Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = m; numărul soluțiilor în funcție de parametru

Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = m; numărul soluțiilor în funcție de parametru

Q: Cum se află numărul soluțiilor ecuației f(x)=m în funcție de parametru?

Se studiază funcția f și se scrie tabelul de variație, apoi se identifică valorile-prag: extremele locale și limitele finite de la capete. Aceste numere taie axa valorilor în intervale, iar pe fiecare interval numărul de intersecții este constant. Răspunsul se scrie într-un tabel cu două coloane.

Un inginer care reglează un termostat nu întreabă „la ce temperatură se stabilizează sistemul", ci „câte reglaje diferite dau același rezultat"; un farmacolog vrea să știe de câte ori pe zi concentrația unui medicament atinge un prag dat. Amândouă întrebările au aceeași formă matematică — ecuația $f (x) = m$ , cu $m$ parametru — și, la clasa a 12-a, aceeași rezolvare: se desenează graficul funcției $f$ , se plimbă pe verticală dreapta orizontală $y = m$ și se numără intersecțiile. Rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = m$ înseamnă să trasezi graficul funcției $f$ , să duci dreapta orizontală $y = m$ și să numeri punctele lor comune: fiecare intersecție este o soluție a ecuației, iar numărul soluțiilor se schimbă la valorile extreme ale funcției.

Ai văzut ideea și anul trecut, la clasa a XI-a, dar acolo lucrai numai cu tabelul de variație, pentru că graficul nu se trasa încă. Acum ai desenul întreg, cu asimptote cu tot, și asta schimbă două lucruri: răspunsul devine vizibil dintr-o privire, iar cazurile de graniță — valorile lui $m$ la care numărul soluțiilor sare — capătă o explicație geometrică imediată.

Ce vei învăța

Vei ști să transformi întrebarea „câte soluții are ecuația" în întrebarea „în câte puncte taie dreapta $y = m$ graficul lui $f$ ".
Vei ști să identifici valorile-prag ale lui $m$ : valorile extreme din tabel și limitele de la capetele domeniului.
Vei ști să scrii răspunsul în forma cerută: un tabel cu două coloane, intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor.
Vei ști de ce nivelul unei asimptote orizontale se numără altfel decât nivelul unui extrem.
Vei ști să confirmi algebric răspunsul grafic, atunci când ecuația se reduce la una de gradul al doilea.

Hai să descoperim împreună

1. Cum devine graficul un instrument de numărare a soluțiilor?

Rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = m$ înseamnă trasarea graficului funcției $f$ , ducerea dreptei orizontale de ecuație $y = m$ și numărarea punctelor comune ale celor două: fiecare punct de intersecție dă exact o soluție a ecuației, iar numărul soluțiilor se citește direct de pe desen, fără a rezolva vreun calcul algebric.

Motivul este cât se poate de simplu. Un punct $(x_{0}, y_{0})$ se află pe graficul lui $f$ dacă $y_{0} = f (x_{0})$ și se află pe dreapta $y = m$ dacă $y_{0} = m$ . Prin urmare el este comun celor două exact când $f (x_{0}) = m$ , adică exact când $x_{0}$ este soluție a ecuației. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile, iar numărul lor este numărul soluțiilor.

Ideea nu este nouă pentru tine: la ecuații și inecuații rezolvate grafic ai folosit-o pe funcții de gradul întâi și al doilea. Ce se adaugă acum este că poți desena orice funcție studiată cu schema în nouă pași, deci metoda se aplică la ecuații pentru care nu există nicio formulă de rezolvare.

2. Care sunt valorile lui $m$ care despart cazurile?

Dacă plimbi dreapta $y = m$ de jos în sus peste un grafic dat, numărul intersecțiilor nu se schimbă continuu: rămâne constant pe intervale întregi și sare brusc la anumite înălțimi. Exact acele înălțimi sunt valorile-prag ale lui $m$ , și ele sunt de două feluri:

valorile extreme locale ale funcției, citite din tabelul de variație — acolo dreapta este tangentă la grafic, iar două soluții se contopesc în una singură;
limitele funcției la capetele domeniului, când sunt finite — adică ordonatele asimptotelor orizontale și valorile din capetele închise; acolo dreapta iese din zona atinsă de o ramură a graficului.

Prin urmare, discuția se face pe intervalele determinate de valorile extreme și de limitele de la capete. Se scriu toate aceste numere în ordine crescătoare, ele taie axa $O y$ în intervale, și pentru fiecare interval numărul de intersecții este același. Rămân de tratat separat, unul câte unul, chiar pragurile.

Merită văzut de ce numărul chiar rămâne constant între două praguri: între ele, dreapta $y = m$ traversează aceleași ramuri de monotonie ale graficului, iar pe o ramură strict monotonă o orizontală nu poate tăia decât o singură dată. Numărul intersecțiilor se poate schimba doar când dreapta părăsește o ramură sau intră pe alta, iar asta se întâmplă exact la un capăt al imaginii acelei ramuri — adică la un extrem sau la o limită.

