Ecuația f(x) = g(x) și șirul lui Rolle: pe scurt

Soluțiile reale ale ecuației $f(x)=g(x)$ sunt exact abscisele punctelor comune ale celor două grafice, privite pe domeniul lor comun — abscisele, nu punctele. Există două drumuri. Drumul A suprapune graficele lui $f$ și $g$ și numără intersecțiile; e cel mai rapid când amândouă graficele sunt deja cunoscute. Drumul B trece totul într-un membru, $h=f-g$, iar ecuația devine $h(x)=0$: soluțiile sunt zerourile lui $h$. Reflexul bun: desenezi pe drumul A ca să vezi ce se întâmplă, scrii pe drumul B ca să demonstrezi.

Graficul dă numărul probabil de soluții și valori aproximative, dar nu deosebește o tangență de o încrucișare lină și nu arată nimic în afara ferestrei desenate, deci nu ține loc de demonstrație. Șirul lui Rolle dă numărul exact: se rezolvă $h^{\prime }(x)=0$ și se rețin soluțiile din domeniu, se calculează valorile în ele și limitele la capete, se completează tabelul cu trei rânduri — $x$, $h(x)$, semnul — și se citește. Între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție; o valoare nulă înseamnă că punctul este el însuși soluție, și anume multiplă; două semne egale înseamnă niciuna.

Când domeniul este întrerupt se scriu două tabele, câte unul pe interval, pentru că proprietatea valorilor intermediare nu trece peste gaură. La funcțiile mărginite se restrânge întâi domeniul, din inegalitățile de mărginire. La Bacalaureat M1 concluzia se scrie pe drumul șirului lui Rolle, iar lectura grafică doar o însoțește.

Exerciții din această mini-lecție

1. Câte soluții reale are ecuația $\ln x=3-x$?

   • a) exact trei
   • b) niciuna
   • c) exact una
   • d) exact două
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) exact una

   Domeniul ecuației este $(0,+\infty )$. Cu $h(x)=\ln x+x-3$ avem $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1>0$ pe tot domeniul, deci $h$ este strict crescătoare și derivata nu se anulează: șirul lui Rolle are numai capetele. Limitele sunt $-\infty$ în $0$ la dreapta și $+\infty$ la $+\infty$, deci semnele sunt $-$, $+$: o singură schimbare, deci exact o soluție.

2. Într-un șir al lui Rolle, o valoare $h(x_i)=0$ înseamnă că:

   • a) punctul $x_i$ este el însuși soluție, și anume multiplă
   • b) în vecinătatea lui $x_i$ există exact două soluții
   • c) tabelul a fost completat greșit
   • d) pe intervalul respectiv ecuația nu are nicio soluție
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) punctul $x_i$ este el însuși soluție, și anume multiplă

   Acolo se anulează simultan $h$ și $h^{\prime }$, deci $x_i$ este rădăcină multiplă a ecuației $h(x)=0$; în plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție. În lucrare se scrie explicit „soluție dublă”, pentru că baremul cere precizarea. Un desen nu poate stabili niciodată multiplicitatea.

3. Pentru ecuația $\frac{2}{x}=x-1$, câte tabele ale șirului lui Rolle se scriu și câte soluții reale are ecuația?

   • a) un tabel, o soluție
   • b) un tabel, două soluții
   • c) două tabele, o soluție
   • d) două tabele, două soluții
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) două tabele, două soluții

   Domeniul este $(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$, deci se scriu două tabele: proprietatea valorilor intermediare nu trece peste punctul exclus. Cu $h(x)=\frac{2}{x}-x+1$ avem $h^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}-1<0$, deci nu există puncte critice; pe fiecare interval semnele sunt $+$, $-$, deci câte o soluție. Verificare: $x^2-x-2=0$ dă $x=-1$ și $x=2$.