Schimbarea de variabilă: formula și justificarea ei

Ai în față integrala $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx$. Nu e niciun rând din tabelul primitivelor, liniaritatea nu o desface în bucăți cunoscute, iar integrarea prin părți o complică în loc să o simplifice. Și totuși răspunsul se vede într-o secundă, cu condiția să privești expresia nu ca pe o funcție de integrat, ci ca pe o derivată deja calculată: cine a derivat vreodată $\sin \left(x^2\right)$ știe că iese exact $2x\cos \left(x^2\right)$. Metoda care transformă această privire într-o regulă cu enunț și demonstrație se numește schimbare de variabilă și este, la clasa a 12-a, a doua mare metodă de integrare, după integrarea prin părți.

Ideea din spatele ei merită spusă o dată, limpede, pentru că organizează tot capitolul: fiecare regulă de derivare, citită de la dreapta la stânga, devine o metodă de integrare. Regula sumei citită invers dă liniaritatea integralei nedefinite. Regula produsului citită invers dă formula de integrare prin părți. Iar regula de derivare a funcțiilor compuse, citită invers, dă exact formula acestei lecții. Aici o enunțăm, o demonstrăm și o aplicăm pe cazuri în care funcția din interior se vede cu ochiul liber; recunoașterea ei în situații ascunse și lista substituțiilor care se cer la examen sunt subiectul lecției următoare.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți formula $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$ cu toate ipotezele ei.
• Vei ști să o demonstrezi pornind de la $(F\circ u{)}^{\prime }=(F^{\prime }\circ u)u^{\prime }$, în trei rânduri.
• Vei ști să aplici cei trei pași ai schimbării de variabilă pe integrale în care $u$ și $u^{\prime }$ se văd direct.
• Vei ști să folosești notația de lucru $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$ și să revii obligatoriu la variabila $x$.
• Vei ști să repari, cu liniaritatea, cazul în care din integrand lipsește doar o constantă.
• Vei ști să verifici orice rezultat prin derivare, în câteva secunde.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este schimbarea de variabilă?

Schimbarea de variabilă este metoda de calcul al primitivelor care recunoaște, în funcția de integrat, produsul dintre o funcție compusă și derivata funcției din interior: dacă integrandul se scrie sub forma $f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$, atunci o primitivă a lui se obține compunând o primitivă a lui $f$ cu funcția $u$, fără niciun calcul suplimentar.

Ca să vezi de unde vine, pornește de la o derivare pe care o știi. Din derivarea funcțiilor compuse, pentru $F(t)=\sin t$ și $u(x)=x^2$ ai $$(\sin \left(x^2\right){)}^{\prime }=\cos \left(x^2\right)\cdot 2x.$$ Egalitatea aceasta, citită de la stânga la dreapta, e o derivare. Citită de la dreapta la stânga, ea spune că funcția $2x\cos \left(x^2\right)$ admite primitiva $\sin \left(x^2\right)$, adică rezolvă integrala din deschiderea lecției. Nu s-a întâmplat nimic magic: singurul lucru nou e direcția în care privim.

Tabelul de mai jos strânge cele trei citiri inverse care alcătuiesc tot arsenalul de calcul al capitolului:

2. Cum se demonstrează formula schimbării de variabilă?

Trecem de la exemplu la enunțul general. Reține că se lucrează, ca peste tot în acest capitol, pe intervale.

Teoremă (formula schimbării de variabilă). Fie $I$ și $J$ intervale de numere reale, $u:I\to J$ o funcție derivabilă și $f:J\to \mathbb{R}$ o funcție care admite primitive pe $J$, cu $F$ o primitivă a sa. Atunci funcția $x\mapsto f(u(x))u^{\prime }(x)$ admite primitive pe $I$ și $$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}.$$

Demonstrație. Din definiția primitivei, $F$ este derivabilă pe $J$ și $F^{\prime }(t)=f(t)$ pentru orice $t\in J$. Cum $u$ este derivabilă pe $I$ și ia valori în $J$, compunerea $F\circ u$ este derivabilă pe $I$, iar regula de derivare a funcțiilor compuse dă, pentru orice $x\in I$, $$(F\circ u{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)=f(u(x))\cdot u^{\prime }(x).$$ Așadar $F\circ u$ este o funcție derivabilă pe $I$ a cărei derivată este chiar funcția de integrat: prin definiție, $F\circ u$ este o primitivă a ei pe $I$. Cum $I$ este interval, orice altă primitivă diferă de aceasta printr-o constantă, ceea ce se scrie compact $F(u(x))+\mathcal{C}$. $■$

