Ridicarea la putere prin inducție matematică

În lecția anterioară ai calculat direct $A^2$, $A^3$, $A^4$ și ai văzut cum apar tipare: colțuri care cresc din doi în doi, puteri ale lui $2$, linii care nu se schimbă. Dar ai văzut și avertismentul: un tipar observat pe patru cazuri este o presupunere, nu un rezultat. Nimic nu garantează că el se păstrează pentru $n=50$.

Instrumentul care transformă presupunerea în teoremă îl știi din clasa a IX-a: metoda inducției matematice. Aici ea capătă o formă foarte practică, pentru că pasul de la $A^k$ la $A^{k+1}$ înseamnă o singură înmulțire cu $A$ — deci demonstrația se reduce, aproape întotdeauna, la un produs de matrice de trei rânduri. Inducția este prima dintre metodele de ridicare la putere și cea mai generală: nu cere ca matricea să aibă o formă anume, ci doar ca tu să fi ghicit corect formula.

Ce vei învăța

• Vei ști să ghicești formula lui $A^n$ din primele puteri calculate direct.
• Vei ști să scrii complet o demonstrație prin inducție pentru o formulă cu matrice.
• Vei ști exact unde intră ipoteza de inducție în calcul și cum se recunoaște acest pas.
• Vei ști să tratezi tiparele cu puteri ($2^n$, $3^n$) și cu coeficienți care cresc liniar ($n$, $na$).
• Vei ști să aplici metoda la matrice de ordinul al treilea.
• Vei ști ce faci când formula nu e unică, ci depinde de restul lui $n$ la o împărțire.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune principiul inducției

Reamintim schema pe care ai învățat-o în clasa a IX-a. Fie $P(n)$ o afirmație care depinde de numărul natural $n\ge 1$. Dacă:

1. $P(1)$ este adevărată (verificarea bazei), și
2. pentru orice $k\ge 1$, din $P(k)$ adevărată rezultă $P(k+1)$ adevărată (pasul inductiv),

atunci $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\ge 1$.

Imaginea obișnuită, cea cu piesele de domino, se potrivește perfect: baza înseamnă că prima piesă chiar cade, iar pasul inductiv înseamnă că fiecare piesă o dărâmă pe următoarea. Lipsind oricare dintre cele două, concluzia se pierde: fără bază, ai un lanț care nu pornește niciodată; fără pas, ai o piesă căzută și nimic mai mult.

La matrice, afirmația $P(n)$ este mereu de aceeași formă: „$A^n$ este egală cu matricea $M(n)$", unde $M(n)$ e formula ghicită, cu $n$ apărând printre elemente.

2. Rețeta, în trei pași

Pasul 1 — calculezi. Determini $A^2$, $A^3$ și, dacă e nevoie, $A^4$, prin înmulțiri directe, ca în lecția despre puterea unei matrice.

Pasul 2 — ghicești. Compari cele trei-patru matrice poziție cu poziție. Fiecare poziție îți dă un mic șir de numere, iar tu îi cauți termenul general: dacă numerele cresc cu același pas, formula conține $n$ sau un multiplu al lui; dacă se dublează sau se triplează, apare $2^n$ sau $3^n$; dacă rămân neschimbate, formula are acolo o constantă.

Pasul 3 — demonstrezi. Verifici formula pentru $n=1$, apoi presupui că e adevărată pentru un $k$ oarecare și calculezi

$$A^{k+1}=A^k\cdot A,$$

înlocuindu-l pe $A^k$ cu formula presupusă. Dacă rezultatul înmulțirii este chiar formula scrisă pentru $k+1$, demonstrația s-a încheiat.

⚠️ Atenție la un detaliu de scriere pe care baremele îl urmăresc: locul în care folosești ipoteza de inducție trebuie să se vadă. Se scrie explicit „din ipoteza de inducție, $A^k=\dots$", nu se strecoară pe tăcute în calcul.

3. Exemplul-etalon, complet

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. Calculăm primele puteri:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),A^3=A^2\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right),A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Trei poziții din patru rămân neschimbate; colțul din dreapta-sus dă $1,2,3,4$. Presupunerea este

$$P(n):A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right),n\ge 1.$$

Verificarea bazei. Pentru $n=1$, formula dă $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=A$, adevărat.

