Operații cu funcții derivabile: sumă, produs, cât

Un magazin online vinde un singur produs. Prețul lui nu stă pe loc — crește lent, odată cu costurile —, iar numărul de bucăți vândute nici atât: scade când prețul urcă. Venitul zilnic este produsul celor două mărimi, preț înmulțit cu cantitate. Întrebarea patronului nu este „cât e venitul astăzi", ci „cu ce viteză se schimbă venitul", pentru că de răspunsul acesta depinde dacă mai are rost o creștere de preț. Iar viteza de schimbare a unui produs nu este produsul vitezelor: dacă prețul crește cu $2\%$ pe lună și cantitatea scade cu $2\%$ pe lună, venitul nu rămâne neapărat egal, dar nici nu se schimbă cu $-4\%$.

Aici intervine lecția de față. Până acum ai calculat derivate una câte una, cu definiția, și ai strâns un tabel de derivate ale funcțiilor uzuale. Dar funcțiile din probleme aproape niciodată nu sunt „uzuale": ele sunt sume, produse și câturi de funcții uzuale. Ar fi absurd să reiei limita raportului incrementar pentru fiecare combinație nouă. Cele patru reguli de mai jos — sumă, înmulțire cu o constantă, produs, cât — transformă tabelul într-un instrument universal: cu el, orice expresie construită din funcții uzuale se derivează mecanic, în câteva rânduri.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi regulile de derivare pentru sumă și pentru produs, pornind de la definiția derivatei.
• Vei ști să deduci regula câtului din regula produsului, trecând prin derivata funcției $\frac{1}{g}$.
• Vei ști să derivezi orice funcție polinomială și orice funcție rațională, cu domeniul de derivabilitate precizat corect.
• Vei ști să derivezi produse de tipul $x^2{e}^x$, $x\ln x$, $x^2\sin x$, care apar în aproape orice subiect de Bacalaureat M1.
• Vei ști să eviți cele două confuzii clasice: $(fg{)}^{\prime }\ne f^{\prime }{g}^{\prime }$ și ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }\ne \frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$.
• Vei ști să verifici, prin regula câtului, formulele pentru $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$ din tabelul derivatelor.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „operații cu funcții derivabile"

Fie $D\subseteq \mathbb{R}$ și două funcții $f,g:D\to \mathbb{R}$. Din ele se construiesc, prin operațiile obișnuite, funcțiile $f+g$, $f-g$, $\alpha f$ (cu $\alpha \in \mathbb{R}$), $fg$ și $\frac{f}{g}$, ultima definită doar pe $\{x\in D\mid g(x)\ne 0\}$. Întrebarea lecției are două jumătăți, iar a doua se uită prea des:

1. dacă $f$ și $g$ sunt derivabile într-un punct $x_0$, este derivabilă și funcția construită din ele?
2. dacă da, cum se exprimă derivata ei cu ajutorul lui $f^{\prime }(x_0)$ și $g^{\prime }(x_0)$?

Programa cere ca prima întrebare să fie pusă întotdeauna înaintea celei de-a doua: întâi observi derivabilitatea, abia apoi calculezi. Motivul e practic — o formulă aplicată acolo unde ipotezele cad dă rezultate false, iar la Bacalaureat M1 se depunctează exact acest salt.

Merită spus de pe acum și lucrul invers: ipotezele regulilor sunt suficiente, nu necesare. Pentru $f(x)=|x|$ și $g(x)=x$, produsul este funcția $x|x|$, care se scrie $x^2$ la dreapta lui zero și $-x^2$ la stânga; ea este derivabilă în $0$, cu derivata $0$. Cu toate acestea, regula produsului nu se poate aplica acolo, pentru că $f^{\prime }(0)$ nici măcar nu există. Concluzia corectă e nuanțată: când ipotezele sunt îndeplinite, regula garantează derivabilitatea și dă formula; când nu sunt, regula pur și simplu tace — nu spune că funcția nu ar fi derivabilă, ci că trebuie cercetată altfel, de obicei cu definiția.

