Schema completă de studiu al variației unei funcții

Ai învățat, în ultimele treisprezece lecții, câte o unealtă pe rând: semnul derivatei întâi pentru monotonie, punctele critice pentru extreme, semnul derivatei a doua pentru convexitate, inflexiunea ca schimbare de curbură. Fiecare a venit cu exercițiile ei. Acum le punem pe toate într-o singură procedură, care se aplică la fel oricărei funcții și care se încheie cu un obiect unic: tabelul de variație complet.

Lecția aceasta nu aduce noțiuni noi. Aduce ordinea — și ordinea este exact ce se evaluează. La un studiu de funcție, punctele se pierd rar din cauza unei derivate greșite; se pierd pentru că s-a uitat domeniul, pentru că nu s-au calculat limitele la capete sau pentru că tabelul are coloane care nu corespund. O schemă respectată pas cu pas elimină aproape toate aceste pierderi.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi, în ordinea corectă, cei opt pași ai studiului complet al unei funcții.
• Vei ști să construiești tabelul de variație complet, cu rândurile $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ și $f$, și să-i alegi corect coloanele.
• Vei ști să tratezi punctele excluse din domeniu, cu limitele laterale scrise în tabel.
• Vei ști să citești tabelul: monotonie, extreme, convexitate, inflexiune, imaginea funcției, numărul soluțiilor unei ecuații.
• Vei ști exact unde se oprește programa clasei a XI-a și ce rămâne pentru clasa a XII-a.

Hai să descoperim împreună

1. De ce o schemă fixă

Un studiu de funcție are cinci-șase pași de calcul independenți. Făcuți în dezordine, ei se contaminează: cine calculează derivata înainte de a stabili domeniul ajunge să discute semnul într-un punct în care funcția nici nu există; cine face tabelul înainte de a avea limitele la capete lasă coloane goale și pierde imaginea funcției.

Schema de mai jos are opt pași. Ea se scrie o dată, se învață și se aplică identic la o funcție polinomială, la una rațională, la una cu logaritm sau cu exponențială. Nu există „scheme diferite pentru tipuri diferite de funcții"; există o schemă și câteva atenționări legate de domeniu.

Schema în opt pași: (1) domeniul $\to$ (2) continuitatea și derivabilitatea $\to$ (3) limitele la capetele domeniului $\to$ (4) $f^{\prime }$: puncte critice și semn $\to$ (5) $f^{\prime \prime }$: zerouri și semn $\to$ (6) valorile în punctele marcate $\to$ (7) tabelul de variație complet $\to$ (8) citirea tabelului.

2. Pașii 1 și 2: domeniul, continuitatea, derivabilitatea

Pasul 1 — domeniul maxim de definiție. Se scrie ca reuniune de intervale, nu ca o mulțime cu excluderi vagi. Cele patru surse de restricții sunt: numitorul nenul, radicalul de ordin par cu radicand pozitiv sau nul, logaritmul cu argument strict pozitiv și, la funcțiile trigonometrice, punctele în care tangenta sau cotangenta nu există. De exemplu, pentru $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ domeniul este $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$.

Pasul 2 — continuitatea și derivabilitatea. Funcțiile obținute prin operații cu funcții elementare sunt continue și derivabile pe tot domeniul lor — de scris într-o propoziție, cu trimitere la operațiile cu funcții continue. Trei situații cer însă atenție specială și se verifică din definiție:

• funcțiile definite pe ramuri, în punctele de racord;
• funcțiile cu modul, în punctele în care expresia de sub modul se anulează;
• radicalii de ordin par, în punctele în care radicandul se anulează (acolo funcția poate fi continuă fără a fi derivabilă).

În aceste puncte pot apărea colțuri sau întoarceri; ele se marchează în tabel cu $\nexists$ pe rândul lui $f^{\prime }$, iar natura lor se explică în text, sub tabel.

3. Pasul 3: comportarea la capetele domeniului

Se calculează limita lui $f$ în fiecare capăt al fiecărui interval din domeniu. Sunt trei tipuri de capete:

• $\pm \infty$, dacă domeniul este nemărginit: se calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$, folosind limitele la infinit;
• un punct exclus din domeniu (numitor care se anulează, argument de logaritm care ajunge la $0$): se calculează ambele limite laterale, pentru că ele pot fi diferite;
• un capăt închis, care aparține domeniului: acolo se scrie pur și simplu valoarea funcției.

