Divizori ai lui zero; inele integre: pe scurt

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureat M1, care acoperă programa aplicată la sesiunile 2027–2029. Regulile de calcul într-un inel se deduc numai din cele opt axiome, deci sunt valabile în orice inel. Propoziția 1: $a\cdot 0=0\cdot a=0$, demonstrată pornind de la $0+0=0$, înmulțind cu $a$ și folosind distributivitatea. Propoziția 2 (regulile semnelor): $(-a)b=-(ab)$, $a(-b)=-(ab)$ și $(-a)(-b)=ab$, toate obținute din unicitatea opusului. Scăderea se definește prin $a-b:=a+(-b)$. ⚠️ Într-un inel oarecare $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$, iar formula cu $2ab$ cere $ab=ba$.

Un element $a\ne 0$ se numește divizor al lui zero dacă există $b\ne 0$ cu $ab=0$ sau $ba=0$; elementul $0$ nu este niciodată divizor al lui zero. Exemplul-etalon este $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=O_2$. Un inel comutativ, nenul și fără divizori ai lui zero se numește inel integru; criteriul de integritate moștenită spune că un inel inclus într-un inel integru, care conține pe $0$ și pe $1$, este el însuși integru. Teorema centrală: ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim, iar în ${\mathbb{Z}}_n$ fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero, după cum $(a,n)=1$ sau $(a,n)>1$. Propoziția 3 (simplificarea): din $ac=bc$ cu $c\ne 0$ și $c$ nedivizor al lui zero rezultă $a=b$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre următoarele clase este divizor al lui zero în inelul $({\mathbb{Z}}_{20},+,\cdot )$?

   • a) $\hat{3}$
   • b) $\hat{7}$
   • c) $\widehat{15}$
   • d) $\widehat{19}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\widehat{15}$

   Clasa $\hat{a}$ nenulă este divizor al lui zero exact când $(a,20)>1$. Avem $(15,20)=5>1$, iar $\widehat{15}\cdot \hat{4}=\widehat{60}=\hat{0}$ cu $\hat{4}\ne \hat{0}$. Celelalte trei clase au reprezentanții primi cu $20$, deci sunt inversabile, iar un element inversabil nu poate fi divizor al lui zero.

2. Pentru care dintre valorile de mai jos este inelul $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ integru?

   • a) $n=23$
   • b) $n=21$
   • c) $n=15$
   • d) $n=25$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $n=23$

   Teorema lecției spune că ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este prim; dintre valorile date, doar $23$ este prim. Pentru celelalte găsim imediat divizori ai lui zero: $\hat{3}\cdot \hat{5}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{15}$, $\hat{3}\cdot \hat{7}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{21}$ și $\hat{5}\cdot \hat{5}=\hat{0}$ în ${\mathbb{Z}}_{25}$ — ultimul arată că nici puterile de numere prime nu sunt bune.

3. Într-un inel $(A,+,\cdot )$, din egalitatea $ac=bc$ rezultă $a=b$:

   • a) întotdeauna
   • b) niciodată
   • c) dacă $c\ne 0$
   • d) dacă $c\ne 0$ și $c$ nu este divizor al lui zero
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) dacă $c\ne 0$ și $c$ nu este divizor al lui zero

   Este exact Propoziția 3: din $ac=bc$ obținem $(a-b)c=0$, iar concluzia $a-b=0$ cere ca $c$ să nu poată anula un element nenul. Condiția $c\ne 0$ singură nu ajunge: în ${\mathbb{Z}}_6$ avem $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}\cdot \hat{4}$, dar $\hat{1}\ne \hat{4}$, pentru că $\hat{2}$ este divizor al lui zero.