Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = g(x); comparația cu șirul lui Rolle

Rezolvarea grafică a ecuației f(x) = g(x); comparația cu șirul lui Rolle

Q: Cum se rezolvă grafic ecuația f(x) = g(x)?

Se desenează graficele funcțiilor f și g în același reper, pe domeniul lor comun, iar soluțiile ecuației sunt abscisele punctelor în care cele două grafice se intersectează. Metoda dă numărul probabil al soluțiilor și valori aproximative pentru fiecare, dar nu ține loc de demonstrație: concluzia riguroasă se obține studiind funcția diferență h = f - g.

Q: Cum aflu câte soluții are o ecuație cu parametru?

Aduci ecuația la forma h(x) = 0, calculezi punctele critice — care de multe ori nu depind de parametru — și scrii tabelul cu valorile exprimate în funcție de acesta. Apoi discuți semnele pe cazuri, comparând parametrul cu valorile care anulează expresiile din tabel. Fiecare caz primește propriul șir de semne și propria concluzie.

Cele mai multe ecuații din anul de Bacalaureat M1 nu se rezolvă prin formulă, iar rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = g (x)$ este, la clasa a XII-a, prima metodă care spune ceva sigur despre ele. Rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = g (x)$ înseamnă să trasezi cele două grafice în același reper și să numeri punctele lor comune sau, echivalent, să studiezi funcția $h = f - g$ și zerourile ei, iar numărul exact de soluții se demonstrează cu șirul lui Rolle. Trei exemple: $e^{x} = 3 x$ , $ln x = x - 2$ , $sin x = \frac{x}{2}$ . Niciuna nu are soluții exprimabile cu radicali sau logaritmi, și totuși fiecare are un număr bine determinat de soluții reale, pe care matematica de liceu îl stabilește complet.

Lecția anterioară, rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = m$ , a tratat cazul în care al doilea membru este o constantă: se taie graficul cu o dreaptă orizontală și se numără intersecțiile. Acum al doilea membru devine o funcție oarecare, deci orizontala se transformă într-o a doua curbă — sau, dacă preferi, ecuația se aduce la forma $h (x) = 0$ . La capătul lecției punem metoda grafică față în față cu șirul lui Rolle, învățat în clasa a XI-a: graficul te orientează și dă valori aproximative, șirul lui Rolle dă demonstrația pe care o cere baremul.

Ce vei învăța

Vei ști să transformi ecuația $f (x) = g (x)$ în intersecția a două grafice sau în ecuația $h (x) = 0$ pentru $h = f - g$ , alegând drumul care cere mai puțin calcul.
Vei ști să citești de pe o reprezentare grafică numărul soluțiilor și intervalele în care se află fiecare dintre ele.
Vei ști să refaci riguros același rezultat cu șirul lui Rolle, în formatul de tabel fixat în clasa a XI-a.
Vei ști să tratezi corect cazul în care domeniul este întrerupt, unde cele două metode folosesc formate de tabel diferite.
Vei ști să faci discuția după un parametru atunci când al doilea membru este o dreaptă care se rotește sau se translatează.
Vei ști ce anume din raționamentul grafic se punctează într-o lucrare de Bacalaureat M1 și ce nu.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să rezolvi grafic ecuația $f (x) = g (x)$ ?

Rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = g (x)$ este metoda prin care soluțiile reale ale ecuației se identifică cu abscisele punctelor comune ale graficelor celor două funcții; ea dă numărul soluțiilor și intervalele în care se află fiecare, precum și valori aproximative pentru ele, fără să le calculeze exact.

Riguros: fie $f, g : D \to R$ . Un număr $x_{0} \in D$ este soluție a ecuației $f (x) = g (x)$ dacă și numai dacă punctul de abscisă $x_{0}$ de pe graficul lui $f$ și cel de aceeași abscisă de pe graficul lui $g$ coincid; deci mulțimea soluțiilor este exact mulțimea abscișelor punctelor comune ale celor două grafice.

Un amănunt de vocabular pe care baremele îl urmăresc: soluțiile sunt abscisele punctelor de intersecție, nu punctele. Dacă graficele se taie în $A (2, 5)$ , soluția este $x = 2$ , nu perechea $(2, 5)$ — aceeași grijă ca la distincția punct–valoare de la punctele de extrem local.

O condiție preliminară, ușor de sărit: funcțiile se privesc pe domeniul comun. Ecuația $ln x = x - 2$ nu se pune pentru $x \leq 0$ , oricât de frumos ar arăta dreapta acolo; domeniul ei este $(0, + \infty)$ .

2. Cele două drumuri: două grafice sau o singură funcție

Există exact două moduri de a ataca ecuația $f (x) = g (x)$ , iar alegerea dintre ele se face după cât calcul cere fiecare.

Drumul A — intersecția a două grafice. Se desenează graficele lui $f$ și $g$ în același reper și se numără punctele comune. E cel mai rapid când amândouă graficele sunt deja cunoscute (o exponențială și o dreaptă, un logaritm și o dreaptă, un sinus și o dreaptă): nu ai de trasat nimic nou, doar de suprapus două desene pe care le știi.

Drumul B — o singură funcție. Se trece totul într-un membru, $h = f - g$ , iar ecuația devine $h (x) = 0$ : soluțiile sunt zerourile lui $h$ , adică abscisele în care graficul lui $h$ taie axa $O x$ . E drumul obligatoriu când vrei o demonstrație, pentru că numai el aduce în joc derivata și șirul lui Rolle.

Practica bună, ca reflex: desenezi pe drumul A ca să vezi ce se întâmplă, apoi scrii pe drumul B ca să demonstrezi.