3. Rețeta în cinci pași și tabelul cu două coloane

Se aduce ecuația la forma $f (x) = m$ , cu parametrul singur într-un membru (separarea parametrului).
Se studiază funcția $f$ după schema din schema reprezentării grafice și se trasează graficul, cu asimptotele punctate.
Se scriu, în ordine crescătoare, valorile-prag: extremele locale și limitele finite de la capete.
Se plimbă dreapta $y = m$ și se numără intersecțiile pe fiecare interval dintre praguri, apoi chiar în praguri.
Se scrie răspunsul într-un tabel cu două coloane: intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor.

Formatul tabelului final este obligatoriu și arată așa (exemplu, pentru o funcție cu minimul $- 2$ și maximul $3$ ):

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < - 2$	$0$
$m = - 2$	$1$
$- 2 < m < 3$	$2$
$m = 3$	$1$
$m > 3$	$0$

Coloana din stânga trebuie să acopere toată axa reală, fără suprapuneri și fără goluri; verificarea se face citind-o de sus în jos, ca pe o partiție a lui $R$ . Este cea mai ieftină verificare de corectitudine și prinde majoritatea greșelilor de redactare.

4. Studiu complet: ecuația $x e^{- x^{2}} = m$

Pașii 1–2. Parametrul este deja separat. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x e^{- x^{2}}$ , continuă și derivabilă pe $R$ ca produs de funcții elementare. Ea este impară, pentru că $f (- x) = - x e^{- x^{2}} = - f (x)$ , deci se studiază pe $[0, + \infty)$ și se simetrizează față de origine. Singurul zero este $x = 0$ : exponențiala nu se anulează niciodată, deci $f (x) = 0$ exact când $x = 0$ .

Limitele la capete: $x \to \pm \infty lim x e^{- x^{2}} = 0$ , pentru că exponențiala $e^{- x^{2}}$ scade mult mai repede decât crește factorul $x$ . Deci dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală la graficul funcției $f$ , spre amândouă capetele; asimptote verticale nu există, domeniul fiind $R$ , iar oblice nu pot exista, conform Propoziției de excludere reciprocă din lecția despre asimptota oblică.

$f^{'} (x) = e^{- x^{2}} - 2 x^{2} e^{- x^{2}} = (1 - 2 x^{2}) e^{- x^{2}}$ ; cum exponențiala este pozitivă, semnul îl dă paranteza: negativ pentru $∣ x ∣ > \frac{2}{2}$ și pozitiv între. Valorile: $f (\pm \frac{2}{2}) = \pm \frac{1}{2 e} \approx \pm 0, 429$ .

$x$	$- \infty$		$- \frac{2}{2}$		$\frac{2}{2}$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$0$	$↘$	$- \frac{1}{2 e} m$	$↗$	$\frac{1}{2 e} M$	$↘$	$0$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, - \frac{2}{2}]$ , crește pe $[- \frac{2}{2}, \frac{2}{2}]$ și scade pe $[\frac{2}{2}, + \infty)$ ; minimul global este $- \frac{1}{2 e}$ , maximul global este $\frac{1}{2 e}$ , deci imaginea este $[- \frac{1}{2 e}, \frac{1}{2 e}]$ . Pentru discuția numărului de soluții este de ajuns tabelul cu derivata întâi; convexitatea nu schimbă numărul intersecțiilor cu o orizontală, așa că rândul lui $f^{''}$ se poate omite aici.

Pasul 3 — valorile-prag. Extremele dau $- \frac{1}{2 e}$ și $\frac{1}{2 e}$ ; limitele de la capete dau amândouă $0$ . Deci pragurile sunt, în ordine, $- \frac{1}{2 e}$ , $0$ și $\frac{1}{2 e}$ .

Pașii 4–5 — discuția. Imaginile celor trei ramuri sunt $[- \frac{1}{2 e}, 0)$ , $[- \frac{1}{2 e}, \frac{1}{2 e}]$ și $(0, \frac{1}{2 e}]$ : la capetele infinite valoarea $0$ nu este atinsă, pentru că este limită, nu valoare.

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < - \frac{1}{2 e}$	$0$
$m = - \frac{1}{2 e}$	$1$
$- \frac{1}{2 e} < m < 0$	$2$
$m = 0$	$1$
$0 < m < \frac{1}{2 e}$	$2$
$m = \frac{1}{2 e}$	$1$
$m > \frac{1}{2 e}$	$0$

5. De ce nivelul unei asimptote orizontale se numără altfel?

Pentru că o asimptotă orizontală este o limită, nu o valoare. Ramura care se apropie de dreapta $y = ℓ$ ia toate valorile dintre $ℓ$ și celălalt capăt al ei, dar nu ia valoarea $ℓ$ ; capătul intervalului-imagine este deschis. Prin urmare, la $m = ℓ$ , acea ramură nu contribuie cu nicio soluție.

În exemplul de mai sus, ambele ramuri extreme au $0$ ca limită, deci niciuna nu contribuie la $m = 0$ ; singura soluție vine de pe ramura din mijloc, unde $f (0) = 0$ este o valoare adevărată. Compară rândurile: pentru $m = 0, 2$ sunt două soluții, pentru $m = 0$ una singură, deși $0$ se află „între" extreme. Este cea mai frecventă greșeală la acest tip de problemă și merită scrisă ca regulă:

Regula capătului deschis. Când o ramură are la un capăt o limită finită $ℓ$ neatinsă (asimptotă orizontală sau capăt deschis al domeniului), valoarea $m = ℓ$ nu aduce soluție de pe acea ramură. Când capătul este atins (valoare într-un capăt închis sau într-un extrem), $m = ℓ$ aduce exact una.

