $c=\sqrt{289-64}=15$, focarele $(\pm 15,0)$, $e=\frac{15}{17}$.

b) Două pătrate, semnul $-$: hiperbolă; termenul pozitiv este cel cu $y^2$, deci axa transversă este $Oy$, cu $a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16+9}=5$; vârfurile $(0,\pm 4)$, focarele $(0,\pm 5)$, asimptotele $y=\pm \frac{4}{3}x$.

c) Un singur pătrat: parabolă, cu $2p=44$, deci $p=22$, focarul $(11,0)$, directoarea $x=-11$.

d) Produs, fără pătrate: hiperbolă echilateră, cu $a=b=\sqrt{64}=8$, vârfurile $\left(\pm 4\sqrt{2},\pm 4\sqrt{2}\right)$, focarele $(\pm 8,\pm 8)$, asimptotele = axele de coordonate.

e) Coeficienți egali la $x^2$ și $y^2$: cerc, cu $C(5,-2)$ și $r=4$.

Exemplul 2 — Elipsă cu axa mare pe $Oy$

Recunoaștem conica $25x^2+9y^2=225$ și îi determinăm elementele.

Împărțim prin $225$: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$. Semnul este $+$, numitorii diferă, deci este o elipsă; numitorul mare, $25$, stă sub $y^2$, deci semiaxa mare este $a=5$ și se află pe $Oy$, iar $b=3$ pe $Ox$.

Atunci $c=\sqrt{25-9}=4$, focarele sunt $F(0,4)$ și $F^{\prime }(0,-4)$, vârfurile sunt $(0,\pm 5)$ și $(\pm 3,0)$, iar $e=\frac{4}{5}$.

Control pe punctul $\left(\frac{9}{5},4\right)$: $\frac{81}{25\cdot 9}+\frac{16}{25}=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ ✓. Razele focale, măsurate pe verticală, sunt $5-\frac{4}{5}\cdot 4=\frac{9}{5}$ și $5+\frac{16}{5}=\frac{41}{5}$, cu suma $10=2a$ ✓.

Exemplul 3 — Hiperbolă cu axa transversă pe $Oy$

Recunoaștem conica $9y^2-16x^2=144$, îi scriem asimptotele și o comparăm cu firul roșu al unității.

Împărțim prin $144$: $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$. Termenul pozitiv este cel cu $y^2$, deci axa transversă este $Oy$: $a=4$, $b=3$, $c=\sqrt{16+9}=5$. Vârfurile sunt $(0,\pm 4)$, focarele $(0,\pm 5)$, iar $e=\frac{5}{4}$.

Asimptotele, prin scurtătura $1\to 0$: din $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=0$ obținem $y=\pm \frac{4}{3}x$ — aceleași drepte ca la hiperbola $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$, firul roșu al lecțiilor de hiperbolă. Cele două curbe sunt conjugate: același dreptunghi fundamental, cu vârfurile $(\pm 3,\pm 4)$, vârfuri pe axe diferite.

Control pe punctul $\left(\frac{9}{4},5\right)$: $\frac{25}{16}-\frac{81}{16\cdot 9}=\frac{25-9}{16}=1$ ✓, iar $|MF-M{F}^{\prime }|$ pentru focarele $(0,\pm 5)$ dă $8=2a$ ✓.

Exemplul 4 — Cerc: forma canonică și reuniunea de grafice

Recunoaștem conica $x^2+y^2-10x+4y+13=0$ și o scriem ca reuniune de grafice.

Coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali, deci este cerc. Cu $m=-5$, $n=2$, $p=13$: centrul $C(5,-2)$, $r^2=25+4-13=16$, $r=4$, adică $(x-5{)}^2+(y+2{)}^2=16$.

Scoatem $y$: $(y+2{)}^2=16-(x-5{)}^2$, deci $$f_{1,2}:[1,9]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=-2\pm \sqrt{16-(x-5{)}^2}.$$ Domeniul vine din $16-(x-5{)}^2\ge 0$, adică $|x-5|\le 4$. Graficul lui $f_1$ este semicercul de deasupra dreptei $y=-2$, cel al lui $f_2$ este semicercul de dedesubt, iar cele două se lipesc în punctele $(1,-2)$ și $(9,-2)$.