Un avertisment: trecerea de la $f (x) = g (x)$ la $h (x) = 0$ este echivalentă — nu se pierd și nu se câștigă soluții. În schimb, ridicarea la pătrat sau înmulțirea cu o expresie care se poate anula nu sunt echivalente; Exemplul 5 arată cum te salvează graficul exact acolo.

3. Cum se citește numărul soluțiilor de pe intersecția a două grafice?

Citirea urmează trei etape, mereu aceleași. Ele sunt rețeta proprie a acestei lecții și nu fac parte din schema în nouă pași a studiului de funcție, care se citează separat, atunci când graficele trebuie construite efectiv.

Etapa 1 — domeniul comun. Intersecțiile se caută numai pe banda pe care ambele funcții există.

Etapa 2 — comportarea la capete. Dacă la un capăt $f$ e deasupra lui $g$ , iar la celălalt dedesubt, graficele s-au încrucișat cel puțin o dată — conținutul geometric al consecinței de semn a proprietății valorilor intermediare, aplicată funcției $h = f - g$ .

Etapa 3 — monotoniile. Pe fiecare interval pe care $h$ e strict monotonă, graficele se pot încrucișa cel mult o dată, deci numărul intervalelor de monotonie mărginește numărul de soluții. Atenție: etapa aceasta nu se citește de pe desen, ci din tabelul de variație alcătuit analitic, după schema completă a reprezentării grafice.

Două reguli scurte, foarte utile în practică:

dacă $f$ e strict crescătoare și $g$ e strict descrescătoare (sau constantă), ecuația are cel mult o soluție, pentru că $h$ e strict crescătoare;
dacă $f$ e mărginită și $g$ nu, soluțiile sunt prinse într-un interval mărginit, determinat din inegalitățile de mărginire (Exemplul 4).

4. Ce dă graficul și ce nu dă

Aici e miezul lecției, iar programa o spune fără ocolișuri: reprezentarea grafică servește la „determinarea aproximativă a soluțiilor". Cuvântul „aproximativă" e limita metodei, nu o scăpare de redactare.

Ce dă graficul: o imagine corectă a situației (câte încrucișări par să existe și pe ce intervale), valori aproximative bune și, mai ales, ideea demonstrației — vezi unde trebuie tăiat domeniul.

Ce nu dă graficul: o demonstrație. Un desen nu deosebește două curbe care se ating de două care trec una lângă alta fără să se atingă, nu arată ce se întâmplă în afara ferestrei și nu exclude o încrucișare la $x = 400$ . Formularea „din desen se vede că sunt trei soluții" nu este un argument matematic.

Nuanța corectă: raționamentul grafic devine riguros în momentul în care intervalele de monotonie provin din tabelul de variație stabilit analitic. Dacă ai demonstrat cu semnul derivatei că $h$ scade pe $(- \infty, 1]$ și crește pe $[1, + \infty)$ , afirmația „pe fiecare ramură există cel mult o soluție" e o teoremă, nu o impresie. Cum se confruntă un desen cu un calcul — inclusiv unul făcut de calculator — se vede în lecția următoare, despre graficele din fizică și verificarea cu instrumente digitale.

5. Șirul lui Rolle, unealta care dă „exact"

Șirul lui Rolle rezolvă complet problema numărului de soluții pentru ecuația $h (x) = 0$ , iar procedura lui, în cinci pași, se reia identic:

se stabilește domeniul $D$ ca reuniune de intervale și se verifică derivabilitatea lui $h$ ;
se rezolvă $h^{'} (x) = 0$ și se rețin soluțiile din $D$ , în ordine crescătoare: $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{k}$ ;
se calculează $h (x_{1}), \dots, h (x_{k})$ și limitele lui $h$ la capetele fiecărui interval din $D$ ;
se completează tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele lor;
se citește: între două valori consecutive de semne contrare există exact o soluție; o valoare nulă înseamnă că punctul respectiv este el însuși soluție, și anume multiplă; între două valori consecutive de același semn nu există nicio soluție.

Formatul tabelului este cel fixat în clasa a XI-a: trei rânduri, în ordinea $x$ / $h (x)$ / semnul, cu limitele scrise la capete, inclusiv la $\pm \infty$ . Iată-l pe ecuația $e^{x} = 3 x$ , adusă la forma $h (x) = e^{x} - 3 x = 0$ , cu $h^{'} (x) = e^{x} - 3$ , deci $x_{1} = ln 3$ și $h (ln 3) = 3 - 3 ln 3$ :

$x$	$- \infty$	$ln 3$	$+ \infty$
$h (x)$	$+ \infty$	$3 - 3 ln 3$	$+ \infty$
semnul	$+$	$-$	$+$

Cum $ln 3 \approx 1, 0986 > 1$ , avem $3 - 3 ln 3 \approx - 0, 2958 < 0$ : două schimbări de semn, deci ecuația are exact două soluții reale, una în $(- \infty, ln 3)$ și una în $(ln 3, + \infty)$ . (Verificat prin eșantionare densă și bisecție: exact două rădăcini, $\approx 0, 6191$ și $\approx 1, 5121$ .)

Compară formulările. Metoda grafică spune „se pare că sunt două intersecții"; șirul lui Rolle spune „ecuația are exact două soluții reale, câte una în intervalele indicate". A doua propoziție e cea care se scrie în lucrare.

6. Aceleași concluzii, drumuri diferite

Comparația, așezată în tabel, e chiar ceea ce cere programa la competența XII.CS.5.4.