Uneltele demonstrațiilor sunt două, ambele deja construite: operațiile cu limite de funcții, de la Operații cu limite de funcții, și faptul că orice funcție derivabilă într-un punct este continuă acolo, de la Legătura dintre derivabilitate și continuitate.

2. Suma și înmulțirea cu o constantă

Teoremă (derivata sumei). Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile în $x_0$, atunci $f+g$ este derivabilă în $x_0$ și $$(f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0).$$

Demonstrație. Scriem raportul incrementar al funcției $f+g$ și îl despărțim în două: $$\frac{(f+g)(x)-(f+g)(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$ Când $x\to x_0$, fiecare dintre cele două rapoarte are limită finită, prin ipoteză: $f^{\prime }(x_0)$, respectiv $g^{\prime }(x_0)$. Suma a două funcții care au limite finite are limită, egală cu suma limitelor, deci raportul din stânga are limita finită $f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$. Prin definiție, aceasta înseamnă că $f+g$ e derivabilă în $x_0$, cu derivata anunțată. $■$

Teoremă (înmulțirea cu o constantă). Dacă $f$ e derivabilă în $x_0$ și $\alpha \in \mathbb{R}$, atunci $\alpha f$ e derivabilă în $x_0$ și $(\alpha f{)}^{\prime }(x_0)=\alpha f^{\prime }(x_0)$.

Demonstrația e identică, cu constanta scoasă în fața raportului. Din cele două rezultă imediat și diferența: $(f-g{)}^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }$, pentru că $f-g=f+(-1)g$.

Consecința practică. O sumă de oricâte funcții derivabile e derivabilă, iar derivata se calculează termen cu termen — regula se extinde de la doi la $n$ termeni prin inducție, exact ca proprietățile de asociativitate din algebră. De aici, derivarea funcțiilor polinomiale devine automată: pentru $P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, folosind $(x^k{)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$ din tabelul de la Derivatele funcțiilor uzuale, obținem $$P^{\prime }(x)=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +a_1.$$ Termenul liber dispare, pentru că derivata unei constante e nulă. Orice funcție polinomială e derivabilă pe tot $\mathbb{R}$.

3. Produsul: de ce nu se înmulțesc derivatele

Prima tentație este să scrii $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$. Un singur exemplu o desființează: pentru $f(x)=g(x)=x$ avem $fg=x^2$, deci $(fg{)}^{\prime }(x)=2x$, în timp ce $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=1\cdot 1=1$. Cele două expresii coincid doar accidental, în $x=\frac{1}{2}$.

Formula corectă are o explicație geometrică simplă. Închipuie-ți un dreptunghi cu laturile $f(x)$ și $g(x)$; aria lui este exact $f(x)g(x)$. Când $x$ crește puțin, ambele laturi se modifică, iar aria câștigă două fâșii: una de lățime egală cu creșterea lui $f$ și lungime $g$, alta de lățime egală cu creșterea lui $g$ și lungime $f$. Colțul mic din vârf, produsul celor două creșteri, este neglijabil față de ele. Împărțind totul la creșterea lui $x$ și trecând la limită, cele două fâșii dau exact $f^{\prime }g$ și $f{g}^{\prime }$.

Merită înțeles de ce colțul dispare, pentru că acolo se ascunde toată ideea de derivată. Fiecare dintre cele două fâșii are o dimensiune „mică" și una obișnuită, așa că, împărțită la creșterea lui $x$, rămâne de ordinul unei mărimi finite. Colțul, în schimb, are ambele dimensiuni mici; împărțit la creșterea lui $x$, mai păstrează un factor care tinde la zero, deci nu lasă nicio urmă în limită. Aceasta e prima dată când vezi, într-un calcul concret, diferența dintre „mic" și „mic de ordinul al doilea" — distincția pe care se sprijină întreaga analiză matematică.