Aceste valori se trec în tabel, pe rândul lui $f$, în coloanele de la capete. Fără ele, tabelul nu spune nimic despre imaginea funcției.

4. Pasul 4: derivata întâi

Se calculează $f^{\prime }$, se precizează pe ce mulțime este definită și se rezolvă ecuația $f^{\prime }(x)=0$. Soluțiile din domeniu sunt punctele critice. Semnul lui $f^{\prime }$ se stabilește prin factorizare, exact ca la monotonia dedusă din semnul derivatei: se scrie derivata ca produs sau ca raport de factori al căror semn se citește direct.

Două precauții care aduc puncte:

• numitorul unei derivate raționale este, de regulă, un pătrat, deci pozitiv; semnul îl dă numai numărătorul. Scrie asta explicit, în loc să faci un tabel de semn inutil pentru numitor;
• concluzia de monotonie se formulează pe un interval, niciodată pe o reuniune. Funcția $f(x)=x+\frac{1}{x}$ are $f^{\prime }<0$ pe $(-1,0)$ și pe $(0,1)$, dar nu este descrescătoare pe reuniunea lor: între cele două bucăți graficul sare.

5. Pasul 5: derivata a doua

Se calculează $f^{\prime \prime }$, se rezolvă $f^{\prime \prime }(x)=0$ și se stabilește semnul, la fel ca mai sus. Semnul lui $f^{\prime \prime }$ dă convexitatea, conform caracterizării cu derivata a doua: $f^{\prime \prime }>0$ înseamnă convexă („ține apa", simbolul $\cup$), $f^{\prime \prime }<0$ înseamnă concavă („varsă apa", simbolul $\cap$).

Zerourile lui $f^{\prime \prime }$ sunt doar candidați la puncte de inflexiune. Reamintim distincția de nume: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului; în tabel se marchează abscisa, iar în citirea de sub tabel se dă perechea. Un candidat devine punct de inflexiune numai dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă efectiv semnul acolo și dacă punctul este interior domeniului. Contraexemplul de reținut este $f(x)=x^4$: are $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }$ rămâne pozitivă de ambele părți, deci $0$ nu este punct de inflexiune.

6. Pașii 6 și 7: valorile și tabelul complet

Se calculează $f$ în fiecare punct critic și în fiecare punct de inflexiune, apoi se așază totul în tabel. Coloanele alternează: capătul din stânga, interval, primul punct marcat, interval, al doilea punct marcat, …, capătul din dreapta. Cu $k$ puncte marcate în interior rezultă $2k+4$ coloane, cu tot cu coloana etichetelor.

Luăm ca model $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+8x$. Avem $f^{\prime }(x)=4x^3-12x+8=4(x-1{)}^2(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $1$, și $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$, cu zerourile $-1$ și $1$. Valorile: $f(-2)=-24$, $f(-1)=-13$, $f(1)=3$; $f^{\prime }(-1)=16$; $f^{\prime \prime }(-2)=36$; iar $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Punctele marcate sunt $-2$, $-1$ și $1$, deci $k=3$ și tabelul are $10$ coloane.

Citirea tabelului: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-2]$ și strict crescătoare pe $[-2,+\infty )$; are un singur extrem, minimul global $f(-2)=-24$; este convexă pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[1,+\infty )$, concavă pe $[-1,1]$, cu punctele de inflexiune $(-1,-13)$ și $(1,3)$; imaginea funcției este $[-24,+\infty )$.

Modelul acesta conține și cea mai utilă lecție a capitolului: în $x=1$ derivata se anulează, dar punctul nu este extrem. Factorul $(x-1{)}^2$ este pozitiv de ambele părți, deci $f^{\prime }$ păstrează semnul plus și funcția doar „încetinește" o clipă, fără să se întoarcă; punctul este, în schimb, de inflexiune. Reciproca teoremei lui Fermat este falsă, iar tabelul o arată dintr-o privire.