Toată demonstrația are trei rânduri, iar cheia e un singur pas: $F^{\prime }(u(x))$ se înlocuiește cu $f(u(x))$, pentru că $F^{\prime }=f$ pe tot intervalul $J$, deci și în punctul $u(x)$, oricare ar fi $x\in I$. Aici lucrează, fără să se vadă, ipoteza că $u$ ia valori în $J$: dacă $u(x)$ ar ieși din domeniul lui $f$, egalitatea $F^{\prime }(u(x))=f(u(x))$ nu ar mai avea sens.

Merită subliniat ce nu spune teorema. Ea nu spune că orice integrală se calculează cu o substituție potrivită și nu garantează că, odată aleasă o funcție $u$, integrandul se va rescrie sub forma cerută. Ea spune doar: dacă recunoști tiparul $f(u(x))u^{\prime }(x)$, atunci rezultatul este $F(u(x))+\mathcal{C}$. Recunoașterea rămâne în sarcina ta, iar ea este partea grea a metodei.

O întrebare firească, pe care o pun mulți elevi: de ce enunțul cere ca $f$ să admită primitive pe $J$, și nu doar să fie definită acolo? Pentru că fără o primitivă $F$ a lui $f$ nu ai ce compune cu $u$ — formula ar rămâne fără membru drept. În exercițiile obișnuite ipoteza e îndeplinită automat: funcția din exterior este una dintre funcțiile continue din tabelul primitivelor, iar orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo. De aceea, în rezolvări, verificarea ipotezei se reduce la o propoziție scurtă: „$f$ este continuă pe $J$, deci admite primitive".

Al doilea lucru de observat este că teorema produce o primitivă, nu toate primitivele deodată. Ea garantează că $F\circ u$ este o primitivă pe $I$; faptul că adăugând constante le obții pe toate vine din altă parte, din Consecința 1 a teoremei lui Lagrange (clasa a XI-a), care spune că două funcții cu aceeași derivată pe un interval diferă printr-o constantă. Distincția aceasta a fost fixată la noțiunea de primitivă și se vede cel mai bine când domeniul se rupe în mai multe intervale, situație pe care o discutăm în subsecțiunea 6.

3. Cei trei pași ai schimbării de variabilă

Rezolvarea se scrie mereu la fel. Numim această procedură cei trei pași ai schimbării de variabilă; lecțiile și testele care urmează o citează prin numărul pasului. Numele e construit în paralel cu cei trei pași ai integrării prin părți, fixați la lecția anterioară a metodei, dar cele două proceduri sunt distincte și nu se citează una în locul celeilalte; de asemenea, ele nu au nicio legătură cu Etapele 1–3 de prelucrare algebrică și liniaritate fixate la integrala nedefinită, care rămân primul lucru de încercat la orice integrală.

1. Numești funcția din interior: scrii $u(x)=\dots$, calculezi $u^{\prime }(x)$ și verifici că integrandul este chiar $f(u(x))u^{\prime }(x)$, adică identifici și funcția $f$ din exterior.
2. Calculezi o primitivă a lui $f$, din tabelul primitivelor funcțiilor uzuale: $\int f(t)dt=F(t)+\mathcal{C}$.
3. Revii la $x$: în $F$ pui $u(x)$ în locul lui $t$ și scrii răspunsul $F(u(x))+\mathcal{C}$, precizând intervalul.

Model. Pentru $\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$: pasul 1 dă $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, iar exteriorul e $f(t)=t^3$; pasul 2 dă $\int t^{3}dt=\frac{t^4}{4}+\mathcal{C}$; pasul 3 dă $$\int 2x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx=\frac{{\left(x^2+1\right)}^4}{4}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$

Al doilea model. Pentru $\int \frac{3x^2}{x^3+5}dx$, pe un interval pe care $x^3+5\ne 0$: pasul 1 dă $u(x)=x^3+5$, $u^{\prime }(x)=3x^2$ și $f(t)=\frac{1}{t}$; pasul 2 dă $\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+\mathcal{C}$; pasul 3 dă $\ln \left|x^3+5\right|+\mathcal{C}$. Observă că pasul 1 a făcut, de fapt, toată munca: odată ce ai văzut că numărătorul este derivata numitorului, restul e o simplă citire din tabel.

