Reprezentarea grafică a funcțiilor: schema completă a studiului

Reprezentarea grafică a unei funcții este ultimul pas al analizei, iar la clasa a 12-a el devine o sarcină de lucru: tot ce ai calculat până acum — domeniu, limite, asimptote, monotonie, convexitate — se adună într-un singur desen din care se citește totul dintr-o privire. Reprezentarea grafică a unei funcții este desenul curbei $y=f(x)$ obținut la capătul unui studiu complet: domeniu, continuitate, limite și asimptote, semnul celor două derivate, tabelul de variație și, la final, trasarea propriu-zisă a graficului. La clasa a XI-a, în lecția despre schema de studiu al variației, studiul se oprea la tabelul de variație, și se spunea de ce: lipsea numele dreptelor de care graficul se apropie. Acum numele există, deci desenul poate fi terminat.

Lecția aceasta nu rescrie schema de anul trecut. Ea îi adaugă exact trei lucruri — intersecțiile cu axele și paritatea la primul pas, asimptotele la al treilea, și un pas nou, al nouălea, care este trasarea propriu-zisă — și de aici încolo procedura se va numi schema în nouă pași. Toate lecțiile care urmează, de la graficul funcțiilor polinomiale până la sinteza finală, o vor cita prin numărul pasului, așa că merită învățată o dată, bine.

Ce vei învăța

• Vei ști cei nouă pași ai studiului complet al unei funcții și vei recunoaște, în ei, cei opt pași de la clasa a XI-a plus cele trei completări.
• Vei ști să determini intersecțiile graficului cu axele și să verifici paritatea sau periodicitatea, ca sub-pași ai primului pas.
• Vei ști să așezi asimptotele în pasul al treilea, alături de limitele la capetele domeniului.
• Vei ști să trasezi efectiv graficul pornind de la tabelul de variație: asimptotele punctate, punctele marcate, arcele care respectă săgețile și simbolurile de convexitate.
• Vei ști să faci cele patru controale finale prin care un grafic desenat se verifică înainte de a fi predat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce mai lipsește după tabelul de variație?

Schema în nouă pași este procedura completă de studiu al unei funcții reale, încheiată cu trasarea graficului ei: cei opt pași fixați la clasa a XI-a — domeniul, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete, derivata întâi, derivata a doua, valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea tabelului — completați cu intersecțiile și simetriile la primul pas, cu asimptotele la al treilea, și încheiați cu un al nouălea pas, trasarea graficului.

Ca să se vadă limpede ce e vechi și ce e nou, iată schema întreagă, cu completările marcate:

Schema în nouă pași: (1) domeniul — plus intersecțiile cu axele (1b) și paritatea sau periodicitatea (1c) $\to$ (2) continuitatea și derivabilitatea $\to$ (3) limitele la capetele domeniului — plus asimptotele $\to$ (4) $f^{\prime }$: puncte critice și semn $\to$ (5) $f^{\prime \prime }$: zerouri și semn $\to$ (6) valorile în punctele marcate $\to$ (7) tabelul de variație complet $\to$ (8) citirea tabelului $\to$ (9) trasarea graficului.

Pașii 2 și 4–8 rămân exact cei de anul trecut, cu aceleași reguli de format pentru tabelul de variație complet: patru rânduri, $2k+4$ coloane pentru $k$ puncte interioare marcate, bară la punctele excluse și la capetele finite deschise, celulă goală numai la $\pm \infty$.

De ce tocmai aceste trei completări? Pentru că tabelul spune forma curbei, dar nu spune unde se află ea în plan: intersecțiile o ancorează, asimptotele îi dau cadrul, paritatea îi înjumătățește munca. Fără ele, desenul e corect calitativ și greșit cantitativ; cu ele, graficul iese unic.

2. Pasul 1b: intersecțiile cu axele

Două întrebări scurte, ambele obligatorii în redactare: intersecția cu axa $Oy$ se obține calculând $f(0)$, dacă $0$ aparține domeniului, și e cel mult una, pentru că $f$ e funcție; intersecțiile cu axa $Ox$ se obțin rezolvând $f(x)=0$ pe domeniu, soluțiile dând punctele $(x_1,0)$, $(x_2,0)$, …

La funcțiile raționale, $f(x)=0$ înseamnă numărătorul zero; la cele cu logaritm, $\ln u(x)=0$ înseamnă $u(x)=1$; la cele cu exponențială, $e^{u(x)}$ nu se anulează niciodată, deci intersecțiile cu $Ox$ vin doar din ceilalți factori.

Când ecuația $f(x)=0$ nu se rezolvă elementar, nu se insistă: semnul funcției se citește oricum din tabel. Iar dacă numărătorul nu are rădăcini reale — de pildă $x^2+x+1$, cu $\Delta =-3<0$ — se scrie direct că graficul nu taie axa $Ox$, informație puternică pentru desen.

3. Pasul 1c: paritatea și periodicitatea

O funcție $f$ cu domeniul simetric față de origine este pară dacă $f(-x)=f(x)$ pe tot domeniul și impară dacă $f(-x)=-f(x)$. Ai citit aceste simetrii pe grafic la clasa a IX-a, în lecția despre paritate, imparitate și simetrii ale graficului; acum devin unelte de economie.