Cum se scriu punctele în care funcția nu există. Regula scurtă, de reținut ca atare: punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ celulă goală. Adică:

• punct exclus dinăuntrul domeniului (o „gaură"): primește o coloană proprie, cu bara $|$ pe rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, iar pe rândul lui $f$ cele două limite laterale, despărțite de aceeași bară: $-\infty |+\infty$ (vezi Exemplul 6);
• capăt finit deschis al domeniului (de pildă $0$ pentru o funcție definită pe $(0,+\infty )$): tot bară $|$ pe rândurile derivatelor — punctul există pe axă, funcția nu — și limita laterală pe rândul lui $f$ (vezi Exemplul 4);
• capăt finit închis, care aparține domeniului: se scriu valorile efective, $f^{\prime }$ fiind derivata laterală de acolo (vezi Exemplul 5);
• $-\infty$ și $+\infty$: celulele derivatelor rămân goale, pentru că acestea nu sunt puncte ale axei; pe rândul lui $f$ se scrie limita.

Este exact logica tabelului de semn: bara marchează un punct real în care funcția lipsește, golul marchează un capăt care nu este punct.

7. Pasul 8: citirea tabelului — și unde se oprește clasa a XI-a

Sub fiecare tabel se scriu două-trei propoziții care îl traduc în cuvinte. Ele conțin, în această ordine:

1. intervalele de monotonie, scrise cu capete închise acolo unde funcția este definită;
2. extremele, cu distincția fermă punct $\ne$ valoare: punctul de minim este $x_0=3$, valoarea minimă este $f(3)=-27$;
3. intervalele de convexitate și concavitate și punctele de inflexiune, numite explicit: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar perechea $(x_0,f(x_0))$ este punctul de inflexiune al graficului;
4. imaginea funcției, dacă se cere: se obține reunind imaginile de pe fiecare interval de monotonie, citite între valorile de la capete;
5. eventual, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$: se compară valoarea $m$ cu extremele din tabel, ca la numărul soluțiilor unei ecuații.

Și acum limita programei, spusă explicit: la clasa a XI-a studiul se oprește la tabelul de variație. Trasarea graficului nu este temă la această clasă, iar cuvântul „asimptotă" nu apare în programă — el aparține clasei a XII-a, temei „Reprezentarea grafică a funcțiilor". Asta nu înseamnă că limitele la capete nu se calculează: ele se calculează, sunt în programă la capitolul de limite și le-ai trecut deja în tabel. Ce lipsește este numele consacrat al dreptelor de care graficul se apropie și tehnica de a desena curba pe baza lor. Tabelul de variație este ultimul pas dinaintea graficului; anul viitor i se adaugă un singur capitol și desenul iese singur.

8. Harta unității: lecțiile 110–122

Cu aceasta se încheie unitatea. Merită privită întreagă, pentru că fiecare piesă intră într-un pas al schemei:

Întrebarea de control pe care ți-o pui la orice funcție nouă: am scris domeniul și limitele la capete înainte de a deriva? Dacă da, restul este calcul; dacă nu, tabelul va fi greșit oricât de corecte ar fi derivatele.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Funcție polinomială

Studiați variația funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-3x^2-12x+5$.

Rezolvare. Pasul 1–2: $D=\mathbb{R}$, funcție polinomială, deci continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$. Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

Pasul 4: $f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$, cu zerourile $-1$ și $2$; semnul este $+,-,+$.

Pasul 5: $f^{\prime \prime }(x)=12x-6$, cu zeroul $\frac{1}{2}$; semnul este $-$ apoi $+$.

Pasul 6: $f(-1)=12$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}$, $f(2)=-15$; $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{27}{2}$; $f^{\prime \prime }(-1)=-18$, $f^{\prime \prime }(2)=18$.

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[2,+\infty )$ și scade pe $[-1,2]$; are maximul local $f(-1)=12$ și minimul local $f(2)=-15$; este concavă pe $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right]$ și convexă pe $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$, cu punctul de inflexiune $\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$; imaginea este $\mathbb{R}$.

Exemplul 2 — Funcție rațională, cu punct exclus

Studiați variația funcției $f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$.

Rezolvare. Pasul 1–2: $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$; funcție rațională, continuă și derivabilă pe $D$.

Pasul 3: scriem $f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}$. Atunci $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$. În $0$, termenul $-\frac{1}{x^2}$ îl domină pe celălalt, deci ambele limite laterale sunt $-\infty$.

Pasul 4: $f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}=\frac{2(1-x)}{x^3}$, cu unicul zero $x=1$. Semnul: pe $(-\infty ,0)$ numărătorul e pozitiv și numitorul negativ, deci $f^{\prime }<0$; pe $(0,1)$ ambele sunt pozitive, deci $f^{\prime }>0$; pe $(1,+\infty )$, $f^{\prime }<0$.

