Reperul cartezian: coordonate, distanța dintre două puncte și mijlocul unui segment

Un parc eolian are treizeci de turbine. Inginerul care proiectează rețeaua de cabluri nu lucrează cu fotografii ale dealului, ci cu un tabel: două coloane de numere, câte un rând pentru fiecare turbină. Din acel tabel se calculează, fără să iasă nimeni pe teren, lungimea fiecărui tronson de cablu, locul optim al transformatorului, suprafața ocupată de instalație. Tabelul are exact forma cu care ai lucrat în primele patruzeci și două de lecții ale acestui an: este o matrice cu treizeci de linii și două coloane.

Aceasta este ideea care deschide unitatea de față. Geometria devine calcul atunci când fiecare punct al planului primește o pereche de numere, iar fiecare proprietate geometrică — lungime, aliniere, arie — primește o formulă. Unealta se numește reper cartezian, iar unitatea aceasta o construiește de la zero și o duce, în treisprezece lecții, până la aplicații care se cer la Bacalaureat M1: ecuațiile dreptelor, unghiul dintre ele, distanța de la un punct la o dreaptă, aria unui triunghi calculată cu un determinant. Începem cu temelia: cum se așază coordonatele, cum se măsoară o distanță și cum se află mijlocul unui segment.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii reperul cartezian $xOy$ și să citești poziția unui punct din perechea coordonatelor lui.
• Vei ști să recunoști cadranul în care se află un punct, după semnele coordonatelor, și să identifici punctele situate pe axe.
• Vei ști să deduci și să aplici formula distanței dintre două puncte, $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.
• Vei ști să stabilești natura unui triunghi (isoscel, echilateral, dreptunghic) pornind doar de la coordonatele vârfurilor.
• Vei ști să deduci și să aplici formula mijlocului unui segment, să afli simetricul unui punct față de un punct dat și să demonstrezi cu ele că un patrulater este paralelogram, romb sau pătrat.
• Vei ști să calculezi lungimea unei mediane și să verifici orice rezultat pe două căi independente.

Hai să descoperim împreună

1. De la cercul trigonometric la tot planul

Ai deschis deja ușa acestui capitol la matricea de rotație: acolo, două axe perpendiculare și cercul trigonometric au fost suficiente ca să scrii coordonatele oricărui punct al planului sub formă de matrice coloană și să le înmulțești cu $R(\theta )$. Ce lipsea era sistematizarea: numele elementelor, regulile de citire și primele două formule care transformă desenul în calcul.

Le construim acum. Reținem din lecția 12 exact ideea de bază — un punct al planului este descris complet de o pereche ordonată de numere reale — și mergem mai departe cu ea.

2. Reperul cartezian $xOy$

Definiție. Un reper cartezian în plan este format din două axe perpendiculare, cu aceeași unitate de măsură și cu originea comună. Axa orizontală se notează $Ox$ și se numește axa absciselor; axa verticală se notează $Oy$ și se numește axa ordonatelor; punctul lor de intersecție, $O$, este originea. Reperul întreg se notează $xOy$.

Fiecărui punct $A$ din plan îi corespunde o pereche ordonată $(x_A,y_A)$ de numere reale: $x_A$ este abscisa (măsurată pe $Ox$), iar $y_A$ este ordonata (măsurată pe $Oy$). Scriem $A(x_A,y_A)$. Corespondența este bijectivă: fiecărui punct îi revine o singură pereche și fiecărei perechi îi revine un singur punct. Din acest motiv putem spune, fără să greșim, „punctul $(3,-2)$" în loc de „punctul de abscisă $3$ și ordonată $-2$".

Aceleași două numere, așezate unul sub altul, dau coloana punctului, notația de care ai avut nevoie la rotații:

$$A(x_A,y_A)⟷\left(\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R}).$$

Cele două axe împart planul în patru regiuni, numite cadrane, numerotate în sens trigonometric începând din dreapta-sus. Semnele coordonatelor le identifică imediat:

Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran: pe $Ox$ ordonata este nulă, deci punctele au forma $(a,0)$; pe $Oy$ abscisa este nulă, deci punctele au forma $(0,b)$; originea este $O(0,0)$.

3. Distanța dintre două puncte

Prima mărime geometrică pe care o traducem în calcul este lungimea unui segment.

