Reper, distanță și mijloc: pe scurt

Geometria devine calcul în clipa în care fiecare punct primește o pereche de numere. În reperul cartezian $xOy$ — două axe perpendiculare, cu aceeași unitate și cu originea comună $O$ — punctul $A$ este descris complet de perechea ordonată $(x_A,y_A)$: abscisa se citește pe $Ox$, ordonata pe $Oy$. Semnele coordonatelor dau cadranul, iar punctele situate pe axe au o coordonată nulă.

Din teorema lui Pitagora, aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele, rezultă distanța dintre două puncte: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Obiceiul care economisește cel mai mult timp este să lucrezi cu $A{B}^2$ până la ultimul pas — comparațiile dintre laturi se fac atunci exact, pe numere raționale, iar radicalul se extrage abia la final. Tot din pătratele laturilor se citește natura triunghiului: isoscel când două dintre ele sunt egale, dreptunghic când suma a două dă al treilea.

A doua formulă este a mijlocului: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$, adică mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Din ea ies imediat simetricul lui $A$ față de $P$, anume $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$, și criteriul de paralelogram: diagonalele au același mijloc. Ține minte contrastul care se confundă cel mai des — la distanță se scade, la mijloc se adună. Iar înainte de a numi trei puncte „triunghi”, verifică $\Delta \ne 0$, unde $\Delta$ este determinantul format din coordonatele vârfurilor și o coloană de $1$; aria lui este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Distanța dintre punctele $A(-2,5)$ și $B(6,-1)$ este egală cu:

   • a) $4\sqrt{2}$
   • b) $10$
   • c) $14$
   • d) $2\sqrt{7}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $10$

   $A{B}^2=(6-(-2){)}^2+(-1-5{)}^2=8^2+(-6{)}^2=64+36=100$, deci $AB=10$. Varianta $4\sqrt{2}$ apare dacă se adună coordonatele în loc să se scadă, iar $14$ dacă se adună pur și simplu $8$ cu $6$.

2. Mijlocul segmentului cu capetele $S(-7,4)$ și $T(3,-9)$ este punctul:

   • a) $M\left(5,-\frac{13}{2}\right)$
   • b) $M(-4,-5)$
   • c) $M\left(-2,\frac{5}{2}\right)$
   • d) $M\left(-2,-\frac{5}{2}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $M\left(-2,-\frac{5}{2}\right)$

   Coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale capetelor: $x_M=\frac{-7+3}{2}=-2$ și $y_M=\frac{4+(-9)}{2}=-\frac{5}{2}$. Prima variantă folosește diferențele în loc de sume, a doua uită împărțirea la $2$.

3. Simetricul punctului $A(-3,7)$ față de punctul $P(2,-1)$ este:

   • a) $A^{\prime }(7,-9)$
   • b) $A^{\prime }(-8,15)$
   • c) $A^{\prime }\left(-\frac{1}{2},3\right)$
   • d) $A^{\prime }(5,-8)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A^{\prime }(7,-9)$

   $P$ trebuie să fie mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$, deci dublezi centrul și scazi punctul: $x_{A^{\prime }}=2\cdot 2-(-3)=7$ și $y_{A^{\prime }}=2\cdot (-1)-7=-9$. Verificare: mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$ este $\left(\frac{-3+7}{2},\frac{7-9}{2}\right)=(2,-1)=P$ ✓.