Detaliile despre ce înseamnă o asimptotă orizontală au fost fixate la începutul unității; aici li se vede consecința practică.

6. Cum se verifică algebric răspunsul grafic?

Ori de câte ori ecuația $f (x) = m$ se poate aduce la o ecuație de gradul al doilea, discuția grafică se poate confirma cu discriminantul — iar la Bacalaureat M1 această confirmare aduce puncte, pentru că arată că răspunsul nu a fost ghicit de pe desen.

Iată cum arată pentru funcția din Exemplul 4. Ecuația $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = m$ este echivalentă, după înmulțirea cu $x^{2} - 4 \neq = 0$ , cu $x^{2} = m (x^{2} - 4)$ , adică $x^{2} (1 - m) = - 4 m$ . Dacă $m = 1$ , rămâne $0 = - 4$ , fals: nicio soluție. Dacă $m \neq = 1$ , obținem $x^{2} = \frac{4 m}{m - 1}$ , iar o astfel de ecuație are două soluții când membrul drept este strict pozitiv, una când este nul și niciuna când este negativ. Fracția $\frac{4 m}{m - 1}$ este pozitivă pentru $m < 0$ sau $m > 1$ , nulă pentru $m = 0$ și negativă pentru $0 < m < 1$ — exact rândurile tabelului obținut grafic în Exemplul 4.

Atenție la trei lucruri când faci această verificare: cazul în care coeficientul dominant se anulează se tratează separat (aici $m = 1$ ), pentru că atunci ecuația nu mai este de gradul al doilea; soluțiile obținute trebuie să aparțină domeniului — la o funcție rațională se verifică întotdeauna că nu coincid cu valorile excluse, iar aici $x^{2} = 4$ ar cere $\frac{4 m}{m - 1} = 4$ , adică $m = m - 1$ , imposibil; și înmulțirea cu numitorul este permisă numai pentru că el este nenul pe domeniu.

Programa recomandă și verificarea cu instrumente digitale: trasezi graficul într-un program, duci dreapta orizontală și numeri. Este un control util, nu o demonstrație: pe lucrare rămâne obligatoriu studiul funcției.

7. Ce aduce metoda grafică față de tabelul de variație

La clasa a XI-a, la numărul soluțiilor unei ecuații, ai numărat soluțiile citind imaginile ramurilor din tabel. Metoda de astăzi dă exact aceleași răspunsuri — nu putea fi altfel — dar are trei avantaje practice:

se vede. Un desen cu trei orizontale trasate arată dintr-o privire de ce numărul sare de la $2$ la $1$ ; tabelul cere o citire atentă a capetelor de interval;
asimptotele intră în discuție firesc. Regula capătului deschis este evidentă pe desen și ușor de uitat în tabel;
greșelile se prind. Dacă tabelul de discuție nu se potrivește cu desenul, una dintre ele este greșită, iar contradicția se observă imediat.

Metoda grafică nu înlocuiește însă justificarea scrisă: desenul singur nu demonstrează nimic, pentru că nu poate arăta ce se întâmplă în afara ferestrei desenate. De aceea el se însoțește întotdeauna de tabelul de variație, care acoperă tot domeniul. Comparația amănunțită cu rezolvarea grafică a ecuației cu două funcții și șirul lui Rolle se face în lecția următoare; acolo se vede și când este de preferat fiecare drum.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială de gradul al treilea

Discutați, după valorile parametrului real $m$ , numărul soluțiilor ecuației $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = m$ .

Rezolvare. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ , continuă și derivabilă. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x - 1) (x - 3)$ , cu zerourile $1$ și $3$ ; $f (1) = 4$ și $f (3) = 0$ ; limitele sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , deci graficul nu are asimptote.

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$4 M$	$↘$	$0 m$	$↗$	$+ \infty$

Pragurile sunt $0$ și $4$ , adică valorile extreme; capetele fiind infinite, nu aduc praguri.

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < 0$	$1$
$m = 0$	$2$
$0 < m < 4$	$3$
$m = 4$	$2$
$m > 4$	$1$

Control algebric: pentru $m = 0$ , $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = x (x - 3)^{2}$ , cu soluțiile distincte $0$ și $3$ — două, cum arată tabelul; pentru $m = 4$ , $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 4 = (x - 1)^{2} (x - 4)$ , cu soluțiile $1$ și $4$ . ✓

Exemplul 2 — Când asimptota orizontală schimbă răspunsul

Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x e^{- x} = m$ .

Rezolvare. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x e^{- x}$ . Avem $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ , pozitivă pentru $x < 1$ și negativă pentru $x > 1$ , cu maximul $f (1) = \frac{1}{e}$ . Limitele: $x \to - \infty lim x e^{- x} = - \infty$ , iar $x \to + \infty lim x e^{- x} = 0$ prin valori pozitive, deci $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ .

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$\frac{1}{e} M$	$↘$	$0$

Ramura din stânga urcă de la $- \infty$ la $\frac{1}{e}$ , deci imaginea ei este $(- \infty, \frac{1}{e}]$ ; ramura din dreapta coboară de la $\frac{1}{e}$ spre $0$ , fără să atingă valoarea $0$ , deci imaginea ei este $(0, \frac{1}{e}]$ . Pragurile sunt $0$ (nivelul asimptotei) și $\frac{1}{e}$ (maximul).