Criteriu	Metoda grafică	Șirul lui Rolle
Ce produce	numărul probabil de soluții și valori aproximative	numărul exact de soluții și intervalele lor
Pe ce se sprijină	pe desen și pe forma cunoscută a graficelor	pe teorema lui Rolle și pe consecința de semn a proprietății valorilor intermediare
Cere derivata?	nu, dacă graficele sunt cunoscute	da, obligatoriu
Merge la funcții mărginite?	foarte bine (se vede imediat unde se pot tăia)	da, după restrângerea domeniului
Distinge soluțiile multiple?	nu	da, prin valoarea nulă din tabel
Se punctează la Bacalaureat M1?	doar ca observație însoțitoare	da, este calea sancționată

Ultimul rând merită subliniat: calea cerută pentru „exact $n$ soluții" este cea din clasa a XI-a — teorema lui Rolle pentru „cel mult" și consecința de semn pentru „cel puțin". Metoda grafică nu o înlocuiește; o însoțește.

7. De ce arată diferit cele două tabele când domeniul e întrerupt?

Când domeniul are un punct exclus — cazul tipic al unei fracții — cele două unelte se scriu diferit, iar diferența nu e o inconsecvență, ci consecința a ceea ce descrie fiecare tabel.

Șirul lui Rolle se scrie în două tabele, câte unul pe fiecare interval al domeniului: raționamentul „exact o soluție între două semne contrare" folosește proprietatea valorilor intermediare, care cere continuitate pe un interval. Peste o gaură din domeniu nu se poate trece, deci rezultatele se adună la final.

Tabelul de variație rămâne unul singur, cu bara $∣$ pe rândurile derivatelor în coloana punctului exclus și cu cele două limite laterale pe rândul funcției, despărțite de aceeași bară. El descrie axa $O x$ în întregime, iar punctul exclus există pe axă, chiar dacă funcția nu; regula scurtă din lecția despre tabelul de variație complet este „punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală".

Exemplul 3 arată amândouă tabelele pe aceeași funcție, ca să vezi diferența cu ochii.

8. Cum se redactează, ca să iasă punctele?

Ordinea care aduce tot punctajul, la un subpunct de tip „câte soluții reale are ecuația": (1) se aduce ecuația la forma $h (x) = 0$ și se scrie domeniul ca reuniune de intervale; (2) se justifică derivabilitatea într-o propoziție; (3) se calculează $h^{'}$ și se rezolvă $h^{'} (x) = 0$ , reținând doar soluțiile din domeniu; (4) se calculează valorile și limitele la capete — locul în care se pierd cele mai multe puncte; (5) se scrie tabelul cu cele trei rânduri și semnele; (6) se citește concluzia în cuvinte.

Dacă vrei să menționezi și lectura grafică, formularea corectă este „graficele se intersectează în două puncte, ceea ce confirmă concluzia de mai sus". Nu invers — concluzia nu se sprijină pe desen.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Ecuația $e^{x} = 3 x$ , pe amândouă drumurile

Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $e^{x} = 3 x$ și intervalele în care se află.

Rezolvare, drumul A. Exponențiala e strict crescătoare și convexă și trece prin $(0, 1)$ ; dreapta $y = 3 x$ trece prin origine cu panta $3$ . Spre $- \infty$ curba e deasupra dreptei (una pozitivă, cealaltă coboară la $- \infty$ ); în $x = 1$ , $e \approx 2, 718 < 3$ , deci dedesubt; în $x = 2$ , $e^{2} \approx 7, 389 > 6$ , deci din nou deasupra. Două schimbări de poziție, deci cel puțin două intersecții.

Rezolvare, drumul B. Fie $h : R \to R$ , $h (x) = e^{x} - 3 x$ , derivabilă pe $R$ . Avem $h^{'} (x) = e^{x} - 3$ , care se anulează pentru $e^{x} = 3$ , adică $x = ln 3$ . Valoarea: $h (ln 3) = 3 - 3 ln 3 \approx - 0, 2958$ . Limitele: $x \to - \infty lim h (x) = + \infty$ (exponențiala tinde la $0$ , iar $- 3 x$ la $+ \infty$ ) și $x \to + \infty lim h (x) = + \infty$ (exponențiala domină, prin regulile lui L'Hôpital sau prin limita fundamentală). Tabelul este cel din secțiunea 5, cu semnele $+, -, +$ .

Concluzie. Ecuația are exact două soluții reale, una în $(- \infty, ln 3)$ și una în $(ln 3, + \infty)$ , cu valorile aproximative $0, 62$ și $1, 51$ obținute prin înjumătățiri succesive.

Exemplul 2. Ecuația $ln x = x - 2$

Câte soluții reale are ecuația $ln x = x - 2$ ?

Rezolvare. Domeniul ecuației este $(0, + \infty)$ . Fie $h (x) = ln x - x + 2$ , derivabilă acolo, cu $h^{'} (x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$ , care se anulează în $x = 1$ ; $h (1) = 1$ . Limitele la capete: $x \to 0 x > 0 lim h (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim h (x) = - \infty$ (termenul $- x$ domină logaritmul).

$x$	$0$	$1$	$+ \infty$
$h (x)$	$- \infty$	$1$	$- \infty$
semnul	$-$	$+$	$-$

Două schimbări de semn, deci ecuația are exact două soluții reale, una în $(0, 1)$ și una în $(1, + \infty)$ . (Verificat numeric: $\approx 0, 1586$ și $\approx 3, 1462$ .)

Lectura grafică. Graficul logaritmului, studiat la graficul funcțiilor exponențiale și logaritmice, pornește din $- \infty$ lângă axa $O y$ și crește tot mai încet, în timp ce dreapta $y = x - 2$ crește uniform: logaritmul începe sub dreaptă, o depășește, apoi rămâne definitiv în urmă — două încrucișări, exact cât spune tabelul.