Teoremă. Distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$$

Demonstrație. Dacă $x_A=x_B$, segmentul este vertical și lungimea lui este $|y_B-y_A|$; formula dă $\sqrt{0+(y_B-y_A{)}^2}=|y_B-y_A|$, deci se verifică. Analog pentru segmentul orizontal.

În rest, considerăm punctul auxiliar $C(x_B,y_A)$, obținut coborând din $B$ pe orizontala lui $A$. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$, pentru că $AC$ este orizontal și $BC$ este vertical. Catetele lui măsoară $AC=|x_B-x_A|$ și $BC=|y_B-y_A|$. Din teorema lui Pitagora,

$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2,$$

iar cum $AB>0$, extragem rădăcina pătrată. $■$

Trei observații de lucru, care se folosesc în fiecare exercițiu de aici înainte:

• ordinea scăderii nu contează, pentru că diferențele apar ridicate la pătrat: $(x_B-x_A{)}^2=(x_A-x_B{)}^2$;
• distanța de la origine la $M(x,y)$ este $OM=\sqrt{x^2+y^2}$, cazul particular $A=O$;
• se lucrează cu $A{B}^2$ cât timp se poate. Pătratul distanței este un număr rațional când coordonatele sunt raționale, iar comparațiile între segmente se fac exact, fără radicali. Rădăcina se extrage abia la final. Acesta este obiceiul care salvează cel mai mult timp la Bacalaureat M1.

4. Ce citim din distanțe: natura unui triunghi

Trei puncte necoliniare determină un triunghi, iar cele trei pătrate de distanțe îi determină complet forma. De aici, două criterii pe care le folosim tot restul unității:

• triunghiul este isoscel dacă două dintre pătratele laturilor sunt egale, și echilateral dacă toate trei sunt egale;
• triunghiul este dreptunghic dacă suma a două pătrate de laturi este egală cu al treilea — este reciproca teoremei lui Pitagora, aplicată direct pe numere.

Atenție la un pas care se sare des: înainte de a vorbi despre „triunghiul $ABC$" trebuie să fii sigur că punctele nu sunt coliniare. Testul rapid, pe care îl vei studia sistematic la condiția de coliniaritate a trei puncte, folosește un determinant de ordinul al treilea:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|,ABC\text{ triunghi}⟺\Delta \ne 0.$$

Același determinant dă și aria: ${\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |$, formulă demonstrată la aria unui triunghi cu ajutorul determinantului. O folosim de pe acum ca a doua cale de verificare: dacă ai calculat aria cu bază înmulțită cu înălțime, determinantul trebuie să dea același număr. Două căi independente care se întâlnesc înseamnă că rezultatul e corect.

5. Mijlocul unui segment

Teoremă. Mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele

$$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).$$

Demonstrație. Proiectăm $A$, $M$ și $B$ pe axa $Ox$, în punctele $A^{\prime }$, $M^{\prime }$, $B^{\prime }$. Cele trei proiectante sunt paralele între ele (toate perpendiculare pe $Ox$), iar $M$ este mijlocul lui $[AB]$; conform teoremei paralelelor echidistante, $M^{\prime }$ este mijlocul lui $[A^{\prime }{B}^{\prime }]$. Dar $A^{\prime }$, $M^{\prime }$, $B^{\prime }$ sunt puncte de pe o axă, cu abscisele $x_A$, $x_M$, $x_B$, iar mijlocul unui segment de pe o axă are drept coordonată media aritmetică a capetelor:

$$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}.$$

Proiectând pe $Oy$ obținem, identic, $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$. $■$

Formula se reține ușor: coordonatele mijlocului sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Verificarea unui rezultat e imediată — $M$ este mijloc dacă și numai dacă $AM=MB$ și $M$ se află pe segment; în practică e mai rapid să verifici că $x_A+x_B=2x_M$ și $y_A+y_B=2y_M$.

6. Simetricul unui punct și patrulaterele

Din formula mijlocului rezultă imediat o a doua unealtă, foarte des cerută în subiectele de Bacalaureat M1.

Simetricul punctului $A$ față de punctul $P$ este punctul $A^{\prime }$ pentru care $P$ este mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$. Din $x_P=\frac{x_A+x_{A^{\prime }}}{2}$ obținem

$$x_{A^{\prime }}=2x_P-x_A,y_{A^{\prime }}=2y_P-y_A.$$

Regula verbală: dublezi coordonatele centrului și scazi coordonatele punctului.

