Redactarea la Bacalaureat M1: ipoteze, justificări, cazuri și ce se depunctează

Doi elevi de clasa a 12-a scriu la examen același răspuns. Primul ia cinci puncte, al doilea ia două. Nu pentru că unul ar ști mai multă matematică, ci pentru că unul a scris pe foaie ceea ce baremul caută, iar celălalt a lăsat în cap exact partea care se punctează. Diferența aceasta — dintre a ști și a arăta că știi — valorează, adunată pe toată lucrarea, între zece și douăzeci de puncte. Redactarea la Bacalaureat M1 înseamnă a scrie pe foaie exact pașii pe care îi caută baremul: ipotezele teoremelor enunțate complet, justificările obligatorii, cazurile speciale tratate separat și concluzia formulată în cuvinte.

Lecția de față nu predă matematică nouă. Ea ia rezultatele pe care le folosești oricum și arată cum se scriu ca să aducă tot punctajul: ce ipoteze se enunță complet, ce justificări sunt obligatorii, ce cazuri se uită sistematic și care sunt greșelile de redactare care costă puncte, cu perechi „așa nu / așa da". Structura subiectului și punctajul pe subiecte sunt la structura examenului de Bacalaureat M1; aici ne uităm la ce se întâmplă în interiorul unei rezolvări.

Ce vei învăța

• Vei ști ce anume punctează baremul, pas cu pas, și de ce o rezolvare neterminată aduce totuși puncte.
• Vei ști să enunți complet ipotezele teoremelor cerute la Bacalaureat M1 și să le verifici înainte de a le folosi.
• Vei ști să justifici integrabilitatea unei funcții atunci când calculezi o limită cu sume Riemann.
• Vei ști care sunt cazurile uitate — dreapta verticală, $\Delta =0$, capătul intervalului, $n=-1$ — și cum se tratează.
• Vei ști să recunoști, într-o rezolvare scrisă, greșelile de redactare care costă puncte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce punctează, de fapt, baremul?

Baremul de Bacalaureat M1 este lista pașilor pentru care se acordă puncte la fiecare subpunct, împreună cu punctajul fiecărui pas; el nu punctează rezultatul final, ci drumul scris către el. Un subpunct valorează cinci puncte, iar cele cinci puncte se împart de obicei în doi plus trei sau în unu plus doi plus doi. Consecințele practice sunt trei:

• o rezolvare începută corect și neterminată aduce puncte — pasul intermediar scris se punctează separat;
• un rezultat corect fără pași nu ia punctajul întreg — corectorul nu poate acorda puncte pentru ce nu vede;
• o eroare de calcul la final nu anulează pașii anteriori — de aceea se scriu toți.

2. Cum se enunță complet ipotezele unei teoreme?

La examen se depunctează ipotezele lipsă. Iată formele complete ale rezultatelor cerute cel mai des:

• Teorema lui Rolle: $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$, derivabilă pe $(a,b)$, cu $f(a)=f(b)$; atunci există $c\in (a,b)$ cu $f^{\prime }(c)=0$.
• Teorema lui Lagrange: $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continuă pe $[a,b]$ și derivabilă pe $(a,b)$; atunci există $c\in (a,b)$ cu $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$.
• Regulile lui L'Hôpital: se aplică numai după ce s-a scris că suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, cu $g^{\prime }(x)\ne 0$ pe o vecinătate redusă a punctului și cu condiția ca limita raportului derivatelor să existe.
• Teorema Kronecker–Capelli: un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$; dacă valoarea comună este numărul necunoscutelor, sistemul e compatibil determinat, altfel compatibil nedeterminat.
• Criteriul de subgrup: $H\subseteq G$, $H\ne \varnothing$, și pentru orice $x,y\in H$ avem $xy\in H$ și $x^{-1}\in H$.
• Teorema de medie: $f$ continuă pe intervalul închis și mărginit $[a,b]$; atunci există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

Regula de aur: ipoteza se scrie înainte de concluzie, nu după. Fraza „funcția este continuă pe $[a,b]$, fiind sumă de funcții elementare" costă un rând și aduce, în multe bareme, un punct întreg.

