Ecuația f(x) = m și numărul soluțiilor: pe scurt

Rezolvarea grafică a ecuației $f(x)=m$ înseamnă trasarea graficului lui $f$, ducerea dreptei orizontale $y=m$ și numărarea punctelor comune: abscisele lor sunt chiar soluțiile ecuației. Numărul intersecțiilor nu se schimbă continuu — rămâne constant pe intervale întregi și sare la anumite înălțimi, numite valorile-prag. Ele sunt de două feluri: valorile extreme locale, citite din tabelul de variație, și limitele finite de la capetele domeniului, adică ordonatele asimptotelor orizontale și valorile din capetele închise.

Rețeta are cinci pași: se separă parametrul, se studiază funcția și se trasează graficul cu asimptotele punctate, se scriu pragurile în ordine crescătoare, se plimbă dreapta $y=m$ numărând intersecțiile pe fiecare interval și apoi chiar în praguri, iar răspunsul se scrie într-un tabel cu două coloane: intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor. Coloana din stânga trebuie să acopere toată axa reală, fără goluri și fără suprapuneri.

Regula capătului deschis: dacă o ramură are la un capăt o limită finită $\ell$ neatinsă, valoarea $m=\ell$ nu aduce nicio soluție de pe acea ramură; dacă acel capăt este atins, aduce exact una. Pe o ramură strict monotonă o orizontală taie cel mult o dată, deci numărul soluțiilor este cel mult numărul ramurilor de monotonie. Când ecuația se reduce la gradul al doilea, discuția semnului lui $\Delta$ confirmă tabelul obținut grafic.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte soluții reale are ecuația $2x^3+3x^2-12x=20$?

   • a) $1$
   • b) $2$
   • c) $3$
   • d) $4$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $2$

   Pentru $f(x)=2x^3+3x^2-12x$ avem $f^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$, cu maximul local $f(-2)=20$ și minimul local $f(1)=-7$. Valoarea $m=20$ este chiar maximul local, deci dreapta $y=20$ este tangentă la grafic în vârful din stânga și îl mai taie o dată pe ramura crescătoare din dreapta: două soluții. Răspunsul $3$ apare când se ia $m$ strict între $-7$ și $20$.

2. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$, cu $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$, minimul $f(-2)=-1$ și maximul $f(2)=1$. Câte soluții reale are ecuația $f(x)=0$?

   • a) exact două
   • b) exact trei
   • c) niciuna
   • d) exact una
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) exact una

   Graficul are trei ramuri de monotonie, dar cele două laterale se apropie de asimptota orizontală $y=0$ fără să o atingă: imaginile lor sunt $[-1,0)$ și $(0,1]$. Prin regula capătului deschis, ele nu aduc nicio soluție la $m=0$. Rămâne ramura din mijloc, pe care $f(0)=0$ este o valoare adevărată: exact o soluție, $x=0$. Răspunsul „trei” vine din numărarea nivelului asimptotei ca și cum ar fi atins.

3. Pentru discuția, după $m$ real, a numărului soluțiilor ecuației $x^4-2x^2=m$, valorile-prag sunt:

   • a) $-1$ și $0$
   • b) $-1$, $0$ și $1$
   • c) numai $0$
   • d) $0$ și $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $-1$ și $0$

   Cu $f(x)=x^4-2x^2$ avem $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$, deci minimele $f(\pm 1)=-1$ și maximul local $f(0)=0$. Limitele la capete sunt amândouă $+\infty$, deci nu aduc praguri finite. Pragurile sunt exact $-1$ și $0$. Valoarea $1$ este abscisa unui punct de minim, nu o valoare a funcției — confuzia dintre punct și valoare.