Reguli de calcul într-un grup; ecuații într-un grup

Regulile de calcul într-un grup sunt puținele proprietăți care se demonstrează o singură dată, din axiome și care se aplică în orice grup întâlnit la clasa a XII-a — fie el de numere, de clase de resturi, de matrice, de permutări sau de transformări geometrice. Ideea e simplă și extrem de eficientă: în loc să reiei același raționament în fiecare capitol, îl faci o dată, abstract, și îl folosești peste tot.

Până acum ai construit grupuri concrete, unul câte unul: mulțimile de numere, grupurile claselor de resturi modulo n, grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității, grupurile de translații și de rotații. De aici încolo lucrăm cu un grup oarecare $(G,\cdot )$ și demonstrăm cinci reguli — simplificarea, inversul inversului, inversul unui produs, rezolvarea ecuațiilor și forma tablei unui grup finit — care se dovedesc a fi, împreună, jumătate din tehnica cerută la Bacalaureat M1 în Subiectul al II-lea.

Ce vei învăța

• Vei ști să folosești notațiile standard ale unui grup: $(G,\cdot )$ cu neutrul $e$ și inversul $x^{-1}$, respectiv $(G,+)$ cu neutrul $0$ și opusul $-x$.
• Vei ști să demonstrezi unicitatea elementului neutru și a simetricului unui element.
• Vei ști să demonstrezi și să aplici regulile de simplificare la stânga și la dreapta, precum și formulele ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ și $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ într-un grup oarecare și să explici de ce fiecare are exact o soluție.
• Vei ști să recunoști pe tabla unui grup finit faptul că fiecare element apare exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană.
• Vei ști să eviți capcanele clasice: $(xy{)}^{-1}\ne x^{-1}{y}^{-1}$ în general, iar cele două ecuații au, de obicei, soluții diferite.

Hai să descoperim împreună

1. Cadrul de lucru și notațiile

Un grup este o mulțime nevidă $G$ înzestrată cu o lege de compoziție asociativă, care are element neutru și în care orice element este simetrizabil; regulile de calcul de mai jos sunt consecințe demonstrate exclusiv din aceste trei condiții, deci sunt valabile în orice grup, indiferent din ce sunt făcute elementele lui — numere, matrice, funcții sau clase de resturi.

Ca să nu ne împiedicăm de notații, fixăm convenția folosită în toată unitatea:

• Notația multiplicativă, cea implicită: grupul se scrie $(G,\cdot )$, produsul lui $x$ cu $y$ se scrie $xy$ (punctul se subînțelege), elementul neutru se notează $e$, iar simetricul lui $x$ se numește inversul lui $x$ și se notează $x^{-1}$.
• Notația aditivă, folosită pentru grupurile comutative de tip „adunare": $(G,+)$, elementul neutru $0$, simetricul lui $x$ se numește opusul lui $x$ și se notează $-x$.
• Când legea este dată printr-un simbol oarecare, $\ast$, simetricul lui $x$ se notează $x^{\prime }$.

Toate rezultatele de mai jos se scriu în notație multiplicativă, pentru că e cea mai scurtă; la finalul lecției le traducem în notație aditivă, unde arată ca niște reguli de mutare a termenilor dintr-o parte în alta a egalității.

⚠️ Atenție la comutativitate. Definiția grupului nu cere ca legea să fie comutativă. Grupul permutărilor și grupul matricelor inversabile nu sunt comutative, deci în tot ce urmează ordinea factorilor contează. Scriem $xy$ și $yx$ ca lucruri diferite până când se demonstrează că sunt egale.

2. Ce se moștenește de la monoizi și ce este nou într-un grup?

Trei dintre regulile de mai jos nu sunt noi: le-ai demonstrat deja la Semigrupuri și monoizi, unde valabilitatea lor era însă limitată. Într-un monoid, elementul neutru este unic, iar pentru elementele simetrizabile simetricul este unic, are loc ${\left(x^{\prime }\right)}^{\prime }=x$ și, pentru $x$ și $y$ simetrizabile, $(xy{)}^{\prime }=y^{\prime }{x}^{\prime }$. Deosebirea, într-un grup, este că toate elementele sunt simetrizabile: aceleași trei rezultate se aplică, fără nicio restricție, oricărui element al lui $G$. Le rescriem doar în notația multiplicativă a grupului:

$${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x,e^{-1}=e,(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1},\text{pentru orice }x,y\in G.$$

⚠️ Ordinea se inversează. Formula corectă este $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, nu $x^{-1}{y}^{-1}$. Imaginea care o fixează: dacă întâi îți pui șosetele și apoi pantofii, ca să te descalți faci invers — întâi pantofii, apoi șosetele. Într-un grup comutativ cele două scrieri coincid, dar tocmai de aceea greșeala trece neobservată acolo și costă puncte în grupul permutărilor sau în cel al matricelor. Prin inducție, regula se extinde la oricâți factori:

$${\left(x_1{x}_2\cdots x_n\right)}^{-1}=x_n^{-1}\cdots x_2^{-1}{x}_1^{-1}.$$

Un singur rezultat din această zonă este cu adevărat nou — și el se sprijină pe faptul că $x^{-1}$ există pentru orice $x$, deci este specific grupurilor.