Pasul 5: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{x^3}-\frac{6}{x^4}=\frac{4x-6}{x^4}$. Cum $x^4>0$, semnul îl dă $4x-6$: negativ pentru $x<\frac{3}{2}$ (cu $x\ne 0$), pozitiv după. Pasul 6: $f(1)=1$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{8}{9}$, $f^{\prime }\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{8}{27}$, $f^{\prime \prime }(1)=-2$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(-\infty ,0)$, crește pe $(0,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$; are maximul global $f(1)=1$; este concavă pe $(-\infty ,0)$ și pe $\left(0,\frac{3}{2}\right]$, convexă pe $\left[\frac{3}{2},+\infty \right)$, cu punctul de inflexiune $\left(\frac{3}{2},\frac{8}{9}\right)$. Imaginea este $(-\infty ,1]$. Observă că, spre deosebire de Exemplul 6, aici cele două limite laterale în punctul exclus sunt egale — bara din tabel le desparte oricum, pentru că funcția nu există acolo.

Exemplul 3 — Funcție cu exponențială

Studiați variația funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{-x}$.

Rezolvare. $D=\mathbb{R}$, funcție continuă și derivabilă. Limite: $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{-x}=-\infty$ (produs dintre $-\infty$ și $+\infty$), iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }x{e}^{-x}=0$, prin regula lui L'Hôpital aplicată formei $\frac{x}{e^x}$.

$f^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$, cu zeroul $1$; $f^{\prime \prime }(x)=e^{-x}(x-2)$, cu zeroul $2$. Cum $e^{-x}>0$, semnele sunt date de paranteze. Valorile: $f(1)=\frac{1}{e}$, $f(2)=\frac{2}{e^2}$, $f^{\prime \prime }(1)=-\frac{1}{e}$, $f^{\prime }(2)=-\frac{1}{e^2}$.

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(-\infty ,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$, cu maximul global $f(1)=\frac{1}{e}$; este concavă pe $(-\infty ,2]$ și convexă pe $[2,+\infty )$, cu punctul de inflexiune $\left(2,\frac{2}{e^2}\right)$; imaginea este $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$.

Exemplul 4 — Funcție cu logaritm

Studiați variația funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

Rezolvare. Domeniul este dat: $(0,+\infty )$, funcție continuă și derivabilă pe el. Limite: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln x}{x}=-\infty$ (numărătorul tinde la $-\infty$, numitorul la $0$ prin valori pozitive) și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$.

$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, cu zeroul $x=e$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2\ln x-3}{x^3}$, cu zeroul $x=e^{\frac{3}{2}}$. Valorile: $f(e)=\frac{1}{e}$, $f\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{3}{2e\sqrt{e}}$.

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(0,e]$ și scade pe $[e,+\infty )$, cu maximul global $f(e)=\frac{1}{e}$; are punctul de inflexiune $\left(e^{\frac{3}{2}},\frac{3}{2e\sqrt{e}}\right)$; imaginea este $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$. Consecință utilă: $\frac{\ln x}{x}\le \frac{1}{e}$, adică $\ln x\le \frac{x}{e}$ pentru orice $x>0$.

Exemplul 5 — Funcție trigonometrică pe interval închis

Studiați variația funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2\sin x$.

Rezolvare. Domeniul este un interval închis, iar funcția este continuă și derivabilă pe el. La capete nu se calculează limite, ci valori: $f(0)=0$ și $f(2\pi )=2\pi$.

$f^{\prime }(x)=1-2\cos x$, care se anulează pentru $\cos x=\frac{1}{2}$, adică $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=\frac{5\pi }{3}$. $f^{\prime \prime }(x)=2\sin x$, care se anulează în $0$, $\pi$ și $2\pi$; doar $\pi$ este interior, deci doar el poate fi punct de inflexiune. Valorile: $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}$, $f(\pi )=\pi$, $f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=\frac{5\pi }{3}+\sqrt{3}$.

