Reguli de calcul într-un inel; divizori ai lui zero; inele integre

Când rezolvi ecuația $(x-2)(x+5)=0$, faci fără să te gândești un pas uriaș: spui „deci $x-2=0$ sau $x+5=0$". Pasul acesta nu e o regulă de calcul, ci o proprietate a mulțimii numerelor reale, iar la clasa a 12-a, în inele oarecare, el poate să fie fals: există inele în care doi factori nenuli dau produsul nul, iar elementele vinovate se numesc divizori ai lui zero. Divizorii lui zero sunt elementele nenule ale unui inel care, înmulțite cu un alt element nenul, dau rezultatul $0$; inelele comutative nenule în care ei nu există se numesc inele integre. Lecția aceasta separă limpede ce se poate calcula în orice inel de ce se poate calcula doar în inelele „cuminți".

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M1: inelele, corpurile și polinoamele peste un corp sunt în programa pe care o dau sesiunile 2027–2029, deși nu mai apar în programa nouă a clasei a XII-a. Iar dintre subiectele de algebră ale examenului, cel mai des greșit este exact acesta: candidatul rezolvă o ecuație în ${\mathbb{Z}}_{12}$ ca și cum ar fi în $\mathbb{R}$ și pierde jumătate dintre soluții.

Ce vei învăța

• Vei ști să demonstrezi regulile $a\cdot 0=0$, $(-a)b=-(ab)$ și $(-a)(-b)=ab$ pornind numai de la axiomele inelului.
• Vei ști să scazi corect într-un inel și să recunoști care identități de calcul prescurtat cer comutativitate.
• Vei ști ce este un divizor al lui zero și să dai exemplul-etalon din inelul matricelor de ordin $2$.
• Vei ști să determini toți divizorii lui zero dintr-un inel ${\mathbb{Z}}_n$ dat.
• Vei ști ce este un inel integru și să demonstrezi că ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este număr prim.
• Vei ști de ce simplificarea prin același factor nu e permisă oriunde și cum se rezolvă corect ecuațiile de gradul întâi în ${\mathbb{Z}}_n$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se poate calcula într-un inel oarecare?

Ai la dispoziție cele opt axiome fixate la inelul: definiție, axiome și exemple și nimic altceva. Nu ai voie să folosești nici comutativitatea înmulțirii, nici existența inverselor, nici „faptul că se vede". Tot ce deduci din axiome va fi însă adevărat în toate inelele deodată — și asta e puterea metodei.

Regulile de calcul într-un inel sunt acele egalități care se deduc numai din cele opt axiome, fără nicio ipoteză suplimentară, și care rămân prin urmare adevărate în orice inel, fie el de numere, de matrice, de funcții sau de clase de resturi.

Primele reguli le ai deja, pentru că $(A,+)$ este grup comutativ, iar la regulile de calcul într-un grup ai demonstrat pentru orice grup:

• elementul nul $0$ este unic, iar opusul fiecărui element este unic;
• $-(-a)=a$ și $-(a+b)=(-a)+(-b)$;
• simplificarea la adunare: din $a+c=b+c$ rezultă $a=b$.

Ce nu ai încă sunt regulile care implică înmulțirea. Ele nu se pot moșteni de nicăieri, pentru că $(A,\cdot )$ e doar monoid; singurul pod dintre operații este distributivitatea, deci toate demonstrațiile care urmează pornesc din D1 sau D2.

Merită să observi de pe acum tiparul comun al demonstrațiilor care urmează. Toate au aceeași formă în trei mișcări: se pleacă de la o egalitate banală în grupul aditiv (de pildă $0+0=0$ sau $a+(-a)=0$), se înmulțește cu un element și se aplică distributivitatea, iar la final se folosește unicitatea — a elementului nul sau a opusului — ca să se identifice rezultatul. Odată ce recunoști tiparul, nu mai ai de memorat nimic: reconstruiești fiecare demonstrație în trei rânduri, direct pe foaia de examen.

2. Regula $a\cdot 0=0$ și demonstrația ei

Faptul că „orice înmulțit cu zero dă zero" pare o banalitate de clasa a treia. Într-un inel abstract el este însă o teoremă, pentru că $0$ e neutrul adunării, iar înmulțirea nu știe nimic despre adunare — decât prin distributivitate.

Propoziția 1. Într-un inel $(A,+,\cdot )$ avem $a\cdot 0=0\cdot a=0$, oricare ar fi $a\in A$.

Demonstrație. Pornim de la $0+0=0$ (axioma A3, aplicată lui $x=0$). Înmulțim la stânga cu $a$ și folosim distributivitatea D1:

$$a\cdot 0=a\cdot (0+0)=a\cdot 0+a\cdot 0.$$

Am obținut $a\cdot 0=a\cdot 0+a\cdot 0$. Adunăm în ambii membri opusul lui $a\cdot 0$, care există prin axioma A4:

$$a\cdot 0+(-(a\cdot 0))=a\cdot 0+a\cdot 0+(-(a\cdot 0)),$$

adică $0=a\cdot 0$. Egalitatea $0\cdot a=0$ se obține identic, pornind tot de la $0+0=0$ și folosind de data aceasta distributivitatea la dreapta, D2. ∎

Observă cât de puțin am folosit: o axiomă de adunare, o axiomă de distributivitate și existența opusului. De aceea regula e valabilă și pentru matrice ($A\cdot O_2=O_2$), și pentru funcții, și pentru clasele de resturi.