Consecință (verificarea într-o singură parte). Într-un grup, dacă $xy=e$, atunci $y=x^{-1}$ și, automat, $yx=e$.

Demonstrație. Înmulțim relația $xy=e$ la stânga cu $x^{-1}$, care există fiindcă suntem într-un grup: $x^{-1}(xy)=x^{-1}e$, adică $\left(x^{-1}x\right)y=x^{-1}$, deci $ey=x^{-1}$, adică $y=x^{-1}$. De aici $yx=x^{-1}x=e$. $■$

Traducere practică, folosită în absolut toate exercițiile de mai jos: ca să arăți că un element este inversul altuia, îți ajunge un singur produs, nu două. Într-un monoid oarecare acest lucru nu este adevărat — acolo un element poate avea simetric doar la o parte —, iar aceasta este prima dovadă concretă că axioma „orice element e simetrizabil" chiar aduce ceva.

3. Când se poate „tăia" un factor dintr-o egalitate?

Propoziție (regulile de simplificare). Fie $(G,\cdot )$ un grup și $a,x,y\in G$. Atunci:

$$ax=ay⟹x=y\text{(simplificare la staˆnga)},xa=ya⟹x=y\text{(simplificare la dreapta)}.$$

Demonstrație. Pentru prima, înmulțim ambii membri la stânga cu $a^{-1}$, care există fiindcă suntem într-un grup:

$$a^{-1}(ax)=a^{-1}(ay)⟹\left(a^{-1}a\right)x=\left(a^{-1}a\right)y⟹ex=ey⟹x=y.$$

Pentru a doua, înmulțim la dreapta cu $a^{-1}$ și procedăm identic. $■$

⚠️ Simplificarea se face de aceeași parte. Din $ax=ya$ nu rezultă $x=y$: factorul $a$ stă la stânga într-un membru și la dreapta în celălalt, iar grupul poate fi necomutativ. Verifică întotdeauna, înainte de a tăia, că factorul comun este de aceeași parte în ambii membri.

Observă și ce nu am folosit: nicăieri nu a intervenit comutativitatea. Regulile de simplificare țin în orice grup, exact ca la numerele reale nenule — pentru că motivul e același, existența inversului.

4. Ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$

Acesta este rezultatul pentru care există lecția. El transformă rezolvarea ecuațiilor într-un grup într-o operație mecanică.

Teoremă. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $a,b\in G$. Atunci ecuația $ax=b$ are exact o soluție în $G$, anume $x=a^{-1}b$, iar ecuația $xa=b$ are exact o soluție în $G$, anume $x=b{a}^{-1}$.

Demonstrație. Existența: elementul $a^{-1}b$ aparține lui $G$ (grupul e parte stabilă) și verifică ecuația, fiindcă $a\left(a^{-1}b\right)=\left(a{a}^{-1}\right)b=eb=b$. Unicitatea: dacă $x_1$ și $x_2$ sunt soluții, atunci $a{x}_1=b=a{x}_2$, iar prin simplificare la stânga obținem $x_1=x_2$. Pentru a doua ecuație, se înmulțește la dreapta cu $a^{-1}$ și se repetă raționamentul. $■$

Rețeta de redactare, cea cerută la Bacalaureat M1: „înmulțim ambii membri, la stânga (respectiv la dreapta), cu $a^{-1}$". Nu se spune niciodată „trecem pe $a$ dincolo" și nu se scrie $\frac{b}{a}$ — împărțirea nu este definită într-un grup oarecare.

⚠️ Cele două ecuații au, în general, soluții diferite. $a^{-1}b$ și $b{a}^{-1}$ coincid numai dacă $a$ și $b$ comută. Într-un grup comutativ nu ai de ce să te temi; în $S_3$, în grupul matricelor inversabile sau în grupul transformărilor geometrice, partea din care înmulțești schimbă răspunsul. Enunțul îți spune care ecuație e: uită-te unde stă necunoscuta.