Exemplul 3. Ecuația $\frac{1}{x} = x - 3$ : domeniu întrerupt, două tabele

Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $\frac{1}{x} = x - 3$ și comparați formatul șirului lui Rolle cu cel al tabelului de variație.

Rezolvare. Domeniul este $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ . Fie $h (x) = \frac{1}{x} - x + 3$ , derivabilă pe $D$ , cu $h^{'} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} - 1 < 0$ pe tot $D$ : derivata nu se anulează niciodată, deci șirul lui Rolle are doar capetele. Limitele: $x \to - \infty lim h (x) = + \infty$ , $x \to 0 x < 0 lim h (x) = - \infty$ , $x \to 0 x > 0 lim h (x) = + \infty$ , $x \to + \infty lim h (x) = - \infty$ .

Pe intervalul $(- \infty, 0)$ :

$x$	$- \infty$	$0$
$h (x)$	$+ \infty$	$- \infty$
semnul	$+$	$-$

Pe intervalul $(0, + \infty)$ :

$x$	$0$	$+ \infty$
$h (x)$	$+ \infty$	$- \infty$
semnul	$+$	$-$

Câte o schimbare de semn pe fiecare interval, deci exact două soluții reale, una negativă și una pozitivă. Verificare directă: înmulțind cu $x \neq = 0$ , ecuația devine $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ , cu soluțiile $\frac{3 \pm 13}{2} \approx 3, 3028$ și $\approx - 0, 3028$ — chiar în intervalele prezise.

Același $h$ , tabelul de variație. Cu $h^{''} (x) = \frac{2}{x ^{3}}$ , negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ , tabelul complet este unul singur:

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$h^{'} (x)$		$-$	$∣$	$-$
$h^{''} (x)$		$-$	$∣$	$+$
$h (x)$	$+ \infty$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$- \infty$

Citirea tabelului: $h$ este strict descrescătoare pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ , concavă pe prima ramură și convexă pe a doua, fără extreme și fără puncte de inflexiune; pe fiecare ramură parcurge tot $R$ , deci taie axa $O x$ exact o dată pe fiecare.

De ce diferă formatele. Șirul lui Rolle se sprijină pe continuitatea pe un interval, deci nu trece peste gaura din domeniu: două intervale, două tabele. Tabelul de variație descrie axa reală, pe care punctul $0$ există, deși funcția nu — de aceea el primește o coloană proprie.

Exemplul 4. Ecuația $sin x = \frac{x}{2}$ : mai întâi se restrânge domeniul

Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $sin x = \frac{x}{2}$ .

Rezolvare. Pe $R$ , funcția $h (x) = sin x - \frac{x}{2}$ ar avea o infinitate de puncte critice, deci șirul lui Rolle nu se poate scrie direct. Trucul este mărginirea: dacă $x$ este soluție, atunci $\frac{x}{2} = ∣ sin x ∣ \leq 1$ , deci $∣ x ∣ \leq 2$ și toate soluțiile se află în $[- 2, 2]$ .

Pe $[- 2, 2]$ : $h^{'} (x) = cos x - \frac{1}{2}$ se anulează pentru $cos x = \frac{1}{2}$ , adică $x = \pm \frac{π}{3}$ (celelalte soluții ies din interval). La capete închise se scriu valorile funcției, nu limite:

$x$	$- 2$	$- \frac{π}{3}$	$\frac{π}{3}$	$2$
$h (x)$	$1 - sin 2$	$\frac{π}{6} - \frac{3}{2}$	$\frac{3}{2} - \frac{π}{6}$	$sin 2 - 1$
semnul	$+$	$-$	$+$	$-$

Numeric, $sin 2 \approx 0, 9093$ , deci $1 - sin 2 \approx 0, 0907 > 0$ , iar $\frac{π}{6} - \frac{3}{2} \approx - 0, 3424 < 0$ . Trei schimbări de semn, deci exact trei soluții reale. Una se vede imediat, $x = 0$ ; celelalte două sunt simetrice, pentru că $h$ este impară, și au valoarea aproximativă $\pm 1, 8955$ .

Exemplul 5. Ecuația $x = x - 2$ : graficul te apără de soluția străină

Rezolvați ecuația $x = x - 2$ și explicați de ce metoda algebrică obișnuită produce o soluție în plus.

Rezolvare algebrică. Ridicând la pătrat: $x = (x - 2)^{2}$ , adică $x^{2} - 5 x + 4 = 0$ , cu soluțiile $1$ și $4$ . Verificare: $4 = 2 = 4 - 2$ , deci $4$ este soluție; $1 = 1$ , dar $1 - 2 = - 1$ , deci $1$ nu este. Ridicarea la pătrat nu este echivalentă: ea nu deosebește $a = b$ de $a = - b$ .

Rezolvare grafică. Radicalul pornește din origine și crește tot mai încet; dreapta $y = x - 2$ taie axa $O x$ în $2$ . Pe $[0, 2)$ dreapta e negativă, iar radicalul pozitiv, deci intersecția nu poate fi acolo; după aceea dreapta urcă mai repede și îl depășește o singură dată. O singură intersecție — desenul arată de la prima privire că valoarea $1$ e falsă.

Rezolvare cu șirul lui Rolle. Fie $h : [0, + \infty) \to R$ , $h (x) = x - x + 2$ , continuă pe $[0, + \infty)$ și derivabilă pe $(0, + \infty)$ , cu $h^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - 1$ , care se anulează pentru $x = \frac{1}{4}$ . În capătul închis $0$ se scrie valoarea $h (0) = 2$ , nu o limită; $h (\frac{1}{4}) = \frac{9}{4}$ ; iar $x \to + \infty lim h (x) = - \infty$ .