• graficul unei funcții pare este simetric față de axa $Oy$;
• graficul unei funcții impare este simetric față de origine;
• graficul unei funcții periodice de perioadă $T$ se repetă din $T$ în $T$.

Economia e reală: la o funcție pară sau impară se face studiul numai pe $[0,+\infty )\cap D$, se desenează acea jumătate și se simetrizează; la una periodică se studiază un interval de lungime $T$ și se repetă desenul. Verificarea durează treizeci de secunde, deci se face înainte de a deriva.

Condiția preliminară: dacă domeniul nu este simetric față de origine, verificarea nici nu are rost. Cele mai multe funcții nu sunt niciuna dintre cele două — atunci se scrie o propoziție („funcția nu este nici pară, nici impară") și se merge la pasul 2.

4. Pasul 3 completat: asimptotele

Limitele la capete se calculau și anul trecut; noutatea e că ele primesc nume. Pasul 3 se dublează:

1. se calculează limitele la fiecare capăt al fiecărui interval din domeniu, exact ca la clasa a XI-a — ele merg în tabel, pe rândul lui $f$;
2. se aplică schema asimptotelor în patru pași din lecția despre asimptotele funcțiilor uzuale, iar rezultatul se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor.

Cele două liste se suprapun aproape complet, și tocmai de aceea se fac împreună: o limită laterală infinită într-un punct finit este o asimptotă verticală; o limită finită spre $\pm \infty$ este o asimptotă orizontală. Singurul calcul cu adevărat nou este cel al asimptotei oblice, care nu are corespondent în tabel și se face cu cei trei pași din lecția despre asimptota oblică — $m$, apoi $n$, apoi concluzia.

Rezultatul pasului 3 se scrie în două rânduri — „limitele la capete sunt …" și „asimptotele sunt dreptele …" — iar ambele intră în desen: primele ca poziții de plecare și de sosire ale ramurilor, celelalte ca linii punctate.

5. Cum se trasează efectiv graficul?

Pasul 9 este singurul pas complet nou și are cinci mișcări, în această ordine:

1. desenează reperul, cu scări convenabile pe cele două axe — nu trebuie să fie egale, dar trebuie scrise;
2. trasează asimptotele punctat și etichetează-le cu ecuațiile lor; ele sunt cadrul în care va încăpea curba;
3. marchează punctele din tabel: intersecțiile cu axele, punctele de extrem $(x_0,f(x_0))$ și punctele de inflexiune, fiecare cu coordonatele scrise;
4. unește punctele prin arce care respectă tabelul: pe fiecare interval, sensul dat de $\nearrow$ sau $\searrow$ și curbura dată de $\cup$ sau $\cap$; lângă o asimptotă, arcul se apropie fără să o atingă și fără să se depărteze din nou;
5. scrie sub grafic lista asimptotelor, ca răspuns final.

Regula de curbură e cea mai des încălcată: săgeata spune încotro, simbolul spune cum. Un arc crescător și convex ($\nearrow \cup$) pornește lin și se ridică tot mai abrupt; unul crescător și concav ($\nearrow \cap$) urcă repede și se aplatizează. Cele patru combinații dau „sferturile de curbă" din care se construiește orice grafic. Curba își schimbă curbura numai în punctele de inflexiune din tabel; oriunde altundeva, desenul e greșit.

6. Un studiu complet, pas cu pas

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-x+4}{x-1}$.

Pasul 1: $D=(-\infty ,1)\cup (1,+\infty )$. 1b: ecuația $x^2-x+4=0$ are $\Delta =-15<0$, deci graficul nu taie axa $Ox$; iar $f(0)=\frac{4}{-1}=-4$, deci taie axa $Oy$ în $(0,-4)$. 1c: domeniul nu este simetric față de origine, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

Pasul 2: funcție rațională, deci continuă și derivabilă pe tot domeniul.

Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$; în punctul exclus, $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x<1\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 1\\ x>1\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$. Asimptote: verticala $x=1$, bilaterală; iar din împărțirea $f(x)=x+\frac{4}{x-1}$, oblica $y=x$ spre ambele capete.

Pasul 4: $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1{)}^2-4}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}$, cu punctele critice $-1$ și $3$; numitorul fiind pozitiv, semnul îl dă produsul $(x-3)(x+1)$.

Pasul 5: $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{(x-1{)}^3}$, fără zerouri, deci fără puncte de inflexiune; semnul este cel al lui $(x-1{)}^3$.

Pasul 6: $f(-1)=-3$, $f(3)=5$, $f^{\prime \prime }(-1)=-1$, $f^{\prime \prime }(3)=1$. (Toate valorile și semnele au fost verificate numeric, inclusiv derivatele, prin comparație cu derivarea numerică.)

Pasul 7: trei puncte marcate în interiorul domeniului, deci $2\cdot 3+4=10$ coloane.

Pasul 8 — citirea tabelului: $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și pe $[3,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[-1,1)$ și pe $(1,3]$; are maximul local $f(-1)=-3$ și minimul local $f(3)=5$; este concavă pe $(-\infty ,1)$ și convexă pe $(1,+\infty )$, fără puncte de inflexiune. Imaginea funcției este $(-\infty ,-3]\cup [5,+\infty )$.