Pasul inductiv. Presupunem $P(k)$ adevărată, adică $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$. Atunci

$$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+k\cdot 0& 1\cdot 1+k\cdot 1\\ 0\cdot 1+1\cdot 0& 0\cdot 1+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& k+1\\ 0& 1\end{array}\right),$$

adică exact formula scrisă pentru $k+1$. Prin urmare $P(k)\Rightarrow P(k+1)$, iar conform principiului inducției $P(n)$ e adevărată pentru orice $n\ge 1$. $■$

Observă anatomia pasului: prima egalitate e definiția puterii, a doua e ipoteza de inducție (acolo l-am înlocuit pe $A^k$), a treia e o simplă înmulțire, iar a patra e recunoașterea formulei-țintă. Aceste patru verigi apar în toate demonstrațiile de acest tip.

4. Tipare cu puteri: un exemplu ceva mai greu

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$. Primele puteri:

$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ 0& 9\end{array}\right),A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 26\\ 0& 27\end{array}\right),A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 80\\ 0& 81\end{array}\right).$$

Colțul din dreapta-jos dă $3,9,27,81$, adică $3^n$. Colțul din dreapta-sus dă $2,8,26,80$ — numere care par misterioase până le pui alături de vecinele lor: fiecare e cu $1$ mai mic decât puterea lui $3$. Deci $2=3-1$, $8=9-1$, $26=27-1$, $80=81-1$, iar presupunerea este

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 3^n-1\\ 0& 3^n\end{array}\right).$$

Baza: pentru $n=1$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=A$ ✓.

Pasul: presupunând $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 3^k-1\\ 0& 3^k\end{array}\right)$, avem

$$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 2+3(3^k-1)\\ 0& 3\cdot 3^k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3^{k+1}-1\\ 0& 3^{k+1}\end{array}\right),$$

pentru că $2+3\cdot 3^k-3=3^{k+1}-1$. Formula e demonstrată.

Lecția de metodă: când un șir de numere pare fără regulă, compară-l cu șirurile de pe celelalte poziții. De cele mai multe ori, „ciudatul" este vecinul lui, plus sau minus o constantă.

5. Când relația se citește pe $A^2$

Uneori nu ai nevoie să ghicești din patru puteri: îți ajunge una. Fie

$$K=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\Rightarrow K^2=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 6\end{array}\right)=3K.$$

Relația $K^2=3K$ sugerează imediat că fiecare înmulțire cu $K$ adaugă un factor $3$, deci $K^n=3^{n-1}K$. Demonstrăm riguros.

Baza: pentru $n=1$, $3^{0}K=K$ ✓.

Pasul: dacă $K^k=3^{k-1}K$, atunci

$$K^{k+1}=K^k\cdot K=3^{k-1}K\cdot K=3^{k-1}{K}^2=3^{k-1}\cdot 3K=3^{k}K,$$

adică formula pentru $k+1$. Am folosit, pe rând, ipoteza de inducție, faptul că un scalar iese în față dintr-un produs de matrice și relația $K^2=3K$. Rezultatul: $K^n=3^{n-1}K=\left(\begin{array}{cc}{3}^{n-1}& 2\cdot 3^{n-1}\\ 3^{n-1}& 2\cdot 3^{n-1}\end{array}\right)$.

Aceeași schemă funcționează pentru orice matrice cu $A^2=\alpha A$ și dă $A^n={\alpha }^{n-1}A$ — o formulă care apare des în subiectele de Bacalaureat M1.

6. Ordinul al treilea

Metoda nu se schimbă când matricea crește; doar înmulțirea e mai lungă. Fie

$$G=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow G^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right),G^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right),G^4=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 6\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Pe cele două diagonale de deasupra principalei citim $n$ (prima) și $1,3,6,10,\dots$ (a doua) — sumele $1$, $1+2$, $1+2+3$, adică $\frac{n(n-1)}{2}$ pentru puterea $n$. Presupunem

$$G^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Baza: pentru $n=1$, colțul din dreapta-sus dă $\frac{1\cdot 0}{2}=0$, deci formula reproduce chiar $G$ ✓.