Teoremă (derivata produsului). Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile în $x_0$, atunci $fg$ e derivabilă în $x_0$ și $$(fg{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0).$$

Demonstrație. Ideea este să adunăm și să scădem același termen, ca să putem grupa. Pentru $x\ne x_0$: $$\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0},$$ adică $$\frac{f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\cdot g(x)+f(x_0)\cdot \frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}.$$ Trecem la limită pentru $x\to x_0$. Primul raport tinde la $f^{\prime }(x_0)$, al doilea la $g^{\prime }(x_0)$, iar $g(x)\to g(x_0)$ pentru că $g$, fiind derivabilă în $x_0$, este continuă în $x_0$. Toate limitele sunt finite, deci produsele și suma lor au sens, iar limita totală este $f^{\prime }(x_0)g(x_0)+f(x_0)g^{\prime }(x_0)$. $■$

Observă unde s-a folosit continuitatea: fără ea, factorul $g(x)$ ar fi rămas nedeterminat și demonstrația s-ar fi oprit. Aceasta e prima aplicație serioasă a teoremei „derivabilă $\Rightarrow$ continuă".

4. Inversul unei funcții și regula câtului

Câtul se obține din produs, în doi pași. Primul pas tratează cazul particular în care numărătorul este $1$.

Lemă. Dacă $g$ e derivabilă în $x_0$ și $g(x_0)\ne 0$, atunci $\frac{1}{g}$ e derivabilă în $x_0$ și $${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=-\frac{g^{\prime }(x_0)}{g^2(x_0)}.$$

Demonstrație. Cum $g$ e continuă în $x_0$ și $g(x_0)\ne 0$, funcția $g$ nu se anulează pe o vecinătate a lui $x_0$, deci $\frac{1}{g}$ e definită acolo. Aducem la același numitor: $$\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{g(x_0)}}{x-x_0}=\frac{g(x_0)-g(x)}{(x-x_0)g(x)g(x_0)}=-\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\cdot \frac{1}{g(x)g(x_0)}.$$ Pentru $x\to x_0$, primul factor tinde la $g^{\prime }(x_0)$, iar al doilea la $\frac{1}{g^2(x_0)}$, tot prin continuitatea lui $g$. $■$

Teoremă (derivata câtului). Dacă $f$ și $g$ sunt derivabile în $x_0$ și $g(x_0)\ne 0$, atunci $\frac{f}{g}$ e derivabilă în $x_0$ și $${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x_0)=\frac{f^{\prime }(x_0)g(x_0)-f(x_0)g^{\prime }(x_0)}{g^2(x_0)}.$$

Demonstrație. Scriem $\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}$ și aplicăm regula produsului împreună cu lema: $${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot \frac{1}{g}+f\cdot \left(-\frac{g^{\prime }}{g^2}\right)=\frac{f^{\prime }g}{g^2}-\frac{f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}.■$$

Atenție la ordine. La numărător, primul termen este $f^{\prime }g$, cu minus în fața celui de-al doilea. Spre deosebire de produs, aici ordinea contează: $f{g}^{\prime }-f^{\prime }g$ este exact opusul rezultatului corect. Formula se ține minte ca „derivata lui sus ori jos, minus sus ori derivata lui jos, totul supra jos la pătrat".

5. Tabloul complet al regulilor

Cele patru reguli, așa cum se scriu de aici înainte în toate lecțiile, testele și baremele: $$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime };(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime };(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime };{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0.$$

Trei precizări despre domenii, care se cer scrise în rezolvările complete:

• suma, diferența și produsul a două funcții derivabile pe o mulțime $A$ sunt derivabile pe toată mulțimea $A$;
• câtul e derivabil doar pe $\{x\in A\mid g(x)\ne 0\}$ — punctele în care numitorul se anulează ies din domeniu, nu sunt „puncte de nederivabilitate";
• reciprocele sunt false: din faptul că $f+g$ e derivabilă nu rezultă că $f$ și $g$ sunt. Exemplul standard: $f(x)=|x|$ și $g(x)=-|x|$ nu sunt derivabile în $0$, dar suma lor e funcția nulă, derivabilă peste tot.

