Redactarea la Bacalaureat M1: ce se depunctează: pe scurt

Baremul de Bacalaureat M1 nu punctează rezultatul, ci drumul scris către el: cele $5$ puncte ale unui subpunct se împart de obicei $2+3$ sau $1+2+2$. De aici trei consecințe — o rezolvare începută corect și neterminată aduce puncte, un rezultat corect fără pași nu ia punctajul întreg, iar o eroare de calcul la final nu anulează pașii anteriori. Ipotezele teoremelor se enunță complet și înaintea concluziei: Rolle cere continuitate pe $[a,b]$, derivabilitate pe $(a,b)$ și $f(a)=f(b)$; Lagrange, primele două; L'Hôpital se aplică numai după ce s-a scris că suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; teorema de medie cere continuitate pe intervalul închis și mărginit. Cele patru cazuri uitate sunt dreapta verticală, care nu are pantă; $\Delta =0$, care nu spune singur dacă un sistem e nedeterminat sau incompatibil; capătul intervalului, unde teorema lui Fermat nu se aplică; și $n=-1$ la $\int x^{n}dx$, unde primitiva este $\ln |x|+\mathcal{C}$. O demonstrație se scrie în cele patru mișcări ale redactării: ce se dă, ce se cere, drumul cu justificările la vedere, concluzia în cuvinte — ultima lipsește cel mai des. Iar controlul de bun-simț numeric prinde în treizeci de secunde majoritatea greșelilor: o arie iese pozitivă, o probabilitate stă în $[0,1]$, un volum conține $\pi$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Enunțul complet al teoremei lui Rolle cere ca funcția $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ să fie:

   • a) derivabilă pe $[a,b]$ și cu $f(a)=f(b)$
   • b) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$
   • c) continuă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$
   • d) continuă și derivabilă pe $[a,b]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$ și cu $f(a)=f(b)$

   Cele trei ipoteze se scriu exact așa, cu intervalul închis la continuitate și deschis la derivabilitate. Deosebirea nu e formală: funcția $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ pe $[-1,1]$ e continuă pe intervalul închis, dar nu e derivabilă în capete — și totuși teorema se aplică. Cerința „derivabilă pe $[a,b]$” ar exclude-o inutil, iar „continuă pe $(a,b)$” ar fi prea slabă. Ipoteza se scrie înaintea concluziei.

2. Formularea corectă pentru funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, este:

   • a) $f$ este strict descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • b) $f$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$
   • c) $f$ este strict crescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$
   • d) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$

   Monotonia se enunță pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale, chiar dacă semnul derivatei e același peste tot. Contraexemplul e imediat: $-1<1$, dar $f(-1)=-1<1=f(1)$, deci pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ funcția nu este descrescătoare. Iar $\mathbb{R}$ nici măcar nu este domeniul ei. Aceeași regulă se aplică la convexitate și la afirmația „două primitive diferă printr-o constantă”.

3. Formula $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ nu se aplică pentru:

   • a) $n=0$, când integrandul este constant
   • b) $n=1$, când integrandul este liniar
   • c) $n=-1$, când primitiva este $\ln |x|+\mathcal{C}$, pe un interval care nu conține originea
   • d) orice $n$ negativ
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $n=-1$, când primitiva este $\ln |x|+\mathcal{C}$, pe un interval care nu conține originea

   Pentru $n=-1$ numitorul $n+1$ se anulează, deci formula nu are sens; acolo primitiva este $\ln |x|+\mathcal{C}$, cu modul, pe $(-\infty ,0)$ sau pe $(0,+\infty )$. Este unul dintre cele patru cazuri uitate. Pentru $n=0$ formula dă corect $x+\mathcal{C}$, iar pentru orice alt exponent negativ funcționează, cu intervalul precizat: de pildă $\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2x^2}+\mathcal{C}$.