Pasul cel mai des sărit este al treilea. O rezolvare care se oprește la $\frac{t^4}{4}$ nu răspunde la întrebarea pusă: enunțul cerea o funcție de $x$, iar $t$ nu există în enunț. La examen, o astfel de rezolvare pierde punctele de finalizare, chiar dacă tot raționamentul dinainte e corect.

Al doilea pas ca frecvență a greșelilor este primul, dar din alt motiv: se alege drept $u$ o expresie a cărei derivată nu apare în integrand. Nimic nu te oprește, formal, să iei $u(x)=x^2$ în integrala $\int x^3\cos \left(x^2\right)dx$; dar atunci trebuie să poți scrie tot ce a rămas — aici $x^3$ — ca produs dintre $u^{\prime }(x)=2x$ și o funcție de $u$, ceea ce se poate: $x^3=\frac{1}{2}\cdot 2x\cdot x^2$, deci $f(t)=\frac{t}{2}\cos t$. Alegerea e legitimă, dar integrala rămasă cere integrare prin părți. Morala: primul pas nu doar identifică $u$, ci verifică dacă restul integrandului se exprimă prin $u$ — dacă nu se exprimă, substituția aleasă e greșită.

4. Notația de lucru $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$

În practică nimeni nu scrie de fiecare dată „identific $f$ și $u$". Se folosește o notație prescurtată, pe care o fixăm acum și pe care o vei regăsi în toate baremele:

$$t=u(x),dt=u^{\prime }(x)dx⟹\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+\mathcal{C}=F(u(x))+\mathcal{C}.$$

Trei precizări, ca să o folosești corect și fără superstiții.

Ce este $dt=u^{\prime }(x)dx$. Este o convenție de scriere, nu o egalitate între obiecte definite separat. Simbolul $dx$ nu are, la nivelul acestui curs, un înțeles de sine stătător: el marchează variabila în raport cu care integrăm. Regula „înlocuiesc $u^{\prime }(x)dx$ cu $dt$" e o prescurtare a raționamentului din demonstrația de mai sus, iar demonstrația e cea care o legitimează. Dacă cineva îți cere justificarea, arăți teorema, nu manipularea cu $dx$.

Revenirea la $x$ este obligatorie. Variabila $t$ e o unealtă de lucru care dispare la final. Aceasta e deosebirea esențială față de ce vei face la integrala definită, unde substituția schimbă și limitele de integrare, iar revenirea nu mai e necesară — dar acolo, spre deosebire de aici, rezultatul e un număr, nu o funcție.

Litera $t$ e fixată prin convenție. Folosim $t$ pentru variabila auxiliară, ca să nu se ciocnească nici cu $x$, nici cu $u$. Când integrandul conține deja litera $t$ (de pildă la o mărime care depinde de timp), variabila auxiliară se notează $s$ și se spune explicit.

Iată cum arată, scrisă complet, o rezolvare cu această notație — formatul pe care ți-l cere baremul:

$$\int \frac{\ln x}{x}dx\stackrel{t=\ln x}{=}\int tdt=\frac{t^2}{2}+\mathcal{C}=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

Trei elemente sunt obligatorii în această scriere: substituția anunțată (deasupra egalului sau pe un rând separat, cu $dt=u^{\prime }(x)dx$), integrala în $t$ efectiv calculată și revenirea, urmată de intervalul pe care e valabil rezultatul. Dacă lipsește oricare dintre ele, rezolvarea e incompletă — nu greșită, dar incompletă, iar la examen deosebirea se măsoară în puncte.

5. Ce faci când lipsește doar o constantă?

Se întâmplă des ca integrandul să fie aproape de tiparul cerut: are $u$ înăuntru, dar în loc de $u^{\prime }$ apare un multiplu al lui. Atunci nu e nevoie de nimic nou — liniaritatea integralei nedefinite repară situația. Pentru $\int x\cos \left(x^2\right)dx$, interiorul $u(x)=x^2$ are $u^{\prime }(x)=2x$, iar în integrand stă doar $x$, adică jumătate din cât trebuie. Scoatem factorul lipsă în față: $$\int x\cos \left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\int 2x\cos \left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\sin \left(x^2\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Tot aici se închide o promisiune rămasă deschisă la alegerea părților la integrarea prin părți: integrala $\int x{e}^{x^2}dx$, dată acolo ca exemplu de produs la care metoda părților nu duce nicăieri, se rezolvă acum în două rânduri, cu $u(x)=x^2$ și factorul de reparat $\frac{1}{2}$, și are rezultatul $\frac{e^{x^2}}{2}+\mathcal{C}$.