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m \leq 0$	$1$
$0 < m < \frac{1}{e}$	$2$
$m = \frac{1}{e}$	$1$
$m > \frac{1}{e}$	$0$

Observă primul rând: pentru $m = 0$ ecuația $x e^{- x} = 0$ are o singură soluție, $x = 0$ , pentru că exponențiala nu se anulează niciodată. Ramura din dreapta se apropie de axă, dar nu o atinge — regula capătului deschis, în forma ei cea mai clară. ✓

Exemplul 3 — O funcție cu modul: până la patru soluții

Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $∣ x^{2} - 4 ∣ = m$ .

Rezolvare. Fie $f (x) = ∣ x^{2} - 4 ∣$ . Trinomul $x^{2} - 4$ are rădăcinile simple $- 2$ și $2$ și este negativ între ele, deci $f (x) = x^{2} - 4$ în afara intervalului $[- 2, 2]$ și $f (x) = 4 - x^{2}$ înăuntru. În $- 2$ și în $2$ funcția are puncte unghiulare, cu aceleași derivate laterale în fiecare: $- 4$ la stânga și $+ 4$ la dreapta; în $0$ are un maxim local, $f (0) = 4$ . Limitele la $\pm \infty$ sunt $+ \infty$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$0$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$∄$	$+$	$0$	$-$	$∄$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘$	$0 m$	$↗$	$4 M$	$↘$	$0 m$	$↗$	$+ \infty$

Sunt patru ramuri, deci cel mult patru soluții. Pragurile sunt $0$ (cele două minime) și $4$ (maximul).

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < 0$	$0$
$m = 0$	$2$
$0 < m < 4$	$4$
$m = 4$	$3$
$m > 4$	$2$

Control algebric: pentru $m = 4$ , ecuația $∣ x^{2} - 4 ∣ = 4$ dă $x^{2} - 4 = 4$ , cu soluțiile $\pm 22$ , sau $x^{2} - 4 = - 4$ , cu soluția $x = 0$ : trei soluții, cum arată tabelul. ✓

Exemplul 4 — O bandă întreagă fără soluții

Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = m$ .

Rezolvare. Fie $f (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4}$ , cu $D = R ∖ {- 2, 2}$ ; funcția este pară. Avem $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} - 4 ) - x ^{2} \cdot 2 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} = \frac{- 8 x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}$ , cu numitorul pozitiv, deci semnul este dat de $- 8 x$ : pozitiv pentru $x < 0$ , negativ pentru $x > 0$ ; punctul critic este $x = 0$ , cu $f (0) = 0$ .

Limitele: $x \to \pm \infty lim f (x) = 1$ , deci $y = 1$ este asimptotă orizontală spre amândouă capetele; în $- 2$ limitele laterale sunt $+ \infty$ și $- \infty$ , iar în $2$ sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , deci $x = - 2$ și $x = 2$ sunt asimptote verticale bilaterale.

$x$	$- \infty$		$- 2$		$0$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$∣$	$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$
$f (x)$	$1$	$↗$	$+ \infty ∣ - \infty$	$↗$	$0 M$	$↘$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘$	$1$

Imaginile celor patru ramuri sunt $(1, + \infty)$ , $(- \infty, 0]$ , $(- \infty, 0]$ și $(1, + \infty)$ , deci imaginea funcției este $(- \infty, 0] \cup (1, + \infty)$ : banda $(0, 1]$ nu este atinsă deloc, iar capătul $1$ îi aparține tocmai pentru că este nivelul asimptotei orizontale.

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < 0$	$2$
$m = 0$	$1$
$0 < m \leq 1$	$0$
$m > 1$	$2$

Control algebric: confirmarea completă, cu discriminantul, a fost făcută în secțiunea a șasea; rândurile coincid. Rândul $m = 1$ merită reținut: deși $1$ pare „la îndemână", dreapta $y = 1$ este chiar asimptota orizontală și nu atinge niciodată graficul. ✓

Exemplul 5 — Discuție pe un interval închis, cu capete care contează

Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $sin x + cos x = m$ pe intervalul $[0, 2 π]$ .

Rezolvare. Fie $f : [0, 2 π] \to R$ , $f (x) = sin x + cos x$ , studiată în lecția despre graficul funcțiilor trigonometrice, cu modul și pe ramuri. Avem $f^{'} (x) = cos x - sin x$ , cu zerourile $\frac{π}{4}$ și $\frac{5 π}{4}$ ; $f (\frac{π}{4}) = 2$ , $f (\frac{5 π}{4}) = - 2$ , iar la capete $f (0) = f (2 π) = 1$ .

$x$	$0$		$\frac{π}{4}$		$\frac{5 π}{4}$		$2 π$
$f^{'} (x)$	$1$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$1$
$f (x)$	$1$	$↗$	$2 M$	$↘$	$- 2 m$	$↗$	$1$

Aici capetele sunt închise, deci valorile lor sunt atinse și devin praguri: pragurile sunt $- 2$ , $1$ și $2$ . Imaginile ramurilor: $[1, 2]$ , $[- 2, 2]$ și $[- 2, 1]$ .