Pasul 9: desenăm punctat asimptotele $x=1$ și $y=x$, marcăm punctele $(-1,-3)$, $(3,5)$ și $(0,-4)$, apoi trasăm cele două ramuri: cea din stânga vine dinspre $-\infty$ pe sub oblică, urcă concav până la maximul $(-1,-3)$ și coboară la $-\infty$ lângă verticală; cea din dreapta coboară din $+\infty$, atinge minimul $(3,5)$ și crește convex spre oblică, pe deasupra.

7. Ce se schimbă la funcțiile pare?

Fie $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$, cu $D=\mathbb{R}\setminus \{-1,1\}$, domeniu simetric față de origine. Cum $f(-x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f(x)$, funcția este pară, deci graficul este simetric față de axa $Oy$ — și e de ajuns să o studiem pe $[0,+\infty )\setminus \{1\}$.

Intersecții: $x^2+1$ nu se anulează, deci graficul nu taie $Ox$; $f(0)=-1$, deci taie $Oy$ în $(0,-1)$. Asimptote: $y=1$ orizontală spre ambele capete (grade egale) și verticalele $x=\pm 1$, ambele bilaterale — e destul să calculăm limitele în $1$, simetria le dă pe celelalte.

Din $f(x)=1+\frac{2}{x^2-1}$ obținem $f^{\prime }(x)=-\frac{4x}{{\left(x^2-1\right)}^2}$, cu unicul punct critic $0$, și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{12x^2+4}{{\left(x^2-1\right)}^3}$, cu numărătorul mereu pozitiv. Deci pe $[0,1)$ funcția scade și e concavă, iar pe $(1,+\infty )$ scade și e convexă; $f(0)=-1$ e maxim local, $f^{\prime \prime }(0)=-4$, iar inflexiuni nu există, pentru că $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul doar în $\pm 1$, puncte din afara domeniului.

Desenăm jumătatea dreaptă și o oglindim față de $Oy$: iese o „boltă" concavă între $-1$ și $1$, cu vârful în $(0,-1)$ și capetele coborând spre $-\infty$, plus două ramuri exterioare care coboară din $+\infty$ spre orizontala $y=1$. (Paritatea, derivatele și limitele au fost verificate numeric.)

8. Care sunt cele patru controale finale?

Înainte de a preda desenul, treci prin patru întrebări. Ele prind aproape toate greșelile de trasare:

1. Câte ramuri am? Exact atâtea câte intervale are domeniul. O funcție definită pe $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ are două ramuri care nu se ating niciodată.
2. Trece curba prin toate punctele marcate? Fiecare extrem și fiecare inflexiune din tabel trebuie să apară în desen, cu coordonatele scrise.
3. Respectă fiecare arc și săgeata, și simbolul de convexitate? O curbă crescătoare desenată concav acolo unde tabelul cere $\cup$ este o greșeală, chiar dacă „arată bine".
4. Se apropie curba de fiecare asimptotă, fără să se îndepărteze la loc? Lângă o verticală curba merge aproape paralel cu ea; lângă o oblică, distanța scade continuu.

Un al cincilea control, recomandat de programă: verificarea cu un instrument digital, care nu ține loc de calcul, dar prinde imediat greșelile de semn. Detalierea pe familii de funcții urmează în lecțiile următoare, începând cu graficul funcțiilor polinomiale; toate folosesc această schemă și o citează prin numărul pasului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Pasul 1 completat, pe trei funcții

Determinați domeniul, intersecțiile cu axele și eventualele simetrii pentru: a) $f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$; b) $g(x)=\ln \left(x^2+1\right)$; c) $h(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x+2}$.

Rezolvare. a) $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, simetric față de origine. $f(x)=0⟺x=0$, iar $f(0)=0$: singura intersecție este originea. Cum $f(-x)=\frac{-x^3}{x^2-4}=-f(x)$, funcția este impară, deci graficul este simetric față de origine și e destul să fie studiat pe $[0,+\infty )\setminus \{2\}$.

b) $x^2+1>0$ pentru orice $x$, deci $D=\mathbb{R}$, simetric. Cum $\ln u=0⟺u=1$, ecuația $g(x)=0$ devine $x^2+1=1$, adică $x=0$; iar $g(0)=\ln 1=0$. Singura intersecție cu axele este originea. Cum $g(-x)=g(x)$, funcția este pară, cu graficul simetric față de $Oy$.

c) $D=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, care nu este simetric față de origine, deci funcția nu este nici pară, nici impară. Numărătorul se anulează pentru $x=-1$, rădăcină dublă, deci graficul atinge axa $Ox$ în $(-1,0)$ fără să o traverseze; iar $h(0)=\frac{1}{2}$, deci taie $Oy$ în $\left(0,\frac{1}{2}\right)$.

Exemplul 2 — Funcție pară: se studiază o jumătate

Reprezentați grafic funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-6x^2+8$.

Rezolvare. Pasul 1: $D=\mathbb{R}$. 1b: cu substituția $t=x^2$, ecuația $t^2-6t+8=0$ dă $t\in \{2,4\}$, deci $x\in \{-2,-\sqrt{2},\sqrt{2},2\}$; iar $f(0)=8$. 1c: $f(-x)=f(x)$, deci funcția este pară: o studiem pe $[0,+\infty )$ și simetrizăm.