Regula, pe scurt: o constantă lipsă se fabrică, pentru că se poate înmulți și împărți cu ea. O funcție lipsă nu se fabrică. Din $\int e^{x^2}dx$ nu se poate „scoate în față" un $\frac{1}{2x}$, pentru că factorii care depind de $x$ nu ies din integrală; de altfel, funcția $e^{x^2}$ este continuă pe $\mathbb{R}$, deci admite primitive, dar niciuna dintre ele nu se scrie cu funcțiile uzuale — de aceea o astfel de cerință nu apare niciodată în subiectele de Bacalaureat M1.

Confuzia dintre cele două situații este cea mai costisitoare greșeală a capitolului, pentru că duce la un rezultat care arată plauzibil. Controlul e mereu același: derivezi ce ai obținut și compari cu integrandul de la care ai plecat.

6. Intervalul: unde are voie să existe rezultatul

Teorema cere ca $u$ să fie derivabilă pe intervalul $I$ și să ia valori în intervalul $J$ pe care lucrează $f$. În exercițiile obișnuite prima condiție e îndeplinită automat (funcțiile din interior sunt polinoame, exponențiale, logaritmi), dar a doua trebuie citită de fiecare dată, pentru că ea decide pe ce interval e valabil răspunsul.

Ia $\int \frac{2x}{x^2-1}dx$, cu $u(x)=x^2-1$ și $f(t)=\frac{1}{t}$. Funcția $f$ e definită pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$ — două intervale, nu unul. Prin urmare $u$ nu are voie să se anuleze, deci $x\ne \pm 1$, iar calculul se face separat pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-1)$, $(-1,1)$ și $(1,+\infty )$. Pe fiecare dintre ele, $$\int \frac{2x}{x^2-1}dx=\ln \left|x^2-1\right|+\mathcal{C}.$$ Formula arată la fel pe toate trei, dar constantele pot fi diferite: „două primitive diferă printr-o constantă" este un enunț valabil pe un interval, nu pe o reuniune de intervale. Când funcția din interior nu se anulează, precizarea e mai simplă: pentru $\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right)+\mathcal{C}$ intervalul este tot $\mathbb{R}$, iar modulul se poate scoate, pentru că $x^2+1>0$ oriunde.

Regula practică de redactare, pe care merită să o transformi în reflex: înainte de a scrie răspunsul, întreabă-te unde se strică ceva. Se anulează un numitor? Devine negativ un argument de logaritm sau de radical? Iese $u(x)$ din intervalul pe care lucrează funcția din exterior? Dacă răspunsul e „nicăieri", scrii un singur interval și treci mai departe; dacă nu, tai domeniul în intervalele rămase și spui că formula e valabilă pe fiecare dintre ele. Acest reflex costă un rând și te scutește de cea mai frecventă observație din barem la Subiectul al III-lea.

Un caz în care valorile lui $u$ contează cu adevărat: $\int \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}dx$. Aici $u(x)=\sin x$, iar exteriorul $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$ e definit doar pe $(0,+\infty )$. Prin urmare intervalul de lucru trebuie ales astfel încât $\sin x>0$ — de pildă $(0,\pi )$ —, iar acolo rezultatul este $2\sqrt{\sin x}+\mathcal{C}$. Pe un interval pe care sinusul e negativ, integrandul nici nu are sens.

7. Cum verifici că rezultatul e corect?

Spre deosebire de aproape orice altă parte a matematicii de liceu, la primitive verificarea este completă și rapidă: derivezi răspunsul și trebuie să obții integrandul. Nu e o estimare, nu e o potriveală — e chiar definiția primitivei.

Pentru rezultatul de la subsecțiunea 5, $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}$, ai $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}\cdot 2x=x{e}^{x^2}$, adică exact integrandul. Verificarea a durat cinci secunde și a folosit tot regula de derivare a funcțiilor compuse.

