Schema completă de studiu al variației: pe scurt

Lecția nu aduce noțiuni noi, ci ordinea — și tocmai ordinea se evaluează. La un studiu de funcție punctele se pierd rar din cauza unei derivate greșite; se pierd pentru că s-a sărit domeniul sau limitele la capete.

Schema are opt pași: (1) domeniul, scris ca reuniune de intervale; (2) continuitatea și derivabilitatea, cu atenție la funcțiile pe ramuri, la module și la radicalii de ordin par; (3) limitele la fiecare capăt al fiecărui interval din domeniu; (4) $f^{\prime }$, punctele critice și semnul ei; (5) $f^{\prime \prime }$, zerourile și semnul; (6) valorile lui $f$ în punctele marcate; (7) tabelul complet, cu $2k+4$ coloane; (8) citirea în cuvinte.

Două precauții care aduc puncte: numitorul unei derivate raționale este de obicei un pătrat, deci pozitiv — semnul îl dă doar numărătorul; iar monotonia și convexitatea se formulează pe câte un interval, niciodată pe o reuniune.

Regula scurtă pentru punctele speciale: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală. Un gol dinăuntrul domeniului primește coloană proprie, cu $|$ la derivate și cele două limite laterale la $f$.

Citirea conține monotonia, extremele (cu punct $\ne$ valoare), convexitatea și inflexiunile (ale funcției — $x_0$; ale graficului — perechea), imaginea și, la cerere, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$.

La clasa a XI-a studiul se oprește aici: trasarea graficului și asimptotele sunt teme de clasa a XII-a.

Exerciții din această mini-lecție

1. Primul pas al schemei de studiu al variației unei funcții este:

   • a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale
   • b) calculul derivatei întâi și al punctelor critice
   • c) calculul limitelor la capete
   • d) alcătuirea tabelului de variație
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) domeniul maxim de definiție, scris ca reuniune de intervale

   Fără domeniu, toți ceilalți pași se pot contamina: ai discuta semnul derivatei în puncte în care funcția nici nu există, iar în tabel ai marca zerouri care nu aparțin domeniului. Cele patru surse de restricții sunt numitorul nenul, radicalul de ordin par, argumentul strict pozitiv al logaritmului și punctele în care tangenta sau cotangenta nu există. Limitele vin abia la pasul $3$, iar derivata la pasul $4$.

2. La clasa a XI-a, studiul variației unei funcții se oprește la:

   • a) trasarea graficului
   • b) determinarea asimptotelor
   • c) tabelul de variație complet
   • d) calculul derivatei de ordinul al treilea
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) tabelul de variație complet

   Programa clasei a XI-a cere studiul variației până la tabelul complet, cu rândurile $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ și $f$. Trasarea graficului și cuvântul „asimptotă" aparțin clasei a XII-a. Asta nu înseamnă că limitele la capete se sar: ele se calculează și se trec în tabel, pentru că fără ele nu se poate citi imaginea funcției.

3. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+4x^3$, cu $f^{\prime }(x)=4x^2(x+3)$. În $x=0$ funcția:

   • a) are un minim local
   • b) nu are extrem, deși $f^{\prime }(0)=0$ — punctul este de inflexiune
   • c) are un maxim local
   • d) nu este derivabilă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) nu are extrem, deși $f^{\prime }(0)=0$ — punctul este de inflexiune

   Factorul $4x^2$ este pozitiv de ambele părți ale originii, deci $f^{\prime }$ păstrează semnul plus și funcția doar „încetinește" o clipă, fără să se întoarcă: reciproca teoremei lui Fermat este falsă. În schimb $f^{\prime \prime }(x)=12x(x+2)$ se anulează în $0$ și își schimbă semnul acolo, deci originea este punct de inflexiune, cu tangentă orizontală.