3. Regulile semnelor: de ce $(-a)(-b)=ab$ în orice inel?

Propoziția 2. Într-un inel $(A,+,\cdot )$, pentru orice $a,b\in A$ avem: (i) $(-a)b=-(ab)$; (ii) $a(-b)=-(ab)$; (iii) $(-a)(-b)=ab$.

Demonstrație. (i) Trebuie să arătăm că $(-a)b$ este opusul lui $ab$, adică suma lor e $0$. Într-adevăr, folosind D2 și Propoziția 1:

$$ab+(-a)b=(a+(-a))b=0\cdot b=0.$$

Cum opusul unui element este unic, rezultă $(-a)b=-(ab)$.

(ii) Analog, cu D1: $ab+a(-b)=a(b+(-b))=a\cdot 0=0$, deci $a(-b)=-(ab)$.

(iii) Aplicăm de două ori ce am demonstrat: $(-a)(-b)\stackrel{\text{(i)}}{=}-(a(-b))\stackrel{\text{(ii)}}{=}-(-(ab))=ab$, ultima egalitate fiind regula $-(-x)=x$ din grupul aditiv. ∎

Iată deci de ce „minus ori minus dă plus": nu e o convenție arbitrară, ci o consecință a unicității opusului. Un control numeric rapid, în ${\mathbb{Z}}_7$: $-\hat{2}=\hat{5}$ și $-\hat{3}=\hat{4}$, iar $\hat{5}\cdot \hat{4}=\widehat{20}=\hat{6}$; pe de altă parte $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}$. Egale. ✓

4. Cum se face scăderea într-un inel și ce devin identitățile de calcul prescurtat?

Într-un inel se poate scădea, prin definiție: $a-b:=a+(-b)$. Din Propoziția 2 rezultă imediat regulile de desfacere a parantezelor:

$$a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca.$$

⚠️ Aici e locul unei capcane pe care baremele o taie fără milă. Într-un inel oarecare avem

$$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2,$$

și atât. Formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ cere $ab=ba$, deci e valabilă numai în inele comutative sau pentru elemente care comută între ele. La fel, $(a-b)(a+b)=a^2+ab-ba-b^2$, care se reduce la $a^2-b^2$ doar dacă $ab=ba$.

Verifică pe matricele-etalon din lecția precedentă, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$: $(A+B{)}^2=\left(\begin{array}{cc}5& 4\\ 4& 5\end{array}\right)$, în timp ce $A^2+2AB+B^2=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ 4& 4\end{array}\right)$. Formula „de gimnaziu" dă un rezultat fals.

Se definesc, ca în orice monoid, și puterile: $a^0=1$, $a^{n+1}=a^n\cdot a$, cu $a^m{a}^n=a^{m+n}$ și $(a^m{)}^n=a^{mn}$. Regula $(ab{)}^n=a^n{b}^n$, în schimb, cere din nou comutativitatea.

5. Ce este un divizor al lui zero?

În $\mathbb{Z}$, dacă un produs e nul, măcar unul dintre factori e nul. În tabla înmulțirii lui ${\mathbb{Z}}_6$, scrisă în lecția precedentă, $\hat{0}$ apare însă și în celule în care niciun factor nu e $\hat{0}$: $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}=\hat{0}$. Fenomenul merită un nume.

Definiție. Fie $(A,+,\cdot )$ un inel. Un element $a\in A$, $a\ne 0$, se numește divizor al lui zero dacă există un element $b\in A$, $b\ne 0$, astfel încât $ab=0$ sau $ba=0$.

Trei observații care se cer scrise în caiet. Întâi: elementul $0$ nu este divizor al lui zero — definiția cere explicit $a\ne 0$. Apoi: și partenerul $b$ trebuie să fie nenul; altfel orice element ar fi divizor al lui zero, prin Propoziția 1. În fine: într-un inel necomutativ se cere $ab=0$ sau $ba=0$, pentru că cele două condiții nu sunt automat echivalente.

Exemplul-etalon, de reținut pe viață. În ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$,

$$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2,$$

deși niciunul dintre cei doi factori nu este matricea nulă. Deci ambele matrice sunt divizori ai lui zero. Legătura cu clasa a XI-a e directă: dacă $A$ e inversabilă, atunci din $AB=O_2$ ar rezulta $B=A^{-1}{O}_2=O_2$; prin urmare divizorii lui zero din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ se găsesc printre matricele cu determinantul nul, pe care le-ai studiat la criteriul determinantului pentru matrice inversabile.

6. Inelul integru: inelul în care „produs nul înseamnă factor nul"

Definiție. Un inel $(A,+,\cdot )$ se numește inel integru (sau domeniu de integritate) dacă este comutativ, nenul (adică $1\ne 0$) și nu are divizori ai lui zero.

Ultima condiție se poate scrie și pozitiv, iar în această formă se folosește la rezolvarea ecuațiilor:

$$\text{pentru orice }a,b\in A:ab=0⟹a=0\text{ sau }b=0.$$

Inele integre sunt $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ (aici proprietatea o folosești din gimnaziu), precum și $\mathbb{Z}[i]$ și $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, fiind submulțimi ale lui $\mathbb{C}$ care conțin pe $0$ și pe $1$. Nu sunt integre: ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ pentru $n\ge 2$ (nici măcar comutativ nu e), inelul funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ și inelele ${\mathbb{Z}}_n$ cu $n$ compus.