Regulile se combină și se repetă oricât. Pentru un produs de trei funcții, grupezi doi factori și aplici regula produsului de două ori; pentru o sumă de zece termeni, o aplici de nouă ori. Practic, nu vei scrie niciodată acest lanț: după câteva exerciții, ochiul recunoaște tiparul și derivarea unei expresii lungi devine o singură trecere, de la stânga la dreapta. Ceea ce contează, la examen, e să se vadă ce regulă ai folosit: baremele acordă punctaj pe pași, iar un rezultat corect apărut din senin nu primește punctajul întreg.

6. Regulile confirmă tabelul: derivata tangentei

Tabelul derivatelor uzuale conține rândul $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, obținut acolo direct din definiție. Regula câtului oferă o a doua cale către aceeași formulă, mult mai scurtă, și e o bună ocazie de a verifica dacă noile reguli se potrivesc cu ce știai deja. Pe mulțimea $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, unde $\cos x\ne 0$, scriem $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și aplicăm regula: $$(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}.$$ La fel, din $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ se obține $(\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, pe $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Amândouă coincid cu rândurile din tabelul lecției Derivatele funcțiilor uzuale — semn că sistemul de reguli e coerent.

7. Strategia: ce regulă aplici și în ce ordine

O expresie complicată se derivează de la operația cea mai de sus în jos. Te uiți la expresie ca la un arbore și întrebi: care este ultima operație efectuată?

• dacă e o adunare sau o scădere, aplici regula sumei și derivezi fiecare termen separat;
• dacă e o înmulțire, aplici regula produsului;
• dacă e o împărțire, aplici regula câtului;
• dacă e o funcție uzuală, citești rândul din tabel.

Pentru $\frac{x^2\sin x+3x}{x-1}$, ultima operație e împărțirea: aplici regula câtului, apoi, la numărător, regula sumei, apoi, pe primul termen, regula produsului. Ordinea aceasta nu e o preferință de stil — ea garantează că nu pierzi niciun factor.

8. Patru capcane de calcul

Nu desfaci parantezele degeaba, dar nici nu te încăpățâna. Pentru $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$ ai două drumuri corecte: regula produsului, sau desfacerea în $3x^3-2x^2+3x-2$ urmată de derivarea polinomului. Ambele dau $9x^2-4x+3$. Alege-l pe cel mai scurt — și folosește-l pe celălalt ca verificare.

Simplifică numărătorul la cât, dar nu și numitorul. După aplicarea regulii câtului, numărătorul se aduce la forma cea mai simplă; numitorul $g^2$ se lasă ca atare, în formă factorizată. Scrierea $(x+3{)}^2$ e preferabilă lui $x^2+6x+9$, pentru că arată imediat unde funcția nu e definită.

Constantele nu se derivează, dar nici nu dispar din produs. În $f(x)=5x\ln x$, factorul $5$ iese în față: $f^{\prime }(x)=5(x\ln x{)}^{\prime }=5(\ln x+1)$. Greșeala frecventă e să tratezi $5$ ca pe un factor al produsului și să scrii $0\cdot x\ln x+5(x\ln x{)}^{\prime }$ — rezultatul e corect, dar drumul e de două ori mai lung.

Scrie domeniul înainte de derivată, nu după. Obiceiul acesta te scutește de jumătate dintre greșelile de la examen. Dacă începi rezolvarea cu propoziția „funcția e definită și derivabilă pe …", atunci, când ajungi la un logaritm sau la un numitor, condițiile sunt deja pe foaie și nu mai ai ce uita. Ordinea inversă — derivezi întâi și te întrebi la sfârșit unde are sens rezultatul — duce, aproape mereu, la un domeniu scris din memorie și incomplet.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-5x^2+7x-4$, și valoarea $f^{\prime }(1)$.

Rezolvare. $f$ e polinomială, deci derivabilă pe $\mathbb{R}$. Derivăm termen cu termen, cu regula sumei și cu $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=2\cdot 3x^2-5\cdot 2x+7\cdot 1-0=6x^2-10x+7.$$ Atunci $f^{\prime }(1)=6-10+7=3$. (Verificat numeric prin raportul de diferențe în $x\in \{-2;0,5;3\}$.) ✓

Exemplul 2 — Regula produsului, cu verificare

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+1)(3x-2)$, pe două căi.

