Schimbarea de variabilă: pe scurt

Formula schimbării de variabilă este $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$, iar $u$ este derivabilă pe intervalul $I$ și ia valori în intervalul $J$ pe care lucrează $f$. Demonstrația are un singur pas esențial: $(F\circ u{)}^{\prime }=(F^{\prime }\circ u)\cdot u^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$ — regula de derivare a funcțiilor compuse, citită de la dreapta la stânga.

Cei trei pași: identifici $u$ și $u^{\prime }$ în integrand; calculezi o primitivă $F$ a funcției din exterior; revii la $x$, înlocuind $t$ cu $u(x)$. Notația de lucru $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$ este permisă în rezolvări, dar revenirea la variabila $x$ este obligatorie: un răspuns care mai conține litera $t$, absentă din enunț, nu este un răspuns.

Tiparul cerut este $f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$, cu $u^{\prime }$ prezent ca factor. Dacă lipsește doar o constantă, ea se fabrică prin liniaritate; dacă lipsește o funcție, metoda nu se aplică: din $\int e^{x^2}dx$ nu se obține $\frac{e^{x^2}}{2x}$, pentru că numai constantele ies din integrală. Rezultatul se scrie pe fiecare interval separat și se verifică întotdeauna prin derivare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe intervalul $(0,+\infty )$, $\int \frac{6x^2}{x^3+8}dx$ este egală cu:

   • a) $6\ln \left|x^3+8\right|+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{2x^3}{x^3+8}+\mathcal{C}$
   • c) $\ln \left|x^3+8\right|+\mathcal{C}$
   • d) $2\ln \left|x^3+8\right|+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $2\ln \left|x^3+8\right|+\mathcal{C}$

   Cu $u(x)=x^3+8$ avem $u^{\prime }(x)=3x^2$, iar $6x^2=2u^{\prime }(x)$, deci integrala este $2\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=2\ln |u|+\mathcal{C}$. Verificare: ${\left(2\ln |x^3+8|\right)}^{\prime }=\frac{6x^2}{x^3+8}$.

2. Care afirmație despre $\int e^{x^2}dx$ este corectă?

   • a) schimbarea de variabilă nu se aplică, pentru că lipsește factorul $2x$, iar el nu este constant
   • b) este egală cu $e^{x^2}+\mathcal{C}$
   • c) este egală cu $2x{e}^{x^2}+\mathcal{C}$
   • d) este egală cu $\frac{e^{x^2}}{2x}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) schimbarea de variabilă nu se aplică, pentru că lipsește factorul $2x$, iar el nu este constant

   Tiparul $f(u(x))u^{\prime }(x)$ cere factorul $u^{\prime }(x)=2x$ în integrand. O constantă lipsă se fabrică prin liniaritate, o funcție lipsă nu: $\frac{1}{2x}$ nu poate fi scos din integrală. Controlul: ${\left(\frac{e^{x^2}}{2x}\right)}^{\prime }\ne e^{x^2}$, pentru că apare și derivata numitorului.

3. După ce ai calculat $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx$ și ai obținut $F(t)$ cu $t=u(x)$, mai trebuie:

   • a) schimbat și constanta $\mathcal{C}$
   • b) nimic: rezultatul poate rămâne scris în $t$
   • c) înlocuit $t$ cu $u(x)$, ca să obții o funcție de $x$
   • d) derivat rezultatul, ca să revii la $x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) înlocuit $t$ cu $u(x)$, ca să obții o funcție de $x$

   Litera $t$ este doar o variabilă de lucru, absentă din enunț: la integrala nedefinită revenirea la $x$ este obligatorie, iar formula finală este $F(u(x))+\mathcal{C}$. (Abia la integrala definită revenirea dispare, fiind înlocuită de schimbarea limitelor.)