3. Cum se justifică integrabilitatea la sumele Riemann?

Când o limită de șir se transformă într-o integrală, se parcurg cei patru pași ai sumei Riemann, în forma fixată la limitele de șiruri cu sume Riemann: se scoate factorul $\frac{1}{n}$, se identifică funcția $f$ din raportul $\frac{k}{n}$, se recunoaște diviziunea echidistantă a intervalului $[0,1]$ cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ și se calculează integrala. Pasul care se sare cel mai des e cel de-al treilea, mai exact partea lui de justificare: invocarea integrabilității — „funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci este integrabilă", cu trimitere la clasele de funcții integrabile. Fără fraza aceea, exercițiul e considerat incomplet: limita unei sume Riemann există pentru că funcția e integrabilă, nu invers.

4. Care sunt cele patru cazuri uitate?

Sunt patru, și se repetă din sesiune în sesiune:

• dreapta verticală. Când se lucrează cu pante, dreapta $x=a$ nu are pantă și trebuie tratată separat; o rezolvare care scrie doar $y=mx+n$ pierde un caz;
• $\Delta =0$. La un sistem cu parametru, anularea determinantului nu spune dacă sistemul e nedeterminat sau incompatibil; la o ecuație de gradul al doilea cu parametru, cazul rădăcinii duble trebuie discutat separat, pentru că el nu se vede din schimbările de semn;
• capătul intervalului. Teorema lui Fermat cere punct de extrem din interiorul intervalului; pe $[0,1]$, funcția $f(x)=x$ are extreme în capete, unde derivata nu se anulează;
• $n=-1$ la $\int x^{n}dx$. Formula $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ are numitorul zero pentru $n=-1$; acolo primitiva este $\ln |x|+\mathcal{C}$, cu modul, pe un interval care nu conține originea.

5. Ce se depunctează la Bacalaureat M1 la matematică?

6. Cum se redactează o demonstrație?

În patru mișcări, în ordinea aceasta, oricare ar fi capitolul:

1. Ce se dă — ipotezele, scrise cu simbolurile din enunț;
2. Ce se cere — concluzia, formulată înainte de a începe calculul;
3. Drumul — pașii, fiecare pe rândul lui, cu justificarea la vedere („din teorema lui Lagrange", „prin criteriul de subgrup", „din monotonia integralei");
4. Concluzia — o propoziție în cuvinte, care reia exact ce s-a cerut.

Mișcarea a patra e cea care lipsește cel mai des. Un calcul care se oprește la un număr nu e o demonstrație; „deci $(M,+,\cdot )$ este corp" e răspunsul.

7. Ce verifici în cele zece minute de la final?

Bugetul de timp de la structura examenului de Bacalaureat M1 rezervă zece minute pentru verificare. Nu recitești tot — verifici cinci lucruri, în ordinea aceasta: soluțiile sistemelor (înlocuite în toate ecuațiile), semnele din tabelele de variație (un semn greșit rupe tot tabelul), constanta $\mathcal{C}$ la fiecare integrală nedefinită, unitățile de măsură la problemele aplicate și concluziile scrise în cuvinte la fiecare subpunct de la Subiectele al II-lea și al III-lea. Apoi treci prin subpunctele nerezolvate și scrii, la fiecare, primul pas — el se punctează separat.

Ultimul control, cel mai ieftin și cel mai des sărit, este controlul de bun-simț numeric: o arie iese pozitivă, o probabilitate iese între $0$ și $1$, un volum conține factorul $\pi$, un determinant de matrice cu elemente întregi iese întreg, iar o soluție a unui sistem se înlocuiește în toate ecuațiile. Nu verifică raționamentul, dar prinde în treizeci de secunde majoritatea greșelilor de calcul — iar la examen greșelile de calcul costă mai multe puncte decât cele de metodă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Teorema lui Rolle, scrisă complet

Cerința. Fie $f:[-2,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$. Arătați că există $c\in (-2,2)$ cu $f^{\prime }(c)=0$ și determinați valorile lui $c$.