$x$	$0$	$\frac{1}{4}$	$+ \infty$
$h (x)$	$2$	$\frac{9}{4}$	$- \infty$
semnul	$+$	$+$	$-$

O singură schimbare de semn, deci exact o soluție reală, în $(\frac{1}{4}, + \infty)$ : ea este $x = 4$ . Ultimele două drumuri explică de ce primul trebuia verificat.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcțiile $f, g : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x$ și $g (x) = m x$ , unde $m$ este un număr real. Problema are formatul unui subiect din Subiectul al III-lea: trei subpuncte, fiecare de câte $5$ puncte.

a) Arătați că pentru $m = 1$ ecuația $f (x) = g (x)$ nu are soluții reale. (5 puncte)

b) Alcătuiți șirul lui Rolle al funcției $h : (0, + \infty) \to R$ , $h (x) = ln x - m x$ , pentru $m > 0$ . (5 puncte)

c) Determinați, în funcție de $m \in R$ , numărul soluțiilor reale ale ecuației $ln x = m x$ . (5 puncte)

Rezolvare. a) Pentru $m = 1$ luăm $h (x) = ln x - x$ , cu $h^{'} (x) = \frac{1 - x}{x}$ : pozitivă pe $(0, 1)$ , negativă pe $(1, + \infty)$ , deci $x = 1$ e punct de maxim global și $h (1) = - 1$ . Prin urmare $h (x) \leq - 1 < 0$ pe tot domeniul, deci ecuația nu are soluții.

b) $h^{'} (x) = \frac{1}{x} - m = \frac{1 - m x}{x}$ se anulează, pentru $m > 0$ , în $x = \frac{1}{m} \in D$ , cu $h (\frac{1}{m}) = ln \frac{1}{m} - m \cdot \frac{1}{m} = - ln m - 1$ . Limitele la capete sunt amândouă $- \infty$ (în $0$ logaritmul, la $+ \infty$ termenul $- m x$ ).

$x$	$0$	$\frac{1}{m}$	$+ \infty$
$h (x)$	$- \infty$	$- ln m - 1$	$- \infty$

Rândul semnelor nu se poate completa încă: semnul valorii $- ln m - 1$ depinde de $m$ , iar cazurile se separă la subpunctul c), unde șirul de semne se scrie complet pentru fiecare dintre ele.

c) Discutăm după $m$ .

$m \leq 0$ : $h^{'} (x) = \frac{1}{x} - m > 0$ pe tot domeniul, deci $h$ este strict crescătoare; cum $x \to 0 x > 0 lim h (x) = - \infty$ și $x \to + \infty lim h (x) = + \infty$ , ecuația are exact o soluție.
$0 < m < \frac{1}{e}$ : atunci $ln m < - 1$ , deci $- ln m - 1 > 0$ și semnele sunt $-, +, -$ : două soluții.
$m = \frac{1}{e}$ : $- ln m - 1 = 1 - 1 = 0$ , deci valoarea din tabel este nulă: punctul $x = \frac{1}{m} = e$ este el însuși soluție, și anume soluție dublă; ecuația are exact o soluție.
$m > \frac{1}{e}$ : $- ln m - 1 < 0$ , semnele sunt $-, -, -$ : nicio soluție.

(Toate cazurile au fost verificate prin numărarea efectivă a rădăcinilor, pentru $m \in {- 1; 0; 0, 2; 1/ e; 0, 5; 1}$ ; cazul $m = 1/ e$ a fost verificat separat, ca rădăcină dublă, pentru că el nu produce nicio schimbare de semn.)

Lectura geometrică. Dreptele $y = m x$ formează fasciculul dreptelor prin origine. Când panta scade spre $0$ , dreapta se „culcă" peste graficul logaritmului: întâi nu-l atinge, apoi îl atinge o dată (tangența, la $m = \frac{1}{e}$ , în punctul de abscisă $e$ ), apoi îl taie de două ori. Pentru pante negative taie graficul o singură dată.

Să exersăm

1. Aduceți ecuația $e^{x} = x + 2$ la forma $h (x) = 0$ , calculați $h^{'}$ și determinați punctele critice ale lui $h$ .

2. Alcătuiți șirul lui Rolle pentru ecuația de la exercițiul 1 și precizați câte soluții reale are.

3. Câte soluții reale are ecuația $x^{3} = 3 x - 1$ ?

4. Precizați intervalele în care se află soluțiile ecuației de la exercițiul 3.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă două valori consecutive din șirul lui Rolle au același semn, atunci pe intervalul dintre punctele lor ecuația nu are nicio soluție."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „De pe un desen se poate stabili dacă o soluție a ecuației este dublă."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Șirul lui Rolle se poate aplica direct funcției $h : R \to R$ , $h (x) = ∣ x ∣ - 1$ ."

8. Arătați, fără să calculați derivate, că ecuația $2^{x} = 3 - x$ are exact o soluție reală și determinați-o.

9. Câte soluții reale are ecuația $x + \frac{1}{x} = 4$ ? Tratați separat fiecare interval al domeniului.

10. Arătați că ecuația $ln x = \frac{x}{4}$ are exact două soluții reale.

11. (Problemă aplicată.) Un corp în cădere are viteza $v (t) = 50 (1 - e^{- t /5})$ metri pe secundă, iar un al doilea corp se mișcă uniform, cu viteza $25$ metri pe secundă. Arătați că există un singur moment la care vitezele sunt egale și calculați-l.

12. Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $x^{3} - 3 x = m$ are trei soluții reale distincte.