Pașii 2 și 3: funcție polinomială, continuă și derivabilă pe $\mathbb{R}$; $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=+\infty$. Domeniul fiind $\mathbb{R}$ și funcția continuă, nu există asimptote verticale; iar $\frac{f(x)}{x}\to \pm \infty$, deci nici orizontale sau oblice: graficul nu are nicio asimptotă.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=4x^3-12x=4x\left(x^2-3\right)$, cu punctele critice $0$ și $\pm \sqrt{3}$; $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$, cu zerourile $\pm 1$. Pe jumătatea studiată: $f(0)=8$, $f(1)=3$, $f\left(\sqrt{3}\right)=-1$; $f^{\prime }(1)=-8$; $f^{\prime \prime }(0)=-12$, $f^{\prime \prime }\left(\sqrt{3}\right)=24$.

Pasul 7, pe $[0,+\infty )$, cu două puncte interioare marcate, deci $8$ coloane:

Pasul 8: pe $[0,+\infty )$, $f$ scade pe $\left[0,\sqrt{3}\right]$ și crește pe $\left[\sqrt{3},+\infty \right)$, cu maximul local $f(0)=8$ și minimul $f\left(\sqrt{3}\right)=-1$; este concavă pe $[0,1]$ și convexă după, cu inflexiunea $(1,3)$.

Pasul 9: desenăm jumătatea din dreapta și o oglindim față de $Oy$. Graficul complet are forma de „W" turtit: două minime egale, $f\left(\pm \sqrt{3}\right)=-1$, un maxim local $f(0)=8$, două inflexiuni simetrice în $\pm 1$ și patru intersecții cu $Ox$, în $\pm \sqrt{2}$ și $\pm 2$. Imaginea funcției este $[-1,+\infty )$.

Exemplul 3 — Funcție rațională cu asimptotă oblică

Studiați și reprezentați grafic funcția $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{x^{2}-3x+2}{x}$.*

Rezolvare. Pasul 1: $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$. 1b: $x^2-3x+2=0$ dă $x=1$ și $x=2$, deci graficul taie $Ox$ în $(1,0)$ și $(2,0)$; cum $0\notin D$, nu taie $Oy$. 1c: domeniul e simetric, dar $f(-x)=\frac{x^2+3x+2}{-x}\ne \pm f(x)$, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

Pasul 2: continuă și derivabilă pe $D$. Pasul 3: scriem $f(x)=x-3+\frac{2}{x}$. Atunci $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\pm \infty$, $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ și $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$. Asimptote: verticala $x=0$, bilaterală, și oblica $y=x-3$ spre ambele capete.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2-2}{x^2}$, cu punctele critice $\pm \sqrt{2}$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{4}{x^3}$, fără zerouri. Valorile: $f\left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}-3$, $f\left(\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}-3$, $f^{\prime \prime }\left(-\sqrt{2}\right)=-\sqrt{2}$, $f^{\prime \prime }\left(\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}$.

Pasul 7:

Pașii 8 și 9: maximul local este $-2\sqrt{2}-3\approx -5,83$, minimul local $2\sqrt{2}-3\approx -0,17$; funcția e concavă pe $(-\infty ,0)$ și convexă pe $(0,+\infty )$, fără inflexiuni. Ramura din stânga urcă concav de la $-\infty$ până la maxim, apoi coboară la $-\infty$ lângă $Oy$; cea din dreapta coboară din $+\infty$, taie $Ox$ în $1$, atinge minimul între $1$ și $2$, taie din nou $Ox$ în $2$ și crește convex spre oblică. (Valorile și semnele au fost verificate numeric.)

Exemplul 4 — Funcție cu radical: capete închise și semitangente verticale

Studiați funcția $f(x)=\sqrt{x^2-1}$ și descrieți graficul ei.

Rezolvare. Pasul 1: $x^2-1\ge 0$ dă $D=(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$; domeniul e simetric, iar $f(-x)=f(x)$, deci funcția este pară. Intersecții: $f(x)=0$ pentru $x=\pm 1$; $0\notin D$, deci nu taie $Oy$.

Pasul 2: funcția e continuă pe $D$, dar în capetele $\pm 1$ nu este derivabilă: $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, iar la dreapta lui $1$ această expresie tinde la $+\infty$. Graficul are acolo o semitangentă verticală — punctul $\pm 1$ nu este de întoarcere, pentru că funcția există doar de o parte.

Pasul 3: nu există asimptote verticale, capetele finite fiind închise și funcția definită acolo. Spre $+\infty$, $m=1$ și $n=\lim \left(\sqrt{x^2-1}-x\right)=0$, deci $y=x$; spre $-\infty$, prin simetrie, $y=-x$.

Pașii 4–6: pe $(1,+\infty )$ derivata $f^{\prime }$ este pozitivă, deci funcția crește; $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{\left(x^2-1\right)\sqrt{x^2-1}}<0$, deci funcția este concavă pe fiecare ramură. Nu există puncte critice interioare și nici inflexiuni.

Pasul 9: graficul este format din două arce concave, simetrice față de $Oy$, care pleacă din $(\pm 1,0)$ cu tangentă verticală și se apropie pe dedesubt de dreptele $y=-x$ și $y=x$. Este ramura superioară a unei hiperbole — curbă pe care o vei revedea în unitatea următoare.

Exemplul 5 — Funcție cu exponențială

Studiați variația și asimptotele funcției $f : \mathbb{R}^{} \to \mathbb{R}$,$f(x) = \dfrac{e^{x}}{x}$.*

Rezolvare. Pasul 1: $D=(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$; funcția nu are intersecții cu axele, pentru că $e^x>0$, și nu are simetrii.

