Schema reprezentării grafice: pe scurt

Studiul complet al unei funcții urmează schema în nouă pași: cei opt pași fixați la clasa a XI-a, cu două completări la pasul 1 și una la pasul 3, plus un pas nou. La pasul 1 se adaugă intersecțiile cu axele (pasul 1b: se rezolvă $f(x)=0$ pentru $Ox$ și se calculează $f(0)$ pentru $Oy$) și paritatea sau periodicitatea (pasul 1c) — verificate înainte de a deriva, fiindcă la o funcție pară se studiază numai $[0,+\infty )$ și se simetrizează față de axa $Oy$, iar la una impară față de origine. La pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului, se așază asimptotele: ele sunt numele acelor limite. Pașii 4–8 rămân neschimbați: $f^{\prime }$ cu puncte critice și semn, $f^{\prime \prime }$ cu zerouri și semn, valorile în punctele marcate, tabelul de variație complet, citirea lui. Pasul 9 este trasarea propriu-zisă: asimptotele se desenează punctat înaintea curbei, se marchează punctele din tabel, iar arcele se unesc respectând săgețile și simbolurile $\cup$ și $\cap$. Un grafic terminat trece patru controale: numărul ramurilor, punctele marcate, săgețile și curbura, apropierea de fiecare asimptotă.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pasul al nouălea al schemei în nouă pași este:

   • a) alcătuirea tabelului de variație
   • b) calculul derivatei a doua
   • c) determinarea asimptotelor
   • d) trasarea propriu-zisă a graficului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) trasarea propriu-zisă a graficului

   Cei opt pași ai clasei a XI-a se opreau la citirea tabelului de variație; clasa a XII-a adaugă exact desenul. Pasul 9 este ultimul tocmai pentru că folosește tot ce s-a calculat înainte — un grafic făcut „din intuiție” și completat apoi cu calcule este cea mai sigură cale spre un desen care își contrazice propriul tabel.

2. La ce pas al schemei în nouă pași se așază asimptotele?

   • a) la pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului
   • b) la pasul 1, alături de domeniu
   • c) la pasul 7, în tabelul de variație
   • d) la pasul 9, în timpul desenului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) la pasul 3, alături de limitele la capetele domeniului

   Limitele la capetele domeniului se calculează oricum la pasul 3; asimptotele sunt numele geometrice ale acelor limite, deci se scriu chiar acolo. La pasul 9 asimptotele se desenează punctat, dar ele au fost deja determinate — desenul nu descoperă nimic nou.

3. Funcția $f(x)=\frac{x^3-9x}{x^2+4}$ este:

   • a) pară, deci se simetrizează față de axa $Oy$
   • b) nici pară, nici impară
   • c) impară, deci se studiază pe $[0,+\infty )$ și se simetrizează față de origine
   • d) periodică
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) impară, deci se studiază pe $[0,+\infty )$ și se simetrizează față de origine

   Domeniul este $\mathbb{R}$, simetric față de origine, iar $f(-x)=\frac{-x^3+9x}{x^2+4}=-f(x)$, deci funcția este impară. Pasul 1c înjumătățește lucrul: se studiază pe $[0,+\infty )$, iar restul graficului se obține prin simetrie față de origine. Verificarea se face înainte de derivare, altfel calculul se face de două ori degeaba.