A treia unealtă vine din proprietatea diagonalelor. Un patrulater $ABCD$ este paralelogram dacă și numai dacă diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc. În coordonate, condiția devine un sistem de două egalități foarte simple:

$$x_A+x_C=x_B+x_D,y_A+y_C=y_B+y_D.$$

De aici se citesc și cazurile particulare, combinând cu distanțele: paralelogramul cu două laturi consecutive egale este romb; paralelogramul cu diagonale egale este dreptunghi; rombul cu diagonale egale este pătrat. Toate se verifică numeric, comparând pătrate de distanțe.

7. Mediana și drumul care urmează

Mijlocul și distanța se combină natural în lungimea unei mediane: mediana din $A$ a triunghiului $ABC$ unește $A$ cu mijlocul $M$ al laturii $[BC]$, deci se calculează în doi pași — întâi $M$, apoi $AM$.

Cu aceste trei formule — distanță, mijloc, simetric — poți deja rezolva probleme întregi de geometrie fără să desenezi nimic. Ce nu poți încă este să descrii o dreaptă printr-o ecuație: pentru asta ai nevoie de un număr care să codifice direcția ei. Acel număr se numește pantă și îl construim în lecția următoare, panta unei drepte. Distanța revine, sub o formă nouă și mai puternică, la distanța de la un punct la o dreaptă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Distanța, calculată exact

Calculați distanța dintre $A(-3,2)$ și $B(5,8)$, precum și distanța de la origine la $M(-9,12)$.

Rezolvare. Aplicăm formula, lucrând întâi cu pătratul:

$$A{B}^2=(5-(-3){)}^2+(8-2{)}^2=8^2+6^2=64+36=100\Rightarrow AB=10.$$

Pentru al doilea punct, $O{M}^2=(-9{)}^2+12^2=81+144=225$, deci $OM=15$.

Observă că ambele perechi de catete, $(8,6)$ și $(9,12)$, sunt multipli ai tripletei $(4,3,5)$ — de aceea rezultatele ies întregi. $■$

Exemplul 2 — Natura unui triunghi, cu verificarea ariei pe două căi

Se consideră punctele $A(3,5)$, $B(-1,2)$, $C(-4,6)$. Arătați că $ABC$ este triunghi dreptunghic isoscel și calculați-i perimetrul și aria.

Rezolvare. Verificăm întâi necoliniaritatea:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}3& 5& 1\\ -1& 2& 1\\ -4& 6& 1\end{array}\right|=3(2-6)-5(-1+4)+1(-6+8)=-12-15+2=-25\ne 0,$$

deci $A$, $B$, $C$ formează într-adevăr un triunghi. Calculăm pătratele laturilor:

$$A{B}^2=(-1-3{)}^2+(2-5{)}^2=16+9=25,B{C}^2=(-4+1{)}^2+(6-2{)}^2=9+16=25,A{C}^2=(-4-3{)}^2+(6-5{)}^2=49+1=50.$$

Din $A{B}^2=B{C}^2$ rezultă $AB=BC=5$: triunghiul este isoscel. Din $A{B}^2+B{C}^2=25+25=50=A{C}^2$ rezultă, prin reciproca teoremei lui Pitagora, că unghiul din $B$ este drept.

Perimetrul: $AC=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, deci $\mathcal{P}=5+5+5\sqrt{2}=10+5\sqrt{2}$.

Aria, calea întâi (catetele sunt chiar $AB$ și $BC$): $\mathcal{S}=\frac{5\cdot 5}{2}=\frac{25}{2}$. Aria, calea a doua (determinantul de mai sus): $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|-25|=\frac{25}{2}$. Cele două căi coincid. $■$

Exemplul 3 — Mijloc și simetric

Determinați mijlocul segmentului $[ST]$, unde $S(-12,5)$ și $T(8,-10)$, apoi determinați simetricul punctului $A(-5,2)$ față de punctul $P(1,-3)$.

Rezolvare. Pentru mijloc, media aritmetică pe fiecare coordonată:

$$x_M=\frac{-12+8}{2}=-2,y_M=\frac{5+(-10)}{2}=-\frac{5}{2}\Rightarrow M\left(-2,-\frac{5}{2}\right).$$

Verificare rapidă: $S{T}^2=20^2+(-15{)}^2=400+225=625$, deci $ST=25$, iar $S{M}^2=10^2+{\left(\frac{15}{2}\right)}^2=100+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$, adică $SM=\frac{25}{2}$ — exact jumătate.