Pasul: presupunând formula pentru $k$, calculăm $G^{k+1}=G^k\cdot G$. Singurele elemente care se schimbă sunt cele de deasupra diagonalei: pe poziția $(1,2)$ obținem $k+1$; pe poziția $(2,3)$, tot $k+1$; iar pe poziția $(1,3)$,

$$\frac{k(k-1)}{2}+k=\frac{k(k-1)+2k}{2}=\frac{k(k+1)}{2},$$

care este exact valoarea formulei pentru $k+1$. Demonstrația e completă.

O metodă mult mai rapidă pentru astfel de matrice, bazată pe descompunerea în $I_3$ plus o matrice cu puteri care se anulează, vine în lecția Ridicarea la putere cu binomul lui Newton.

7. Când formula nu e una singură

Nu orice matrice are un $A^n$ scris printr-o singură expresie. Fie

$$R=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\Rightarrow R^2=-I_2,R^3=-R,R^4=I_2.$$

De la $R^4$ încolo totul se repetă, pentru că $R^{n+4}=R^n\cdot R^4=R^n$. Formula corectă se dă atunci pe cazuri, după restul împărțirii lui $n$ la $4$:

$$R^n=\{\begin{array}{ll}{I}_2,& n\equiv 0\\ R,& n\equiv 1\\ -I_2,& n\equiv 2\\ -R,& n\equiv 3\end{array}(\mathrm{mod}4).$$

Aici inducția nu se aplică pe o formulă unică, ci pe afirmația „$R^{n+4}=R^n$", care se demonstrează într-un rând. Matricele de acest fel, cu comportare periodică, sunt studiate în lecția Matricea de rotație și puterile ei. Reține concluzia de metodă: dacă primele puteri nu se așază pe un tipar care crește, caută unul care se repetă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cazul cel mai simplu, complet redactat

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$. Determinați $A^n$, $n\ge 1$.

Rezolvare. Calculăm: $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 9& 1\end{array}\right)$. Colțul din stânga-jos dă $3,6,9$, deci presupunem $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3n& 1\end{array}\right)$.

Pentru $n=1$ formula dă chiar $A$. Presupunând $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3k& 1\end{array}\right)$, obținem

$$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3k+3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3(k+1)& 1\end{array}\right),$$

deci formula se transmite. Concluzie: $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3n& 1\end{array}\right)$ pentru orice $n\ge 1$.

Exemplul 2 — Tipar cu puteri ale lui $2$

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 0& 8\end{array}\right)$, $A^4=\left(\begin{array}{cc}1& 15\\ 0& 16\end{array}\right)$. Jos-dreapta apare $2^n$, iar sus-dreapta valorile $1,3,7,15$, adică $2^n-1$. Presupunem $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2^n-1\\ 0& 2^n\end{array}\right)$; pentru $n=1$ se obține $A$ ✓.

Pasul inductiv: din $A^k=\left(\begin{array}{cc}1& 2^k-1\\ 0& 2^k\end{array}\right)$ rezultă

$$A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 1+2(2^k-1)\\ 0& 2\cdot 2^k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2^{k+1}-1\\ 0& 2^{k+1}\end{array}\right),$$

pentru că $1+2^{k+1}-2=2^{k+1}-1$.

Exemplul 3 — Matrice triunghiulară cu diagonală constantă

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. $A^2=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 0& 4\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 0& 8\end{array}\right)$, $A^4=\left(\begin{array}{cc}16& 32\\ 0& 16\end{array}\right)$. Pe diagonală apare $2^n$; sus-dreapta avem $1,4,12,32$, adică $n\cdot 2^{n-1}$ (verifică: $1\cdot 1$, $2\cdot 2$, $3\cdot 4$, $4\cdot 8$). Presupunem

$$A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& n\cdot 2^{n-1}\\ 0& 2^n\end{array}\right),\text{adeva˘rata˘ pentru }n=1.$$

Pasul: $A^{k+1}=A^k\cdot A$ dă pe diagonală $2^k\cdot 2=2^{k+1}$, iar sus-dreapta

$$2^k\cdot 1+k\cdot 2^{k-1}\cdot 2=2^k+k\cdot 2^k=(k+1)\cdot 2^k,$$

adică exact $(k+1)\cdot 2^{(k+1)-1}$. Formula e demonstrată.