Control: pentru $x=\frac{41}{5}$ avem $16-\frac{144}{25}=\frac{256}{25}$, deci $f_1\left(\frac{41}{5}\right)=-2+\frac{16}{5}=\frac{6}{5}$; punctul $\left(\frac{41}{5},\frac{6}{5}\right)$ verifică ecuația inițială ✓.

Exemplul 5 — Elementele citite de pe grafic

Un desen arată o hiperbolă cu ramurile deschise spre stânga și spre dreapta, cu vârfurile în $(\pm 10,0)$, iar asimptota din primul cadran urcă $4$ unități pe verticală când înaintează $5$ pe orizontală. Determinăm ecuația și elementele.

Din vârfuri: $a=10$, iar axa transversă este $Ox$. Din pantă: $\frac{b}{a}=\frac{4}{5}$, deci $b=8$. Atunci $c=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}$ și ecuația este $$\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1.$$ Focarele sunt $\left(\pm 2\sqrt{41},0\right)$, asimptotele $y=\pm \frac{4}{5}x$, excentricitatea $e=\frac{2\sqrt{41}}{10}=\frac{\sqrt{41}}{5}\approx 1,28$.

Observă că $c$ nu e întreg: desenul nu provine dintr-un triplet pitagoreic.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră curba de ecuație $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$.

a) Precizați tipul conicei și determinați semiaxele, focarele și excentricitatea.

Două pătrate cu semnul $+$ și numitori diferiți: elipsă. Numitorul mare stă sub $x^2$, deci axa mare este $Ox$: $a=7$ și $b=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$. Atunci $c=\sqrt{49-24}=5$, focarele sunt $F(5,0)$ și $F^{\prime }(-5,0)$, iar $e=\frac{5}{7}$.

b) Arătați că punctul $M\left(5,\frac{24}{7}\right)$ aparține elipsei și calculați suma distanțelor de la el la focare.

Substituim: $\frac{25}{49}+\frac{576}{49\cdot 24}=\frac{25}{49}+\frac{24}{49}=1$ ✓. Razele focale sunt $MF=a-ex=7-\frac{5}{7}\cdot 5=\frac{24}{7}$ și $M{F}^{\prime }=7+\frac{25}{7}=\frac{74}{7}$, cu suma $\frac{98}{7}=14=2a$ ✓, exact cât cere definiția.

c) Determinați funcțiile a căror reuniune de grafice este această elipsă, precizându-le domeniul.

Din ecuație, $y^2=\frac{24}{49}\left(49-x^2\right)$, deci $$f_{1,2}:[-7,7]\to \mathbb{R},f_{1,2}(x)=\pm \frac{2\sqrt{6}}{7}\sqrt{49-x^2}.$$ Domeniul vine din $49-x^2\ge 0$. Control: $f_1(5)=\frac{2\sqrt{6}}{7}\cdot \sqrt{24}=\frac{2\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}}{7}=\frac{24}{7}$ ✓, adică ordonata punctului $M$ de la punctul b).

Să exersăm

1. Precizați tipul fiecărei conice: a) $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$; b) $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$; c) $y^2=26x$; d) $xy=50$; e) $x^2+y^2-4x+8y-5=0$.

2. Aduceți ecuația $4x^2+9y^2=144$ la forma canonică și precizați $a$, $b$ și $c$.

3. Aduceți ecuația $16y^2-9x^2=144$ la forma canonică, precizați axa transversă, vârfurile, focarele și asimptotele.

4. Determinați centrul și raza cercului $x^2+y^2-4x+8y-5=0$.

5. Determinați semiaxele, vârfurile și focarele conicei $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$.

6. Determinați parametrul, focarul și directoarea parabolei $y^2=26x$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=0$ descrie o hiperbolă."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=-1$ descrie o elipsă foarte mică."