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < - 2$	$0$
$m = - 2$	$1$
$- 2 < m < 1$	$2$
$m = 1$	$3$
$1 < m < 2$	$2$
$m = 2$	$1$
$m > 2$	$0$

Rândul cu $m = 1$ este cel instructiv: dreapta $y = 1$ trece prin amândouă capetele graficului, $x = 0$ și $x = 2 π$ , și mai taie o dată ramura din mijloc — trei soluții. Pe un interval închis, capetele se numără ca orice altă soluție. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x}}{x - 1}$ . a) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$ și determinați imaginea ei. b) Trasați graficul funcției $f$ , precizând asimptotele. c) Discutați, după valorile parametrului real $m$ , numărul soluțiilor ecuației $e^{x} = m (x - 1)$ pe intervalul $(1, + \infty)$ .

Rezolvare. a) $f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$ ; pe $(1, + \infty)$ numitorul este pozitiv și exponențiala la fel, deci semnul este dat de $x - 2$ : negativ pe $(1, 2)$ , pozitiv pe $(2, + \infty)$ . Minimul este $f (2) = e^{2}$ . Limitele: $x \to 1 x > 1 lim \frac{e ^{x}}{x - 1} = + \infty$ și $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x - 1} = + \infty$ .

$x$	$1$		$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘$	$e^{2} m$	$↗$	$+ \infty$

Funcția scade de la $+ \infty$ la $e^{2}$ și crește înapoi spre $+ \infty$ , deci imaginea este $[e^{2}, + \infty)$ .

b) Capătul $1$ este finit și deschis, iar limita este infinită, deci dreapta $x = 1$ este asimptotă verticală la dreapta. Spre $+ \infty$ , $\frac{f ( x )}{x} = \frac{e ^{x}}{x ( x - 1 )} \to + \infty$ , deci panta nu este finită și nu există asimptotă oblică; orizontală nu există, limita fiind infinită. Graficul coboară lipit de verticala $x = 1$ , atinge minimul $(2, e^{2})$ și urcă apoi tot mai repede. Studiul complet al acestei funcții, pe tot domeniul ei, este în lecția despre graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice.

c) Pe $(1, + \infty)$ avem $x - 1 > 0$ , deci ecuația $e^{x} = m (x - 1)$ este echivalentă cu $\frac{e ^{x}}{x - 1} = m$ , adică exact $f (x) = m$ . Singurul prag este minimul $e^{2}$ ; capetele dau amândouă $+ \infty$ , deci nu aduc praguri finite.

valorile lui $m$	numărul soluțiilor
$m < e^{2}$	$0$
$m = e^{2}$	$1$
$m > e^{2}$	$2$

Pentru $m = e^{2}$ soluția unică este $x = 2$ , iar dreapta $y = e^{2}$ este tangentă la grafic în punctul de minim; pentru $m > e^{2}$ soluțiile sunt una în $(1, 2)$ și una în $(2, + \infty)$ .

Acesta este formatul cerut la Subiectul al III-lea la Bacalaureat M1: studiu complet la punctele a) și b), discuție după parametru la punctul c). ✓

Să exersăm

1. Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x = m$ .

2. Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x^{4} - 8 x^{2} = m$ .

3. Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $x e^{- x^{2}} = m$ are exact două soluții reale.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă dreapta $y = ℓ$ este asimptotă orizontală a graficului lui $f$ , atunci ecuația $f (x) = ℓ$ nu are nicio soluție."

5. Arătați că ecuația $\frac{x ^{3}}{x ^{2} + 3} = m$ are exact o soluție reală, oricare ar fi $m$ real.

6. Câte soluții are ecuația $ln x = m$ , pentru fiecare $m$ real? Justificați grafic.

7. Câte soluții are ecuația $e^{x} = m$ , pentru fiecare $m$ real? Justificați grafic.

8. Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x^{2} e^{- x} = m$ .

9. (Problemă aplicată.) O minge aruncată vertical are înălțimea $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ metri, pentru $t \in [0, 4]$ secunde. Discutați, după $m$ real, în câte momente mingea se află la înălțimea $m$ .

10. Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $∣ x^{2} - 2 x ∣ = m$ .

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Ecuația $f (x) = m$ are cel mult atâtea soluții câte ramuri de monotonie are funcția $f$ ."

12. Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $sin x = m$ pe intervalul $[0, 2 π]$ .

13. Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $x^{3} - 12 x = m$ are exact o soluție reală.

14. (Problemă aplicată.) Concentrația unui medicament în sânge este $c (t) = \frac{4 t}{t ^{2} + 1}$ miligrame pe litru, la $t \geq 0$ ore de la administrare. Discutați, după $m$ , în câte momente concentrația este egală cu $m$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 ln x$ . a) Alcătuiți tabelul de variație și determinați asimptotele. b) Determinați imaginea funcției. c) Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $x^{2} - 4 ln x = m$ .

16. Rezolvați ecuația $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - 4} = \frac{4}{3}$ și verificați rezultatul pe tabelul de discuție din Exemplul 4.

17. Determinați valorile lui $m$ pentru care dreapta $y = m$ intersectează graficul funcției $f (x) = e^{- x^{2}}$ în exact două puncte.