Merită reținut și un criteriu comod pentru inelele „noi" — îl vom numi criteriul de integritate moștenită: dacă un inel $A$ este submulțime a unui inel integru și conține pe $0$ și pe $1$, atunci $A$ este el însuși integru — pentru că lipsa divizorilor lui zero este o proprietate care se moștenește automat, fiind o afirmație despre elementele lui $A$, adevărată deja în mulțimea mai mare. Așa se justifică în două rânduri integritatea inelelor $\mathbb{Z}[i]$ și $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$: fiind incluse în $\mathbb{C}$, unde un produs de doi factori nenuli este nenul, nici ele nu pot avea divizori ai lui zero. Aceeași observație explică de ce toate inelele de numere pe care le folosești zilnic sunt integre, iar surprizele apar abia la matrice, la funcții și la clasele de resturi.

Pentru inelul funcțiilor, contraexemplul e frumos: fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x|+x$ și $g(x)=|x|-x$. Niciuna nu e funcția nulă, pentru că $f(1)=2$ și $g(-1)=2$; dar produsul lor este $(fg)(x)=|x{|}^2-x^2=x^2-x^2=0$ pentru orice $x$, deci $fg=0$.

7. Când este ${\mathbb{Z}}_n$ inel integru?

Aceasta e teorema centrală a lecției și apare, sub o formă sau alta, în majoritatea subiectelor de Bacalaureat M1 care ating clasele de resturi.

Teoremă. Fie $n\ge 2$. Inelul $({\mathbb{Z}}_n,+,\cdot )$ este integru dacă și numai dacă $n$ este număr prim.

Demonstrație. „$\Leftarrow$" Presupunem $n=p$ prim și fie $\hat{a}\cdot \hat{b}=\hat{0}$, adică $p\mid ab$. Cum $p$ este prim, din $p\mid ab$ rezultă $p\mid a$ sau $p\mid b$, adică $\hat{a}=\hat{0}$ sau $\hat{b}=\hat{0}$. Deci ${\mathbb{Z}}_p$ nu are divizori ai lui zero; fiind comutativ și nenul, e integru.

„$\Rightarrow$" Presupunem că $n$ nu e prim. Atunci $n=n_1{n}_2$, cu $1<n_1<n$ și $1<n_2<n$. Clasele $\widehat{n_1}$ și $\widehat{n_2}$ sunt nenule (pentru că $n\nmid n_1$ și $n\nmid n_2$), dar $\widehat{n_1}\cdot \widehat{n_2}=\hat{n}=\hat{0}$. Am găsit divizori ai lui zero, deci ${\mathbb{Z}}_n$ nu e integru. Prin contrapoziție, dacă ${\mathbb{Z}}_n$ e integru, atunci $n$ e prim. ∎

Din demonstrație se citește și rețeta de determinare a divizorilor lui zero din ${\mathbb{Z}}_n$: clasa $\hat{a}$, cu $a\ne 0$, este divizor al lui zero exact atunci când $a$ și $n$ nu sunt prime între ele, adică $(a,n)>1$. Într-adevăr, dacă $d=(a,n)>1$, atunci $\hat{a}\cdot \widehat{\frac{n}{d}}=\hat{0}$, iar $\widehat{n/d}\ne \hat{0}$. Reciproc, dacă $(a,n)=1$, clasa $\hat{a}$ este inversabilă, conform celor demonstrate la elementele inversabile din ${\mathbb{Z}}_n$ și ecuațiile cu clase de resturi, iar din $\hat{a}\hat{b}=\hat{0}$ rezultă $\hat{b}={\hat{a}}^{-1}\hat{0}=\hat{0}$.

Așadar, în ${\mathbb{Z}}_n$, fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero — niciodată amândouă, niciodată niciuna. Este o dihotomie foarte comodă la examen.

8. De ce nu se poate simplifica prin orice element?

Într-un inel oarecare, din $ac=bc$ nu rezultă $a=b$. Contraexemplu în ${\mathbb{Z}}_6$: $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$ și $\hat{2}\cdot \hat{4}=\hat{8}=\hat{2}$, deci $\hat{2}\hat{1}=\hat{2}\hat{4}$, dar $\hat{1}\ne \hat{4}$.

Propoziția 3 (regula simplificării). Într-un inel $A$, dacă $c$ nu este divizor al lui zero și $c\ne 0$, atunci din $ac=bc$ rezultă $a=b$.

Demonstrație. Din $ac=bc$ obținem $ac-bc=0$, adică $(a-b)c=0$. Cum $c\ne 0$ și $c$ nu e divizor al lui zero, factorul $a-b$ trebuie să fie $0$, deci $a=b$. ∎

Consecința practică pentru ecuațiile de gradul întâi în ${\mathbb{Z}}_n$: ecuația $\hat{a}x=\hat{b}$ are soluție unică atunci când $\hat{a}$ e inversabilă (se înmulțește cu ${\hat{a}}^{-1}$), iar când $\hat{a}$ e divizor al lui zero, ea are fie mai multe soluții, fie niciuna — și atunci singura metodă sigură este verificarea celor $n$ clase, una câte una. Metoda a fost fixată în unitatea despre legi de compoziție; ce adaugă lecția de față este explicația: vinovatul e divizorul lui zero.