Pasul 3: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=0$, deci $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$. În $0$: numărătorul tinde la $1$, numitorul la $0$ cu semn variabil, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală. Spre $+\infty$: $\frac{f(x)}{x}=\frac{e^x}{x^2}\to +\infty$, deci nicio asimptotă în acea direcție.

Pașii 4–6: $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$, cu unicul punct critic $x=1$ și $f(1)=e$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2-2x+2\right)}{x^3}$, cu numărătorul strict pozitiv ($\Delta =-4$), deci semnul îl dă $x^3$.

Pașii 8 și 9: pe $(-\infty ,0)$ funcția e negativă și descrescătoare, concavă, coborând la $-\infty$ lângă $Oy$; pe $(0,1]$ scade de la $+\infty$ la minimul $f(1)=e$, apoi crește convex spre $+\infty$, fără inflexiuni. Imaginea este $(-\infty ,0)\cup [e,+\infty )$. (Derivatele și semnele au fost verificate numeric.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x+2}$. (Subiectul al III-lea.) a) Determinați asimptotele graficului lui $f$. b) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$. c) Reprezentați grafic funcția și discutați, după valorile parametrului real $m$, numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$.

Rezolvare. a) Pasul 1: $D=(-\infty ,-2)\cup (-2,+\infty )$; numărătorul se anulează doar în $-1$, rădăcină dublă, deci graficul atinge $Ox$ în $(-1,0)$, iar $f(0)=\frac{1}{2}$. Pasul 3: observăm că $(x+1{)}^2=x(x+2)+1$, deci

$$f(x)=x+\frac{1}{x+2}.$$

În $-2$: numărătorul tinde la $1\ne 0$, deci limitele laterale sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar $x=-2$ este asimptotă verticală bilaterală. Spre ambele capete, $f(x)-x=\frac{1}{x+2}\to 0$, deci $y=x$ este asimptotă oblică spre $-\infty$ și spre $+\infty$.

b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, cu punctele critice $-3$ și $-1$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+2{)}^3}$, fără zerouri. Valorile: $f(-3)=-4$, $f(-1)=0$, $f^{\prime \prime }(-3)=-2$, $f^{\prime \prime }(-1)=2$.

c) Graficul are două ramuri. Pe $(-\infty ,-2)$ funcția urcă din $-\infty$ până la $-4$ și coboară înapoi la $-\infty$, deci imaginea acestei ramuri este $(-\infty ,-4]$. Pe $(-2,+\infty )$ coboară din $+\infty$ până la $0$ și crește apoi la $+\infty$, deci imaginea este $[0,+\infty )$; minimul atinge chiar axa $Ox$, în punctul $(-1,0)$ găsit la pasul 1b.

Intersectând graficul cu dreapta orizontală $y=m$ obținem:

(Verificat numeric: pentru valori ale lui $m$ din intervalul $(-4,0)$, ecuația nu are nicio soluție reală.)

Să exersăm

1. Determinați intersecțiile cu axele și paritatea pentru $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

2. Determinați intersecțiile cu axele și paritatea pentru $f(x)=x^4-5x^2+4$.

3. Enumerați cei nouă pași ai schemei și precizați, pentru fiecare, ce anume adaugă el desenului final.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă domeniul unei funcții nu este simetric față de origine, funcția nu poate fi nici pară, nici impară."

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții nu poate intersecta o asimptotă orizontală."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O funcție continuă pe $\mathbb{R}$ al cărei grafic nu are asimptote este neapărat polinomială."

7. Pentru funcția $f(x)=\frac{x^2-x+4}{x-1}$ din secțiunea 6, determinați imaginea și arătați că ecuația $f(x)=2$ nu are soluții reale.

8. Studiați complet funcția $f(x)=\frac{x+2}{x-2}$ și trasați-i graficul.

9. Determinați asimptotele și punctele de extrem ale funcției $f(x)=\frac{x^2+3}{x}$.

10. Studiați paritatea, asimptotele și monotonia funcției $f(x)=\frac{1}{x^2-4}$.

11. (Problemă aplicată.) Costul mediu de producție pentru $q>0$ unități este $\overline{C}(q)=\frac{q^2+100}{q}$ lei pe unitate. Determinați asimptotele graficului, cantitatea la care costul mediu este minim și valoarea acestui minim.

12. Pentru funcția $f(x)=x^4-6x^2+8$ din Exemplul 2, discutați numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$ după valorile lui $m$.

13. Arătați că funcția $f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$ este impară și determinați-i asimptotele.

14. Trasați graficul funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\ln x$, folosind schema în nouă pași.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x-2}$. Determinați asimptotele, alcătuiți tabelul de variație și precizați imaginea funcției.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru funcția $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x+2}$ din Exemplul 6, determinați ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $x_0=-1$ și explicați legătura ei cu minimul local.

17. Explicați, în două-trei propoziții, de ce paritatea se verifică la pasul 1 și nu după calculul derivatelor.

18. (Provocare.) Fie $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x-d}$, cu $a\ne 0$ și numărătorul nedivizibil prin $x-d$. Arătați că graficul are întotdeauna o asimptotă verticală și una oblică, că cele două se intersectează într-un punct al cărui abscisă este $d$, și că graficul este simetric față de acest punct de intersecție.