Citirea tabelului: $f$ scade pe $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$, crește pe $\left[\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right]$ și scade pe $\left[\frac{5\pi }{3},2\pi \right]$; minimul global este $\frac{\pi }{3}-\sqrt{3}\approx -0,68$, iar maximul global este $\frac{5\pi }{3}+\sqrt{3}\approx 6,97$; funcția este convexă pe $[0,\pi ]$ și concavă pe $[\pi ,2\pi ]$, cu punctul de inflexiune $(\pi ,\pi )$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$. a) Studiați variația funcției $f$ și alcătuiți tabelul de variație. b) Determinați imaginea funcției $f$. c) Arătați că $f(x)\ge 2$ pentru orice $x>1$.

Rezolvare. a) Observăm că $f(x)=(x-1)+\frac{1}{x-1}$, formă care ușurează toate calculele. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, cu zerourile $0$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x-1{)}^3}$, fără zerouri. Valorile: $f(0)=-2$, $f(2)=2$, $f^{\prime \prime }(0)=-2$, $f^{\prime \prime }(2)=2$.

b) Pe $(-\infty ,1)$ funcția crește de la $-\infty$ până la $-2$, apoi scade înapoi spre $-\infty$; imaginea acestei bucăți este $(-\infty ,-2]$. Pe $(1,+\infty )$ scade de la $+\infty$ la $2$, apoi crește spre $+\infty$; imaginea este $[2,+\infty )$. Prin urmare $\mathrm{Im}f=(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$.

c) Din tabel, pe $(1,+\infty )$ minimul funcției este $f(2)=2$, deci $f(x)\ge 2$ pentru orice $x>1$, cu egalitate numai în $x=2$.

Să exersăm

1. Determinați domeniul maxim de definiție și limitele la capete pentru $f(x)=x^3-3x^2+4$.

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, calculați $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ și determinați punctele critice și candidații la inflexiune.

3. Alcătuiți tabelul de variație complet pentru $f(x)=x^3-3x^2+4$ și citiți-l în cuvinte.

4. Determinați domeniul funcției $f(x)=x+\frac{4}{x}$ și calculați cele patru limite de la capetele intervalelor domeniului.

5. Pentru funcția de la exercițiul 4, determinați extremele locale și precizați intervalele de convexitate.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de extrem local."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, atunci $x_0$ este punct de inflexiune."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{\prime }>0$ pe tot domeniul, atunci $f$ este strict crescătoare pe domeniu."

9. Determinați punctele de extrem ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2{e}^x$.

10. Pentru funcția de la exercițiul 9, arătați că punctele de inflexiune au abscisele $-2\pm \sqrt{2}$.

11. (Problemă aplicată.) Determinați valoarea maximă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x-x$, și deduceți inegalitatea $\ln x\le x-1$.

12. Determinați extremele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, și precizați imaginea ei.

13. Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$, are $f^{\prime }>0$ pe tot domeniul, dar nu este crescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

14. Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^{-x}$, folosind tabelul din Exemplul 3.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Folosind tabelul funcției $f(x)=x^4-6x^2+8x$ din secțiunea 6, discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $x^4-6x^2+8x=m$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x}$. Studiați monotonia funcției și arătați că $\ln x\le \frac{x}{e}$ pentru orice $x>0$.

17. Enumerați cei opt pași ai schemei și spuneți, pentru fiecare, ce rând sau ce coloană a tabelului completează.

18. (Provocare.) Arătați că orice funcție polinomială de gradul al treilea, $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cu $a\ne 0$, are exact un punct de inflexiune, de abscisă $x_0=-\frac{b}{3a}$, și că $f$ este strict monotonă pe $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă $f^{\prime }$ nu are două rădăcini reale distincte.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$ (termenul dominant este $x^3$).

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, cu punctele critice $0$ și $2$; $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$, cu candidatul la inflexiune $x=1$.

3. Valorile: $f(0)=4$, $f(1)=2$, $f(2)=0$; $f^{\prime }(1)=-3$; $f^{\prime \prime }(0)=-6$, $f^{\prime \prime }(2)=6$.

Citire: crește pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$, scade pe $[0,2]$; maxim local $4$, minim local $0$; concavă pe $(-\infty ,1]$, convexă pe $[1,+\infty )$, cu inflexiunea $(1,2)$; imaginea este $\mathbb{R}$.

4. $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. Limitele: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$; $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$; $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$.

5. $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}$, cu zerourile $-2$ și $2$. Semnul este $+,-,-,+$ pe cele patru intervale, deci $x=-2$ este punct de maxim local, cu $f(-2)=-4$, iar $x=2$ este punct de minim local, cu $f(2)=4$. Cum $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{x^3}$, funcția este concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$, fără punct de inflexiune.

