Ridicarea la putere prin inducție: pe scurt

Un tipar observat pe primele patru puteri este o presupunere, nu un rezultat; instrumentul care o transformă în teoremă este inducția matematică. Metoda are trei pași. Calculezi $A^2$, $A^3$ și, dacă e nevoie, $A^4$, prin înmulțiri directe. Ghicești formula comparând matricele poziție cu poziție: fiecare poziție îți dă un mic șir, iar dacă numerele cresc cu același pas apare $n$ sau un multiplu al lui, dacă se dublează sau se triplează apare $2^n$ ori $3^n$, iar dacă rămân neschimbate, formula are acolo o constantă. Când un șir pare fără regulă, compară-l cu vecinul lui: de cele mai multe ori este acela, plus sau minus o constantă. Demonstrezi apoi afirmația $P(n)$.

Demonstrația are două etape obligatorii, iar lipsa oricăreia anulează concluzia: verificarea bazei ($n=1$ trebuie să redea chiar $A$) și pasul inductiv, sprijinit pe $A^{k+1}=A^k\cdot A$. Aici înlocuiești $A^k$ cu formula presupusă, faci o singură înmulțire și recunoști formula scrisă pentru $k+1$. Locul în care folosești ipoteza trebuie să se vadă în redactare — baremele îl urmăresc.

Cazul care apare cel mai des la Bacalaureat M1: din $A^2=\alpha A$ rezultă $A^n={\alpha }^{n-1}A$, demonstrat în trei egalități. Iar dacă puterile nu se așază pe un tipar care crește, caută unul care se repetă: formula se dă atunci pe cazuri, după restul împărțirii exponentului.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5& 1\end{array}\right)$. Pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, matricea $A^n$ este:

   • a) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& 1\end{array}\right)$
   • b) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5^n& 1\end{array}\right)$
   • c) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& n\end{array}\right)$
   • d) $\left(\begin{array}{cc}n& 0\\ 5n& n\end{array}\right)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 5n& 1\end{array}\right)$

   Calculăm primele puteri: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 10& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 15& 1\end{array}\right)$ — trei poziții rămân neschimbate, iar colțul din stânga-jos crește din $5$ în $5$, deci presupunem $5n$. Pasul inductiv confirmă: din ipoteză, elementul de pe poziția $(2,1)$ al produsului $A^k\cdot A$ este $5k+5=5(k+1)$.

2. Într-o demonstrație prin inducție a unei formule pentru $A^n$, ipoteza de inducție se folosește:

   • a) la verificarea bazei
   • b) în egalitatea $A^{k+1}=A^k\cdot A$, când $A^k$ este înlocuit cu formula presupusă
   • c) la final, când se scrie concluzia
   • d) nicăieri, dacă baza a fost verificată corect
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) în egalitatea $A^{k+1}=A^k\cdot A$, când $A^k$ este înlocuit cu formula presupusă

   Pasul inductiv are patru verigi: definiția puterii, $A^{k+1}=A^k\cdot A$; înlocuirea lui $A^k$ cu formula presupusă — acesta este singurul loc în care intervine ipoteza; o simplă înmulțire; și recunoașterea formulei scrise pentru $k+1$. Baza se verifică independent, prin calcul direct, iar fără ea lanțul nu pornește.

3. Se consideră $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$ cu $A^2=7A$. Atunci, pentru orice $n\ge 1$:

   • a) $A^n=7A$
   • b) $A^n=7^{n}A$
   • c) $A^n=7^{n-1}A$
   • d) $A^n=7nA$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $A^n=7^{n-1}A$

   Baza: pentru $n=1$ formula dă $7^{0}A=A$. Pasul: presupunând $A^k=7^{k-1}A$, obținem $A^{k+1}=A^k\cdot A=7^{k-1}A\cdot A=7^{k-1}{A}^2=7^{k-1}\cdot 7A=7^{k}A$. Fiecare înmulțire cu $A$ adaugă un singur factor $7$, iar prima putere nu aduce niciunul — de aici exponentul $n-1$, nu $n$.