Pentru simetric, dublăm centrul și scădem punctul:

$$x_{A^{\prime }}=2\cdot 1-(-5)=7,y_{A^{\prime }}=2\cdot (-3)-2=-8\Rightarrow A^{\prime }(7,-8).$$

Verificare: mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$ este $\left(\frac{-5+7}{2},\frac{2-8}{2}\right)=(1,-3)=P$. $■$

Exemplul 4 — Paralelogram recunoscut din diagonale

Arătați că punctele $A(-3,-1)$, $B(2,1)$, $C(6,5)$, $D(1,3)$ sunt vârfurile unui paralelogram și stabiliți dacă el este romb.

Rezolvare. Comparăm mijloacele diagonalelor:

$$M_{AC}\left(\frac{-3+6}{2},\frac{-1+5}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},2\right),M_{BD}\left(\frac{2+1}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},2\right).$$

Diagonalele au același mijloc, deci $ABCD$ este paralelogram. Pentru romb ar trebui ca două laturi consecutive să fie egale:

$$A{B}^2=5^2+2^2=29,B{C}^2=4^2+4^2=32.$$

Cum $29\ne 32$, paralelogramul nu este romb. (Confirmare suplimentară a paralelogramului: $D{C}^2=(6-1{)}^2+(5-3{)}^2=25+4=29=A{B}^2$ și $A{D}^2=(1+3{)}^2+(3+1{)}^2=16+16=32=B{C}^2$ — laturile opuse sunt congruente două câte două.) $■$

Exemplul 5 — O aplicație: releul dintre două stații

Două stații de măsurare sunt amplasate în punctele $S(-12,5)$ și $T(8,-10)$, coordonatele fiind date în kilometri. Un releu trebuie plasat la mijlocul distanței dintre ele. Aflați poziția releului și verificați că el se află la aceeași distanță de ambele stații.

Rezolvare. Releul se află în mijlocul lui $[ST]$, calculat în exemplul 3: $R\left(-2,-\frac{5}{2}\right)$. Distanțele:

$$R{S}^2=(-12+2{)}^2+{\left(5+\frac{5}{2}\right)}^2=100+\frac{225}{4}=\frac{625}{4},R{T}^2=(8+2{)}^2+{\left(-10+\frac{5}{2}\right)}^2=100+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}.$$

Pătratele fiind egale, $RS=RT=\frac{25}{2}=12,5$ km. Cablul total măsoară $25$ km, adică exact distanța $ST$ — semn că releul chiar se află pe segment, nu doar la distanțe egale. $■$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-5,1)$, $B(0,13)$ și $C(5,1)$. a) Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel și calculați aria lui. b) Determinați mijlocul $M$ al laturii $[AC]$ și lungimea medianei $[BM]$. c) Determinați simetricul $B^{\prime }$ al punctului $B$ față de $M$ și arătați că patrulaterul $ABC{B}^{\prime }$ este romb.

Rezolvare. a) Verificăm întâi că punctele nu sunt coliniare:

$$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-5& 1& 1\\ 0& 13& 1\\ 5& 1& 1\end{array}\right|=-5(13-1)-1(0-5)+1(0-65)=-60+5-65=-120\ne 0.$$

Pătratele laturilor: $A{B}^2=5^2+12^2=169$, $B{C}^2=5^2+(-12{)}^2=169$, $A{C}^2=10^2=100$. Deci $AB=BC=13$ și $AC=10$: triunghiul este isoscel cu baza $[AC]$.

Aria, calea întâi: baza $AC=10$ este orizontală, iar înălțimea din $B$ măsoară $|13-1|=12$, deci $\mathcal{S}=\frac{10\cdot 12}{2}=60$. Calea a doua: $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|-120|=60$. ✓

b) $M\left(\frac{-5+5}{2},\frac{1+1}{2}\right)=M(0,1)$. Mediana: $B{M}^2=(0-0{)}^2+(1-13{)}^2=144$, deci $BM=12$. (Era de așteptat: în triunghiul isoscel, mediana din vârf este chiar înălțimea.)

c) $x_{B^{\prime }}=2\cdot 0-0=0$ și $y_{B^{\prime }}=2\cdot 1-13=-11$, deci $B^{\prime }(0,-11)$. Patrulaterul $ABC{B}^{\prime }$ are diagonalele $[AC]$ și $[B{B}^{\prime }]$, ambele cu mijlocul $M$, deci este paralelogram. Laturile:

$$A{B}^2=169,B{C}^2=169,C{B}^{\prime 2}=(0-5{)}^2+(-11-1{)}^2=25+144=169,B^{\prime }{A}^2=(-5-0{)}^2+(1+11{)}^2=169.$$

Toate patru sunt egale cu $13$, deci $ABC{B}^{\prime }$ este romb. Diagonalele măsoară $AC=10$ și $B{B}^{\prime }=24$, iar cum $10\ne 24$, rombul nu este pătrat. $■$

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Lucrează cu pătratele distanțelor cât timp se poate și extrage radicalul abia la final; la orice triunghi, verifică întâi necoliniaritatea.

