Derivata sumei, a produsului și a câtului: pe scurt

Funcțiile din probleme nu sunt „uzuale": sunt sume, produse și câturi de funcții uzuale. Patru reguli transformă tabelul într-un instrument universal: $$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime };(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime };(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime };{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0.$$ Regula sumei se obține despărțind raportul de diferențe în doi; de aici, orice funcție polinomială se derivează termen cu termen, pe tot $\mathbb{R}$. La produs se adună și se scade termenul $f(x_0)g(x)$, iar pasul $g(x)\to g(x_0)$ funcționează pentru că derivabilitatea atrage continuitatea — prima aplicație serioasă a acelei teoreme. Regula câtului iese din regula produsului, prin derivata lui $\frac{1}{g}$.

Derivatele nu se înmulțesc: pentru $f=g=x$ avem $(fg{)}^{\prime }=2x$, nu $1$. Nici la cât nu se împart: ordinea de la numărător nu se poate inversa, fiindcă $f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$ este exact opusul rezultatului corect.

Domeniile: suma, diferența și produsul sunt derivabile pe toată mulțimea comună, iar câtul numai în punctele în care $g$ nu se anulează — acolo unde numitorul se anulează, funcția pur și simplu nu e definită.

Strategia de calcul: te uiți la expresie și întrebi care este ultima operație; cu ea începi, apoi cobori spre factori și, la capăt, citești rândul din tabel.

Exerciții din această mini-lecție

1. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-1)e^x$, este:

   • a) $e^x\left(x^2+2x-1\right)$
   • b) $2x{e}^x$
   • c) $e^x\left(x^2-2x-1\right)$
   • d) $e^x\left(x^2-1\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $e^x\left(x^2+2x-1\right)$

   Regula produsului dă $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+(x^2-1)e^x=e^x\left(x^2+2x-1\right)$. Varianta $2x{e}^x$ este greșeala $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$; varianta $e^x(x^2-1)$ păstrează doar al doilea termen.

2. Derivata funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+1}{x-2}$, este:

   • a) $\frac{7}{(x-2{)}^2}$
   • b) $3$
   • c) $\frac{6x-5}{(x-2{)}^2}$
   • d) $-\frac{7}{(x-2{)}^2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $-\frac{7}{(x-2{)}^2}$

   $f^{\prime }(x)=\frac{3(x-2)-(3x+1)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-7}{(x-2{)}^2}$. Varianta pozitivă apare exact dacă inversezi ordinea la numărător ($f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$), iar varianta $3$ vine din „împărțirea derivatelor", care nu este o regulă.

3. Care dintre următoarele egalități este ADEVĂRATĂ pentru orice funcții derivabile $f$ și $g$?

   • a) $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$
   • b) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$
   • c) $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
   • d) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f{g}^{\prime }-f^{\prime }g}{g^2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

   Aceasta este regula produsului. Prima variantă cade la contraexemplul $f=g=x$; a doua nu este o regulă de derivare; a patra are termenii de la numărător inversați, deci dă opusul rezultatului corect.