18. (Provocare.) Discutați, după $m$ real, numărul soluțiilor ecuației $∣ ln x ∣ = m$ .

Răspunsuri și explicații

1. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ , cu maximul $f (- 1) = 7$ și minimul $f (2) = - 20$ ; limitele sunt $\mp \infty$ . Pragurile sunt $- 20$ și $7$ : pentru $m < - 20$ o soluție, pentru $m = - 20$ două, pentru $- 20 < m < 7$ trei, pentru $m = 7$ două, pentru $m > 7$ una.

2. $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 16 x = 4 x (x - 2) (x + 2)$ , cu minimele $f (\pm 2) = - 16$ și maximul local $f (0) = 0$ ; limitele sunt $+ \infty$ la ambele capete. Pentru $m < - 16$ nicio soluție, pentru $m = - 16$ două, pentru $- 16 < m < 0$ patru, pentru $m = 0$ trei, pentru $m > 0$ două.

3. Din tabelul secțiunii a patra, două soluții apar pe rândurile $- \frac{1}{2 e} < m < 0$ și $0 < m < \frac{1}{2 e}$ , deci răspunsul este $m \in (- \frac{1}{2 e}, 0) \cup (0, \frac{1}{2 e})$ . Valoarea $m = 0$ se exclude, pentru că acolo ecuația are o singură soluție, $x = 0$ — nivelul asimptotei orizontale.

4. Fals. Asimptota orizontală spune doar că o ramură se apropie de dreapta fără să o atingă; alte ramuri pot trece prin ea. Contraexemplu: $f (x) = x e^{- x^{2}}$ are asimptota $y = 0$ , iar ecuația $f (x) = 0$ are soluția $x = 0$ . Corect este că ramura cu asimptotă nu contribuie cu nicio soluție la $m = ℓ$ .

5. Numitorul nu se anulează, deci $D = R$ . Derivata este $f^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} ( x ^{2} + 3 ) - x ^{3} \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} ( x ^{2} + 9 )}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}} \geq 0$ , cu egalitate numai în $x = 0$ , unde nu își schimbă semnul: funcția este strict crescătoare pe $R$ , deci are o singură ramură de monotonie. Limitele la capete sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , deci imaginea este $R$ și orice orizontală $y = m$ taie graficul exact o dată: ecuația are exact o soluție pentru orice $m$ .

6. Funcția $ln$ este strict crescătoare pe $(0, + \infty)$ , cu limitele $- \infty$ în $0$ la dreapta și $+ \infty$ la $+ \infty$ , deci imaginea ei este $R$ și are o singură ramură. Prin urmare ecuația are exact o soluție pentru orice $m$ real, anume $x = e^{m}$ ; orizontala taie graficul o singură dată, oricât de sus sau de jos ar fi dusă.

7. Exponențiala este strict crescătoare pe $R$ , cu imaginea $(0, + \infty)$ : limita $0$ spre $- \infty$ nu este atinsă. Deci pentru $m \leq 0$ nu există soluție, iar pentru $m > 0$ există exact una, $x = ln m$ . Rândul $m = 0$ este chiar nivelul asimptotei orizontale, unde regula capătului deschis se aplică.

8. $f^{'} (x) = x (2 - x) e^{- x}$ , cu minimul $f (0) = 0$ și maximul local $f (2) = \frac{4}{e ^{2}}$ ; limitele sunt $+ \infty$ la $- \infty$ și $0$ prin valori pozitive la $+ \infty$ , deci $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+ \infty$ . Pragurile: $0$ și $\frac{4}{e ^{2}}$ . Pentru $m < 0$ nicio soluție; pentru $m = 0$ una singură, anume $x = 0$ ; pentru $0 < m < \frac{4}{e ^{2}}$ trei; pentru $m = \frac{4}{e ^{2}}$ două; pentru $m > \frac{4}{e ^{2}}$ una.

9. $h^{'} (t) = - 10 t + 20$ , cu maximul $h (2) = 20$ ; la capete, $h (0) = 0$ și $h (4) = 0$ . Intervalul fiind închis, capetele sunt praguri. Pentru $m < 0$ niciun moment; pentru $m = 0$ două (la plecare și la sosire); pentru $0 < m < 20$ două, unul la urcare și unul la coborâre; pentru $m = 20$ unul singur, în vârf; pentru $m > 20$ niciunul, mingea nu urcă atât.

10. $x^{2} - 2 x$ are rădăcinile simple $0$ și $2$ , deci $f (x) = ∣ x^{2} - 2 x ∣$ are colțuri acolo, minimele $f (0) = f (2) = 0$ și maximul local $f (1) = 1$ ; limitele sunt $+ \infty$ . Pentru $m < 0$ nicio soluție, pentru $m = 0$ două, pentru $0 < m < 1$ patru, pentru $m = 1$ trei, pentru $m > 1$ două.

11. Adevărat. Pe o ramură de monotonie funcția este strict monotonă, deci injectivă, deci ia orice valoare cel mult o dată; o orizontală o poate tăia cel mult o dată. Numărul total de intersecții este cel mult numărul ramurilor, iar egalitatea se atinge când $m$ se află în imaginea fiecăreia dintre ele.