9. Determinați semiaxele, vârfurile și focarele hiperbolei echilatere $xy=50$.

10. Recunoașteți conica $3x^2+3y^2-12x+18y-15=0$ și determinați-i elementele.

11. Scrieți asimptotele hiperbolei $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ și calculați $c$.

12. Determinați elementele parabolei $x^2=-24y$ și precizați încotro se deschide.

13. Determinați funcțiile a căror reuniune de grafice este elipsa $\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{169}=1$ și precizați-le domeniul.

14. Se dau funcțiile $f_{1,2}(x)=\pm 3\sqrt{x^2-4}$. Determinați conica formată de reuniunea graficelor lor și elementele ei.

15. (Problemă aplicată.) Pe un desen, o parabolă are vârful în origine, se deschide în sus și trece prin punctul $(12,4)$. Determinați ecuația ei, focarul și directoarea.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice conică este reuniunea graficelor a exact două funcții."

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe un desen, o elipsă are vârfurile $(0,\pm 10)$ și $(\pm 6,0)$. a) Scrieți ecuația ei canonică. b) Determinați focarele și excentricitatea. c) Determinați funcțiile a căror reuniune de grafice este elipsa.

18. (Provocare.) Arătați, folosind testul verticalei, că singurele conice din tabelul-sinteză care sunt grafice de funcții sunt parabolele $x^2=\pm 2py$ și hiperbolele echilatere $xy=k$.

Răspunsuri și explicații

1. a) elipsă cu axa mare pe $Ox$ ($a=6$, $b=4$); b) hiperbolă cu axa transversă pe $Oy$ ($a=3$, $b=4$); c) parabolă deschisă spre dreapta; d) hiperbolă echilateră raportată la asimptote; e) cerc (coeficienți egali la $x^2$ și $y^2$).

2. Împărțind prin $144$: $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$, deci $a=6$, $b=4$ și $c=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

3. Împărțind prin $144$: $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$. Termenul pozitiv este cel cu $y^2$, deci axa transversă este $Oy$: $a=3$, $b=4$, $c=\sqrt{9+16}=5$. Vârfurile sunt $(0,\pm 3)$, focarele $(0,\pm 5)$, iar asimptotele $y=\pm \frac{3}{4}x$ (semiaxa de sub $y^2$ împărțită la cea de sub $x^2$). Control: $\left(\frac{16}{3},5\right)$ verifică ecuația.

4. $m=-2$, $n=4$, $p=-5$, deci centrul este $C(2,-4)$ și $r^2=4+16+5=25$, adică $r=5$. Verificare: $(2,1)$, $(7,-4)$ și $(5,0)$ sunt pe cerc.

5. Numitorul mare, $169$, stă sub $y^2$, deci $a=13$ pe $Oy$ și $b=12$ pe $Ox$; $c=\sqrt{169-144}=5$. Vârfurile sunt $(0,\pm 13)$ și $(\pm 12,0)$, focarele $(0,\pm 5)$, iar $e=\frac{5}{13}$.

6. $2p=26$, deci $p=13$; focarul este $\left(\frac{13}{2},0\right)$, iar directoarea $x=-\frac{13}{2}$. Coarda prin focar are lungimea $2p=26$, cu capetele $\left(\frac{13}{2},\pm 13\right)$.

7. Fals. Membrul drept este $0$, nu $1$: ecuația se descompune în $\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{5}\right)=0$, deci reprezintă reuniunea dreptelor $y=\pm \frac{5}{3}x$ — un caz degenerat, chiar perechea de asimptote a hiperbolelor cu acești numitori.

8. Fals. Membrul stâng este o sumă de pătrate, deci nenegativ, iar membrul drept este negativ: nu există niciun punct care să verifice egalitatea. Mulțimea soluțiilor este vidă.

9. Din $k=50$: $a=b=\sqrt{2\cdot 50}=10$, $c=a\sqrt{2}=10\sqrt{2}$, $e=\sqrt{2}$. Vârfurile sunt $\left(\pm 5\sqrt{2},\pm 5\sqrt{2}\right)$ (produsul coordonatelor $=k=50$ ✓), focarele $(\pm 10,\pm 10)$ (produsul $=2k=100$ ✓), semnele luându-se simultan. Asimptotele sunt axele de coordonate.