Rezolvare. Calea 1 — regula produsului. Cu $u(x)=x^2+1$ și $v(x)=3x-2$, avem $u^{\prime }(x)=2x$ și $v^{\prime }(x)=3$, deci $$f^{\prime }(x)=2x(3x-2)+(x^2+1)\cdot 3=6x^2-4x+3x^2+3=9x^2-4x+3.$$

Calea 2 — desfacerea parantezelor. $f(x)=3x^3-2x^2+3x-2$, de unde $f^{\prime }(x)=9x^2-4x+3$.

Cele două rezultate coincid, ceea ce confirmă calculul. (Verificat numeric în $x\in \{-1;0,5;2\}$.) ✓

Exemplul 3 — Produs cu exponențială

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^x$, și valoarea $f^{\prime }(1)$.

Rezolvare. Ambii factori sunt derivabili pe $\mathbb{R}$: $(x^2{)}^{\prime }=2x$ și $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. Regula produsului dă $$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x\left(x^2+2x\right).$$ Scoaterea factorului comun $e^x$ e obligatorie în redactarea de examen: forma factorizată e cea pe care se lucrează mai departe. Rezultă $f^{\prime }(1)=e(1+2)=3e$. (Verificat numeric în $x\in \{-1;0,5;2\}$.) ✓

Exemplul 4 — Regula câtului, funcție omografică

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$.

Rezolvare. Numărătorul și numitorul sunt funcții polinomiale, deci derivabile pe $\mathbb{R}$, iar numitorul se anulează doar în $-3$, punct care nu aparține domeniului. Deci $f$ e derivabilă pe tot domeniul ei. Cu $f^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u=2x-1$, $v=x+3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+3)-(2x-1)\cdot 1}{(x+3{)}^2}=\frac{2x+6-2x+1}{(x+3{)}^2}=\frac{7}{(x+3{)}^2}.$$ (Verificat numeric în $x\in \{-1;1;4\}$.) ✓

Exemplul 5 — Cât cu exponențială

Calculați derivata funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$.

Rezolvare. Numitorul nu se anulează niciodată, deci domeniul este $\mathbb{R}$, iar $f$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$. Aplicăm regula câtului: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x^2+1)-e^x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{e^x\left(x^2-2x+1\right)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{e^x(x-1{)}^2}{(x^2+1{)}^2}.$$ Forma finală arată ceva interesant: derivata este produsul dintre $e^x$, mereu pozitiv, și un pătrat, deci nu ia niciodată valori negative. Ce spune acest lucru despre forma graficului vei afla la Monotonia unei funcții dedusă din semnul derivatei întâi; deocamdată reținem doar calculul. (Verificat numeric în $x\in \{-1;0,5;2\}$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-3x)e^x$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Calculați $f^{\prime }(0)$. c) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=0$.

Rezolvare.

a) Funcțiile $x\mapsto x^2-3x$ și $x\mapsto e^x$ sunt derivabile pe $\mathbb{R}$, deci produsul lor este derivabil pe $\mathbb{R}$: $$f^{\prime }(x)=(2x-3)e^x+(x^2-3x)e^x=e^x\left(x^2-x-3\right).$$

b) $f^{\prime }(0)=e^0(0-0-3)=-3$.

c) Avem $f(0)=(0-0)\cdot 1=0$, deci punctul de tangență este $(0,0)$, iar panta tangentei este $f^{\prime }(0)=-3$. Cu formula de la Interpretarea geometrică a derivatei. Ecuația tangentei la grafic, $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, obținem $$y-0=-3(x-0),\text{adica˘}y=-3x.$$ (Toate valorile verificate numeric: derivata în $x\in \{-1;0;2\}$, iar $f^{\prime }(0)=-3$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie mai întâi de ce funcția e derivabilă și pe ce mulțime, apoi aplică regula. Rezultatele se dau în formă factorizată acolo unde se poate.