Un caz particular folosit des: din $ax=a$ rezultă $x=e$, iar din $ax=e$ rezultă $x=a^{-1}$.

5. Ce se citește pe tabla unui grup finit?

Fie $G=\{g_1,g_2,\dots ,g_n\}$ un grup finit și tabla lui, în care celula de la intersecția liniei $x$ cu coloana $y$ conține $xy$.

Teoremă. În tabla unui grup finit, fiecare element al grupului apare exact o dată în fiecare linie și exact o dată în fiecare coloană.

Demonstrație. Fixăm linia elementului $a$; ea conține produsele $a{g}_1,a{g}_2,\dots ,a{g}_n$. Aceste $n$ elemente sunt distincte două câte două: dacă $a{g}_i=a{g}_j$, atunci, prin simplificare la stânga, $g_i=g_j$. Fiind $n$ elemente distincte într-o mulțime cu $n$ elemente, ele epuizează tot grupul, deci fiecare element apare exact o dată. Pentru coloane se folosește simplificarea la dreapta. $■$

Consecințele practice sunt imediate. Întâi, o verificare de corectitudine: dacă într-o linie a tablei tale un element apare de două ori, ai greșit un calcul sau mulțimea nu e grup. Apoi, o metodă de completare: o tablă parțial completată se poate adesea termina fără niciun calcul, doar impunând ca pe fiecare linie și pe fiecare coloană să apară toate elementele. Și, în fine, o citire a inverselor: elementul neutru $e$ apare o singură dată în fiecare linie, iar coloana în care apare indică inversul elementului de pe acea linie.

6. Cum arată aceleași reguli în notație aditivă?

Când grupul se scrie $(G,+)$ — cazul lui $(\mathbb{Z},+)$, al lui $({\mathbb{Z}}_n,+)$ sau al grupului translațiilor — regulile de mai sus se traduc astfel:

Ultimul rând explică de ce, la numere, „trecerea unui termen în celălalt membru cu semn schimbat" funcționează: nu e o regulă separată, ci exact teorema de mai sus, scrisă aditiv. Fiindcă grupurile aditive pe care le întâlnim sunt comutative, acolo nu mai trebuie să ai grijă de partea din care aduni.

7. Un rezultat de examen, obținut numai cu aceste reguli

Propoziție. Dacă într-un grup $(G,\cdot )$ avem $x^2=e$ pentru orice $x\in G$, atunci $G$ este comutativ.

Demonstrație. Ipoteza spune că fiecare element este propriul invers: din $xx=e$ rezultă $x^{-1}=x$. Fie acum $x,y\in G$ oarecare. Aplicăm ipoteza elementului $xy$ și formula inversului unui produs:

$$xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx.$$

Deci $xy=yx$ pentru orice $x,y$, adică grupul este comutativ. $■$

Grupul lui Klein, construit la Grupuri de funcții; grupul lui Klein, este exemplul-tip: toate cele patru elemente ale lui verifică $x^2=e$, iar grupul este într-adevăr comutativ. Reține schema demonstrației — ipoteză aplicată produsului $xy$, apoi formula $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$ — pentru că se repetă aproape identic în multe cerințe de tip Bacalaureat M1. Aici a apărut, pentru prima dată, scrierea $x^2$ pentru $x\cdot x$; regulile complete de calcul cu exponenți întregi sunt subiectul lecției Puterile unui element și calcule în grupuri finite.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Inversul unui produs de permutări

În grupul permutărilor de grad $3$, cu operația de compunere, fie

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right).$$

Verifică egalitatea $(\sigma \circ \tau {)}^{-1}={\tau }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}$ și arată că ${\sigma }^{-1}\circ {\tau }^{-1}$ dă altceva.

Rezolvare. Compunerea se face după convenția din Permutări: definiție, notație și compunere: întâi cea din dreapta. Obținem $\sigma \circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$, permutare care este propriul ei invers, deci $(\sigma \circ \tau {)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$.

Pe de altă parte, ${\tau }^{-1}=\tau$ și ${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$, iar ${\tau }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}=\tau \circ {\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. Egalitatea se verifică. ✓

În schimb ${\sigma }^{-1}\circ {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}\circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$, cu totul altă permutare. Concluzia: ordinea din formulă nu este decorativă.

Exemplul 2 — Ecuație în grupul claselor inversabile modulo 7

Rezolvă în grupul $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )=\left\{\hat{1},\hat{2},\hat{3},\hat{4},\hat{5},\hat{6}\right\}$, cu înmulțirea claselor, ecuația $\hat{3}\cdot x=\hat{5}$.