Așa da. Funcția $f$ este funcție polinomială, deci este continuă pe $[-2,2]$ și derivabilă pe $(-2,2)$ (1 p). În plus, $f(-2)=-8+8=0$ și $f(2)=8-8=0$, deci $f(-2)=f(2)$ (1 p). Ipotezele teoremei lui Rolle fiind verificate, există $c\in (-2,2)$ cu $f^{\prime }(c)=0$ (1 p). Cum $f^{\prime }(x)=3x^2-4$, ecuația $3c^2-4=0$ dă $c=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\approx \pm 1,15$, ambele în intervalul $(-2,2)$ (2 p).

Așa nu. „$f(-2)=f(2)=0$, deci din Rolle $f^{\prime }(c)=0$, adică $c=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$." Lipsesc continuitatea și derivabilitatea — două puncte din cinci.

Comentariu. Ipoteza de derivabilitate nu e formală: pentru $g(x)=|x|$ pe $[-1,1]$ avem $g(-1)=g(1)=1$ și $g$ continuă, dar $g$ nu e derivabilă în $0$, iar derivata nu se anulează nicăieri. Teorema chiar cade fără ipoteza aceea. Observă și că teorema dă existența, nu unicitatea: aici sunt două valori ale lui $c$, iar răspunsul complet le dă pe amândouă.

Exemplul 2 — L'Hôpital: cazul se verifică înainte

Cerința. Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2}{x^2+1}$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}$.

Prima limită. Funcțiile de la numărător și de la numitor sunt continue în $1$, iar numitorul nu se anulează: $\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+1)=2\ne 0$. Nu suntem într-un caz de nedeterminare, deci limita se calculează direct: $\frac{3}{2}$ (2 p).

Așa nu. Un elev care „aplică L'Hôpital" obține $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x}{2x}=1$ — un răspuns fals. Regula aplicată în afara cazurilor $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$ dă rezultate greșite, nu doar incomplete.

A doua limită. Aici $\underset{x\to 0}{\lim }(e^{2x}-1)=0$ și $\underset{x\to 0}{\lim }\sin 3x=0$, deci suntem în cazul $\frac{0}{0}$; ambele funcții sunt derivabile pe o vecinătate a lui $0$, iar $(\sin 3x{)}^{\prime }=3\cos 3x\ne 0$ lângă $0$ (1 p). Atunci $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin 3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^{2x}}{3\cos 3x}=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$

Comentariu. A doua limită se putea calcula și cu limitele fundamentale, amplificând convenabil: $\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\cdot \frac{2}{3}$. Baremul acceptă ambele drumuri; niciunul nu se poate scrie fără fraza care identifică nedeterminarea.

Exemplul 3 — Cazul uitat: discuția după parametru

Cerința. Discutați, după $m\in \mathbb{R}$, numărul soluțiilor reale ale ecuației $x^3-3x=m$.

Rezolvarea. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x$. Atunci $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, deci $f$ are un maxim local în $-1$, cu $f(-1)=2$, și un minim local în $1$, cu $f(1)=-2$; la capete, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f=+\infty$ (2 p). Numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ este numărul punctelor de intersecție dintre grafic și dreapta orizontală $y=m$ (1 p):

(2 p).

Comentariu. Cazurile $m=\pm 2$ sunt cele care se uită, și se uită dintr-un motiv concret: acolo dreapta e tangentă graficului, ecuația are o rădăcină dublă, iar funcția $f(x)-m$ nu-și schimbă semnul în acel punct. Cine caută soluțiile numai după schimbările de semn le pierde. Regula de redactare: la orice discuție după parametru, valorile care separă intervalele se tratează într-un rând propriu, nu se lipesc de vecini. Al doilea loc în care se pierd puncte este tabelul însuși: el trebuie să acopere toată dreapta reală, adică reuniunea intervalelor din prima coloană să fie $\mathbb{R}$, iar valorile-prag $-2$ și $2$ să apară exact o dată. Un tabel cu $m\le -2$ pe primul rând și $m\ge -2$ pe al doilea numără de două ori aceeași valoare și e considerat greșit, chiar dacă numerele din a doua coloană sunt corecte. Metoda completă, cu graficul și cu tabelul, este la rezolvarea grafică a ecuației.

Exemplul 4 — Primitive: $n=-1$, intervalul și modulul

Cerința. Calculați ${\int }_1^2\frac{dx}{x}$ și ${\int }_{-3}^{-1}\frac{dx}{x}$.