1. Calculează distanța dintre $A(2,-3)$ și $B(-6,3)$.

2. Calculează distanța dintre $C(-7,-1)$ și $D(5,4)$.

3. Determină mijlocul segmentului cu capetele $(-9,4)$ și $(3,-12)$.

4. Determină mijlocul segmentului cu capetele $\left(\frac{1}{2},5\right)$ și $\left(\frac{7}{2},-1\right)$.

5. Determină simetricul punctului $E(-1,5)$ față de punctul $F(3,-2)$.

6. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(-1,2)$, $B(3,-2)$, $C(7,2)$ este dreptunghic isoscel și calculează-i aria pe două căi.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $M$ este mijlocul lui $[AB]$, atunci coordonatele lui $M$ sunt semisumele coordonatelor lui $A$ și $B$, iar $A{M}^2=\frac{A{B}^2}{4}$."

8. Punctele $A(-2,-3)$, $B(4,1)$, $C(2,7)$ sunt trei vârfuri consecutive ale unui paralelogram $ABCD$. Determină al patrulea vârf $D$.

9. Determină punctul de pe axa $Ox$ egal depărtat de $A(1,6)$ și $B(7,2)$.

10. Calculează perimetrul și aria triunghiului cu vârfurile $O(0,0)$, $B(6,0)$, $C(3,4)$.

11. Arată că patrulaterul cu vârfurile $A(1,1)$, $B(4,5)$, $C(8,2)$, $D(5,-2)$ este pătrat.

12. În triunghiul cu vârfurile $A(-8,1)$, $B(6,7)$, $C(2,-5)$, calculează lungimea medianei din $A$.

13. (Problemă aplicată.) Pe planul unui șantier, macaraua se află în punctul $(-15,20)$, iar depozitul în $(21,-28)$, coordonatele fiind în metri. Ce distanță parcurge un transport în linie dreaptă între ele?

14. Determină punctul de pe axa $Oy$ egal depărtat de $A(-2,5)$ și $B(6,1)$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-5,-2)$, $B(3,4)$ și $C(-4,5)$. a) Calculați $AB$. b) Determinați mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$ și arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel. c) Determinați simetricul $C^{\prime }$ al punctului $C$ față de $M$ și arătați că patrulaterul $ACB{C}^{\prime }$ este pătrat.

16. Precizează cadranul fiecărui punct și distanța lui la fiecare axă: $P(-7,3)$, $Q(4,-9)$, $R(-2,-11)$.

17. Arată că triunghiul cu vârfurile $A(1,-1)$, $B(7,1)$, $C(3,5)$ este isoscel și precizează care este baza.

18. (Provocare.) Determină toate punctele de pe axa $Oy$ aflate la distanța $13$ de punctul $A(-5,3)$.

Răspunsuri și explicații

1. $A{B}^2=(-6-2{)}^2+(3+3{)}^2=64+36=100$, deci $AB=10$.

2. $C{D}^2=(5+7{)}^2+(4+1{)}^2=144+25=169$, deci $CD=13$.

3. $M\left(\frac{-9+3}{2},\frac{4-12}{2}\right)=M(-3,-4)$.

4. $M\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{7}{2}}{2},\frac{5-1}{2}\right)=M(2,2)$, pentru că $\frac{1}{2}+\frac{7}{2}=4$.

5. $x=2\cdot 3-(-1)=7$ și $y=2\cdot (-2)-5=-9$, deci simetricul este $E^{\prime }(7,-9)$. Verificare: mijlocul lui $[E{E}^{\prime }]$ este $(3,-2)=F$ ✓.