Un al doilea control, util când răspunsul e lung: verificarea numerică. Alegi trei puncte din interiorul intervalului, departe de capete și de eventualii poli, și compari $\frac{F(x_0+h)-F(x_0-h)}{2h}$, pentru $h$ mic, cu valoarea integrandului în $x_0$. Toate primitivele scrise în această lecție au fost verificate exact așa, în câte trei puncte. Controlul numeric prinde greșelile, dar nu ține loc de raționament: la examen se punctează derivarea, nu potrivirea zecimalelor.

8. Cum alegi între schimbarea de variabilă și integrarea prin părți?

Ai acum două metode și, de la lecția aceasta înainte, va trebui să hotărăști de fiecare dată pe care o folosești. Criteriul de alegere e simplu și se sprijină pe forma integrandului.

Schimbarea de variabilă se alege când integrandul este un produs în care unul dintre factori este derivata a ceva ce se află înăuntrul celuilalt. Semnalele care o trădează: o paranteză ridicată la o putere, cu derivata parantezei alături ($2x$ lângă $x^2+1$); un logaritm cu $\frac{1}{x}$ alături; o exponențială cu derivata exponentului alături; un $\cos x$ lângă o expresie în $\sin x$.

Integrarea prin părți se alege când integrandul este un produs de funcții fără nicio legătură de derivare între ele — un polinom înmulțit cu $e^x$, cu $\sin x$ sau cu $\ln x$ —, adică atunci când unul dintre factori se simplifică prin derivare. Criteriul de acolo se numește regula descreșterii, iar el se aplică prin ordinea de prioritate la derivare; ambele au fost fixate la alegerea părților la integrarea prin părți și se citează cu aceste nume.

Ultimul rând al tabelului merită citit de două ori: $\frac{\ln x}{x}$ și $x\ln x$ arată aproape la fel, dar cer metode diferite. Deosebirea nu e de dificultate, ci de structură — în primul caz cei doi factori sunt legați printr-o derivare, în al doilea nu. Când eziți, încearcă mai întâi schimbarea de variabilă: dacă tiparul nu se închide în două rânduri, metoda nu era aceea.

Cele două metode nu se exclud, ci se completează, iar la exercițiile mai grele apar una după alta în același calcul: o substituție simplifică integrandul, iar ce rămâne se atacă prin părți, sau invers. Programa cere explicit această „aplicare corelată a metodelor de integrare studiate", așa că nu te mira când o rezolvare de examen are două etaje. Deocamdată e suficient să recunoști corect etajul de jos.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Tiparul se vede direct

Calculați $\int 2x\cos \left(x^2\right)dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Pasul 1: $u(x)=x^2$, deci $u^{\prime }(x)=2x$; exteriorul este $f(t)=\cos t$, definit pe $\mathbb{R}$. Integrandul este într-adevăr $f(u(x))u^{\prime }(x)$.

Pasul 2: $\int \cos tdt=\sin t+\mathcal{C}$ (rândul 7 din tabelul primitivelor).

Pasul 3: revenim la $x$: $$\int 2x\cos \left(x^2\right)dx=\sin \left(x^2\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Verificare: $(\sin \left(x^2\right){)}^{\prime }=\cos \left(x^2\right)\cdot 2x$. ✓

Exemplul 2 — Putere a unei expresii

Calculați $\int 3x^2{\left(x^3+1\right)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Aici $u(x)=x^3+1$, cu $u^{\prime }(x)=3x^2$, iar $f(t)=t^4$. Cu notația de lucru: $t=x^3+1$, $dt=3x^{2}dx$, deci $$\int 3x^2{\left(x^3+1\right)}^{4}dx=\int t^{4}dt=\frac{t^5}{5}+\mathcal{C}=\frac{{\left(x^3+1\right)}^5}{5}+\mathcal{C}.$$ Rezultatul e valabil pe $\mathbb{R}$: interiorul e polinomial, iar puterea naturală nu impune restricții. Observă cât se câștigă — dezvoltarea binomului ar fi dat un polinom de gradul $12$. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 3 — Derivata la numărător

Calculați $\int \frac{2x}{x^2+9}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Numărătorul este exact derivata numitorului: $u(x)=x^2+9$, $u^{\prime }(x)=2x$, $f(t)=\frac{1}{t}$. Cum $x^2+9\ge 9>0$, funcția $u$ ia valori în intervalul $(0,+\infty )$, unde $f$ e definită și are primitiva $\ln t$. Prin urmare $$\int \frac{2x}{x^2+9}dx=\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Modulul a dispărut pentru că interiorul e strict pozitiv; când nu e, el se păstrează. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 4 — Exponențială cu interior trigonometric