13. Arătați că ecuația $x + 2 = x$ are exact o soluție reală și găsiți-o; explicați de unde apare soluția străină.

14. Arătați că ecuația $sin x = x$ are o singură soluție reală, $x = 0$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^{3} - 3 x^{2} + m = 0$ are exact două soluții reale distincte.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Discutați, după valorile parametrului real $m$ , numărul soluțiilor reale ale ecuației $e^{x} = m x$ .

17. Explicați în trei propoziții de ce lectura grafică nu înlocuiește șirul lui Rolle la Bacalaureat M1.

18. (Provocare.) Fie $a > 0$ , $a \neq = 1$ . Arătați că ecuația $a^{x} = x$ are soluții reale dacă și numai dacă $a \leq e^{\frac{1}{e}}$ , iar pentru $a = e^{\frac{1}{e}}$ soluția este $x = e$ .

Răspunsuri și explicații

1. $h (x) = e^{x} - x - 2$ , definită și derivabilă pe $R$ ; $h^{'} (x) = e^{x} - 1$ , care se anulează pentru $x = 0$ . Singurul punct critic este $x = 0$ .

2. $h (0) = 1 - 0 - 2 = - 1$ ; $x \to - \infty lim h (x) = + \infty$ și $x \to + \infty lim h (x) = + \infty$ .

$x$	$- \infty$	$0$	$+ \infty$
$h (x)$	$+ \infty$	$- 1$	$+ \infty$
semnul	$+$	$-$	$+$

Două schimbări de semn, deci două soluții reale, una negativă și una pozitivă. (Numeric: $\approx - 1, 8414$ și $\approx 1, 1462$ .)

3. Fie $h (x) = x^{3} - 3 x + 1$ , cu $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ , deci $x_{1} = - 1$ , $x_{2} = 1$ ; $h (- 1) = - 1 + 3 + 1 = 3$ , $h (1) = 1 - 3 + 1 = - 1$ ; limitele sunt $- \infty$ și $+ \infty$ . Semnele $-, +, -, +$ dau trei schimbări, deci trei soluții reale.

4. Câte una în fiecare dintre intervalele $(- \infty, - 1)$ , $(- 1, 1)$ și $(1, + \infty)$ .

5. Adevărat. Este a treia regulă de citire. Dacă ar exista o soluție $r$ în interval, ori $h$ își schimbă semnul acolo și atunci apare o a doua soluție, contrazicând teorema lui Rolle, ori $r$ e punct de extrem interior și $h^{'} (r) = 0$ , imposibil între două rădăcini consecutive ale derivatei.

6. Fals. Un desen nu deosebește o tangență de o intersecție transversală foarte lină. Multiplicitatea se stabilește numai prin calcul: valoarea nulă din șirul lui Rolle, adică anularea simultană a lui $h$ și $h^{'}$ .

7. Fals. Funcția nu este derivabilă în $0$ (are un punct unghiular), iar procedura cere derivabilitatea pe interiorul fiecărui interval. Se lucrează pe ramuri: pe $(- \infty, 0]$ funcția este $- x - 1$ , pe $[0, + \infty)$ este $x - 1$ , iar ecuația are soluțiile $- 1$ și $1$ .

8. Funcția $x \mapsto 2^{x}$ este strict crescătoare pe $R$ , iar $x \mapsto 3 - x$ este strict descrescătoare; diferența lor este strict crescătoare, deci se anulează cel mult o dată. Cum $2^{1} = 2$ și $3 - 1 = 2$ , numărul $x = 1$ este soluție. Deci ecuația are exact o soluție, $x = 1$ .

9. $h (x) = x + \frac{1}{x} - 4$ pe $D = (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ , cu $h^{'} (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$ , zerourile $- 1$ și $1$ , $h (- 1) = - 6$ , $h (1) = - 2$ . Pe $(- \infty, 0)$ limitele sunt $- \infty$ la ambele capete și valoarea intermediară e tot negativă — semnele $-, -, -$ , deci nicio soluție. Pe $(0, + \infty)$ limitele sunt $+ \infty$ și $h (1) < 0$ — semnele $+, -, +$ , deci două soluții, $2 \pm 3$ .

10. Aici $m = \frac{1}{4}$ , iar $\frac{1}{4} < \frac{1}{e} \approx 0, 3679$ , deci suntem în cazul al doilea al discuției din Exemplul 6: două soluții reale. Direct: $h (x) = ln x - \frac{x}{4}$ are punctul critic $x = 4$ , cu $h (4) = ln 4 - 1 \approx 0, 386 > 0$ , iar limitele la capete sunt amândouă $- \infty$ .

11. Din $50 (1 - e^{- t /5}) = 25$ rezultă $e^{- t /5} = \frac{1}{2}$ , deci $t = 5 ln 2 \approx 3, 47$ secunde. Unicitatea: membrul stâng e strict crescător (derivata $10 e^{- t /5} > 0$ ), cel drept e constant, iar viteza pornește de la $0$ și tinde la $50$ , deci valoarea $25$ e atinsă exact o dată.

12. Fie $h (x) = x^{3} - 3 x - m$ , cu $h^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ , deci punctele critice $- 1$ și $1$ , independente de $m$ ; $h (- 1) = 2 - m$ , $h (1) = - 2 - m$ . Semnele sunt $-, +, -, +$ (trei schimbări) exact când $2 - m > 0$ și $- 2 - m < 0$ , adică $- 2 < m < 2$ .

13. Prin ridicare la pătrat: $x + 2 = x^{2}$ , adică $x^{2} - x - 2 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $2$ . Verificare: $2 + 2 = 2 = x$ , deci $2$ este soluție; $- 1 + 2 = 1 \neq = - 1$ , deci $- 1$ nu este. Soluția străină apare pentru că ridicarea la pătrat pierde condiția $x \geq 0$ , obligatorie pentru ca radicalul să fie egal cu $x$ .