Exemplul 4 — Când $A^2$ este multiplu de $A$

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$. Arătați că $A^2=4A$ și determinați $A^n$.

Rezolvare. $A^2=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)=4A$. Presupunem $A^n=4^{n-1}A$, adevărată pentru $n=1$. Pasul inductiv:

$$A^{k+1}=A^k\cdot A=4^{k-1}A\cdot A=4^{k-1}{A}^2=4^{k-1}\cdot 4A=4^{k}A.$$

Deci $A^n=4^{n-1}A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 4^{n-1}& 2\cdot 4^{n-1}\\ 2\cdot 4^{n-1}& 2\cdot 4^{n-1}\end{array}\right)$. De pildă, $A^3=16A=\left(\begin{array}{cc}32& 32\\ 32& 32\end{array}\right)$.

Exemplul 5 — Ordinul al treilea

Determinați $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

Rezolvare. Înmulțind, $A^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$: singurul element care se mișcă este cel de pe poziția $(2,1)$. Presupunem că el este $n$ și verificăm pentru $n=1$ ✓. Pasul: dacă $A^k$ are pe poziția $(2,1)$ valoarea $k$, atunci în $A^k\cdot A$ linia a doua înmulțită cu prima coloană dă $k\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot 0=k+1$, restul rămânând neschimbat. Deci

$$A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$ și $A^3$. b) Demonstrați prin inducție că $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$, pentru orice $n\ge 1$. c) Calculați $I_2+A+A^2+A^3+A^4$.

Rezolvare. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right)$.

b) Demonstrația este cea din secțiunea 3: baza pentru $n=1$, apoi $A^{k+1}=A^k\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& k+1\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) Folosind formula, adunăm cele cinci matrice element cu element. Pe diagonală obținem de fiecare dată $1$, deci $5$; sus-dreapta obținem $0+1+2+3+4=10$; jos-stânga rămâne $0$. Prin urmare

$$I_2+A+A^2+A^3+A^4=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 0& 5\end{array}\right).$$

Observă că termenul $I_2$ este chiar $A^0$, deci suma se poate scrie ${\sum }_{k=0}^4{A}^k$ — o formă des întâlnită în subiecte.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie separat cele două etape ale demonstrației și marchează explicit locul în care folosești ipoteza de inducție.

1. Calculează $A^2$ și $A^3$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$, ghicește $A^n$ și demonstrează formula.

2. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ și demonstreaz-o prin inducție.

3. Determină și demonstrează $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o formulă pentru $A^n$ se verifică pentru $n=1,2,3$ și $4$, atunci ea este adevărată pentru orice $n$."

5. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$. (Indicație: colțul din stânga-jos dă $1,4,13,40$.)

6. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$ verifică $A^2=4A$ și demonstrează prin inducție că $A^n=4^{n-1}A$.

7. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „În pasul inductiv se poate scrie $A^{k+1}=A\cdot A^k$ în loc de $A^k\cdot A$."

9. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$, având grijă la semne.

10. Determină $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și verifică formula pentru $n=4$.

11. (Problemă aplicată.) Un robot are starea descrisă de o matrice coloană, iar la fiecare pas starea nouă se obține înmulțind-o la stânga cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$. Determină $A^n$ și află starea după $5$ pași, dacă starea inițială este $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$.

12. Calculează $D^3$ pentru $D=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și scrie formula generală a lui $D^n$.

13. Demonstrează prin inducție că, dacă o matrice pătratică verifică $A^2=A$, atunci $A^n=A$ pentru orice $n\ge 1$.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Verificarea bazei se poate sări dacă pasul inductiv este corect demonstrat."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)$. a) Calculați $A^2$. b) Demonstrați prin inducție că $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 3^n-1\\ 0& 3^n\end{array}\right)$. c) Calculați $I_2+A+A^2+A^3$.

16. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, arată că $A^4=I_2$ și scrie $A^n$ pe cazuri, după restul lui $n$ la împărțirea cu $4$.

17. Demonstrează prin inducție că, pentru $a\ne 0$, ${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{a}^n& n{a}^{n-1}b\\ 0& a^n\end{array}\right)$.