Rezolvare. Aflăm întâi inversul lui $\hat{3}$: căutăm clasa $\hat{c}$ cu $\hat{3}\cdot \hat{c}=\hat{1}$; cum $3\cdot 5=15=2\cdot 7+1$, avem $\widehat{15}=\hat{1}$, deci ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$. Înmulțim ecuația la stânga cu $\hat{5}$:

$$x={\hat{3}}^{-1}\cdot \hat{5}=\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{4}.$$

Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{5}$. ✓ Fiindcă grupul este comutativ, ecuația $x\cdot \hat{3}=\hat{5}$ are aceeași soluție.

Exemplul 3 — Două ecuații matriceale, două răspunsuri

În grupul matricelor pătratice de ordin $2$ cu determinantul nenul, fie $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$. Rezolvă ecuațiile $AX=B$ și $XA=B$.

Rezolvare. Cum $\det A=4-3=1\ne 0$, matricea este inversabilă, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)$ (se verifică imediat: $A{A}^{-1}=I_2$). Aplicăm teorema:

$$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 5& 2\end{array}\right),X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& -2\end{array}\right).$$

Cele două rezultate sunt diferite, exact fiindcă înmulțirea matricelor nu este comutativă — situație pe care ai întâlnit-o și la Ecuații matriceale.

Exemplul 4 — Un grup dat printr-o formulă

Pe intervalul $M=(3,+\infty )$ se definește legea $x\ast y=xy-3x-3y+12$. Se știe că $(M,\ast )$ este grup comutativ. Determină elementul neutru și simetricul unui element, apoi rezolvă ecuația $5\ast x=7$.

Rezolvare. Aducem legea la forma factorizată, cea care descurcă totul dintr-un pas:

$$x\ast y=(x-3)(y-3)+3.$$

Elementul neutru: căutăm $e$ cu $(x-3)(e-3)+3=x$ pentru orice $x$, adică $(x-3)(e-3)=x-3$; cum $x-3\ne 0$, rezultă $e-3=1$, deci $e=4$.

Simetricul: căutăm $x^{\prime }$ cu $(x-3)(x^{\prime }-3)+3=4$, adică $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$, de unde $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}$. Cum $x>3$, avem $\frac{1}{x-3}>0$, deci $x^{\prime }>3$: simetricul rămâne în mulțime, așa cum trebuie.

Ecuația: $(5-3)(x-3)+3=7\Rightarrow 2(x-3)=4\Rightarrow x=5$. Verificare: $5\ast 5=25-15-15+12=7$. ✓ Pe drumul general, $x=5^{\prime }\ast 7=\left(3+\frac{1}{2}\right)\ast 7=\left(\frac{7}{2}-3\right)(7-3)+3=\frac{1}{2}\cdot 4+3=5$ — același rezultat.

Exemplul 5 — Tabla unui grup cu trei elemente este unică

Fie $G=\{e,a,b\}$ un grup cu trei elemente, în care $e$ este elementul neutru. Arată că tabla operației este complet determinată.

Rezolvare. Linia și coloana lui $e$ se completează imediat. Rămân patru celule: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$.

Calculăm $ab$. Nu poate fi $a$: din $ab=a=ae$ ar rezulta, prin simplificare la stânga, $b=e$, fals. Nu poate fi $b$: din $ab=b=eb$ ar rezulta, prin simplificare la dreapta, $a=e$, fals. Rămâne $ab=e$. Analog se obține $ba=e$.

Calculăm acum $aa$. Nu poate fi $a$ (ar da $a=e$). Nu poate fi $e$: elementul $e$ apare o singură dată în linia lui $a$, iar el este deja în coloana lui $b$, fiindcă $ab=e$. Rămâne $aa=b$. La fel, $bb=a$.

Tabla este așadar unică. Ea coincide, literă cu literă, cu tabla adunării claselor de resturi modulo $3$, dacă înlocuiești $e,a,b$ cu $\hat{0},\hat{1},\hat{2}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Un enunț în formatul Subiectului al II-lea, cu trei subpuncte. Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și fie $a,b,c\in G$.

a) Arată că ${\left(ab\right)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$. b) Rezolvă în $G$ ecuația $axb=c$. c) Arată că, dacă $ab=ba$, atunci $a^{-1}{b}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$.