14. $h (x) = sin x - x$ are $h^{'} (x) = cos x - 1 \leq 0$ pe $R$ , cu egalitate doar în punctele izolate $x = 2 k π$ ; prin urmare $h$ este strict descrescătoare pe $R$ , deci injectivă, deci se anulează cel mult o dată. Cum $h (0) = 0$ , unica soluție este $x = 0$ .

15. $h (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m$ , $h^{'} (x) = 3 x (x - 2)$ , puncte critice $0$ și $2$ ; $h (0) = m$ , $h (2) = m - 4$ ; limitele $- \infty$ și $+ \infty$ . Ecuația are exact două soluții distincte când una dintre valorile din tabel este nulă (o soluție dublă plus una simplă), adică pentru $m = 0$ sau $m = 4$ . Verificare: $x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (x - 3)$ , cu rădăcinile $0$ (dublă) și $3$ ; $x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x + 1) (x - 2)^{2}$ , cu rădăcinile $- 1$ și $2$ (dublă). Deci $m \in {0, 4}$ .

16. Fie $h (x) = e^{x} - m x$ . Pentru $m < 0$ : $h^{'} = e^{x} - m > 0$ , deci $h$ e strict crescătoare, cu limitele $- \infty$ și $+ \infty$ — o soluție. Pentru $m = 0$ : niciuna. Pentru $m > 0$ : $h^{'}$ se anulează în $x = ln m$ , cu $h (ln m) = m (1 - ln m)$ , iar limitele la capete sunt amândouă $+ \infty$ ; semnele fiind $+$ , semnul lui $m (1 - ln m)$ , $+$ , obținem nicio soluție pentru $0 < m < e$ , o soluție dublă ( $x = 1$ ) pentru $m = e$ și două soluții pentru $m > e$ . Cazul $m = 3$ este chiar Exemplul 1.

17. Desenul arată o fereastră finită, deci nu exclude intersecții în afara ei; nu deosebește tangența de o încrucișare lină, deci nu decide multiplicitatea; și nu conține niciun argument verificabil. Șirul lui Rolle acoperă tot domeniul, tratează valoarea nulă separat și își sprijină fiecare pas pe o teoremă.

18. Ecuația $a^{x} = x$ cere $x > 0$ (membrul stâng e strict pozitiv), iar logaritmând obținem $x ln a = ln x$ , adică $ln a = \frac{ln x}{x}$ . Funcția $u (x) = \frac{ln x}{x}$ are $u^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ , deci maximul global $u (e) = \frac{1}{e}$ , iar imaginea ei este $(- \infty, \frac{1}{e}]$ . Ecuația are soluții dacă și numai dacă $ln a \leq \frac{1}{e}$ , adică $a \leq e^{\frac{1}{e}}$ ; la egalitate maximul se atinge doar în $x = e$ , deci soluția este unică, $x = e$ . (Numeric, $e^{1/ e} \approx 1, 4447$ .)

De reținut

Soluțiile reale ale ecuației $f (x) = g (x)$ sunt exact abscisele punctelor comune ale graficelor celor două funcții, privite pe domeniul lor comun.
Cele două drumuri sunt echivalente: fie intersectezi graficele lui $f$ și $g$ , fie studiezi zerourile funcției $h = f - g$ , fără să pierzi sau să adaugi soluții.
Metoda grafică dă numărul probabil de soluții și valori aproximative, iar șirul lui Rolle dă numărul exact și intervalele; la Bacalaureat M1, concluzia „exact $n$ soluții" se scrie pe drumul șirului lui Rolle.
Când domeniul este întrerupt, șirul lui Rolle se scrie în două tabele, câte unul pe interval, în timp ce tabelul de variație rămâne unul singur, cu bară în coloana punctului exclus.
La o funcție mărginită, soluțiile se închid mai întâi într-un interval mărginit, obținut din inegalitățile de mărginire, și abia apoi se aplică procedura.

Greșeli frecvente

Scrii „din grafic se vede că sunt trei soluții" și te oprești acolo. Desenul nu este o demonstrație; concluzia se sprijină pe tabelul de variație sau pe șirul lui Rolle, iar lectura grafică se menționează doar ca observație care confirmă.
Uiți un capăt al domeniului în tabel. Fără limita de la capăt, tabelul nu poate arăta nicio schimbare de semn în ultima felie, iar numărul de soluții iese mai mic. Este locul în care se pierd cele mai multe puncte.
Folosești un singur tabel al șirului lui Rolle pe un domeniu întrerupt. Proprietatea valorilor intermediare nu trece peste gaura din domeniu; se scriu două tabele și se adună rezultatele.
Confunzi soluția cu punctul de intersecție. Soluția este abscisa $x_{0}$ , nu perechea $(x_{0}, f (x_{0}))$ ; scrie mereu „soluția este $x = 2$ ", nu „soluția este $(2, 5)$ ".
Ridici la pătrat fără să verifici. Din $x = x - 2$ ies două valori, dintre care una nu este soluție. Ridicarea la pătrat nu este echivalentă; fie verifici la final, fie impui de la început condiția ca membrul drept să fie pozitiv.