18. (Provocare.) Determină și demonstrează $A^n$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, apoi calculează $A^{10}$.

Răspunsuri și explicații

1. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 9& 1\end{array}\right)$, deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3n& 1\end{array}\right)$. Baza: $n=1$ dă $A$. Pasul: $A^k\cdot A$ are pe poziția $(2,1)$ valoarea $3k+3=3(k+1)$.

2. $A^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& 5^n\end{array}\right)$. Baza e imediată, iar pasul dă $\left(\begin{array}{cc}{2}^k\cdot 2& 0\\ 0& 5^k\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{k+1}& 0\\ 0& 5^{k+1}\end{array}\right)$.

3. $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 4n\\ 0& 1\end{array}\right)$: la fiecare înmulțire cu $A$, colțul din dreapta-sus crește cu $4$, pentru că $4k+4=4(k+1)$.

4. Fals. Verificarea pe câteva valori dă doar o presupunere; o formulă poate fi adevărată pentru primele cazuri și falsă apoi. Ce dovedește afirmația pentru orice $n$ este pasul inductiv, care leagă un caz oarecare de următorul.

5. Diagonala dă $3^n$ și $1$, iar colțul din stânga-jos, $1,4,13,40$, adică $\frac{3^n-1}{2}$ (verifică: $\frac{3-1}{2}=1$, $\frac{9-1}{2}=4$, $\frac{27-1}{2}=13$). Deci $A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^n& 0\\ \frac{3^n-1}{2}& 1\end{array}\right)$. În pasul inductiv, elementul de pe poziția $(2,1)$ al produsului $A^k\cdot A$ este $\frac{3^k-1}{2}\cdot 3+1\cdot 1=\frac{3^{k+1}-3+2}{2}=\frac{3^{k+1}-1}{2}$ ✓.

6. $A^2=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right)=4A$. Baza: $4^{0}A=A$. Pasul: $A^{k+1}=4^{k-1}A\cdot A=4^{k-1}{A}^2=4^{k-1}\cdot 4A=4^{k}A$.

7. $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ n& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$; singurul element care se schimbă este cel de pe poziția $(2,1)$, care crește cu $1$ la fiecare înmulțire.

8. Adevărat. Din asociativitatea înmulțirii, $A^k\cdot A=A\cdot A^k$ — cei doi factori sunt puteri ale aceleiași matrice, deci comută. Atenție însă: aceasta este o excepție; două matrice diferite nu comută în general.

9. $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A^3=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 0& -1\end{array}\right)$, $A^4=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 1\end{array}\right)$. Formula: $A^n=\left(\begin{array}{cc}(-1{)}^n& n(-1{)}^{n-1}\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)$, demonstrată prin inducție folosind $(-1{)}^k\cdot (-1)=(-1{)}^{k+1}$.

10. $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 2^n-1\\ 0& 2^n\end{array}\right)$; pentru $n=4$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}1& 15\\ 0& 16\end{array}\right)$, ceea ce coincide cu calculul direct din exemplul 2.

11. $A^n=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2n& 1\end{array}\right)$, demonstrat ca în exemplul 1. După $5$ pași, starea este $A^5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 10& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 10\end{array}\right)$.

12. $D^3=\left(\begin{array}{cc}125& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar formula generală este $D^n=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

13. Baza: pentru $n=1$ afirmația spune $A^1=A$, adevărat. Pasul: presupunem $A^k=A$; atunci $A^{k+1}=A^k\cdot A=A\cdot A=A^2=A$, folosind ipoteza și apoi relația dată. Deci $A^n=A$ pentru orice $n\ge 1$.

14. Fals. Fără bază, lanțul nu pornește. Un exemplu clasic la numere: afirmația „$n=n+1$" are un pas inductiv corect (adunând $1$ în ambii membri), dar e falsă pentru orice $n$, tocmai pentru că baza nu se verifică niciodată.

15. a) $A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ 0& 9\end{array}\right)$. b) Demonstrația din secțiunea 4. c) Adunăm cele patru matrice: pe diagonală, $1+1+1+1=4$ și $1+3+9+27=40$; sus-dreapta, $0+2+8+26=36$. Deci suma este $\left(\begin{array}{cc}4& 36\\ 0& 40\end{array}\right)$.