6. Fals. La $f(x)=x^4-6x^2+8x$ avem $f^{\prime }(1)=0$, dar $f^{\prime }(x)=4(x-1{)}^2(x+2)$ rămâne pozitivă de ambele părți, deci $1$ nu este extrem. Anularea derivatei este necesară pentru un extrem interior, nu suficientă.

7. Fals. La $f(x)=x^4$ avem $f^{\prime \prime }(0)=0$, dar $f^{\prime \prime }(x)=12x^2\ge 0$ nu își schimbă semnul, deci funcția rămâne convexă și $0$ nu este punct de inflexiune.

8. Fals. Concluzia se formulează pe un interval. Funcția $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ are $f^{\prime }>0$ pe tot domeniul, dar $f(-3)=2>f(0)=-1$, deși $-3<0$: între cele două puncte domeniul este întrerupt.

9. $f^{\prime }(x)=e^x\left(x^2+2x\right)=x(x+2)e^x$, cu zerourile $-2$ și $0$; semnul este $+,-,+$. Deci $x=-2$ este punct de maxim local, cu $f(-2)=\frac{4}{e^2}$, iar $x=0$ este punct de minim local, cu $f(0)=0$.

10. $f^{\prime \prime }(x)=e^x\left(x^2+4x+2\right)$. Cum $e^x>0$, zerourile sunt rădăcinile ecuației $x^2+4x+2=0$, adică $x=-2\pm \sqrt{2}$. Trinomul își schimbă semnul în fiecare dintre ele, deci ambele sunt puncte de inflexiune.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$, pozitivă pe $(0,1)$ și negativă pe $(1,+\infty )$, deci $x=1$ este punct de maxim global, cu $f(1)=-1$. Prin urmare $\ln x-x\le -1$ pentru orice $x>0$, adică $\ln x\le x-1$, cu egalitate numai în $x=1$.

12. $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu zerourile $\pm 1$ și semnul $-,+,-$. Deci $x=-1$ este punct de minim, cu $f(-1)=-\frac{1}{2}$, iar $x=1$ este punct de maxim, cu $f(1)=\frac{1}{2}$. Cum $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=0$ și funcția este continuă, imaginea este $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.

13. $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ pe tot domeniul. Funcția este însă strict crescătoare pe fiecare interval separat: pe $(-\infty ,-1)$ și pe $(-1,+\infty )$. Contraexemplul de la exercițiul 8 arată că pe reuniune afirmația cade.

14. Din tabel, pe $(-\infty ,1]$ funcția crește de la $-\infty$ la $\frac{1}{e}$, iar pe $[1,+\infty )$ scade de la $\frac{1}{e}$ la $0$, fără a atinge $0$. Reuniunea celor două imagini este $\left(-\infty ,\frac{1}{e}\right]$.

15. Din tabel, $f$ scade de la $+\infty$ la $-24$ pe $(-\infty ,-2]$ și crește de la $-24$ la $+\infty$ pe $[-2,+\infty )$. Deci: pentru $m<-24$ ecuația nu are soluții; pentru $m=-24$ are exact o soluție ($x=-2$); pentru $m>-24$ are exact două soluții, câte una pe fiecare ramură de monotonie. (Anularea lui $f^{\prime }$ în $x=1$ nu adaugă soluții, pentru că acolo funcția nu își schimbă monotonia.)

16. $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$, pozitivă pentru $x<e$ și negativă pentru $x>e$, deci $f$ crește pe $(0,e]$ și scade pe $[e,+\infty )$, cu maximul global $f(e)=\frac{1}{e}$. Prin urmare $\frac{\ln x}{x}\le \frac{1}{e}$ pentru orice $x>0$; înmulțind cu $x>0$, obținem $\ln x\le \frac{x}{e}$, cu egalitate numai în $x=e$.

17. (1) domeniul — decide câte tabele sau câte coloane speciale sunt; (2) continuitatea și derivabilitatea — decid unde apare $\nexists$ pe rândul lui $f^{\prime }$; (3) limitele la capete — completează coloanele extreme ale rândului $f$; (4) $f^{\prime }$ — completează rândul $f^{\prime }$ și dă săgețile; (5) $f^{\prime \prime }$ — completează rândul $f^{\prime \prime }$ și simbolurile $\cup$, $\cap$; (6) valorile — completează celulele-punct ale rândului $f$; (7) tabelul — asamblarea; (8) citirea — propozițiile de sub tabel.