Rezolvare. a) Calculăm produsul $(ab)\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)$, folosind asociativitatea: $(ab)\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=a\left(b{b}^{-1}\right)a^{-1}=ae{a}^{-1}=a{a}^{-1}=e$. Cum într-un grup inversul e unic, iar un singur produs egal cu $e$ îl determină, rezultă $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$.

b) Înmulțim ecuația la stânga cu $a^{-1}$ și la dreapta cu $b^{-1}$:

$$a^{-1}(axb)b^{-1}=a^{-1}c{b}^{-1}⟹\left(a^{-1}a\right)x\left(b{b}^{-1}\right)=a^{-1}c{b}^{-1}⟹x=a^{-1}c{b}^{-1}.$$

Soluția este unică: dacă $a{x}_{1}b=c=a{x}_{2}b$, simplificarea la stânga cu $a$ și apoi la dreapta cu $b$ dă $x_1=x_2$.

c) Din $ab=ba$ luăm inversul în ambii membri. În stânga, $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$; în dreapta, $(ba{)}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$. Cum cei doi membri erau egali, sunt egali și inverșii lor: $b^{-1}{a}^{-1}=a^{-1}{b}^{-1}$, adică exact ce trebuia arătat.

Să exersăm

1. Rezolvă în grupul $({\mathbb{Z}}_6,+)$ ecuația $\hat{4}+x=\hat{1}$.

2. Rezolvă în grupul $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$ ecuația $\hat{2}\cdot x=\hat{6}$.

3. În $U({\mathbb{Z}}_7,\cdot )$, calculează ${\left(\hat{2}\cdot \hat{5}\right)}^{-1}$ pe două căi: direct și cu formula inversului unui produs.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup oarecare are loc $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$."

5. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $a,x,y\in G$ cu $xa=ya$. Arată că $x=y$, scriind toți pașii.

6. Demonstrează că, într-un grup, ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$ pentru orice element $x$.

7. În grupul permutărilor de grad $3$, cu $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$ și $\tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$, rezolvă ecuațiile $\sigma \circ x=\tau$ și $x\circ \sigma =\tau$ și compară soluțiile.

8. Rezolvă ecuația $AX=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 7& 2\end{array}\right)$.

9. Fie $(G,\cdot )$ un grup și $x,y\in G$ cu $xy=e$. Arată că $y=x^{-1}$ și că $yx=e$.

10. Completează tabla de mai jos, știind că este tabla unui grup cu patru elemente și că $e$ este elementul neutru: se cunosc doar $a\cdot a=e$, $b\cdot b=e$ și $a\cdot b=c$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup, ecuația $ax=b$ poate avea două soluții distincte."

12. (Problemă aplicată.) Un lacăt cu cifru are un disc cu opt poziții, iar fiecare mișcare permisă este „avansează cu $k$ poziții", $k\in \{0,1,\dots ,7\}$. Mișcările se compun ca adunarea claselor de resturi modulo $8$. Ce mișcare trebuie făcută după „avansează cu $5$" ca să ajungi în poziția „avansează cu $2$" față de start?

13. Demonstrează, folosind formula inversului unui produs, că ${\left(abc\right)}^{-1}=c^{-1}{b}^{-1}{a}^{-1}$ într-un grup oarecare.

14. Pe $M=(3,+\infty )$ se dă legea $x\ast y=xy-3x-3y+12$, despre care se știe că determină un grup. Rezolvă ecuația $x\ast 6=9$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $(G,\cdot )$ un grup cu elementul neutru $e$ și $a\in G$ cu $a\cdot a=e$. a) Arată că $a^{-1}=a$. b) Rezolvă ecuația $axa=e$. c) Arată că, dacă $b\in G$ verifică $ab=ba$, atunci $\left(ab\right)\left(ab\right)=b\cdot b$.

16. Arată că, dacă într-un grup $(G,\cdot )$ avem $x\cdot x=e$ pentru orice $x\in G$, atunci grupul este comutativ.

17. Arată că într-un grup $(G,\cdot )$ ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au aceeași soluție, oricare ar fi $a,b\in G$, dacă și numai dacă $G$ este comutativ.

18. (Provocare.) Fie $(G,\cdot )$ un grup în care $(xy)\left(xy\right)=(xx)(yy)$ pentru orice $x,y\in G$. Demonstrează că $G$ este comutativ.