Rezolvarea. Formula $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ nu se poate folosi pentru $n=-1$, pentru că numitorul $n+1$ se anulează (1 p). Rândul corect din tabel este $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+\mathcal{C}$, valabil pe orice interval din ${\mathbb{R}}^{\ast }$ (1 p). Pe $[1,2]$, funcția $x\mapsto \frac{1}{x}$ este continuă, deci $${\int }_1^2\frac{dx}{x}=\ln |x|{|}_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2\text{(1,5 p)}.$$ Pe $[-3,-1]$ funcția este tot continuă (intervalul nu conține originea), iar modulul își arată rostul: $${\int }_{-3}^{-1}\frac{dx}{x}=\ln |x|{|}_{-3}^{-1}=\ln 1-\ln 3=-\ln 3\text{(1,5 p)}.$$

Comentariu. Fără modul, al doilea calcul ar cere $\ln (-1)$, care nu are sens. Rezultatul negativ e corect și așteptat: pe $[-3,-1]$ funcția este negativă, deci integrala ei este negativă — dar aria dintre grafic și axă este $\ln 3$. Cele două nu se confundă. Al doilea control: intervalul de integrare nu are voie să conțină un punct în care funcția nu e definită; ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x}$ nu are sens la clasa a XII-a.

Exemplul 5 — Sume Riemann: justificarea care aduce punctul

Cerința. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+3k^2}$.

Rezolvarea. Scoatem $n^2$ de la numitor și forțăm factorul $\frac{1}{n}$ (1 p): $$\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+3k^2}=\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2\left(1+3{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\right)}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+3{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}.$$ Recunoaștem suma Riemann a funcției $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{1+3x^2}$, asociată diviziunii echidistante a intervalului $[0,1]$ cu punctele intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ (1 p). Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci este integrabilă pe $[0,1]$ — justificarea fără de care exercițiul rămâne incomplet (1 p). Prin urmare limita este $${\int }_0^1\frac{dx}{1+3x^2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\left(x\sqrt{3}\right){|}_0^1=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\text{(2 p)}.$$

Comentariu. Cele patru fraze — factorul $\frac{1}{n}$, identificarea funcției, recunoașterea diviziunii cu invocarea integrabilității, calculul integralei — sunt exact liniile baremului. Justificarea integrabilității pare de prisos, dar nu e: existența limitei se sprijină pe ea. Verificare numerică rapidă, utilă acasă: pentru $n=10000$, suma dă $0,604\dots$, iar $\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\approx 0,6046$. Mai e un amănunt de redactare: intervalul pe care se lucrează trebuie numit, nu presupus. Suma $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ corespunde intervalului $[0,1]$; dacă în enunț apare $\frac{2k}{n}$, intervalul devine $[0,2]$ și factorul din față se schimbă. Greșeala clasică e să se scrie automat ${\int }_0^1$, indiferent de ce e sub sumă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1: criteriul de subgrup, redactat complet

Enunțul. În grupul $({\mathbb{Z}}_9,+)$ se consideră mulțimea $H=\{\hat{0},\hat{3},\hat{6}\}$. a) Arătați că $H$ este parte stabilă a lui ${\mathbb{Z}}_9$ în raport cu adunarea. b) Arătați că $H$ este subgrup al grupului $({\mathbb{Z}}_9,+)$. c) Determinați $\mathrm{ord}(\hat{3})$ și verificați concluzia teoremei lui Lagrange.

a) Scriem tabla adunării pe $H$ (3 p):

Toate cele nouă rezultate aparțin lui $H$, deci $H$ este parte stabilă (2 p).

b) Aplicăm criteriul de subgrup, pe toate cele trei condiții (1 p): $H\ne \varnothing$, pentru că $\hat{0}\in H$ (1 p); pentru orice $x,y\in H$ avem $x+y\in H$, conform punctului a) (1 p); pentru orice $x\in H$, opusul $-x$ aparține lui $H$, pentru că $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{3}=\hat{6}$ și $-\hat{6}=\hat{3}$ (1 p). Cele trei condiții fiind îndeplinite, $H$ este subgrup al lui $({\mathbb{Z}}_9,+)$ (1 p).

c) Ordinul lui $\hat{3}$ este cel mai mic număr natural nenul $k$ cu $\underset{k}{\underbrace{\hat{3}+\cdots +\hat{3}}}=\hat{0}$ (1 p). Avem $\hat{3}\ne \hat{0}$, $\hat{3}+\hat{3}=\hat{6}\ne \hat{0}$ și $\hat{3}+\hat{3}+\hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$, deci $\mathrm{ord}(\hat{3})=3$ (2 p). Teorema lui Lagrange spune că $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_9$; într-adevăr, $3\mid 9$, iar Consecința 1 dă $\mathrm{ord}(\hat{3})\mid 9$, ceea ce se verifică (2 p).