18. $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$ este o funcție de gradul întâi cu coeficientul $6a\ne 0$, deci are exact un zero, $x_0=-\frac{b}{3a}$, și își schimbă semnul acolo: unicul punct de inflexiune. Pentru monotonie, $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ are discriminantul $\Delta =4b^2-12ac$. Dacă $\Delta \le 0$, derivata păstrează semn constant (cel al lui $a$) și se anulează cel mult într-un punct, deci $f$ este strict monotonă pe $\mathbb{R}$; dacă $\Delta >0$, derivata are două rădăcini distincte, între care își schimbă semnul, deci $f$ are un maxim și un minim local și nu este monotonă.

De reținut

• Schema are opt pași, în această ordine: domeniul, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, valorile, tabelul, citirea. Ordinea nu este decorativă: fiecare pas folosește rezultatul celui dinainte.
• Tabelul complet are patru rânduri — $x$ (antetul), $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$, $f$ — și coloane care alternează punct și interval, de la capătul stâng al domeniului la cel drept.
• Punct pe axă fără funcție $\to$ bară; infinit $\to$ gol. Punctul exclus dinăuntrul domeniului și capătul finit deschis primesc amândouă $|$ pe rândurile derivatelor și limita (sau cele două limite laterale) pe rândul funcției; numai la $\pm \infty$ celulele derivatelor rămân goale. Într-un punct exclus nu poate exista punct de inflexiune.
• Anularea nu decide nimic singură: nici $f^{\prime }(x_0)=0$ nu garantează un extrem, nici $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ un punct de inflexiune. Decide schimbarea de semn.
• Studiul se oprește la tabel. Trasarea graficului este temă de clasa a XII-a; la clasa a XI-a se calculează limitele la capete, dar nu se desenează curba.

Greșeli frecvente

• Derivezi înainte de a scrie domeniul. Ajungi să discuți semnul într-un punct în care funcția nici nu există, iar tabelul iese cu o coloană în plus sau în minus.
• Lași goale coloanele de la capete. Fără limite acolo, tabelul nu poate da imaginea funcției, care este cerința cea mai frecventă după monotonie.
• Formulezi monotonia pe o reuniune de intervale. „$f$ este descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" este fals pentru $f(x)=\frac{1}{x}$; corect este „pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$".
• Confunzi punctul cu valoarea. Punctul de minim este $x_0$; valoarea minimă este $f(x_0)$. Aceeași grijă la inflexiune: $x_0$ este punctul de inflexiune al funcției, iar $\left(x_0,f(x_0)\right)$ este punctul de inflexiune al graficului — spune de fiecare dată la care dintre ele te referi.
• Declari inflexiune într-un punct exclus. În Exemplul 6, $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul „în jurul lui $1$", dar $1$ nu aparține domeniului, deci nu există punct de inflexiune acolo.

Aplică acasă

1. Fișa de procedură. Scrie schema în opt pași pe o singură pagină, cu o coloană în care notezi, pentru fiecare pas, greșeala pe care ai făcut-o cel mai des la temele din unitate. Ține fișa alături când rezolvi următoarele trei studii de funcție și bifează pașii pe măsură ce îi parcurgi.

2. Aceeași funcție, două lecturi. Alege o funcție rațională simplă și studiaz-o complet. Apoi cere-i unui coleg să facă același lucru independent și comparați tabelele celulă cu celulă. Diferențele apar aproape întotdeauna în coloanele de la capete și în semnele lui $f^{\prime \prime }$ — exact locurile pe care schema le protejează.

3. Trei funcții din viața ta. Găsește trei mărimi care se schimbă în timp și pe care le poți urmări (bateria telefonului într-o zi, temperatura afară, numărul de pași). Pentru fiecare, spune în cuvinte unde crește, unde scade, unde își schimbă ritmul, și desenează, din intuiție, cum ar arăta rândurile $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$ dintr-un tabel de variație.

Pentru părinți și profesori

Lecția închide unitatea „Studiul variației funcțiilor cu derivate" și răspunde direct notelor din programă, care cer ca în tabelul de variație să fie evidențiate atât intervalele de monotonie și punctele de extrem, cât și intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune. Este o lecție de sinteză și de metodă: nu introduce noțiuni noi, ci fixează procedura și vocabularul de redactare.