1. Calculează derivata funcției $f(x)=x^3-4x^2+5x-1$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează derivata funcției $f(x)=4x^5-3x^2+2$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează derivata funcției $f(x)=x^2\sin x$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Calculează derivata funcției $f(x)=(x+1)(x^2-2)$ pe două căi și compară rezultatele.

5. Calculează derivata funcției $f(x)=x{e}^x$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează derivata funcției $f(x)=\frac{x}{x+1}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

7. Calculează derivata funcției $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$, $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$.

8. Calculează derivata funcției $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcții derivabile $f$ și $g$ are loc $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$."

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ și $g$ nu sunt derivabile în $x_0$, atunci nici $f+g$ nu e derivabilă în $x_0$."

11. Pornind de la $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, redemonstrează formula derivatei tangentei.

12. Calculează derivata funcției $f(x)=(2x-1)(3x+4)$ și verifică rezultatul desfăcând parantezele.

13. Calculează derivata funcției $f(x)=x^2\ln x$, $x\in (0,+\infty )$.

14. (Problemă aplicată.) Un producător vinde $q$ bucăți la prețul unitar $p(q)=50-2q$ lei, unde $q\in [0,25]$. Venitul este $R(q)=qp(q)$. Calculează $R^{\prime }(q)$ și $R^{\prime }(10)$, apoi explică ce înseamnă rezultatul.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2+1)e^x$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și arată că $f^{\prime }(0)=1$.

16. Calculează derivata funcției $f(x)=\frac{e^x}{x}$, $x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

17. Calculează derivata funcției $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

18. (Provocare.) Demonstrează, aplicând de două ori regula produsului, că $(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$, apoi folosește formula pentru $f(x)=x(x-1)(x-2)$.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție polinomială, derivabilă pe $\mathbb{R}$; derivăm termen cu termen: $f^{\prime }(x)=3x^2-8x+5$.

2. Tot polinomială: $f^{\prime }(x)=20x^4-6x$. Termenul liber $2$ dispare.

3. Produs de două funcții derivabile pe $\mathbb{R}$: $f^{\prime }(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Al doilea termen vine din $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$.

4. Cu regula produsului: $f^{\prime }(x)=1\cdot (x^2-2)+(x+1)\cdot 2x=3x^2+2x-2$. Prin desfacere, $f(x)=x^3+x^2-2x-2$, cu aceeași derivată. Coincidența confirmă calculul.

5. $f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x{e}^x=e^x(x+1)$, pe $\mathbb{R}$.

6. Regula câtului: $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$, pe $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

7. $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

8. Se lucrează pe $(0,+\infty )$, singura mulțime pe care logaritmul are sens, iar acolo numitorul nu se anulează. Regula câtului dă $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

9. Fals. Contraexemplu: $f(x)=g(x)=x$ dau $fg=x^2$, cu $(fg{)}^{\prime }(x)=2x$, în timp ce $f^{\prime }(x)g^{\prime }(x)=1$. Formula corectă este $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, care aici dă $1\cdot x+x\cdot 1=2x$.

10. Fals. Contraexemplu: $f(x)=|x|$ și $g(x)=-|x|$ nu sunt derivabile în $0$, dar $f+g$ e funcția nulă, derivabilă pe $\mathbb{R}$. Regula sumei este o implicație într-un singur sens.

11. $(\mathrm{tg}x{)}^{\prime }=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, pe $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

12. $f^{\prime }(x)=2(3x+4)+(2x-1)\cdot 3=6x+8+6x-3=12x+5$. Prin desfacere, $f(x)=6x^2+5x-4$, cu derivata $12x+5$. ✓

13. $f^{\prime }(x)=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$, pe $(0,+\infty )$.

14. $R(q)=q(50-2q)$, deci, cu regula produsului, $R^{\prime }(q)=1\cdot (50-2q)+q\cdot (-2)=50-4q$. Atunci $R^{\prime }(10)=10$. Interpretare: la un nivel de $10$ bucăți, fiecare bucată suplimentară aduce aproximativ $10$ lei în plus la venit — este ceea ce economiștii numesc venit marginal.