Răspunsuri și explicații

1. $D=\mathbb{R}$, simetric. $f(x)=0⟺x=0$, iar $f(0)=0$: singura intersecție este originea. $f(-x)=\frac{-x}{x^2+1}=-f(x)$, deci funcția este impară, cu graficul simetric față de origine.

2. $D=\mathbb{R}$. Cu $t=x^2$, ecuația $t^2-5t+4=0$ dă $t\in \{1,4\}$, deci $x\in \{-2,-1,1,2\}$: patru intersecții cu $Ox$; iar $f(0)=4$ dă $(0,4)$ pe $Oy$. Funcția e pară, conținând doar puteri pare.

3. (1) domeniul, plus intersecțiile și simetriile — ancorează curba în plan și poate înjumătăți lucrul; (2) continuitatea și derivabilitatea — spun unde apar colțuri sau semitangente verticale; (3) limitele la capete și asimptotele — dau cadrul desenului; (4) $f^{\prime }$ — dă sensul fiecărui arc; (5) $f^{\prime \prime }$ — dă curbura; (6) valorile — dau coordonatele punctelor marcate; (7) tabelul — adună totul; (8) citirea — traduce tabelul în propoziții; (9) trasarea — desenul propriu-zis.

4. Adevărat. Ambele definiții cer ca, odată cu $x$, și $-x$ să aparțină domeniului, pentru ca $f(-x)$ să aibă sens. Dacă domeniul nu e simetric, condiția nu poate fi verificată pe tot domeniul, deci funcția nu este nici pară, nici impară. Exemplu: $\frac{x^2+x+1}{x+1}$, definită peste tot în afară de $-1$.

5. Fals. Asimptota descrie comportarea la infinit, nu interzice intersecțiile la distanță finită: $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ are asimptota $y=0$ și o taie de o infinitate de ori, iar $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ o taie în origine.

6. Fals. Funcția $f(x)=\sin x$ e continuă pe $\mathbb{R}$ și nu are asimptote — nici verticale, fiind continuă, nici orizontale sau oblice, neavând limită la $\pm \infty$ — dar nu e polinomială.

7. Din tabelul din secțiunea 6, imaginea este $(-\infty ,-3]\cup [5,+\infty )$. Cum $2\notin \mathrm{Im}f$, ecuația $f(x)=2$ nu are soluții. Echivalent: $x^2-x+4=2(x-1)$ dă $x^2-3x+6=0$, cu $\Delta =-15<0$.

8. $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$; intersecții $(-2,0)$ și $(0,-1)$; fără simetrii. Din $f(x)=1+\frac{4}{x-2}$: asimptota verticală $x=2$ ($-\infty$ la stânga, $+\infty$ la dreapta) și cea orizontală $y=1$. Cum $f^{\prime }(x)=-\frac{4}{(x-2{)}^2}<0$, funcția e strict descrescătoare pe fiecare interval, fără extreme; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{(x-2{)}^3}$ o face concavă pe $(-\infty ,2)$ și convexă pe $(2,+\infty )$. Graficul e o hiperbolă cu centrul în $(2,1)$.

9. $D={\mathbb{R}}^{\ast }$; $f(x)=x+\frac{3}{x}$, deci $x=0$ este asimptotă verticală bilaterală și $y=x$ asimptotă oblică la ambele capete. $f^{\prime }(x)=1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}$, cu punctele critice $\pm \sqrt{3}$: maxim local $f(-\sqrt{3})=-2\sqrt{3}$ și minim local $f(\sqrt{3})=2\sqrt{3}$. Funcția este impară, deci graficul e simetric față de origine.

10. $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, simetric, iar $f(-x)=f(x)$: funcția este pară. Asimptote: $x=-2$ și $x=2$, ambele bilaterale, și $y=0$ orizontală la ambele capete. $f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$, deci $f$ crește pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(-2,0]$ și scade pe $[0,2)$ și pe $(2,+\infty )$, cu maximul local $f(0)=-\frac{1}{4}$.

11. $\overline{C}(q)=q+\frac{100}{q}$ pe $(0,+\infty )$: la dreapta lui $0$ limita e $+\infty$, deci $q=0$ e asimptotă verticală la dreapta, iar $\overline{C}(q)-q\to 0$, deci $y=q$ e asimptotă oblică. Cum ${\overline{C}}^{\prime }(q)=1-\frac{100}{q^2}$ se anulează în $q=10$, cu semnul $-$ înainte și $+$ după, costul mediu minim este $\overline{C}(10)=20$ lei pe unitate.

12. Din tabel, minimul global este $-1$, atins în $\pm \sqrt{3}$, iar maximul local este $8$, atins în $0$; limitele la capete sunt $+\infty$. Deci: pentru $m<-1$, nicio soluție; pentru $m=-1$, două soluții ($x=\pm \sqrt{3}$); pentru $-1<m<8$, patru soluții; pentru $m=8$, trei soluții ($0$ și $\pm \sqrt{6}$); pentru $m>8$, două soluții.

13. $D=\mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$, simetric, și $f(-x)=\frac{-x^3}{x^2-4}=-f(x)$: funcția e impară. Asimptote verticale: $x=-2$ și $x=2$, ambele bilaterale (numărătorul nu se anulează acolo). Gradele diferă cu $1$, deci există oblică: $\frac{x^3}{x^2-4}=x+\frac{4x}{x^2-4}$, iar restul tinde la $0$, deci $y=x$ este asimptotă oblică la ambele capete.