Un punct de graniță merită subliniat, pentru că este sursa unei confuzii frecvente cu manualele mai vechi: asimptotele și reprezentarea grafică a funcțiilor nu fac parte din programa clasei a XI-a; ele apar în clasa a XII-a. Limitele la capetele domeniului se calculează și se trec în tabel — ele sunt în programă, la capitolul de limite — dar numele „asimptotă" și trasarea curbei nu se cer aici. Cerințele de tip „reprezentați grafic funcția" nu sunt de nivelul acestei clase.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă și în ordine a pașilor; (2) scrierea domeniului ca reuniune de intervale; (3) calculul tuturor limitelor de la capete, inclusiv al celor laterale în punctele excluse; (4) construcția corectă a tabelului, cu numărul potrivit de coloane; (5) citirea tabelului în propoziții, cu distincția punct/valoare.

Întrebări bune de control: „Care este domeniul și de ce?", „Câte coloane are tabelul tău și de ce atâtea?", „De unde știi că acesta este punct de inflexiune și nu doar un zerou al lui $f^{\prime \prime }$?", „Care este imaginea funcției?". La BAC M1, subiectul al II-lea și al III-lea conțin aproape sigur un studiu parțial de funcție: monotonie, un extrem, o inegalitate dedusă din el. Semn că elevul a înțeles: începe orice studiu scriind domeniul, chiar și când funcția este polinomială.

Întrebări frecvente

Care sunt pașii studiului complet al unei funcții? Opt, în ordine: domeniul maxim de definiție; continuitatea și derivabilitatea; limitele la capetele domeniului; derivata întâi, cu puncte critice și semn; derivata a doua, cu zerouri și semn; valorile funcției în punctele marcate; tabelul de variație complet; citirea tabelului în cuvinte.

De ce trebuie scris domeniul înainte de orice calcul? Pentru că el decide câte intervale se studiază, unde apar limite laterale și câte coloane are tabelul. Un semn discutat în afara domeniului este un calcul făcut degeaba, iar o coloană lipsă schimbă concluzia despre imaginea funcției.

Cum se scrie în tabel un punct care nu aparține domeniului? Punctul primește o coloană proprie, în care se scrie bara $|$ pe rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, iar pe rândul lui $f$ se trece limita — cele două limite laterale, dacă punctul este dinăuntrul domeniului. Aceeași regulă se aplică la un capăt finit deschis, de exemplu $0$ pentru o funcție definită pe $(0,+\infty )$: bară la derivate, limită la funcție. Celulele rămân goale numai la $\pm \infty$. Într-un astfel de punct nu poate exista punct de extrem sau de inflexiune.

Câte coloane trebuie să aibă tabelul de variație? Dacă marchezi $k$ puncte în interiorul domeniului, tabelul are $2k+4$ coloane: coloana etichetelor, cele două capete și, între ele, alternanța interval–punct. Numărarea coloanelor este cea mai rapidă verificare a unui tabel.

Anularea derivatei a doua înseamnă punct de inflexiune? Nu. Este doar o condiție necesară pentru funcțiile de două ori derivabile. Punctul devine inflexiune numai dacă $f^{\prime \prime }$ își schimbă efectiv semnul acolo și dacă punctul este interior domeniului; contraexemplul standard este $f(x)=x^4$ în origine.

Cum citesc imaginea funcției din tabel? Iei fiecare interval de monotonie, notezi valorile de la capetele lui (valori efective sau limite) și scrii intervalul de valori parcurs; imaginea este reuniunea acestor intervale. Ai grijă la capetele care sunt limite, nu valori: ele nu se includ.

Se cere și graficul funcției la clasa a XI-a? Nu. Programa clasei a XI-a se oprește la tabelul de variație; reprezentarea grafică a funcțiilor se studiază în clasa a XII-a. Limitele la capete se calculează totuși, pentru că ele fac parte din capitolul de limite și completează tabelul.

Unde apare acest tip de problemă în subiectele de Bacalaureat M1? Aproape în fiecare variantă, sub formă parțială: se cere monotonia, un punct de extrem, o inegalitate dedusă din extremul global sau numărul soluțiilor unei ecuații. Schema completă este exercițiul care le antrenează pe toate deodată.