Răspunsuri și explicații

1. Opusul lui $\hat{4}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ este $\hat{2}$, fiindcă $\hat{4}+\hat{2}=\hat{6}=\hat{0}$. Adunăm $\hat{2}$ în ambii membri: $x=\hat{2}+\hat{1}=\hat{3}$. Verificare: $\hat{4}+\hat{3}=\hat{7}=\hat{1}$. ✓

2. Inversul lui $\hat{2}$ este $\hat{4}$, pentru că $2\cdot 4=8=7+1$. Atunci $x=\hat{4}\cdot \hat{6}=\widehat{24}=\hat{3}$. Verificare: $\hat{2}\cdot \hat{3}=\hat{6}$. ✓

3. Direct: $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{3}$, iar ${\hat{3}}^{-1}=\hat{5}$. Cu formula: ${\left(\hat{2}\hat{5}\right)}^{-1}={\hat{5}}^{-1}{\hat{2}}^{-1}=\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{5}$. Aceeași clasă. ✓

4. Fals. În grupul permutărilor de grad $3$, pentru $\sigma$ și $\tau$ din Exemplul 1, avem $(\sigma \tau {)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$, iar ${\sigma }^{-1}{\tau }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. Formula corectă este $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$; egalitatea din enunț are loc doar când $x$ și $y$ comută.

5. Înmulțim ambii membri la dreapta cu $a^{-1}$: $(xa)a^{-1}=(ya)a^{-1}$. Prin asociativitate, $x\left(a{a}^{-1}\right)=y\left(a{a}^{-1}\right)$, adică $xe=ye$, deci $x=y$.

6. Din definiția inversului, $x^{-1}x=e$. Aplicând consecința „un singur produs egal cu $e$ determină inversul" elementului $x^{-1}$, rezultă că $x$ este inversul lui $x^{-1}$, adică ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$.

7. ${\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$. Din $\sigma \circ x=\tau$ obținem $x={\sigma }^{-1}\circ \tau =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. Din $x\circ \sigma =\tau$ obținem $x=\tau \circ {\sigma }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. Soluțiile sunt diferite, pentru că grupul nu este comutativ.

8. $\det A=3-2=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 1\end{array}\right)$. Atunci $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 5-2\cdot 7& 3\cdot 1-2\cdot 2\\ -5+7& -1+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right)$. Verificare: $AX=\left(\begin{array}{cc}1+4& -1+2\\ 1+6& -1+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 7& 2\end{array}\right)$. ✓

9. Înmulțim $xy=e$ la stânga cu $x^{-1}$: $x^{-1}(xy)=x^{-1}e$, adică $\left(x^{-1}x\right)y=x^{-1}$, deci $y=x^{-1}$. De aici $yx=x^{-1}x=e$.

10. Din $a\cdot b=c$ și din faptul că în fiecare linie apar toate elementele, linia lui $a$ este $a,e,c,b$ (pe coloanele $e,a,b,c$), deci $a\cdot c=b$. Analog, $b\cdot a=c$ (elementul $c$ lipsește din linia lui $b$ pe coloana lui $a$), $b\cdot c=a$, $c\cdot a=b$, $c\cdot b=a$ și $c\cdot c=e$. Este tabla grupului lui Klein.

11. Fals. Teorema din lecție arată că soluția există și este unică: dacă $a{x}_1=b=a{x}_2$, prin simplificare la stânga rezultă $x_1=x_2$. Existența mai multor soluții ar contrazice existența inversului lui $a$.

12. Trebuie rezolvată ecuația $\hat{5}+x=\hat{2}$ în $({\mathbb{Z}}_8,+)$. Opusul lui $\hat{5}$ este $\hat{3}$, deci $x=\hat{3}+\hat{2}=\hat{5}$: mai trebuie avansat cu $5$ poziții. Verificare: $5+5=10=8+2$, deci discul ajunge în poziția $2$. ✓

13. Grupăm doi câte doi: ${\left(abc\right)}^{-1}={\left((ab)c\right)}^{-1}=c^{-1}(ab{)}^{-1}=c^{-1}\left(b^{-1}{a}^{-1}\right)=c^{-1}{b}^{-1}{a}^{-1}$, folosind de două ori formula inversului unui produs.

14. Scriem legea factorizat: $(x-3)(6-3)+3=9$, adică $3(x-3)=6$, deci $x-3=2$ și $x=5$. Verificare: $5\ast 6=30-15-18+12=9$. ✓

15. a) Din $a\cdot a=e$ și din unicitatea inversului rezultă $a^{-1}=a$. b) Înmulțim la stânga și la dreapta cu $a^{-1}=a$: $x=a\cdot e\cdot a=a\cdot a=e$. Verificare: $a\cdot e\cdot a=a\cdot a=e$. ✓ c) $(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b=(aa)(bb)=e\cdot (bb)=b\cdot b$, unde am folosit $ab=ba$ la pasul al doilea și $aa=e$ la pasul al patrulea.