12. Pe $[0, 2 π]$ , funcția $sin$ crește de la $0$ la $1$ , scade la $- 1$ și urcă înapoi la $0$ ; capetele sunt închise, deci $0$ este prag, alături de $- 1$ și $1$ . Pentru $∣ m ∣ > 1$ nicio soluție; pentru $m = - 1$ una, $x = \frac{3 π}{2}$ ; pentru $- 1 < m < 0$ două; pentru $m = 0$ trei, anume $0$ , $π$ și $2 π$ ; pentru $0 < m < 1$ două; pentru $m = 1$ una, $x = \frac{π}{2}$ .

13. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x - 2) (x + 2)$ , cu maximul $f (- 2) = 16$ și minimul $f (2) = - 16$ . O singură soluție apare când orizontala este deasupra maximului sau sub minimul funcției, deci pentru $m > 16$ sau $m < - 16$ , adică $∣ m ∣ > 16$ .

14. $c^{'} (t) = \frac{4 ( 1 - t ^{2} )}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , pozitivă pe $[0, 1)$ și negativă după, cu maximul $c (1) = 2$ ; $c (0) = 0$ este valoare atinsă, iar $t \to + \infty lim c (t) = 0$ nu este atinsă. Pentru $m < 0$ sau $m > 2$ niciun moment; pentru $m = 0$ unul singur, chiar $t = 0$ ; pentru $0 < m < 2$ două momente, unul la creștere și unul la eliminare; pentru $m = 2$ unul, la vârf.

15. a) $f^{'} (x) = 2 x - \frac{4}{x} = \frac{2 ( x ^{2} - 2 )}{x}$ , negativă pe $(0, 2)$ și pozitivă după, cu minimul $f (2) = 2 - 2 ln 2 \approx 0, 614$ ; $x \to 0 x > 0 lim f (x) = + \infty$ , deci $x = 0$ este asimptotă verticală la dreapta, iar $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ cu $\frac{f ( x )}{x} \to + \infty$ , deci spre $+ \infty$ nu există nicio asimptotă. b) Funcția coboară de la $+ \infty$ la $2 - 2 ln 2$ și urcă înapoi spre $+ \infty$ , deci imaginea este $[2 - 2 ln 2, + \infty)$ . c) Singurul prag este minimul: pentru $m < 2 - 2 ln 2$ nicio soluție, pentru $m = 2 - 2 ln 2$ una singură, anume $x = 2$ , iar pentru $m > 2 - 2 ln 2$ două soluții, una în $(0, 2)$ și una în $(2, + \infty)$ .

16. Din $x^{2} = \frac{4}{3} (x^{2} - 4)$ obținem $3 x^{2} = 4 x^{2} - 16$ , deci $x^{2} = 16$ și $x = \pm 4$ ; amândouă aparțin domeniului, fiind diferite de $\pm 2$ . Cum $\frac{4}{3} > 1$ , tabelul din Exemplul 4 prezice două soluții — se potrivește. Ele sunt simetrice față de origine, ceea ce se vede și pe grafic, funcția fiind pară.

17. Funcția $f (x) = e^{- x^{2}}$ are maximul $f (0) = 1$ și limitele $0$ la ambele capete, neatinse. Cele două ramuri au imaginile $(0, 1]$ , deci pentru $0 < m < 1$ orizontala taie fiecare ramură o dată: exact două puncte. Răspunsul este $m \in (0, 1)$ ; pentru $m = 1$ există un singur punct, iar pentru $m \leq 0$ sau $m > 1$ niciunul.

18. Funcția $f (x) = ∣ ln x ∣$ este definită pe $(0, + \infty)$ ; se scrie $- ln x$ pe $(0, 1]$ și $ln x$ pe $(1, + \infty)$ . Prima ramură scade de la $+ \infty$ la $0$ , a doua crește de la $0$ la $+ \infty$ , iar $f (1) = 0$ este minim global, atins într-un punct unghiular. Pentru $m < 0$ nu există soluție; pentru $m = 0$ există una singură, $x = 1$ ; pentru $m > 0$ există exact două, $x = e^{- m}$ și $x = e^{m}$ , simetrice față de $1$ în sens multiplicativ.

De reținut

Numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ este numărul punctelor în care dreapta orizontală $y = m$ taie graficul funcției $f$ .
Valorile-prag ale lui $m$ , cele la care numărul soluțiilor sare, sunt valorile extreme locale ale funcției și limitele finite de la capetele domeniului.
Răspunsul se scrie într-un tabel cu două coloane, intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor, iar coloana din stânga trebuie să acopere toată axa reală.
Nivelul unei asimptote orizontale nu aduce nicio soluție de pe ramura care se apropie de ea, pentru că limita nu este o valoare atinsă.
Pe o ramură strict monotonă orizontala taie cel mult o dată, deci numărul soluțiilor este cel mult numărul ramurilor de monotonie.