Comentariu. Punctul b) e cel în care se pierd puncte fără ca elevul să greșească matematica: mulți scriu doar „din tabla de la a) se vede că $H$ e subgrup". Nu se vede — tabla dă doar prima condiție. Condiția a doua, existența opusului în $H$, se verifică separat, element cu element. Iar afirmația finală se scrie ca propoziție, cu numele structurii. La punctul c), formularea „ordinul lui $\hat{3}$ este $3$ pentru că $3\cdot 3=9$" e prea scurtă: trebuie arătat că $k=1$ și $k=2$ nu merg, altfel nu e „cel mai mic".

Să exersăm

1. Scrieți ipotezele complete ale teoremei lui Lagrange pentru $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$, apoi determinați valoarea lui $c$ dată de teoremă.

2. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ și $f^{\prime }(c)=0$, atunci $c$ este punct de extrem local al lui $f$."

3. Corectați redactarea: „Limita $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+1}{x+1}$ este caz $\frac{0}{0}$, deci aplicăm regula lui L'Hôpital."

4. Ce lipsește din fraza „funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }<0$ pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, deci $f$ este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$"?

5. Enunțați teorema Kronecker–Capelli și spuneți ce concluzie dă pentru un sistem cu $3$ necunoscute în care $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2$.

6. Determinați o primitivă a funcției $f:(-\infty ,0)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$, și explicați de ce nu se poate folosi formula $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

7. Arătați, cu criteriul de subgrup redactat pe toate condițiile, că $H=\{\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6}\}$ este subgrup al grupului $({\mathbb{Z}}_8,+)$.

8. (Problemă aplicată.) Un elev scrie: „aria regiunii dintre graficul funcției $f(x)=x^3-x$, axa $Ox$ și dreptele $x=0$, $x=2$ este ${\int }_0^2(x^3-x)dx=2$." Explicați greșeala și calculați aria corectă.

9. Rescrieți corect: „Din tabelul de variație rezultă că funcția are maximul $5$."

10. Ce ipoteză lipsește din: „Fiindcă $f$ este continuă pe $(0,1)$, există $c$ astfel încât ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(c)$"?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Redactați complet, cu toți pașii pe care îi cere baremul, calculul limitei $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k^2}{n^2}$.

12. Ce se depunctează într-o rezolvare care începe direct cu „$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$"?

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă un polinom de gradul al patrulea nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$, atunci este ireductibil peste ${\mathbb{Z}}_5$."

14. Scrieți concluzia completă a calculului: „$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=2$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-2x)=-1$."

15. Un elev scrie ecuația dreptei prin $A(2,5)$ și $B(2,-1)$ folosind panta și nu îi iese. Explicați de ce și scrieți ecuația corectă.

16. (Problemă aplicată.) La un subpunct de $5$ puncte cu baremul $2$ p $+$ $3$ p, un elev calculează corect determinantul, dar greșește ultima împărțire. Câte puncte poate primi și ce concluzie tragi pentru felul în care scrii?

17. Redactați complet, cu ipoteze și concluzie, demonstrația afirmației: „dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale funcției $f$ pe intervalul $I$, atunci $F-G$ este constantă pe $I$."

18. (Provocare.) Găsiți cele patru greșeli din rezolvarea următoare: „Fie $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Funcția fiind continuă, aplicăm formula Leibniz–Newton: ${\int }_0^2\frac{dx}{x-1}=\ln (x-1){|}_0^2=\ln 1-\ln (-1)=0$."