15. $f^{\prime }(x)=2x{e}^x+(x^2+1)e^x=e^x\left(x^2+2x+1\right)=e^x(x+1{)}^2$. În particular, $f^{\prime }(0)=e^0\cdot 1=1$.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$, pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$.

17. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x^2+1)-(x^2+x+1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$. La numărător: $2x^3+2x+x^2+1-2x^3-2x^2-2x=1-x^2$. Deci $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$, pe $\mathbb{R}$.

18. Grupăm $fgh=(fg)h$. Atunci $(fgh{)}^{\prime }=(fg{)}^{\prime }h+(fg)h^{\prime }=(f^{\prime }g+f{g}^{\prime })h+fg{h}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }$. Pentru $f(x)=x(x-1)(x-2)$ obținem $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2)+x(x-2)+x(x-1)=3x^2-6x+2$. Verificare prin desfacere: $x^3-3x^2+2x$ are derivata $3x^2-6x+2$. ✓

De reținut

• Regula sumei: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ și $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$ — de aici, orice funcție polinomială se derivează termen cu termen, pe tot $\mathbb{R}$.
• Regula produsului: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$. Derivatele nu se înmulțesc; formula are doi termeni, câte unul pentru fiecare factor derivat pe rând.
• Regula câtului: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, valabilă unde $g\ne 0$; ordinea termenilor de la numărător nu se poate inversa.
• Se verifică întâi derivabilitatea, apoi se calculează. Domeniul de derivabilitate al câtului este mulțimea punctelor din domeniu în care numitorul nu se anulează.
• Demonstrațiile se sprijină pe continuitate: la produs și la cât, pasul $g(x)\to g(x_0)$ funcționează numai pentru că derivabilitatea atrage continuitatea.

Greșeli frecvente

• Scrii $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$. Contraexemplul $f=g=x$ dă $2x$ față de $1$. Formula corectă are doi termeni; verifică întotdeauna pe un caz simplu dacă te îndoiești.
• Inversezi termenii la regula câtului. $\frac{f{g}^{\prime }-f^{\prime }g}{g^2}$ este exact opusul rezultatului corect. Mnemonic: începe mereu cu derivata numărătorului.
• Ridici la pătrat numitorul greșit. La cât, numitorul formulei este $g^2$, adică pătratul funcției de la numitorul inițial, nu pătratul întregii fracții și nici $g^{\prime 2}$.
• Uiți să precizezi domeniul. Pentru $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ nu e suficient să scrii derivata: trebuie spus că se lucrează pe $(0,+\infty )$, altfel logaritmul nu are sens.
• Aplici regula sumei „invers". Din faptul că $f+g$ e derivabilă nu rezultă că $f$ și $g$ sunt derivabile; contraexemplul $|x|$ și $-|x|$ arată de ce implicația merge într-un singur sens.

Aplică acasă

1. Cronometru pe zece derivate. Scrie pe o foaie zece funcții construite ca sume, produse și câturi de funcții uzuale, apoi derivează-le contra cronometru, notând de fiecare dată ce regulă ai aplicat prima. Repetă a doua zi și compară timpii — obiectivul e ca alegerea regulii să devină automată.

2. Verificarea prin două drumuri. Alege cinci produse de funcții polinomiale, de exemplu $(x^2-1)(x+4)$, și derivează-le în ambele feluri: cu regula produsului și după desfacerea parantezelor. Dacă rezultatele nu coincid, greșeala e aproape sigur un semn pierdut la al doilea termen.

3. Venitul unui mic magazin. Alege un produs pe care l-ai cumpăra și inventează o lege de preț de forma $p(q)=a-bq$. Scrie venitul $R(q)=qp(q)$, calculează $R^{\prime }(q)$ și găsește valoarea lui $q$ pentru care venitul marginal se anulează. Compară-o cu abscisa vârfului parabolei $R$, pe care o știi din Monotonia și valoarea extremă a funcției de gradul al doilea.