Greșeli frecvente

Se numără nivelul asimptotei orizontale ca și cum ar fi atins. Corect: capătul respectiv al imaginii ramurii este deschis, deci la $m$ egal cu ordonata asimptotei acea ramură nu dă soluție.
Se uită valorile din capetele închise ale domeniului. Corect: pe un interval închis, valorile de la capete sunt atinse și devin praguri, ca la ecuația $sin x + cos x = m$ pe $[0, 2 π]$ .
Se numără de două ori soluția dintr-un extrem. Corect: un punct de extrem este capătul comun a două ramuri, iar la $m$ egal cu valoarea extremă cele două ramuri aduc aceeași soluție, deci se numără o singură dată.
Se lasă goluri sau suprapuneri în coloana lui $m$ . Corect: rândurile tabelului final trebuie să formeze o partiție a lui $R$ , verificabilă citind coloana de sus în jos.
Se dă răspunsul numai de pe desen. Corect: desenul nu arată ce se întâmplă în afara ferestrei, deci concluzia se sprijină pe tabelul de variație, care acoperă tot domeniul.

Aplică acasă

Ia trei funcții studiate în lecțiile anterioare ale unității și, pentru fiecare, scrie tabelul de discuție al ecuației $f (x) = m$ . Verifică apoi fiecare rând cu un instrument digital, ducând orizontala la o valoare aleasă din interiorul intervalului.
Alege o funcție cu asimptotă orizontală și una fără, apoi compară cele două tabele de discuție. Notează în caiet, cu cuvintele tale, unde anume apare deosebirea și de ce.
Construiește o funcție al cărei tabel de discuție să aibă rândul „patru soluții". Indiciu: îți trebuie patru ramuri de monotonie, deci trei puncte în care derivata schimbă semnul sau nu există, ca la funcțiile cu modul.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică dacă elevul poate traduce o întrebare algebrică — câte soluții are o ecuație cu parametru — într-una geometrică și înapoi. Sunt trei deprinderi: separarea parametrului, identificarea corectă a valorilor-prag și redactarea răspunsului sub forma tabelului cu două coloane.

Întrebări de control: Ce reprezintă, geometric, o soluție a ecuației $f (x) = m$ ? Care sunt valorile lui $m$ la care numărul soluțiilor se schimbă? De ce la nivelul unei asimptote orizontale se pierde o soluție?

Semne că a înțeles: tratează separat fiecare valoare-prag; scrie imaginea fiecărei ramuri cu capete închise sau deschise, corect; verifică faptul că rândurile tabelului acoperă toată axa reală; confirmă algebric răspunsul când ecuația se reduce la gradul al doilea.

Unde apare la BAC: discuția după parametru este un subpunct c) clasic la Subiectul al III-lea, de obicei după un studiu de funcție cerut la punctele a) și b). Materia se sprijină pe numărul soluțiilor unei ecuații din clasa a XI-a și pe tabelul de variație complet, iar continuarea firească este comparația cu șirul lui Rolle, din lecția următoare.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă rezolvarea grafică a unei ecuații?

Înseamnă înlocuirea calculului algebric cu citirea unui desen: se trasează graficul funcției din membrul stâng, se duce dreapta orizontală corespunzătoare membrului drept și se numără punctele lor comune. Fiecare intersecție dă o soluție, iar abscisele lor sunt chiar soluțiile ecuației, citite aproximativ de pe axă.

Cum se află numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ în funcție de parametru?

Se studiază funcția $f$ și se scrie tabelul de variație, apoi se identifică valorile-prag: extremele locale și limitele finite de la capete. Aceste numere taie axa valorilor în intervale, iar pe fiecare interval numărul de intersecții este constant. Răspunsul se scrie într-un tabel cu două coloane.

Care sunt valorile lui $m$ pentru care numărul soluțiilor se schimbă?

Sunt exact valorile extreme locale ale funcției și limitele finite de la capetele domeniului, adică ordonatele asimptotelor orizontale și valorile din capetele închise. Între două astfel de praguri consecutive, dreapta orizontală traversează aceleași ramuri de monotonie, deci numărul intersecțiilor rămâne neschimbat.

De ce la nivelul asimptotei orizontale se pierde o soluție?

Pentru că asimptota este o limită, nu o valoare atinsă: ramura care se apropie de dreapta $y = ℓ$ ia toate valorile dintre $ℓ$ și celălalt capăt, dar niciodată pe $ℓ$ însuși. Capătul intervalului-imagine este deschis, deci la $m$ egal cu $ℓ$ acea ramură nu contribuie cu nicio intersecție.

Cum se verifică algebric rezultatul obținut grafic?

Când ecuația se poate aduce la gradul al doilea, se folosește discriminantul: două soluții pentru discriminant pozitiv, una pentru zero, niciuna pentru negativ. Cazul în care coeficientul dominant se anulează se tratează separat, iar soluțiile obținute se verifică în domeniu, mai ales la funcțiile raționale.

Când are ecuația $f (x) = m$ patru soluții?

Când funcția are cel puțin patru ramuri de monotonie și valoarea $m$ se află în imaginea fiecăreia dintre ele. Situația apare des la funcțiile cu modul, ca $∣ x^{2} - 4 ∣$ , unde cele două colțuri și maximul local dau patru ramuri, sau la funcțiile polinomiale de gradul al patrulea cu două minime.

Ce se cere la Bacalaureat M1 la acest tip de problemă?

Se cere, de obicei, un studiu complet la punctele a) și b) — tabel de variație, asimptote, imaginea funcției — urmat de discuția după parametru la punctul c), la Subiectul al III-lea. Punctajul se acordă pe pași: tabelul corect, identificarea valorilor-prag și tabelul final cu numărul soluțiilor.