Practic, în fața unei ecuații $\hat{a}x=\hat{b}$ în ${\mathbb{Z}}_n$ ai de răspuns la o singură întrebare: cât este $(a,n)$? Dacă răspunsul e $1$, clasa $\hat{a}$ e inversabilă, ecuația are exact o soluție și o afli înmulțind ambii membri cu ${\hat{a}}^{-1}$. Dacă răspunsul este un număr $d>1$, atunci $\hat{a}$ e divizor al lui zero, iar ecuația are soluții numai dacă $d$ divide și pe $b$; în acest caz soluțiile sunt mai multe, iar la clasă se găsesc cel mai sigur verificând toate cele $n$ clase. Scrie întotdeauna în lucrare fraza care justifică alegerea metodei — baremele o punctează separat de calcul. Ce înseamnă mai exact „coeficient inversabil" și de ce mulțimea acestor coeficienți e o structură în sine, nu o listă întâmplătoare, afli în lecția următoare, despre elementele inversabile ale unui inel și grupul unităților.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Toți divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_{12}$

Determinați divizorii lui zero din inelul ${\mathbb{Z}}_{12}$ și verificați rezultatul pe două perechi.

Rezolvare. Aplicăm rețeta: $\hat{a}$ e divizor al lui zero exact când $a\ne 0$ și $(a,12)>1$. Numerele $a\in \{1,2,\dots ,11\}$ cu această proprietate sunt $2,3,4,6,8,9,10$. Deci divizorii lui zero sunt

$$\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\hat{9},\widehat{10}.$$

Verificări: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$ și $\hat{6}\cdot \hat{8}=\widehat{48}=\hat{0}$, pentru că $48=4\cdot 12$. Clasele rămase, $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$, sunt cele cu $(a,12)=1$, deci sunt inversabile — de altfel, fiecare este propriul invers: ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}$, ${\hat{7}}^2=\widehat{49}=\hat{1}$, ${\widehat{11}}^2=\widehat{121}=\hat{1}$.

Exemplul 2 — Aceeași ecuație, două comportări

Rezolvați $\hat{4}x=\hat{2}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ și $\hat{3}x=\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_7$.

Rezolvare. În ${\mathbb{Z}}_6$, coeficientul $\hat{4}$ e divizor al lui zero, pentru că $(4,6)=2>1$; nu are invers, deci verificăm toate clasele:

$$\hat{4}\hat{0}=\hat{0},\hat{4}\hat{1}=\hat{4},\hat{4}\hat{2}=\hat{8}=\hat{2},\hat{4}\hat{3}=\widehat{12}=\hat{0},\hat{4}\hat{4}=\widehat{16}=\hat{4},\hat{4}\hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}.$$

Soluțiile sunt $x\in \{\hat{2},\hat{5}\}$ — două soluții pentru o ecuație de gradul întâi.

În ${\mathbb{Z}}_7$, unde $7$ e prim, inelul e integru și orice clasă nenulă e inversabilă. Cum $\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{1}$, avem ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$, deci $x=\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{4}$, soluție unică. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{5}$. ✓

Exemplul 3 — O ecuație de gradul al doilea cu patru soluții

Rezolvați $x^2=\hat{1}$ în ${\mathbb{Z}}_8$.

Rezolvare. În $\mathbb{R}$ ecuația $x^2=1$ are exact două soluții, pentru că $x^2-1=(x-1)(x+1)$ și $\mathbb{R}$ e inel integru. În ${\mathbb{Z}}_8$ factorizarea rămâne valabilă, dar concluzia „un factor e nul" nu mai e, așa că verificăm toate cele opt clase:

$${\hat{0}}^2=\hat{0},{\hat{1}}^2=\hat{1},{\hat{2}}^2=\hat{4},{\hat{3}}^2=\hat{1},{\hat{4}}^2=\hat{0},{\hat{5}}^2=\hat{1},{\hat{6}}^2=\hat{4},{\hat{7}}^2=\hat{1}.$$

Soluțiile sunt $x\in \{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$, adică patru. Explicația: pentru $x=\hat{3}$, factorii $\hat{3}-\hat{1}=\hat{2}$ și $\hat{3}+\hat{1}=\hat{4}$ sunt amândoi nenuli, dar produsul lor este $\hat{8}=\hat{0}$ — exact fenomenul divizorilor lui zero.

Exemplul 4 — Divizori ai lui zero printre matrice

Arătați că $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ este divizor al lui zero în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, găsind o matrice $B\ne O_2$ cu $AB=O_2$.

Rezolvare. Observăm întâi că $\det A=1\cdot 4-2\cdot 2=0$, deci $A$ nu e inversabilă — semn că poate fi divizor al lui zero. Căutăm $B=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)$ cu $AB=O_2$; condiția pe prima linie este $x+2z=0$ și $y+2t=0$, iar linia a doua dă aceleași ecuații înmulțite cu $2$. Alegem $z=t=-1$, deci $x=y=2$:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-2& 2-2\\ 4-4& 4-4\end{array}\right)=O_2.$$

Cum $B\ne O_2$, matricea $A$ este divizor al lui zero. La fel este și $B$, pentru că $\det B=0$ și $BA$ se calculează analog.