Pentru părinți și profesori

Lecția este pivotul unității despre derivate. Până acum elevul calcula derivate cu definiția, adică printr-o limită, pentru fiecare funcție în parte; de aici înainte calculează prin reguli, iar definiția rămâne pentru teorie și pentru cazurile-problemă. Trecerea aceasta este exact ce se întâmplă istoric la nașterea calculului diferențial: un procedeu lent devine un algoritm. Merită spus acasă, pentru că schimbă felul în care se învață: nu mai are rost să reia definiția la fiecare exercițiu, dar are foarte mult rost să știe demonstrațiile, pentru că ele se cer la teorie și pentru că fără ele regulile rămân patru formule fără temei.

Ce verifică lecția: (1) enunțarea corectă a celor patru reguli, cu ipotezele lor; (2) demonstrația sumei și a produsului, cu identificarea locului în care se folosește continuitatea; (3) aplicarea corectă a regulii câtului, inclusiv ordinea termenilor de la numărător; (4) precizarea domeniului de derivabilitate; (5) alegerea regulii potrivite pentru o expresie compusă din mai multe operații.

Întrebări bune de control: „De ce nu se înmulțesc derivatele la produs?", „Unde s-a folosit continuitatea în demonstrația produsului?", „Pe ce mulțime e derivabil câtul?". La BAC M1, regulile apar în aproape fiecare subiect: cerința standard este calculul derivatei unei funcții de forma produs sau cât, urmat de o valoare punctuală sau de ecuația tangentei. Semn că elevul a înțeles: înainte de a scrie prima linie, identifică ultima operație din expresie și numește regula pe care o va folosi.

Întrebări frecvente

Care sunt cele patru reguli de derivare de bază? Derivata sumei, $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$; derivata produsului cu o constantă, $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$; derivata produsului, $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$; și derivata câtului, ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$, valabilă în punctele în care $g$ nu se anulează.

De ce derivata produsului nu este produsul derivatelor? Pentru că raportul incrementar al produsului nu se desface în produsul rapoartelor. Geometric, aria unui dreptunghi cu ambele laturi variabile crește cu două fâșii, una datorată fiecărei laturi; de aceea formula are doi termeni. Un singur contraexemplu, $f=g=x$, arată că $(x^2{)}^{\prime }=2x$, nu $1$.

Cum derivez o funcție rațională? Cu regula câtului, după ce ai stabilit domeniul: se exclud valorile care anulează numitorul. Apoi $f^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u$ numărătorul și $v$ numitorul; numărătorul rezultat se aduce la forma cea mai simplă, iar numitorul se lasă factorizat.

Ce derivată are $x$ înmulțit cu $e$ la puterea $x$? Este un produs, deci $(x{e}^x{)}^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(x+1)$. Același tipar funcționează pentru $x^2{e}^x$, unde se obține $e^x(x^2+2x)$: se derivează pe rând fiecare factor, iar la final se scoate $e^x$ factor comun.

Trebuie să desfac parantezele înainte de a deriva? Nu e obligatoriu. Pentru produse de funcții polinomiale, ambele drumuri sunt corecte și dau același rezultat; alege-l pe cel mai scurt. Pentru produse care conțin exponențiale, logaritmi sau funcții trigonometrice, desfacerea nu e posibilă, deci regula produsului este singura variantă.

Unde este derivabilă funcția obținută prin împărțire? Pe mulțimea punctelor din domeniul comun în care numitorul este diferit de zero. Punctele care anulează numitorul nu sunt puncte de nederivabilitate, ci puncte care nu aparțin domeniului funcției — o distincție pe care baremele o urmăresc.

Cum îmi dau seama ce regulă să aplic prima? Identifică ultima operație efectuată în expresie, adică operația „de deasupra". Dacă e o adunare, începi cu regula sumei; dacă e o înmulțire, cu regula produsului; dacă e o împărțire, cu regula câtului. Abia după aceea cobori spre factori și aplici, pe rând, celelalte reguli și tabelul derivatelor uzuale.

De unde vine formula derivatei tangentei? Din regula câtului, aplicată lui $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$: se obține $\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$, adică $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, pe mulțimea unde cosinusul nu se anulează. Analog se obține derivata cotangentei, folosind $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$.