16. $A^2=-I_2$, deci $A^4=(A^2{)}^2=(-I_2{)}^2=I_2$. Din $A^{n+4}=A^n\cdot A^4=A^n$ rezultă că puterile se repetă din patru în patru, iar $A^n$ este $I_2$, $A$, $-I_2$ sau $-A$, după cum restul împărțirii lui $n$ la $4$ este $0$, $1$, $2$ sau $3$.

17. Baza: pentru $n=1$ formula dă $\left(\begin{array}{cc}a& 1\cdot a^{0}b\\ 0& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$ ✓. Pasul: presupunând formula pentru $k$, produsul $A^k\cdot A$ dă pe diagonală $a^k\cdot a=a^{k+1}$, iar sus-dreapta $a^{k}b+k{a}^{k-1}b\cdot a=a^{k}b+k{a}^{k}b=(k+1)a^{k}b$, adică exact $(k+1)a^{(k+1)-1}b$.

18. Formula este $A^n=\left(\begin{array}{ccc}1& n& \frac{n(n-1)}{2}\\ 0& 1& n\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, demonstrată în secțiunea 6. Pentru $n=10$ obținem $\frac{10\cdot 9}{2}=45$, deci $A^{10}=\left(\begin{array}{ccc}1& 10& 45\\ 0& 1& 10\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

De reținut

• Metoda are trei pași: calculezi primele puteri, ghicești formula comparând poziție cu poziție, o demonstrezi prin inducție.
• Demonstrația are două etape obligatorii: verificarea bazei ($n=1$) și pasul inductiv ($P(k)\Rightarrow P(k+1)$). Lipsa oricăreia anulează concluzia.
• Pasul inductiv se sprijină pe $A^{k+1}=A^k\cdot A$: înlocuiești $A^k$ cu formula presupusă, faci o singură înmulțire și recunoști formula scrisă pentru $k+1$.
• Tiparele uzuale: creștere constantă pe o poziție $\Rightarrow$ apare $n$ sau un multiplu; dublare sau triplare $\Rightarrow$ apare $2^n$ sau $3^n$; iar când o poziție pare fără regulă, compar-o cu vecina ei.
• Din $A^2=\alpha A$ rezultă $A^n={\alpha }^{n-1}A$, demonstrat într-un rând; este cazul care apare cel mai des la Bacalaureat M1.

Greșeli frecvente

• Lipsa verificării bazei. Se sare direct la pasul inductiv, iar demonstrația rămâne fără punct de plecare. Corectare: scrie explicit „pentru $n=1$ formula dă…, adică $A$".
• Ipoteza folosită pe tăcute. Baremele urmăresc rândul în care se înlocuiește $A^k$. Corectare: scrie „din ipoteza de inducție, $A^k=\dots$" înainte de înmulțire.
• Confuzia dintre verificare și demonstrație. „Am verificat pentru $n=1,2,3,4$, deci e adevărat" nu e o demonstrație, ci o observație.
• Greșeli de algebră în pasul final. Cel mai des la exponenți: $3\cdot 3^k=3^{k+1}$, nu $3^k$; și $a^{k}b+k{a}^{k}b=(k+1)a^{k}b$. Corectare: scrie transformarea pe rânduri separate, până obții exact forma de la $k+1$.
• Căutarea unei formule unice acolo unde puterile sunt periodice. Dacă primele puteri se repetă, formula se dă pe cazuri, după restul împărțirii exponentului.

Aplică acasă

1. Fabrica de tipare. Ia matricea $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$ și dă-i lui $a$ valorile $2$, $-3$ și $\frac{1}{2}$. Calculează de fiecare dată $A^2$ și $A^3$ și verifică dacă formula $\left(\begin{array}{cc}1& na\\ 0& 1\end{array}\right)$ se potrivește în toate cele trei cazuri.

2. Dominoul. Așază în șir zece piese de domino și încearcă să dărâmi al treilea rând fără a-l atinge pe primul. Experimentul arată exact de ce verificarea bazei nu se poate sări.