6. Necoliniaritate: $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -2& 1\\ 7& 2& 1\end{array}\right|=32\ne 0$. Laturile: $A{B}^2=16+16=32$, $B{C}^2=16+16=32$, $A{C}^2=64$. Deci $AB=BC=4\sqrt{2}$ (isoscel) și $A{B}^2+B{C}^2=64=A{C}^2$ (dreptunghic în $B$). Aria: pe catete, $\frac{4\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}}{2}=16$; pe determinant, $\frac{32}{2}=16$ ✓.

7. Adevărat. Prima parte este chiar formula mijlocului. Pentru a doua, $M$ fiind mijloc, $x_M-x_A=\frac{x_B-x_A}{2}$ și analog pe ordonate, deci fiecare diferență se înjumătățește, iar pătratul distanței se împarte la $4$: $A{M}^2=\frac{A{B}^2}{4}$.

8. Într-un paralelogram, diagonalele $[AC]$ și $[BD]$ au același mijloc, deci $x_D=x_A+x_C-x_B=-2+2-4=-4$ și $y_D=y_A+y_C-y_B=-3+7-1=3$. Așadar $D(-4,3)$. Verificare: mijlocul lui $[AC]$ este $(0,2)$, iar al lui $[BD]$ tot $(0,2)$ ✓.

9. Punctul căutat are forma $P(x,0)$. Din $P{A}^2=P{B}^2$: $(x-1{)}^2+36=(x-7{)}^2+4$, adică $-2x+37=-14x+53$, deci $12x=16$ și $x=\frac{4}{3}$. Punctul este $P\left(\frac{4}{3},0\right)$.

10. $O{B}^2=36$, $B{C}^2=9+16=25$, $O{C}^2=9+16=25$, deci laturile sunt $6$, $5$, $5$ și perimetrul este $16$. Aria: baza $OB=6$ este pe axă, înălțimea din $C$ este $4$, deci $\mathcal{S}=12$; determinantul dă $\Delta =24$ și $\mathcal{S}=\frac{24}{2}=12$ ✓.

11. Laturile: $A{B}^2=9+16=25$, $B{C}^2=16+9=25$, $C{D}^2=9+16=25$, $D{A}^2=16+9=25$ — toate egale cu $5$. Mijloacele diagonalelor: al lui $[AC]$ este $\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$, al lui $[BD]$ tot $\left(\frac{9}{2},\frac{3}{2}\right)$, deci este paralelogram, iar cu laturi egale este romb. Diagonalele: $A{C}^2=49+1=50$ și $B{D}^2=1+49=50$, deci sunt egale — rombul cu diagonale egale este pătrat.

12. Necoliniaritate: $\Delta =-144\ne 0$. Mijlocul lui $[BC]$ este $M\left(\frac{6+2}{2},\frac{7-5}{2}\right)=M(4,1)$. Mediana: $A{M}^2=(4+8{)}^2+(1-1{)}^2=144$, deci $AM=12$.

13. $d^2=(21+15{)}^2+(-28-20{)}^2=36^2+48^2=1296+2304=3600$, deci $d=60$ m. (Perechea $(36,48)$ este $12\cdot (3,4)$, de unde $12\cdot 5=60$.)

14. Punctul are forma $Q(0,b)$. Din $Q{A}^2=Q{B}^2$: $4+(b-5{)}^2=36+(b-1{)}^2$, adică $-10b+29=-2b+37$, deci $-8b=8$ și $b=-1$. Punctul este $Q(0,-1)$, iar distanța comună are pătratul $40$, adică $2\sqrt{10}$.

15. a) $A{B}^2=8^2+6^2=100$, deci $AB=10$. b) $M\left(\frac{-5+3}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=M(-1,1)$; apoi $C{A}^2=1+49=50$ și $C{B}^2=49+1=50$, deci $CA=CB=5\sqrt{2}$ și triunghiul este isoscel (necoliniaritatea se verifică: $\Delta =50\ne 0$). c) $C^{\prime }(2\cdot (-1)-(-4),2\cdot 1-5)=C^{\prime }(2,-3)$. Diagonalele $[AB]$ și $[C{C}^{\prime }]$ au același mijloc $M$, deci $ACB{C}^{\prime }$ este paralelogram; toate cele patru laturi au pătratul $50$, deci este romb; iar $A{B}^2=100=C{C}^{\prime 2}$, deci diagonalele sunt egale — patrulaterul este pătrat.