10. Coeficienții lui $x^2$ și $y^2$ sunt egali: cerc. Împărțim prin $3$: $x^2+y^2-4x+6y-5=0$, deci $m=-2$, $n=3$, $p=-5$, centrul $C(2,-3)$ și $r^2=4+9+5=18$, adică $r=3\sqrt{2}$.

11. $a=10$, $b=8$, deci asimptotele sunt $y=\pm \frac{8}{10}x=\pm \frac{4}{5}x$, iar $c=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,81$.

12. Variabila la pătrat este $x$, deci axa de simetrie este $Oy$; semnul minus arată deschiderea în jos. Din $2p=24$: $p=12$, focarul $(0,-6)$, directoarea $y=6$. Control: $(12,-6)$ verifică ecuația și are $MF=12$.

13. Din $\frac{y^2}{169}=1-\frac{x^2}{144}$ rezultă $y=\pm \frac{13}{12}\sqrt{144-x^2}$, deci $f_{1,2}:[-12,12]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{13}{12}\sqrt{144-x^2}$. Domeniul vine din $144-x^2\ge 0$; coeficientul din fața radicalului este raportul dintre semiaxa de pe $Oy$ și cea de pe $Ox$.

14. Ridicăm la pătrat: $y^2=9(x^2-4)$, deci $9x^2-y^2=36$ și, împărțind prin $36$, $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{36}=1$: hiperbolă cu axa transversă pe $Ox$, $a=2$, $b=6$, $c=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, vârfurile $(\pm 2,0)$, focarele $\left(\pm 2\sqrt{10},0\right)$, asimptotele $y=\pm 3x$.

15. Deschiderea în sus dă forma $x^2=2py$. Din punctul $(12,4)$: $144=2p\cdot 4$, deci $2p=36$ și $x^2=36y$, cu $p=18$. Focarul este $(0,9)$, directoarea $y=-9$. Control: distanța de la $(12,4)$ la focar este $\sqrt{144+25}=13$, iar la directoare $4+9=13$ ✓.

16. Fals. Parabolele $x^2=\pm 2py$ și hiperbolele echilatere $xy=k$ sunt grafice ale unei singure funcții, $y=\pm \frac{x^2}{2p}$, respectiv $y=\frac{k}{x}$. Afirmația este adevărată doar pentru cerc, elipsă, hiperbola în formă canonică și parabolele cu axa orizontală.

17. a) Vârfurile de pe $Oy$ sunt mai depărtate de centru, deci semiaxa mare este $a=10$ și stă pe $Oy$, iar $b=6$: ecuația este $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{100}=1$. b) $c=\sqrt{100-36}=8$, deci focarele sunt $(0,\pm 8)$, iar $e=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. c) Din $\frac{y^2}{100}=1-\frac{x^2}{36}$ rezultă $f_{1,2}:[-6,6]\to \mathbb{R}$, $f_{1,2}(x)=\pm \frac{5}{3}\sqrt{36-x^2}$. Control: $\left(\frac{18}{5},8\right)$ verifică ecuația.

18. Testul verticalei cere ca fiecare dreaptă $x=x_0$ să taie curba în cel mult un punct. La cerc, la elipsă și la hiperbola în formă canonică, ecuația conține $y^2$ cu coeficient nenul și fără termen în $y$ la puterea întâi, deci pentru fiecare $x_0$ din interiorul domeniului se obțin două valori opuse ale lui $y$: testul cade. La parabola $y^2=\pm 2px$ se întâmplă la fel. Rămân $x^2=\pm 2py$, unde $y$ apare la puterea întâi și se exprimă unic, $y=\pm \frac{x^2}{2p}$, și $xy=k$, unde $y=\frac{k}{x}$ este unic pentru fiecare $x\ne 0$. Deci exact acestea două trec testul.