Răspunsuri și explicații

1. $f$ este continuă pe $[1,4]$ și derivabilă pe $(1,4)$ (radicalul e derivabil pe $(0,+\infty )$). Teorema dă $c\in (1,4)$ cu $f^{\prime }(c)=\frac{f(4)-f(1)}{3}=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$; cum $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, obținem $\sqrt{c}=\frac{3}{2}$, deci $c=\frac{9}{4}\in (1,4)$.

2. Fals. Contraexemplul standard: $f(x)=x^3$ are $f^{\prime }(0)=0$, dar $0$ nu e punct de extrem, funcția fiind strict crescătoare. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevărată.

3. Nu este caz de nedeterminare: numitorul tinde la $1\ne 0$. Limita se calculează direct și este $\frac{0+1}{0+1}=1$. Aplicarea regulii ar da $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{1}=0$, un răspuns fals.

4. Lipsește precizarea că monotonia se enunță pe un interval. Corect: $f$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, dar nu pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ — de pildă $f(-1)=-1<1=f(1)$, deși $-1<1$.

5. Un sistem liniar este compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$. Aici valoarea comună, $2$, este mai mică decât numărul necunoscutelor, $3$, deci sistemul este compatibil nedeterminat, cu $3-2=1$ necunoscută secundară (simplu nedeterminat).

6. $F(x)=\ln |x|=\ln (-x)$ pe $(-\infty ,0)$, pentru că $F^{\prime }(x)=\frac{-1}{-x}=\frac{1}{x}$. Formula $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ cere $n\ne -1$; pentru $n=-1$ numitorul se anulează, deci rândul din tabel este altul.

7. $H\ne \varnothing$ ($\hat{0}\in H$). Suma a două elemente din $H$ este tot în $H$: adunând numere pare modulo $8$ se obțin tot clase pare. Opusul fiecărui element aparține lui $H$: $-\hat{0}=\hat{0}$, $-\hat{2}=\hat{6}$, $-\hat{4}=\hat{4}$, $-\hat{6}=\hat{2}$. Deci $H$ e subgrup, iar $\mathrm{card}H=4$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_8=8$, conform teoremei lui Lagrange.

8. Funcția $f(x)=x(x-1)(x+1)$ este negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,2)$, deci integrala ei nu este aria. Aria este ${\int }_0^1(x-x^3)dx+{\int }_1^2(x^3-x)dx=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$. Valoarea $2$ este integrala, nu aria.

9. „Funcția are un punct de maxim local în $x=5$" sau „valoarea maximă a funcției este $5$" — nu amândouă deodată. Punctul de extrem este o abscisă, valoarea extremă este o ordonată; confundarea lor costă un punct de fiecare dată.

10. Lipsește intervalul închis: teorema de medie cere continuitatea pe $[0,1]$, nu pe $(0,1)$. Cu ipoteza corectă, concluzia este că există $c\in [0,1]$ cu ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(c)(1-0)=f(c)$.

11. Cei patru pași: factorul $\frac{1}{n}$ este deja scos; termenul rămas este ${\left(\frac{k}{n}\right)}^2$, deci $f(x)=x^2$; diviziunea este cea echidistantă a lui $[0,1]$, cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$, iar $f$ e continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă; prin urmare limita este ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

12. Lipsește verificarea condiției $\det A\ne 0$, adică justificarea faptului că $A$ este inversabilă. Formula nu are sens fără ea, iar baremul acordă un punct separat pentru calculul determinantului și pentru concluzia „deci $A$ e inversabilă".

13. Fals. Criteriul „reductibil $⟺$ are rădăcină" e valabil numai pentru gradele $2$ și $3$. Contraexemplul canonic din lecția despre polinoame ireductibile și descompunerea în factori: $X^4+\hat{1}$ nu are rădăcini în ${\mathbb{Z}}_5$, dar $X^4+\hat{1}=(X^2+\hat{2})(X^2+\hat{3})$.

14. „Deci dreapta de ecuație $y=2x-1$ este asimptotă oblică la graficul funcției $f$ spre $+\infty$." Concluzia trebuie să conțină ecuația dreptei și capătul la care se referă; valorile lui $m$ și $n$ singure nu sunt răspuns.