14. $D=(0,+\infty )$; $f(x)=0⟺x=\ln x$, ecuație fără soluții, deci graficul nu taie $Ox$; nu taie nici $Oy$, pentru că $0\notin D$. Asimptote: $x=0$ verticală la dreapta; spre $+\infty$ nu există nicio asimptotă, cum s-a arătat în lecția precedentă. $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$, cu minimul global $f(1)=1$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$, deci funcția e convexă pe tot domeniul, fără inflexiuni. Graficul coboară din $+\infty$ până la punctul $(1,1)$ și urcă apoi convex spre $+\infty$, având imaginea $[1,+\infty )$.

15. $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$; $f(x)=x+2+\frac{4}{x-2}$, deci $x=2$ este asimptotă verticală bilaterală ($-\infty$ la stânga, $+\infty$ la dreapta) și $y=x+2$ asimptotă oblică. $f^{\prime }(x)=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$, cu punctele critice $0$ și $4$; $f^{\prime \prime }(x)=\frac{8}{(x-2{)}^3}$, fără zerouri. Valorile: $f(0)=0$ (maxim local), $f(4)=8$ (minim local).

Imaginea funcției este $(-\infty ,0]\cup [8,+\infty )$.

16. $f^{\prime }(x)=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$, deci $f^{\prime }(-1)=0$ și $f(-1)=0$. Tangenta are ecuația $y-f(-1)=f^{\prime }(-1)(x-(-1))$, adică $y=0$: este orizontală și coincide cu axa $Ox$ — exact ce spune teorema lui Fermat într-un punct de extrem interior în care funcția e derivabilă.

17. Pentru că paritatea, dacă există, înjumătățește tot ce urmează: derivatele, semnele, tabelul și desenul se fac numai pe $[0,+\infty )$, restul obținându-se prin simetrie. Verificată la sfârșit, informația nu mai economisește nimic — iar verificarea ei ia o singură linie, direct din formulă.

18. Numitorul se anulează doar în $d$, iar numărătorul nu, deci limitele laterale sunt infinite: $x=d$ e asimptotă verticală. Gradele diferă cu $1$, deci împărțirea dă $f(x)=\alpha x+\beta +\frac{r}{x-d}$ cu $r\ne 0$, adică oblica $y=\alpha x+\beta$; cele două drepte se taie în $C(d,\alpha d+\beta )$. Cu $u=x-d$, funcția $g(u)=f(d+u)-(\alpha d+\beta )=\alpha u+\frac{r}{u}$ este impară, deci graficul ei e simetric față de origine, iar cel al lui $f$ față de $C$.

De reținut

• Schema de studiu are nouă pași: cei opt de la clasa a XI-a, cu intersecțiile și simetriile adăugate la pasul 1 și asimptotele adăugate la pasul 3, plus pasul 9, trasarea graficului.
• Intersecțiile cu axele se determină rezolvând $f(x)=0$ pentru axa $Ox$ și calculând $f(0)$ pentru axa $Oy$; ele ancorează curba în plan, iar absența lor este ea însăși o informație utilă pentru desen.
• Paritatea sau imparitatea se verifică înainte de a deriva, pentru că înjumătățește studiul: se lucrează pe $[0,+\infty )$ și se simetrizează, față de axa $Oy$ la funcțiile pare și față de origine la cele impare.
• La trasare, săgeata spune încotro merge curba, iar simbolul $\cup$ sau $\cap$ spune cum se curbează; asimptotele se desenează punctat înaintea curbei, iar punctele marcate se trec cu coordonatele lor.
• Un grafic terminat trece patru controale: numărul ramurilor egal cu numărul intervalelor din domeniu, prezența tuturor punctelor marcate, respectarea săgeților și a curburii, apropierea de fiecare asimptotă fără îndepărtare ulterioară.

Greșeli frecvente

• Sari peste pasul 1b sau 1c. Fără intersecțiile cu axele, curba desenată poate fi corectă ca formă, dar așezată greșit în plan; fără verificarea parității, faci de două ori un calcul care se putea face o dată.
• Desenezi curba care taie asimptota verticală. Ea desparte două ramuri care nu se ating niciodată, iar unirea lor printr-o linie continuă este cea mai vizibilă greșeală posibilă. La asimptota orizontală sau oblică, în schimb, intersecția la distanță finită e perfect posibilă.
• Ignori simbolurile de convexitate la trasare. Multe grafice au forma generală corectă, dar arcele curbate invers față de ce cere rândul $f^{\prime \prime }$. Punctele de inflexiune sunt singurele locuri în care curbura are voie să se schimbe.
• Confunzi punctul cu valoarea la marcarea extremelor. Punctul de maxim e $x_0$, iar punctul marcat pe grafic e perechea $(x_0,f(x_0))$: pe desen se scrie perechea, în tabel se marchează abscisa.
• Trasezi graficul înainte de a termina tabelul. Pasul 9 este ultimul tocmai pentru că folosește tot ce s-a calculat înainte; un desen făcut „din intuiție" și completat apoi cu calcule este cea mai sigură cale spre un grafic care contrazice propriul tabel.