De reținut

• Tipul unei conice se decide în două întrebări: câte variabile apar la pătrat (una singură înseamnă parabolă) și ce semn stă între cele două pătrate (plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă), iar numitori egali după normalizare înseamnă cerc.
• Ecuațiile de forma $A{x}^2+B{y}^2=D$ se aduc la forma canonică prin împărțire cu $D$, iar ecuația generală a cercului prin completarea pătratelor; fără această normalizare, recunoașterea este nesigură.
• Poziția numitorului mare arată axa: la elipsă, semiaxa mare este radicalul numitorului mai mare și stă pe axa variabilei de sub care apare, iar la hiperbolă axa transversă este cea a termenului cu semnul plus.
• Panta asimptotelor unei hiperbole este raportul dintre semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$, la ambele orientări, și se obține cel mai repede înlocuind $1$ cu $0$ în ecuația canonică.
• O conică este reuniunea graficelor funcțiilor obținute scoțând $y$ din ecuație cu ambele semne ale radicalului, pe domeniul dat de condiția de existență a radicalului; fac excepție $x^2=\pm 2py$ și $xy=k$, care sunt grafice ale unei singure funcții.

Greșeli frecvente

• Citești elementele înainte de normalizare. Din $25x^2+9y^2=225$ nu se citesc semiaxele $5$ și $3$ în ordinea scrisă: după împărțirea prin $225$, semiaxa mare este $5$ și stă pe $Oy$. Împarte întotdeauna întâi.
• Presupui că axa mare, respectiv axa transversă, este mereu $Ox$. Ea este pe $Oy$ ori de câte ori numitorul mare stă sub $y^2$ la elipsă, respectiv termenul pozitiv este cel cu $y^2$ la hiperbolă; atunci și focarele urcă pe $Oy$.
• Aplici la ambele orientări regula „panta este semiaxa de sub termenul cu minus". Ea funcționează numai la forma cu axa transversă pe $Ox$. Regula generală este raportul „semiaxa de sub $y^2$ împărțită la semiaxa de sub $x^2$"; verific-o pe $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$, unde panta este $\frac{4}{3}$, nu $\frac{3}{4}$.
• Numești conică orice ecuație de gradul al doilea. Membrul drept egal cu $0$ dă un punct sau două drepte concurente, iar egal cu un număr negativ dă mulțimea vidă; la cerc, semnul lui $m^2+n^2-p$ decide.
• Uiți domeniul la reuniunea de grafice. $f_{1,2}(x)=\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ fără precizarea $x\in (-\infty ,-a]\cup [a,+\infty )$ este un răspuns incomplet; la forma cu axa transversă pe $Oy$, dimpotrivă, domeniul este tot $\mathbb{R}$.

Aplică acasă

1. Zece ecuații amestecate. Scrie pe zece bilețele ecuațiile conicelor din această unitate, amestecă-le și extrage-le pe rând, spunând tipul și elementele în cel mult treizeci de secunde. Verifică apoi cu tabelul-sinteză și notează la ce tip greșești.

2. Perechea conjugată. Desenează pe hârtie milimetrică, în același reper, hiperbolele $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ și $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1$, pornind de la același dreptunghi fundamental. Observă că cele patru ramuri umplu cele patru unghiuri formate de asimptote și marchează pe desen toate cele patru focare.

3. Din desen în ecuație. Caută fotografia unei arcade eliptice, a unui turn de răcire sau a unei antene de satelit, suprapune un caroiaj și citește două mărimi. Scrie ecuația conicei potrivite, apoi verific-o substituind un al treilea punct citit de pe imagine.

Pentru părinți și profesori

Lecția este sinteza de recunoaștere a unității de conice și răspunde la trei activități de învățare din programa de matematică-informatică: recunoașterea tipului de conică după ecuația canonică sau după reprezentarea grafică, identificarea elementelor unei conice căreia i se cunoaște desenul și identificarea funcțiilor a căror reuniune de grafice reprezintă o conică dată.

Ce verifică lecția: (1) aducerea la forma canonică prin împărțire sau prin completarea pătratelor, înainte de orice citire de elemente; (2) decizia asupra tipului, în ordinea „câte pătrate, ce semn"; (3) lucrul cu formele întoarse, cu axa pe $Oy$, inclusiv panta corectă a asimptotelor; (4) deosebirea dintre o conică adevărată și un caz degenerat; (5) scrierea conicei ca reuniune de grafice, cu domeniul precizat.