Exemplul 5 — Inelul funcțiilor nu este integru

Arătați că inelul funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, cu operațiile punctuale, are divizori ai lui zero.

Rezolvare. Luăm $f(x)=|x|+x$ și $g(x)=|x|-x$. Pentru $x\ge 0$ avem $f(x)=2x$ și $g(x)=0$; pentru $x<0$, $f(x)=0$ și $g(x)=-2x$. În ambele cazuri $f(x)g(x)=0$, deci $fg=0$, funcția nulă. Dar $f(1)=2\ne 0$, deci $f\ne 0$, și $g(-1)=2\ne 0$, deci $g\ne 0$. Prin urmare $f$ și $g$ sunt divizori ai lui zero.

Ideea generală: două funcții care „nu se suprapun" — fiecare e nulă acolo unde cealaltă nu e — dau întotdeauna produsul nul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră inelul $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$. a) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $\hat{3}x=\hat{3}$. b) Determinați divizorii lui zero ai inelului ${\mathbb{Z}}_6$. c) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $x^2=x$ și explicați de ce numărul soluțiilor diferă de cel din $\mathbb{R}$.

Rezolvare. Este tipul de subpuncte a), b), c) din Subiectul al II-lea al examenului.

a) Coeficientul $\hat{3}$ nu e inversabil, pentru că $(3,6)=3>1$; verificăm toate clasele: $\hat{3}\hat{0}=\hat{0}$, $\hat{3}\hat{1}=\hat{3}$, $\hat{3}\hat{2}=\hat{0}$, $\hat{3}\hat{3}=\hat{3}$, $\hat{3}\hat{4}=\hat{0}$, $\hat{3}\hat{5}=\hat{3}$. Soluțiile sunt $x\in \{\hat{1},\hat{3},\hat{5}\}$.

b) Clasele nenule cu $(a,6)>1$ sunt $\hat{2}$, $\hat{3}$ și $\hat{4}$. Verificare: $\hat{2}\hat{3}=\hat{0}$ și $\hat{3}\hat{4}=\widehat{12}=\hat{0}$. Clasele $\hat{1}$ și $\hat{5}$ sunt inversabile ($\hat{5}\hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$), deci nu sunt divizori ai lui zero.

c) Scriem $x^2-x=\hat{0}$, adică $x(x-\hat{1})=\hat{0}$. În $\mathbb{R}$ am încheia cu $x=0$ sau $x=1$; aici nu avem voie, pentru că ${\mathbb{Z}}_6$ nu e integru. Verificăm: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$ ✓, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$ ✓, ${\hat{2}}^2=\hat{4}\ne \hat{2}$, ${\hat{3}}^2=\hat{9}=\hat{3}$ ✓, ${\hat{4}}^2=\widehat{16}=\hat{4}$ ✓, ${\hat{5}}^2=\widehat{25}=\hat{1}\ne \hat{5}$. Soluțiile sunt $x\in \{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}\}$ — patru, nu două. Pentru $x=\hat{3}$, de pildă, factorii $\hat{3}$ și $\hat{3}-\hat{1}=\hat{2}$ sunt nenuli, dar produsul lor e $\hat{6}=\hat{0}$: sunt divizori ai lui zero, exact cei găsiți la punctul b).

Să exersăm

Regula de aur a acestor exerciții: înainte de a simplifica sau de a scrie „deci un factor e nul", întreabă-te dacă inelul în care lucrezi este integru. Dacă nu e, verifică toate clasele.

1. Demonstrează, folosind distributivitatea la dreapta, că $0\cdot a=0$ în orice inel.

2. Determină divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_{10}$.

3. Determină divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_{15}$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Inelul ${\mathbb{Z}}_9$ este integru."

5. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $\hat{2}x=\hat{4}$.

6. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $\hat{2}x=\hat{3}$.

7. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 1& 2\end{array}\right)$ este divizor al lui zero în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, găsind o matrice nenulă $B$ cu $AB=O_2$.

8. Calculează $(-\hat{2})\cdot \hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_7$ în două feluri: direct și cu regula $(-a)b=-(ab)$.

9. (Problemă aplicată.) Arată, lucrând în ${\mathbb{Z}}_8$, că pătratul oricărui număr impar dă restul $1$ la împărțirea cu $8$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un inel comutativ, din $ab=0$ rezultă $a=0$ sau $b=0$."

11. Determină toate clasele $x\in {\mathbb{Z}}_{12}$ cu $x^2=\hat{0}$.

12. Demonstrează că într-un inel oarecare are loc $(a-b)c=ac-bc$.

13. Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_{12}$ ecuația $x^2=\hat{1}$.

14. Explică, în două fraze, de ce $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$ sunt inele integre, iar ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În inelul ${\mathbb{Z}}_{10}$: a) determină divizorii lui zero; b) rezolvă ecuația $\hat{5}x=\hat{0}$; c) arată că $\hat{2}$ și $\hat{5}$ sunt divizori ai lui zero și că $\hat{3}$ nu este.

16. Găsește două funcții $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, ambele nenule, cu $fg=0$, altele decât cele din lecție.

17. În ${\mathbb{Z}}_{12}$, scrie lista claselor inversabile și lista divizorilor lui zero, apoi verifică faptul că cele două liste nu au niciun element comun și că împreună acoperă toate clasele nenule.