16. Din $x\cdot x=e$ rezultă $x^{-1}=x$ pentru orice $x$. Atunci, pentru $x,y$ oarecare, $xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx$, deci operația este comutativă.

17. Dacă $G$ este comutativ, atunci $a^{-1}b=b{a}^{-1}$, deci cele două soluții coincid. Reciproc, dacă pentru orice $a,b$ avem $a^{-1}b=b{a}^{-1}$, luăm $c=a^{-1}$ (care parcurge tot grupul când $a$ îl parcurge) și obținem $cb=bc$ pentru orice $b,c\in G$, adică $G$ este comutativ.

18. Scriem ipoteza desfășurat: $xyxy=xxyy$. Simplificăm la stânga cu $x$ (regula de simplificare la stânga, aplicată factorului comun $x$): $yxy=xyy$. Simplificăm acum la dreapta cu $y$: $yx=xy$. Cum $x$ și $y$ erau oarecare, grupul este comutativ.

De reținut

• Într-un grup, elementul neutru este unic, iar fiecare element are exact un simetric — de aceea notațiile $e$ și $x^{-1}$ desemnează, fără ambiguitate, câte un singur element.
• Ca să arăți că $y$ este inversul lui $x$ îți ajunge un singur produs: din $xy=e$ rezultă automat $y=x^{-1}$ și $yx=e$.
• Inversul unui produs se scrie cu factorii în ordine inversă: $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, iar egalitatea $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$ este adevărată doar când $x$ și $y$ comută.
• Regulile de simplificare — din $ax=ay$ rezultă $x=y$, din $xa=ya$ rezultă $x=y$ — funcționează în orice grup, comutativ sau nu, dar numai dacă factorul comun stă de aceeași parte în ambii membri.
• Ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au, fiecare, exact o soluție într-un grup, anume $x=a^{-1}b$, respectiv $x=b{a}^{-1}$; cele două soluții coincid doar dacă $a$ și $b$ comută.

Greșeli frecvente

• Se scrie $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$. Ordinea factorilor se inversează la trecerea la invers. Greșeala nu se vede în grupurile comutative, dar strică orice exercițiu cu permutări sau cu matrice; scrie formula corectă pe marginea foii înainte de a începe.
• Se simplifică de părți diferite. Din $ax=ya$ nu rezultă $x=y$. Factorul comun trebuie să fie la stânga în ambii membri sau la dreapta în ambii membri; altfel simplificarea nu are nicio justificare.
• Se împarte. Într-un grup oarecare nu există „împărțire" și nu se scrie $\frac{b}{a}$. Se scrie $a^{-1}b$ sau $b{a}^{-1}$, iar în redactare se spune explicit „înmulțim la stânga (la dreapta) cu $a^{-1}$".
• Se confundă cele două ecuații. Necunoscuta din $ax=b$ stă la dreapta lui $a$, deci se înmulțește la stânga; în $xa=b$ este invers. Uită-te unde este $x$ înainte de a scrie soluția, altfel obții răspunsul celeilalte probleme.
• Se folosește comutativitatea fără s-o fi demonstrat. Un grup nu este comutativ prin definiție. Dacă un pas al rezolvării schimbă ordinea a doi factori, el trebuie justificat — fie prin ipoteză, fie printr-o proprietate demonstrată.

Aplică acasă

1. Tabla care se completează singură. Desenează o tablă $4\times 4$ pentru un grup $\{e,a,b,c\}$, completează doar linia și coloana lui $e$ și pune, în plus, $a\cdot a=e$ și $a\cdot b=c$. Încearcă să termini tabla folosind numai regula „fiecare element apare o dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană" și notează la fiecare pas ce regulă ai aplicat.

2. Șosetele și pantofii. Scrie pe o foaie, ca pe o rețetă, ordinea în care te încalți și ordinea în care te descalți. Compară cele două liste cu formula $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$ și explică, în trei fraze, de ce ordinea se inversează. Caută apoi două exemple din viața de zi cu zi în care se întâmplă la fel.

3. Ceasul cu douăsprezece ore. Pe cadranul unui ceas, „a avansa cu $k$ ore" sunt elementele unui grup cu douăsprezece elemente. Rezolvă pe hârtie, folosind regulile din lecție, ecuațiile „$7+x=3$" și „$x+9=4$" și verifică rezultatele mișcând efectiv limba orelor.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima din unitate în care se lucrează cu un grup oarecare, nu cu unul concret: elementele nu mai sunt numere sau funcții, ci litere despre care știm doar cele trei axiome. Este pasul de abstractizare pe care programa îl cere explicit prin conținutul „Reguli de calcul într-un grup" și prin competența XII.CS.4.2, iar rezultatele lui — simplificarea, inversul unui produs, ecuațiile — sunt folosite apoi în toate lecțiile următoare, inclusiv la subgrupuri, la ordinul unui element și la morfisme.