15. Punctele au aceeași abscisă, deci dreapta $AB$ este verticală și nu are pantă — $\mathrm{tg}90^{\circ }$ nu există, iar formula $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ cere numitor nenul. Ecuația corectă este $x=2$.

16. Primește cele $2$ puncte pentru determinantul corect, deși rezultatul final e greșit. Concluzia: pașii se scriu toți, pe rânduri separate; o rezolvare comprimată, din care corectorul nu poate izola pasul corect, pierde și punctajul parțial.

17. Ipoteze: $F$ și $G$ sunt derivabile pe intervalul $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)=G^{\prime }(x)$ pentru orice $x\in I$. Demonstrație: funcția $H=F-G$ este derivabilă pe $I$ și $H^{\prime }(x)=F^{\prime }(x)-G^{\prime }(x)=0$ pentru orice $x\in I$. Din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange, o funcție cu derivata nulă pe un interval este constantă pe acel interval. Concluzie: $F-G$ este constantă pe $I$. Ipoteza „$I$ interval" e esențială: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$ afirmația e falsă.

18. Cele patru greșeli: (i) funcția nu este definită în $x=1\in [0,2]$, deci nici măcar nu e funcție pe $[0,2]$; (ii) afirmația „fiind continuă" e falsă din același motiv, iar funcția e nemărginită lângă $1$, deci nu e integrabilă pe $[0,2]$; (iii) primitiva se scrie cu modul, $\ln |x-1|$, nu $\ln (x-1)$; (iv) $\ln (-1)$ nu are sens. Formula Leibniz–Newton cere ca funcția să fie integrabilă pe $[a,b]$ și să admită primitivă pe $[a,b]$; aici nu e îndeplinită niciuna dintre condiții.

De reținut

• Baremul punctează pașii, nu rezultatul: o rezolvare începută corect și neterminată aduce puncte, iar un rezultat corect fără pași nu ia punctajul întreg.
• Ipotezele teoremelor se enunță complet și înaintea concluziei: continuitate pe intervalul închis, derivabilitate pe intervalul deschis, determinant nenul, apartenența la mulțime.
• Regulile lui L'Hôpital se aplică numai după ce s-a scris că suntem în cazul $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$; în afara lor, regula dă rezultate false.
• Limita unei sume Riemann se scrie cu cei patru pași ai sumei Riemann, iar justificarea integrabilității funcției continue face parte din barem, nu e de prisos.
• Monotonia, convexitatea și afirmația „două primitive diferă printr-o constantă" se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.

Greșeli frecvente

• Ipoteza spusă după concluzie. „Există $c$ cu $f^{\prime }(c)=0$, pentru că $f$ e continuă" inversează ordinea logică; se scrie întâi verificarea ipotezelor, apoi „prin urmare, din teorema lui Rolle".
• Punctul de extrem confundat cu valoarea extremă. Punctul de maxim este o abscisă, valoarea maximă este $f$ calculată în ea; răspunsul complet le dă pe amândouă, cu numele lor.
• Aria calculată ca integrală, când funcția schimbă semnul. Se face întâi tabelul de semn, apoi se rupe integrala pe intervalele de semn constant și se adună valorile absolute.
• Constanta $\mathcal{C}$ uitată la integrala nedefinită. $\int f(x)dx$ este o mulțime de funcții; fără $+\mathcal{C}$ răspunsul e o singură primitivă, nu integrala nedefinită.
• Concluzia nescrisă. Un calcul care se oprește la un număr nu e o demonstrație; ultima propoziție reia cerința în cuvinte („deci $H$ este subgrup", „deci dreapta $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$").

Aplică acasă

1. Ia ultima ta lucrare de matematică și pune-ți singur punctajul după modelul „pas cu pas" din lecție, apoi calculează câte puncte ai pierdut din redactare și câte din matematică. Diferența dintre cele două cifre e planul tău de lucru pentru luna următoare.
2. Alege cinci rezolvări proprii și rescrie-le în forma din secțiunea „Cum se redactează o demonstrație": ce se dă, ce se cere, drumul, concluzia. Cronometrează — rescrierea corectă nu trebuie să dureze mai mult de două minute pe subpunct.
3. Construiește-ți propriul tabel „așa nu / așa da", cu cinci rânduri, din greșelile pe care le-ai făcut chiar tu în ultimele trei teste. Ține-l la vedere pe birou până când niciunul dintre rânduri nu se mai repetă.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează singura componentă a examenului care nu e matematică: redactarea. Ea verifică dacă elevul poate transforma un raționament corect într-o soluție punctabilă — cu ipoteze enunțate, justificări numite și concluzii scrise. Experiența corectărilor de la BAC M1 arată că un elev de nivel mediu pierde între zece și douăzeci de puncte din redactare, adică între o notă și două.