18. (Provocare.) Arată că într-un inel integru ecuația $x^2=x$ are exact două soluții, $0$ și $1$. Compară cu rezultatul obținut în ${\mathbb{Z}}_6$ și explică deosebirea.

Răspunsuri și explicații

1. Din $0+0=0$ obținem, înmulțind la dreapta cu $a$ și folosind D2: $0\cdot a=(0+0)a=0\cdot a+0\cdot a$. Adunând opusul lui $0\cdot a$ în ambii membri, rezultă $0=0\cdot a$.

2. Clasele nenule $\hat{a}$ cu $(a,10)>1$: $\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{8}$. Verificare: $\hat{2}\hat{5}=\widehat{10}=\hat{0}$ și $\hat{4}\hat{5}=\widehat{20}=\hat{0}$. Clasele $\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}$ sunt inversabile.

3. Clasele nenule cu $(a,15)>1$: $\hat{3},\hat{5},\hat{6},\hat{9},\widehat{10},\widehat{12}$. Verificare: $\hat{3}\hat{5}=\widehat{15}=\hat{0}$ și $\hat{6}\widehat{10}=\widehat{60}=\hat{0}$, pentru că $60=4\cdot 15$.

4. Fals. $9$ nu e prim, iar $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{0}$ cu $\hat{3}\ne \hat{0}$. Divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_9$ sunt $\hat{3}$ și $\hat{6}$.

5. Verificăm toate clasele: $\hat{2}\hat{0}=\hat{0}$, $\hat{2}\hat{1}=\hat{2}$, $\hat{2}\hat{2}=\hat{4}$, $\hat{2}\hat{3}=\hat{0}$, $\hat{2}\hat{4}=\hat{2}$, $\hat{2}\hat{5}=\widehat{10}=\hat{4}$. Soluțiile sunt $x\in \{\hat{2},\hat{5}\}$.

6. Din lista de la exercițiul precedent se vede că $\hat{2}x$ ia numai valorile $\hat{0},\hat{2},\hat{4}$, niciodată $\hat{3}$. Ecuația nu are soluții. Motivul: $\hat{2}$ e divizor al lui zero, deci înmulțirea cu $\hat{2}$ nu e o funcție surjectivă pe ${\mathbb{Z}}_6$.

7. $\det A=3\cdot 2-6\cdot 1=0$. Căutăm $B$ cu $AB=O_2$: din $3x+6z=0$ obținem $x=-2z$, iar din $3y+6t=0$, $y=-2t$. Cu $z=t=1$ rezultă $B=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& 1\end{array}\right)\ne O_2$, iar $AB=\left(\begin{array}{cc}-6+6& -6+6\\ -2+2& -2+2\end{array}\right)=O_2$. ✓

8. Direct: $-\hat{2}=\hat{5}$ în ${\mathbb{Z}}_7$, deci $(-\hat{2})\hat{5}=\hat{5}\hat{5}=\widehat{25}=\hat{4}$. Cu regula: $(-\hat{2})\hat{5}=-(\hat{2}\hat{5})=-\widehat{10}=-\hat{3}=\hat{4}$. Aceleași rezultate. ✓

9. Un număr impar are, modulo $8$, una dintre clasele $\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}$. Pătratele lor sunt $\hat{1},\hat{9}=\hat{1},\widehat{25}=\hat{1},\widehat{49}=\hat{1}$, deci în toate cazurile pătratul e în clasa $\hat{1}$, adică dă restul $1$ la împărțirea cu $8$.

10. Fals. Comutativitatea nu are legătură cu absența divizorilor lui zero: ${\mathbb{Z}}_6$ e comutativ, dar $\hat{2}\hat{3}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli. Implicația din enunț caracterizează inelele integre, care sunt comutative și fără divizori ai lui zero.

11. $\widehat{x^2}=\hat{0}$ înseamnă $12\mid x^2$. Testăm: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$ ✓, ${\hat{6}}^2=\widehat{36}=\hat{0}$ ✓, iar celelalte zece clase dau, în ordine, $\hat{1},\hat{4},\hat{9},\hat{4},\hat{1},\hat{1},\hat{4},\hat{9},\hat{4},\hat{1}$. Soluțiile sunt $x\in \{\hat{0},\hat{6}\}$.

12. $(a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c$ (prin D2), iar $(-b)c=-(bc)$ prin Propoziția 2 (i). Deci $(a-b)c=ac-bc$.

13. Pătratele claselor din ${\mathbb{Z}}_{12}$ sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{9},\hat{4},\hat{1},\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{9},\hat{4},\hat{1}$ pentru $x=\hat{0},\dots ,\widehat{11}$. Soluțiile ecuației sunt $x\in \{\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}\}$ — exact clasele inversabile ale lui ${\mathbb{Z}}_{12}$.

14. În $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ înmulțirea e comutativă și un produs de doi factori nenuli e nenul, proprietate cunoscută din aritmetică și folosită la rezolvarea ecuațiilor; deci sunt inele integre. În ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cad amândouă condițiile: înmulțirea nu e comutativă și există divizori ai lui zero, de exemplu cele două matrice din exemplul-etalon.