Aplică acasă

Trei ecuații, trei drumuri. Ia ecuațiile $e^{x} = 2 x$ , $ln x = \frac{x}{2}$ și $cos x = x$ . Pentru fiecare, desenează întâi cele două grafice pe caiet și notează câte intersecții pari să vezi, apoi scrie riguros șirul lui Rolle și compară concluziile. Notează separat cazurile în care desenul te-a orientat corect și cele în care te-a înșelat.
Fasciculul de drepte. Desenează graficul logaritmului și, peste el, dreptele $y = m x$ pentru $m \in {- 0, 2; 0, 1; \frac{1}{e}; 0, 5}$ , cu culori diferite. Marchează pentru fiecare numărul de intersecții și verifică-l cu discuția din Exemplul 6, apoi explică în două propoziții ce se schimbă în tabel când $m$ trece prin valoarea $\frac{1}{e}$ .
Fișa de redactare. Scrie pe o pagină cele șase etape de redactare din secțiunea 8 și, alături, câte un rând pentru greșeala pe care ai făcut-o cel mai des la fiecare. Ține fișa lângă tine la următoarele trei probleme de acest tip și taie, la final, greșelile pe care nu le-ai mai făcut.

Pentru părinți și profesori

Lecția răspunde direct competenței XII.CS.5.4 din programa de matematică-informatică, care cere „utilizarea reprezentării grafice a unei funcții pentru a analiza numărul soluțiilor unei ecuații" și, explicit, „compararea metodei grafice pentru obținerea numărului soluțiilor reale ale unei ecuații cu cea a șirului lui Rolle". Este singurul loc din programă în care două metode sunt puse față în față, deci accentul cade pe judecata de alegere, nu pe tehnică.

Ce verifică lecția: (1) trecerea corectă de la $f (x) = g (x)$ la $h (x) = 0$ ; (2) scrierea tabelului șirului lui Rolle în formatul standard, cu limitele la capete; (3) tratarea separată a intervalelor când domeniul e întrerupt; (4) restrângerea domeniului la funcțiile mărginite; (5) discuția după parametru; (6) onestitatea concluziei.

Întrebări bune de control: „Care este domeniul comun?", „Câte puncte critice are $h$ și de ce atâtea?", „Ce limite ai scris la capete?", „Dacă valoarea din tabel este zero, ce se întâmplă?", „De ce nu poți scrie în lucrare că se vede pe desen?". Semn că elevul a înțeles: desenează schița înainte de tabel, dar nu o folosește ca argument. La BAC, cerința apare de regulă ca ultimul subpunct al unei probleme de analiză. Exercițiile 15 și 16 sunt cele mai apropiate de formularea reală de examen.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă grafic ecuația f(x) = g(x)?

Se desenează graficele funcțiilor $f$ și $g$ în același reper, pe domeniul lor comun, iar soluțiile ecuației sunt abscisele punctelor în care cele două grafice se intersectează. Metoda dă numărul probabil al soluțiilor și valori aproximative pentru fiecare, dar nu ține loc de demonstrație: concluzia riguroasă se obține studiind funcția diferență $h = f - g$ .

Care e diferența dintre metoda grafică și șirul lui Rolle?

Metoda grafică se sprijină pe desen și dă un răspuns aproximativ și rapid; șirul lui Rolle se sprijină pe teorema lui Rolle și pe proprietatea valorilor intermediare și dă numărul exact de soluții, cu intervalele în care se află. La Bacalaureat M1 se punctează al doilea drum, iar lectura grafică poate fi menționată doar ca observație care confirmă rezultatul.

Când se folosește funcția h = f − g în loc de două grafice?

Ori de câte ori ai nevoie de o demonstrație sau când cel puțin unul dintre cele două grafice nu îți este familiar. Studiul unei singure funcții aduce în joc derivata, deci monotonia, extremele și șirul lui Rolle. Intersecția a două grafice rămâne mai comodă când amândouă sunt cunoscute, de pildă o exponențială și o dreaptă.

Ce se întâmplă când o valoare din șirul lui Rolle este zero?

Punctul respectiv este el însuși soluție a ecuației, și anume o soluție multiplă: acolo se anulează simultan funcția și derivata ei. În plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție. În lucrare se scrie explicit „soluție dublă", pentru că baremul cere această precizare, nu doar numărul total de soluții.

De ce se scriu două tabele când domeniul are un punct exclus?

Pentru că raționamentul care dă „exact o soluție între două semne contrare" folosește proprietatea valorilor intermediare, valabilă doar pe un interval de continuitate. Peste gaura din domeniu nu se poate trece, deci fiecare interval primește tabelul lui, iar rezultatele se adună. Tabelul de variație, în schimb, rămâne unul singur, cu bară în coloana punctului exclus.

Cum aflu câte soluții are o ecuație cu parametru?

Aduci ecuația la forma $h (x) = 0$ , calculezi punctele critice — care de multe ori nu depind de parametru — și scrii tabelul cu valorile exprimate în funcție de acesta. Apoi discuți semnele pe cazuri, comparând parametrul cu valorile care anulează expresiile din tabel. Fiecare caz primește propriul șir de semne și propria concluzie.

Ce fac dacă funcția are o infinitate de puncte critice?

Restrângi mai întâi domeniul, folosind mărginirea. La ecuația $sin x = \frac{x}{2}$ , din $∣ sin x ∣ \leq 1$ rezultă $∣ x ∣ \leq 2$ , deci toate soluțiile sunt în $[- 2, 2]$ ; pe acest interval derivata are doar două zerouri și procedura merge normal. Fără această restrângere, șirul lui Rolle nu se poate scrie.

Ce valori aproximative pot scrie în lucrare?

Poți scrie valori aproximative numai dacă cerința le cere explicit sau dacă le însoțești de metoda prin care le-ai obținut, de exemplu prin înjumătățiri succesive pe un interval în care ai arătat că funcția își schimbă semnul. Într-o cerință de tipul „câte soluții reale are ecuația", răspunsul așteptat este numărul lor și intervalele, nu valorile.