Aplică acasă

1. Fișa celor nouă pași. Scrie schema pe o pagină, cu cei opt pași vechi într-o coloană și cele trei completări cu altă culoare. Rezolvă apoi trei funcții bifând pașii și notează care a ieșit gol: la polinomiale pasul 3 e sărac, la raționale e cel mai bogat.

2. Tabelul și desenul, separat. Alcătuiește tabelul de variație al unei funcții raționale, apoi acoperă formula și desenează graficul numai din tabel; compară la final cu un instrument digital.

3. Vânătoarea de simetrii. Găsește cinci funcții pare și cinci impare în culegere și scrie, pentru fiecare, cât din lucru ai economisit prin simetrie; adaugă una care pare simetrică, dar nu este.

Pentru părinți și profesori

Lecția este nodul unității: transformă tabelul de variație, construit la clasa a XI-a, în reprezentare grafică — pasul cu care se încheie analiza la specializarea matematică-informatică. Programa o cere prin competența XII.CS.4.4, cu trei activități — organizarea informațiilor în tabel, reprezentarea grafică a asimptotelor și folosirea lor împreună pentru desen — iar sugestiile metodologice adaugă stimularea gândirii algoritmice „prin parcurgerea ordonată a pașilor".

Alegerea didactică importantă: schema nu se rescrie, ci se completează. Elevul care a învățat cei opt pași anul trecut nu memorează o listă nouă, ci trei adăugiri la una veche; numele reținut este „schema în nouă pași".

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a celor nouă pași, în ordine; (2) determinarea intersecțiilor cu axele și verificarea simetriilor la primul pas; (3) așezarea corectă a asimptotelor în pasul 3, cu ecuațiile lor scrise; (4) construcția tabelului în formatul canonic, inclusiv bara la punctul exclus și cele două limite laterale pe rândul funcției; (5) trasarea unui grafic care respectă atât săgețile, cât și simbolurile de convexitate.

Întrebări bune de control: „Câte ramuri are graficul și de ce?", „Unde taie curba axele?", „Este funcția pară? Cum ai verificat?", „Se apropie curba de asimptotă la ambele capete?". Semn că elevul a înțeles: începe orice reprezentare desenând întâi asimptotele punctat, și abia apoi curba.

La BAC M1 desenul nu se evaluează ca atare, dar toate elementele lui — asimptote, monotonie, extreme, imaginea funcției, numărul soluțiilor unei ecuații — se cer, aproape întotdeauna în Subiectul al III-lea, iar schema le dă pe toate fără reluarea calculelor.

Întrebări frecvente

Care sunt pașii reprezentării grafice a unei funcții? Nouă, în ordine: domeniul, cu intersecțiile cu axele și simetriile; continuitatea și derivabilitatea; limitele la capete și asimptotele; derivata întâi, cu puncte critice și semn; derivata a doua, cu zerouri și semn; valorile în punctele marcate; tabelul de variație complet; citirea tabelului; trasarea graficului. Primii opt sunt cei de la clasa a XI-a, completați.

Cum se trasează graficul unei funcții pornind de la tabelul de variație? Se desenează întâi reperul și asimptotele, punctat, cu ecuațiile scrise. Se marchează apoi punctele din tabel: intersecțiile cu axele, extremele și inflexiunile. La final se unesc punctele prin arce care respectă, pe fiecare interval, sensul dat de săgeată și curbura dată de simbolul de convexitate, apropiindu-se de asimptote fără să le atingă.

De ce se verifică paritatea la începutul studiului? Pentru că, dacă funcția este pară sau impară, tot studiul se face numai pe jumătatea pozitivă a domeniului, iar cealaltă jumătate se obține prin simetrie: față de axa $Oy$ la funcțiile pare, față de origine la cele impare. Verificarea durează câteva secunde și poate înjumătăți calculul derivatelor, al semnelor și al tabelului.

Poate graficul să intersecteze o asimptotă? O asimptotă verticală, niciodată, pentru că funcția nici nu e definită acolo. Una orizontală sau oblică, da: asimptota descrie comportarea la infinit și nu interzice intersecțiile la distanță finită. Exemplul standard este $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$, cu asimptota $y=0$, pe care o taie chiar în origine.

Cum se determină intersecțiile graficului cu axele? Pentru axa $Ox$ se rezolvă ecuația $f(x)=0$ pe domeniul funcției; la funcțiile raționale aceasta înseamnă anularea numărătorului. Pentru axa $Oy$ se calculează $f(0)$, dacă $0$ aparține domeniului; există cel mult un astfel de punct. Dacă ecuația nu are soluții reale, se scrie explicit că graficul nu taie axa $Ox$.

Ce se scrie în tabel la un punct care nu aparține domeniului? Punctul primește o coloană proprie, cu bara $|$ pe rândurile lui $f^{\prime }$ și $f^{\prime \prime }$, iar pe rândul lui $f$ cele două limite laterale despărțite de aceeași bară. Se face un singur tabel, nu două; celulele derivatelor rămân goale numai la $\pm \infty$, care nu sunt puncte ale axei.

La ce folosește derivata a doua în trasarea graficului? Ea dă curbura fiecărui arc: unde $f^{\prime \prime }$ e pozitivă funcția e convexă, adică „ține apa", iar unde e negativă e concavă, adică „varsă apa". Punctele în care $f^{\prime \prime }$ își schimbă semnul sunt punctele de inflexiune, singurele locuri în care curba are voie să-și schimbe sensul de curbare.