15. a) Clasele nenule cu $(a,10)>1$: $\hat{2},\hat{4},\hat{5},\hat{6},\hat{8}$. b) $\hat{5}x=\hat{0}$ înseamnă $10\mid 5x$, adică $x$ par: soluțiile sunt $\hat{0},\hat{2},\hat{4},\hat{6},\hat{8}$. c) $\hat{2}\hat{5}=\widehat{10}=\hat{0}$ cu ambii factori nenuli, deci $\hat{2}$ și $\hat{5}$ sunt divizori ai lui zero; $\hat{3}$ nu este, pentru că $(3,10)=1$, deci $\hat{3}$ e inversabilă — de altfel $\hat{3}\hat{7}=\widehat{21}=\hat{1}$.

16. Un exemplu: $f(x)=x-|x|$ și $g(x)=x+|x|$ (variantă a celor din lecție), sau funcțiile definite pe ramuri: $f(x)=0$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=1$ pentru $x>0$, respectiv $g(x)=1$ pentru $x\le 0$ și $g(x)=0$ pentru $x>0$. Produsul lor e nul peste tot, deși niciuna nu e funcția nulă.

17. Clasele inversabile din ${\mathbb{Z}}_{12}$ sunt $\hat{1},\hat{5},\hat{7},\widehat{11}$ (cele cu $(a,12)=1$), iar divizorii lui zero sunt $\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{6},\hat{8},\hat{9},\widehat{10}$. Cele două liste sunt disjuncte, pentru că prima cere $(a,12)=1$, a doua $(a,12)>1$, iar reunite dau toate cele $11$ clase nenule. Este exact dihotomia demonstrată în subsecțiunea 7.

18. Ecuația se scrie $x^2-x=0$, adică $x(x-1)=0$. Într-un inel integru, un produs nul cere un factor nul, deci $x=0$ sau $x-1=0$, adică $x=1$; ambele verifică. În ${\mathbb{Z}}_6$ am găsit patru soluții, $\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}$, tocmai pentru că inelul nu e integru: pentru $x=\hat{3}$, factorii $\hat{3}$ și $\hat{2}$ sunt nenuli, dar produsul lor e $\hat{0}$.

De reținut

• Într-un inel oarecare se demonstrează, numai din axiome, că $a\cdot 0=0\cdot a=0$, că $(-a)b=a(-b)=-(ab)$ și că $(-a)(-b)=ab$.
• Formula $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ nu este valabilă în orice inel; forma corectă, universală, este $(a+b{)}^2=a^2+ab+ba+b^2$, iar cei doi termeni din mijloc se strâng doar când $ab=ba$.
• Un element nenul $a$ se numește divizor al lui zero dacă există un element nenul $b$ cu $ab=0$ sau $ba=0$; exemplul-etalon este perechea de matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.
• Un inel comutativ și nenul, fără divizori ai lui zero, se numește inel integru; în el, din $ab=0$ rezultă $a=0$ sau $b=0$, deci ecuațiile se pot rezolva prin factorizare.
• Inelul ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este număr prim, iar în ${\mathbb{Z}}_n$ fiecare clasă nenulă este ori inversabilă, ori divizor al lui zero, după cum $(a,n)=1$ sau $(a,n)>1$.

Greșeli frecvente

• Se rezolvă ecuațiile din ${\mathbb{Z}}_n$ ca în $\mathbb{R}$. Din $x(x-\hat{1})=\hat{0}$ nu rezultă $x=\hat{0}$ sau $x=\hat{1}$ decât dacă $n$ e prim. În rest, se verifică toate cele $n$ clase, altfel se pierd soluții.
• Se simplifică prin factori care sunt divizori ai lui zero. Din $\hat{2}x=\hat{2}y$ în ${\mathbb{Z}}_6$ nu rezultă $x=y$: contraexemplul $x=\hat{1}$, $y=\hat{4}$ e imediat. Simplificarea cere ca factorul să nu fie divizor al lui zero.
• Se uită că $0$ nu e divizor al lui zero. Definiția cere explicit $a\ne 0$ și $b\ne 0$. O listă de divizori ai lui zero care începe cu $\hat{0}$ e greșită.
• Se confundă „inel comutativ" cu „inel integru". ${\mathbb{Z}}_6$ e comutativ, dar nu e integru. Integritatea cere, în plus, absența divizorilor lui zero.
• Se aplică formulele de calcul prescurtat la matrice. $(A+B{)}^2\ne A^2+2AB+B^2$ și $(A-B)(A+B)\ne A^2-B^2$ când $AB\ne BA$. Dezvoltarea se face desfăcând parantezele, termen cu termen, fără să schimbi ordinea factorilor.

Aplică acasă

1. Harta lui ${\mathbb{Z}}_{12}$. Scrie tabla înmulțirii lui ${\mathbb{Z}}_{12}$ (sau folosește-o pe cea făcută la lecția precedentă) și colorează cu o culoare toate celulele care conțin $\hat{0}$ fără ca vreun factor să fie $\hat{0}$. Notează pe margine lista divizorilor lui zero și verifică faptul că e exact lista claselor $\hat{a}$ cu $(a,12)>1$.

2. Vânătoare de $n$ prime. Pentru fiecare $n$ de la $2$ la $15$, scrie dacă ${\mathbb{Z}}_n$ este sau nu integru și, când nu este, dă o pereche concretă de divizori ai lui zero. Compară lista lui „da" cu lista numerelor prime până la $15$.

3. Contraexemplul cu funcții. Desenează pe aceeași foaie graficele funcțiilor $f(x)=|x|+x$ și $g(x)=|x|-x$ și observă vizual de ce produsul lor e funcția nulă. Apoi inventează singur altă pereche de funcții cu aceeași proprietate și verifică-le în trei puncte.

