Reguli de calcul într-un grup: pe scurt

Într-un grup $(G,\cdot )$ toate regulile de calcul se deduc din cele trei axiome — asociativitate, element neutru, orice element simetrizabil — și sunt valabile indiferent din ce sunt făcute elementele. Elementul neutru $e$ este unic, inversul fiecărui element este unic, ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ și $e^{-1}=e$. Inversul unui produs răstoarnă ordinea: $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, iar pentru mai mulți factori ${\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)}^{-1}=x_n^{-1}\cdots x_1^{-1}$. Scrierea $x^{-1}{y}^{-1}$ este corectă numai dacă $x$ și $y$ comută.

Specific grupurilor este verificarea într-o singură parte: din $xy=e$ rezultă automat $y=x^{-1}$ și $yx=e$. De aici vin regulile de simplificare — din $ax=ay$ rezultă $x=y$, din $xa=ya$ rezultă $x=y$ — valabile în orice grup, comutativ sau nu, dar numai când factorul comun stă de aceeași parte în ambii membri; din $ax=ya$ nu se simplifică nimic. Rezultatul principal: ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au, fiecare, exact o soluție, anume $x=a^{-1}b$, respectiv $x=b{a}^{-1}$; ele coincid doar dacă $a$ și $b$ comută. Nu se scrie niciodată $\frac{b}{a}$ — se spune „înmulțim la stânga (la dreapta) cu $a^{-1}$”. Consecința pe tablă: fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană. Iar dacă $x^2=e$ pentru orice $x$, grupul este comutativ.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-un grup $(G,\cdot )$, inversul produsului $xyz$ este:

   • a) $x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$
   • b) $z^{-1}{y}^{-1}{x}^{-1}$
   • c) $y^{-1}{x}^{-1}{z}^{-1}$
   • d) $z^{-1}{x}^{-1}{y}^{-1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $z^{-1}{y}^{-1}{x}^{-1}$

   La trecerea la invers ordinea factorilor se răstoarnă: $(xyz{)}^{-1}=z^{-1}{y}^{-1}{x}^{-1}$. Verificarea e directă: $(xyz)\left(z^{-1}{y}^{-1}{x}^{-1}\right)=xy\left(z{z}^{-1}\right)y^{-1}{x}^{-1}=e$. Varianta $x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$ păstrează ordinea și este corectă doar în grupurile comutative; celelalte două amestecă factorii.

2. În grupul $\left(U({\mathbb{Z}}_7,\cdot ),\cdot \right)$, soluția ecuației $\hat{5}\cdot x=\hat{3}$ este:

   • a) $\hat{1}$
   • b) $\hat{5}$
   • c) $\hat{2}$
   • d) $\hat{6}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\hat{2}$

   Înmulțim la stânga cu ${\hat{5}}^{-1}$. Din $\hat{5}\cdot \hat{3}=\widehat{15}=\hat{1}$ rezultă ${\hat{5}}^{-1}=\hat{3}$, deci $x=\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{2}$. Verificare: $\hat{5}\cdot \hat{2}=\widehat{10}=\hat{3}$. Varianta $\hat{1}$ se obține înmulțind $\hat{3}\cdot \hat{5}$ în loc de ${\hat{5}}^{-1}\cdot \hat{3}$, varianta $\hat{5}$ vine din scăderea $\hat{3}-\hat{5}$, iar $\hat{6}$ din $\hat{3}+\hat{3}$.

3. Care afirmație este adevărată în orice grup $(G,\cdot )$?

   • a) ecuația $ax=b$ are exact o soluție
   • b) din $ax=ya$ rezultă $x=y$
   • c) $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ pentru orice $x,y$
   • d) $xy=yx$ pentru orice $x,y$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) ecuația $ax=b$ are exact o soluție

   Ecuația $ax=b$ are soluția unică $x=a^{-1}b$: existența se verifică direct, iar unicitatea vine din simplificarea la stânga. Egalitatea $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ cere ca $x$ și $y$ să comute; enunțul „din $ax=ya$ rezultă $x=y$” este greșeala clasică de simplificare „de părți diferite” — factorul $a$ stă la stânga într-un membru și la dreapta în celălalt; iar „$xy=yx$ pentru orice $x,y$” confundă grupul cu grupul comutativ.