3. Ghicitoarea inversă. Scrie tu o formulă pentru $A^n$, de pildă $\left(\begin{array}{cc}1& 5n\\ 0& 1\end{array}\right)$, apoi află ce matrice $A$ o produce (pune $n=1$) și verifică prin înmulțire că formula chiar funcționează pentru $n=2$ și $n=3$.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă un instrument vechi — inducția matematică, studiată în clasa a IX-a — de un conținut nou. Dificultatea nu stă în inducție, pe care elevii o cunosc, ci în etapa de dinaintea ei: observarea tiparului. De aceea lecția insistă pe compararea poziție cu poziție a primelor puteri și pe trucul de a compara un șir „ciudat" cu vecinul lui.

De verificat în caiet: (1) formula este scrisă ca presupunere înainte de a fi demonstrată; (2) baza este verificată explicit; (3) rândul cu ipoteza de inducție există și se vede; (4) calculul din pas se încheie cu recunoașterea formulei pentru $k+1$, nu cu o expresie oarecare. Întrebări de control: „De ce nu ajunge să verifici pentru primele patru valori?"; „Unde ai folosit ipoteza?"; „Ce înseamnă $P(k)\Rightarrow P(k+1)$?".

La BAC M1, structura tipică este cea din exercițiul 15: se cere $A^2$, apoi demonstrația prin inducție a formulei date în enunț, apoi o sumă de puteri. Punctajul se pierde cel mai des la etapa a doua, prin sărirea bazei sau prin nemarcarea ipotezei. Semn că elevul a înțeles: după ce ghicește formula, o scrie ca afirmație $P(n)$ înainte de a începe demonstrația.

Întrebări frecvente

Cum ghicesc formula pentru $A^n$? Calculezi $A^2$, $A^3$ și, dacă e nevoie, $A^4$, apoi compari matricele poziție cu poziție. Fiecare poziție îți dă un mic șir de numere: dacă acesta crește cu același pas, formula conține $n$; dacă se dublează sau se triplează, apare $2^n$ sau $3^n$; dacă rămâne constant, formula are acolo un număr fix.

De ce nu e suficient să verific formula pentru câteva valori? Pentru că o afirmație poate fi adevărată pentru primele valori și falsă mai departe. Inducția acoperă toate cazurile deodată, arătând că de la un caz oarecare se ajunge automat la următorul.

Unde se folosește exact ipoteza de inducție? În rândul în care îl înlocuiești pe $A^k$ cu formula presupusă, imediat după ce ai scris $A^{k+1}=A^k\cdot A$. Acesta este singurul loc în care presupunerea intervine, și el trebuie marcat în redactare.

Pot scrie $A^{k+1}=A\cdot A^k$ în loc de $A^k\cdot A$? Da, pentru că orice două puteri ale aceleiași matrice comută. Este însă bine să folosești consecvent una dintre forme, ca să nu creezi impresia că schimbi ordinea factorilor la matrice în general — ceea ce nu e permis.

Ce fac dacă puterile nu urmează un tipar care crește? Cauți unul care se repetă. Dacă $A^4=I_2$, de exemplu, atunci puterile se reiau din patru în patru, iar răspunsul se dă pe cazuri, după restul împărțirii lui $n$ la $4$.

Cum arăt că $A^n={\alpha }^{n-1}A$ atunci când $A^2=\alpha A$? Verifici baza ($n=1$ dă ${\alpha }^{0}A=A$), apoi în pas scrii $A^{k+1}=A^k\cdot A={\alpha }^{k-1}A\cdot A={\alpha }^{k-1}{A}^2={\alpha }^{k-1}\cdot \alpha A={\alpha }^{k}A$. Sunt trei egalități și demonstrația e gata.

Este inducția singura metodă de a calcula $A^n$? Nu, dar este cea mai generală: funcționează ori de câte ori ai reușit să ghicești formula. Lecțiile următoare aduc metode mai rapide pentru forme particulare — binomul lui Newton, șirurile recurente și structura matricei de rotație.

Cum apare metoda la Bacalaureat M1? De obicei formula este dată în enunț, iar cerința este „demonstrați prin inducție". Asta simplifică problema, pentru că etapa de ghicire dispare; în schimb, redactarea completă a celor două etape devine obligatorie pentru punctaj.