Întrebări de control: Ce ipoteze cere teorema lui Rolle? Când se poate aplica regula lui L'Hôpital? De ce se scrie modul la $\ln$? Ce se verifică înainte de a folosi formula inversei unei matrice?

Semne că a înțeles: scrie ipotezele înainte de a aplica o teoremă; numește teorema folosită; distinge punctul de extrem de valoarea extremă; nu abandonează un subpunct greu, ci scrie primii pași.

Unde apare la BAC M1: în fiecare subpunct al Subiectelor al II-lea și al III-lea, unde se cere „rezolvare completă". Cele două variante rezolvate din capitol — prima variantă completă și cea de pe programa veche — arată aceleași reguli aplicate pe un subiect întreg.

Întrebări frecvente

Ce se depunctează cel mai des la Bacalaureat M1 la matematică?

Ipotezele nescrise ale teoremelor, monotonia enunțată pe o reuniune de intervale în loc de un interval, constanta de integrare uitată, modulul lipsă la logaritm, aria confundată cu integrala și concluzia care se oprește la un număr, fără propoziția finală. Toate acestea sunt greșeli de redactare, nu de matematică.

Iau puncte dacă nu termin un subpunct?

Da. Baremul împarte cele cinci puncte ale unui subpunct pe pași, de obicei doi plus trei. Un pas intermediar corect se punctează separat, chiar dacă finalizarea lipsește sau e greșită. De aceea, la subpunctele pe care nu le poți duce până la capăt, scrii oricum primii pași.

Cum scriu corect ipotezele unei teoreme?

Le enunți complet, cu intervalele exacte, înainte de a trage concluzia. Pentru Rolle și Lagrange: continuă pe intervalul închis, derivabilă pe intervalul deschis. Pentru teorema de medie: continuă pe intervalul închis și mărginit. Apoi scrii „prin urmare, din teorema…", ca legătura logică să fie vizibilă.

De ce trebuie justificată integrabilitatea la sumele Riemann?

Pentru că trecerea de la limita sumei la integrală este validă numai dacă funcția este integrabilă. Justificarea standard e o singură frază: funcția este continuă pe intervalul respectiv, deci integrabilă. Ea face parte din al treilea dintre cei patru pași ai sumei Riemann, baremul acordă un punct pentru ea, iar fără ea exercițiul este considerat incomplet.

Ce înseamnă că formula $\int x^{n}dx$ nu merge pentru $n=-1$?

Formula dă $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, iar pentru $n=-1$ numitorul devine zero, deci expresia nu are sens. Rândul corect din tabelul primitivelor este $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+\mathcal{C}$, valabil pe orice interval care nu conține originea.

Când trebuie tratată separat dreapta verticală?

Ori de câte ori rezolvarea folosește panta. Dreapta $x=a$ nu are pantă și nu se poate scrie sub forma $y=mx+n$, deci orice discuție bazată pe pante trebuie să spună explicit ce se întâmplă în cazul acesta. Aceeași grijă la intersecția unei drepte cu o curbă.

Cum arăt corect că o mulțime este subgrup?

Se verifică trei condiții, scrise separat: mulțimea este nevidă, este parte stabilă în raport cu operația grupului și conține simetricul fiecărui element al ei. Tabla operației acoperă doar a doua condiție. Concluzia se scrie ca propoziție, cu numele structurii și al grupului în care se află subgrupul.

Cât timp aloc verificării la final?

Zece minute din cele trei ore, cât rezervă bugetul de timp recomandat. Nu se recitește tot: se verifică soluțiile sistemelor prin înlocuire, semnele din tabelele de variație, constantele de integrare, unitățile de măsură și concluziile scrise în cuvinte. Apoi se completează primul pas la subpunctele rămase nerezolvate.