16. $P(-7,3)$: cadranul II, la distanța $7$ de $Oy$ și $3$ de $Ox$. $Q(4,-9)$: cadranul IV, la distanța $4$ de $Oy$ și $9$ de $Ox$. $R(-2,-11)$: cadranul III, la distanța $2$ de $Oy$ și $11$ de $Ox$. (Distanța la $Oy$ este $|x|$, iar distanța la $Ox$ este $|y|$.)

17. $\Delta =32\ne 0$, deci avem triunghi. $A{B}^2=36+4=40$, $B{C}^2=16+16=32$, $A{C}^2=4+36=40$. Cum $AB=AC=2\sqrt{10}$, triunghiul este isoscel cu baza $[BC]$, de lungime $4\sqrt{2}$.

18. Punctul are forma $(0,y)$, iar condiția se scrie pe pătrate: $(0+5{)}^2+(y-3{)}^2=169$, deci $(y-3{)}^2=144$ și $y-3=\pm 12$. Obținem două soluții: $(0,15)$ și $(0,-9)$. Geometric, cercul de centru $A$ și rază $13$ taie axa $Oy$ în două puncte, pentru că distanța de la $A$ la $Oy$ este $5<13$.

De reținut

• În reperul cartezian $xOy$, fiecărui punct îi corespunde bijectiv o pereche ordonată $(x,y)$: abscisa pe $Ox$, ordonata pe $Oy$. Semnele coordonatelor dau cadranul, iar punctele de pe axe au o coordonată nulă.
• Distanța: $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, consecință directă a teoremei lui Pitagora. Lucrează cu $A{B}^2$ până la ultimul pas.
• Mijlocul: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$ — mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor.
• Simetricul lui $A$ față de $P$: $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$ — dublezi centrul și scazi punctul.
• Un patrulater este paralelogram exact când diagonalele au același mijloc; adăugând comparații de pătrate de distanțe, obții romb, dreptunghi sau pătrat. Înainte de orice triunghi, verifică $\Delta \ne 0$.

Greșeli frecvente

• Se adună coordonatele în formula distanței. Se scrie $\sqrt{(x_B+x_A{)}^2+(y_B+y_A{)}^2}$ în loc de diferențe. Reține: la distanță se scade, la mijloc se adună — sunt formulele care se confundă cel mai des între ele.
• Se uită pătratul pe una dintre diferențe. Din $A{B}^2=8^2+6$ iese un număr fără sens. Verificarea de siguranță: rezultatul trebuie să fie cel puțin egal cu cea mai mare dintre diferențele în modul.
• Se scrie triunghi fără să se verifice necoliniaritatea. Dacă $\Delta =0$, „triunghiul" are aria zero și toate concluziile despre unghiuri sau mediane sunt false. Testul cu determinantul costă treizeci de secunde.
• Simetricul se calculează ca medie, nu ca dublu. Se scrie $x_{A^{\prime }}=\frac{x_A+x_P}{2}$. Corect este invers: $P$ e mijlocul, deci $x_{A^{\prime }}=2x_P-x_A$. Controlul imediat: mijlocul lui $[A{A}^{\prime }]$ trebuie să iasă exact $P$.
• Se aproximează prea devreme. Din $A{B}^2=50$ se scrie $AB\approx 7,07$ și se continuă cu zecimale. Corect: $AB=5\sqrt{2}$ se păstrează exact, iar comparațiile se fac pe pătrate. La Bacalaureat M1, forma exactă este cea punctată.

Aplică acasă

1. Harta camerei tale. Alege un colț al camerei drept origine și cele două muchii ale podelei drept axe, cu unitatea de un metru. Notează coordonatele a cinci obiecte (birou, ușă, priză, fereastră, pat). Calculează apoi distanța dintre fiecare pereche și verifică două dintre ele cu ruleta. Diferența dintre calcul și măsurătoare îți arată cât de precis ai citit coordonatele.

2. Punctul de întâlnire. Deschide o hartă online și citește coordonatele (în grade, ca perechi de numere) ale locuinței tale și ale casei unui prieten. Calculează mijlocul segmentului dintre voi și caută ce se află acolo. Este metoda folosită de aplicațiile care propun un loc de întâlnire „la jumătatea drumului".

3. Patrulaterul din curte. Alege patru puncte fixe dintr-un teren plat (colțuri de peluză, stâlpi, borne) și estimează-le coordonatele pas cu pas, numărând pași de aceeași lungime. Verifică apoi numeric dacă patrulaterul obținut este paralelogram, comparând mijloacele diagonalelor. Cât de aproape de egalitate ies cele două perechi de numere?