Întrebări bune de control: „Ce faci prima dată când vezi $16y^2-9x^2=144$?"; „Cum știi pe ce axă stau focarele?"; „De ce elipsa nu este graficul unei funcții, dar $xy=k$ este?"; „Ce descrie ecuația $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{25}=0$?".

Semne că a înțeles: normalizează înainte să citească orice; spune „axa mare este pe $Oy$" fără să ezite când numitorul mare stă sub $y^2$; scrie domeniul odată cu funcțiile; verifică răspunsul substituind un punct.

Dificultatea tipică: forma cu axa transversă pe $Oy$, introdusă aici. Elevul aplică din reflex regula pantei de la forma cu axa pe $Ox$ și obține inversul; exercițiile 3 și 11 pun cele două orientări una lângă alta.

Unde apare la BAC: conicele intră în examen odată cu sesiunile susținute pe programa nouă. Formatul previzibil este cel din Exemplul 6 — tipul și elementele, verificarea unui punct, scrierea funcțiilor —, iar recunoașterea rapidă a tipului este pasul care economisește cel mai mult timp în lucrare.

Întrebări frecvente

Cum recunoști tipul unei conice dintr-o ecuație?

Aduci întâi ecuația la forma canonică, apoi pui două întrebări. Dacă o singură variabilă apare la pătrat, este parabolă; dacă apar amândouă, semnul dintre ele decide: plus înseamnă elipsă, minus înseamnă hiperbolă, iar numitori egali înseamnă cerc. Ecuația $xy=k$, fără pătrate, este hiperbolă echilateră raportată la asimptote.

Ce înseamnă când numitorul mare stă sub $y^2$?

Înseamnă că axa mare a elipsei este $Oy$, nu $Ox$: semiaxa mare rămâne radicalul numitorului mai mare, dar se măsoară pe verticală, vârfurile depărtate sunt $(0,\pm a)$, iar focarele devin $(0,\pm c)$. Formula $c=\sqrt{a^2-b^2}$ nu se schimbă; se schimbă doar axa pe care se așază rezultatul.

Care sunt asimptotele hiperbolei $\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$?

Sunt dreptele $y=\pm \frac{a}{b}x$. Se obțin înlocuind $1$ cu $0$ în ecuație și factorizând diferența de pătrate. Regula generală, valabilă la ambele orientări, este că panta se scrie ca raport între semiaxa de sub $y^2$ și semiaxa de sub $x^2$ — la forma cu axa transversă pe $Ox$ ea dă panta cunoscută $\frac{b}{a}$.

Cum scrii o conică drept reuniune de grafice de funcții?

Scoți $y$ din ecuație și păstrezi ambele semne ale radicalului. Cercul $x^2+y^2=r^2$ dă $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ pe $[-r,r]$, elipsa dă $\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$ pe $[-a,a]$, hiperbola dă $\pm \frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ pe reuniunea celor două semidrepte, iar parabola $y^2=2px$ dă $\pm \sqrt{2px}$ pe $[0,+\infty )$.

Care conice sunt grafice de funcții?

Doar două tipuri: parabolele cu axa verticală, $x^2=\pm 2py$, care se scriu $y=\pm \frac{x^2}{2p}$ pe $\mathbb{R}$, și hiperbolele echilatere raportate la asimptote, $xy=k$, care se scriu $y=\frac{k}{x}$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Toate celelalte cad la testul verticalei, pentru că o dreaptă verticală le taie în două puncte.

Ce descrie o ecuație care „arată" a conică, dar are $0$ în membrul drept?

Un caz degenerat. Suma de pătrate egală cu zero dă un singur punct, originea la forma canonică; diferența de pătrate egală cu zero se descompune și dă două drepte concurente, chiar asimptotele hiperbolei corespunzătoare; iar dacă membrul drept este negativ la o sumă de pătrate, mulțimea soluțiilor este vidă.

Se cere recunoașterea conicelor la examen?

În subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă a clasei a XII-a. Când vor intra, recunoașterea tipului va fi primul pas al oricărui subiect de conice, iar scrierea ca reuniune de grafice pregătește direct calculul ariilor mărginite de conice, de la finalul anului.