De verificat în caiet: (1) fiecare demonstrație pornește de la axiome și numește proprietatea folosită la fiecare pas (asociativitate, definiția inversului, definiția neutrului); (2) la ecuații se scrie de care parte se înmulțește; (3) formula inversului unui produs este scrisă cu ordinea inversată; (4) nu se folosește comutativitatea decât acolo unde este dată. Întrebări bune de control: „De ce ecuația $ax=b$ are o singură soluție?"; „Care e greșeala în $(xy{)}^{-1}=x^{-1}{y}^{-1}$?"; „Ce se întâmplă dacă un element apare de două ori pe o linie a tablei?".

La BAC M1, aceste reguli sunt de fapt uneltele Subiectului al II-lea: enunțul dă un grup — de matrice, de clase de resturi sau definit printr-o lege pe un interval — și cere, la subpunctele b) și c), exact o simplificare, un invers de produs sau o ecuație. Semn că elevul a înțeles: rezolvă ecuația într-un grup necomutativ fără să ezite de care parte înmulțește și verifică singur soluția, reintroducând-o în ecuație.

Întrebări frecvente

Care sunt regulile de calcul într-un grup la clasa a 12-a? Sunt cinci: elementul neutru este unic; inversul fiecărui element este unic, iar ${\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x$; inversul unui produs este $(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}$, cu ordinea inversată; se poate simplifica la stânga și la dreapta; iar ecuațiile $ax=b$ și $xa=b$ au fiecare exact o soluție. Toate se demonstrează din cele trei axiome ale grupului.

Cum se rezolvă ecuația $ax=b$ într-un grup? Se înmulțesc ambii membri, la stânga, cu inversul lui $a$. Se obține $x=a^{-1}b$, singura soluție posibilă. Dacă necunoscuta stă în cealaltă parte, adică $xa=b$, se înmulțește la dreapta cu $a^{-1}$ și soluția este $x=b{a}^{-1}$. Într-un grup necomutativ, cele două rezultate sunt, de obicei, diferite.

De ce inversul unui produs se scrie cu factorii în ordine inversă? Pentru că numai așa produsul iese elementul neutru: $(xy)\left(y^{-1}{x}^{-1}\right)=x\left(y{y}^{-1}\right)x^{-1}=e$. Dacă ai scrie $x^{-1}{y}^{-1}$, factorii din mijloc nu s-ar mai simplifica. Imaginea utilă: te descalți în ordinea inversă celei în care te-ai încălțat.

Când se poate simplifica într-un grup? Ori de câte ori factorul comun stă de aceeași parte în ambii membri ai egalității: din $ax=ay$ rezultă $x=y$, iar din $xa=ya$ rezultă tot $x=y$. Justificarea este înmulțirea cu $a^{-1}$ de partea potrivită. Din $ax=ya$ nu se poate simplifica, pentru că $a$ apare în poziții diferite.

Ce înseamnă că ecuația are soluție unică într-un grup? Înseamnă că există un element care verifică ecuația și că nu există altul. Existența se arată prin verificarea directă a lui $a^{-1}b$, iar unicitatea prin simplificare: dacă două elemente ar fi soluții, ele ar coincide. Este exact proprietatea care face ca tabla unui grup finit să fie un „pătrat" fără repetiții.

Ce se citește pe tabla unui grup finit? Se citesc patru lucruri: elementul neutru (linia și coloana lui reproduc antetul), comutativitatea (simetria față de diagonala principală), inversul fiecărui element (coloana în care apare $e$ pe linia lui) și corectitudinea calculelor — fiecare element trebuie să apară exact o dată în fiecare linie și în fiecare coloană.

De ce un grup în care $x^2=e$ pentru orice x este comutativ? Pentru că ipoteza spune că fiecare element este propriul invers. Atunci, pentru orice $x$ și $y$, avem $xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx$, deci operația este comutativă. Este demonstrația-tip cerută la clasa a 12-a în subiectele de examen, iar grupul lui Klein este exemplul concret.

Cum arată aceste reguli în notație aditivă? Se traduc direct: elementul neutru devine $0$, inversul devine opusul $-x$, formula produsului devine $-(x+y)=(-y)+(-x)$, iar soluția ecuației $a+x=b$ devine $x=(-a)+b$. Așa se explică regula din gimnaziu de „trecere a unui termen în celălalt membru cu semn schimbat".