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide unitatea de geometrie analitică a clasei a XI-a și așază temelia pe care se construiesc următoarele douăsprezece lecții: reperul cartezian, formula distanței și formula mijlocului. Competențele vizate din programa de matematică-informatică sunt XI.CS.1.3 (identificarea elementelor caracteristice dreptelor în planul cartezian), XI.CS.6.3 (modelarea situațiilor practice cu distanțe, arii și coliniaritate) și XI.CS.3.3 (calcularea ariilor cu rezultate de geometrie analitică). Este important de știut că, la profilul real, geometria analitică se studiază aici, în clasa a XI-a — de aceea lecția construiește totul de la zero, fără să presupună cunoștințe anterioare de reper cartezian, și fără să sară peste demonstrațiile celor două formule.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă că unui punct îi corespunde o pereche ordonată?"; „De ce în formula distanței apar diferențe, iar în cea a mijlocului sume?"; „Cum arăți că un triunghi e dreptunghic folosind numai coordonatele?" (reciproca teoremei lui Pitagora pe pătratele laturilor); „Cum verifici că un patrulater e paralelogram?" (diagonalele au același mijloc); „De ce se lucrează cu $A{B}^2$ și nu cu $AB$?" (ca să rămâi în numere raționale). Semne că elevul a înțeles: verifică necoliniaritatea înainte de a numi un triunghi, păstrează radicalii în formă exactă, și confirmă aria pe două căi independente.

La BAC M1, subiectele de geometrie analitică apar aproape în fiecare variantă, iar distanța și mijlocul sunt pașii de deschidere ai celor mai multe dintre ele: se cere lungimea unei laturi, natura triunghiului, coordonatele mijlocului sau ale simetricului, iar apoi se continuă cu ecuația unei drepte sau cu aria calculată cu determinant. Sunt cerințe cu cost mic de învățare și punctaj sigur, motiv pentru care merită automatizate. Continuarea firească este panta unei drepte, numărul care codifică direcția și care deschide drumul către ecuațiile dreptei.

Întrebări frecvente

Ce este reperul cartezian, pe scurt? Sunt două axe perpendiculare cu aceeași unitate și cu origine comună, notate $Ox$ și $Oy$. Ele permit descrierea oricărui punct din plan printr-o pereche ordonată de numere reale, $(x,y)$, unde $x$ este abscisa și $y$ este ordonata.

Care este formula distanței dintre două puncte în clasa a 11-a? $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Se obține din teorema lui Pitagora, aplicată triunghiului dreptunghic cu catetele paralele cu axele. Ordinea scăderii nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

Cum aflu mijlocul unui segment din coordonate? Faci media aritmetică a coordonatelor capetelor: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$. Verificarea cea mai rapidă este că $x_A+x_B=2x_M$ și $y_A+y_B=2y_M$.

Cum determin simetricul unui punct față de alt punct? Dacă $P$ este centrul de simetrie, simetricul lui $A$ este $A^{\prime }(2x_P-x_A,2y_P-y_A)$. Formula vine din faptul că $P$ trebuie să fie mijlocul segmentului $[A{A}^{\prime }]$.

Cum arăt că un triunghi este dreptunghic folosind doar coordonatele? Calculezi pătratele celor trei laturi și verifici dacă suma a două dintre ele este egală cu al treilea. Este reciproca teoremei lui Pitagora, aplicată pe numere; nu ai nevoie de niciun desen.

De ce trebuie să verific coliniaritatea înainte de a vorbi despre un triunghi? Pentru că trei puncte coliniare nu formează triunghi: aria lor este zero și orice concluzie despre unghiuri, mediane sau înălțimi devine falsă. Testul se face cu determinantul $\Delta$ format din coordonate și un rând de $1$, iar condiția este $\Delta \ne 0$.

În ce cadran se află un punct cu ambele coordonate negative? În cadranul al treilea. Regula generală: cadranul I are ambele coordonate pozitive, II are $x<0$ și $y>0$, III le are pe amândouă negative, IV are $x>0$ și $y<0$.

Unde apar distanța și mijlocul în subiectele de Bacalaureat M1? Aproape în orice problemă de geometrie analitică: la calcularea unei laturi sau a unui perimetru, la stabilirea naturii unui triunghi, la determinarea mijlocului unei laturi pentru o mediană, la simetricul unui punct și la verificarea faptului că un patrulater este paralelogram, romb sau pătrat.