Pentru părinți și profesori

Lecția are două jumătăți foarte diferite ca stil. Prima e deductivă: trei propoziții demonstrate cu grijă, exclusiv din axiome, care îl obișnuiesc pe elev să nu folosească nimic nedemonstrat. A doua e taxonomică: se introduc divizorii lui zero și inelele integre, iar elevul învață să clasifice inelele întâlnite. Legătura dintre ele e regula simplificării, care explică de ce ecuațiile din ${\mathbb{Z}}_n$ se comportă altfel decât cele din $\mathbb{R}$.

De verificat în caiet: (1) demonstrația lui $a\cdot 0=0$ pornește de la $0+0=0$, nu de la „se știe"; (2) în definiția divizorului lui zero apar ambele condiții de nenulitate; (3) la fiecare ecuație din ${\mathbb{Z}}_n$ elevul verifică întâi dacă coeficientul e inversabil sau divizor al lui zero și abia apoi alege metoda; (4) formula $(a+b{)}^2$ nu apare niciodată aplicată la matrice. Întrebări de control: „Ce înseamnă că un inel e integru?"; „De ce ${\mathbb{Z}}_{12}$ nu e integru?"; „Când are ecuația $\hat{a}x=\hat{b}$ soluție unică?"; „Dă un exemplu de doi divizori ai lui zero din inelul matricelor".

La BAC M1, materia apare în Subiectul al II-lea, de regulă cu cerințe de tipul „rezolvați ecuația în ${\mathbb{Z}}_n$" sau „determinați divizorii lui zero", și e o sursă bogată de puncte pierdute prin soluții incomplete. Semn că elevul a înțeles: la o ecuație în ${\mathbb{Z}}_{12}$ verifică din reflex toate clasele când coeficientul nu e inversabil și își justifică metoda într-o frază.

Întrebări frecvente

Ce este un divizor al lui zero? Un divizor al lui zero este un element nenul $a$ dintr-un inel pentru care există un alt element nenul $b$ astfel încât $ab=0$ sau $ba=0$. Cu alte cuvinte, e un element care poate „anula" pe cineva fără să fie el însuși nul. În ${\mathbb{Z}}_6$, de pildă, $\hat{2}$ e divizor al lui zero, pentru că $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{0}$.

Ce este un inel integru? Un inel integru este un inel comutativ, nenul și fără divizori ai lui zero. Într-un astfel de inel, dacă un produs este nul, atunci măcar unul dintre factori este nul, deci ecuațiile se pot rezolva prin factorizare, exact ca în mulțimea numerelor reale. Exemple: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ și ${\mathbb{Z}}_p$ cu $p$ prim.

Când este ${\mathbb{Z}}_n$ inel integru? Inelul ${\mathbb{Z}}_n$ este integru dacă și numai dacă $n$ este număr prim. Dacă $n$ este compus, scriindu-l $n=n_1{n}_2$ cu factori strict între $1$ și $n$, clasele $\widehat{n_1}$ și $\widehat{n_2}$ sunt nenule, dar produsul lor e $\hat{0}$, deci apar divizori ai lui zero. Reciproc, dacă $n$ e prim, din $n\mid ab$ rezultă $n\mid a$ sau $n\mid b$.

Cum se determină divizorii lui zero din ${\mathbb{Z}}_n$? Se iau clasele $\hat{a}$ cu $a$ de la $1$ la $n-1$ și se păstrează cele pentru care $(a,n)>1$, adică cele care nu sunt prime cu $n$. Celelalte clase nenule sunt inversabile. De exemplu, în ${\mathbb{Z}}_{12}$ divizorii lui zero sunt $\hat{2}$, $\hat{3}$, $\hat{4}$, $\hat{6}$, $\hat{8}$, $\hat{9}$ și $\widehat{10}$.

De ce nu se poate simplifica într-un inel oarecare? Pentru că din $ac=bc$ rezultă $(a-b)c=0$, iar acest produs poate fi nul fără ca vreun factor să fie nul, dacă $c$ este divizor al lui zero. În ${\mathbb{Z}}_6$, din $\hat{2}\hat{1}=\hat{2}\hat{4}$ nu rezultă $\hat{1}=\hat{4}$. Simplificarea e permisă exact atunci când factorul comun nu e divizor al lui zero.

De ce $(a+b{)}^2$ nu este $a^2+2ab+b^2$ în orice inel? Pentru că desfacerea parantezelor dă $a^2+ab+ba+b^2$, iar termenii $ab$ și $ba$ se pot aduna în $2ab$ numai dacă sunt egali, adică dacă elementele comută. În inelul matricelor de ordin $2$ acest lucru e fals în general, iar formula „de gimnaziu" produce un rezultat greșit, ușor de verificat pe un exemplu concret.

De ce este importantă noțiunea de divizor al lui zero la Bacalaureat M1? Pentru că schimbă complet metoda de rezolvare a ecuațiilor din ${\mathbb{Z}}_n$. Când coeficientul e inversabil, ecuația de gradul întâi are soluție unică și se rezolvă înmulțind cu inversul; când e divizor al lui zero, ecuația poate avea mai multe soluții sau niciuna, iar singura metodă sigură este verificarea tuturor claselor.