Calculați $\int e^{\sin x}\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. Interiorul este $u(x)=\sin x$, cu $u^{\prime }(x)=\cos x$ — și acesta apare, ca factor, în integrand. Exteriorul e $f(t)=e^t$, cu primitiva $e^t$: $$\int e^{\sin x}\cos xdx=e^{\sin x}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Merită observat că funcția $u(x)=\sin x$ nu e injectivă; teorema nu cere așa ceva, ci doar derivabilitatea lui $u$ și faptul că valorile ei, aici în $[-1,1]$, stau în domeniul lui $f$. (Verificat numeric în trei puncte.) ✓

Exemplul 5 — Logaritm și derivata lui

Calculați $\int \frac{\ln x}{x}dx$, $x\in (0,+\infty )$.

Rezolvare. Aici tiparul e mai discret: $u(x)=\ln x$ are $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, iar acest $\frac{1}{x}$ este chiar factorul care înmulțește logaritmul. Cu $f(t)=t$: $$\int \frac{\ln x}{x}dx=\int tdt=\frac{t^2}{2}+\mathcal{C}=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$ Scrierea ${\ln }^{2}x$ înseamnă $(\ln x{)}^2$, nu $\ln \left(x^2\right)$ — o confuzie care schimbă complet rezultatul. (Verificat numeric în $x\in \{0,4;1,7;3,2\}$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$. a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)$, este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. b) Determinați mulțimea primitivelor lui $f$ pe $\mathbb{R}$. c) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ pentru care $G(0)=0$.

Rezolvare.

a) Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, ca funcție compusă de funcții derivabile ($x^2+4>0$ pentru orice $x$). Derivăm cu regula funcțiilor compuse: $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(x^2+4\right)}^{\prime }}{x^2+4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+4}=\frac{x}{x^2+4}=f(x).$$ Cum $F^{\prime }=f$ pe tot $\mathbb{R}$, funcția $F$ este primitivă a lui $f$.

b) Cum $\mathbb{R}$ este interval, orice două primitive ale lui $f$ diferă printr-o constantă, deci mulțimea primitivelor este $$\int \frac{x}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C}.$$ Același rezultat se obține direct cu schimbarea de variabilă: $u(x)=x^2+4$, $u^{\prime }(x)=2x$, iar constanta $\frac{1}{2}$ se fabrică prin liniaritate, ca în subsecțiunea 5.

c) Căutăm $G(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+c$ cu $G(0)=0$. Avem $G(0)=\frac{1}{2}\ln 4+c=\ln 2+c$, deci $c=-\ln 2$ și $$G(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)-\ln 2=\frac{1}{2}\ln \frac{x^2+4}{4}.$$ (Verificat numeric: $G^{\prime }=f$ în trei puncte, iar $G(0)=0$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu scrie explicit $u(x)$ și $u^{\prime }(x)$ înainte de a aplica formula, apoi precizează intervalul pe care e valabil rezultatul. Verifică fiecare răspuns prin derivare.

1. Calculează $\int 2x{\left(x^2+5\right)}^{3}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează $\int 3x^2\cos \left(x^3\right)dx$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează $\int \frac{2x}{x^2+7}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Calculează $\int e^{\sin x}\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$, și arată că primitiva care se anulează în $0$ este $e^{\sin x}-1$.

5. Calculează $\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează $\int \frac{{\ln }^{2}x}{x}dx$, $x\in (0,+\infty )$.

7. Calculează $\int (2x+3){\left(x^2+3x\right)}^{5}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

8. Calculează $\int {\sin }^{4}x\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

9. Calculează $\int \frac{e^x}{e^x+2}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $\mathbb{R}$ are loc $\int 2x\sin \left(x^2\right)dx=-\cos \left(x^2\right)+\mathcal{C}$."

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $\mathbb{R}$ are loc $\int x\cos \left(x^2\right)dx=\sin \left(x^2\right)+\mathcal{C}$."

12. Calculează $\int x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

13. Calculează $\int (2x+1{)}^{5}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

14. Calculează $\int \frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

15. Calculează $\int \frac{1}{x\sqrt{\ln x}}dx$, $x\in (1,+\infty )$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x$. Arată, folosind schimbarea de variabilă, că $\int f(x)dx=-\ln (\cos x)+\mathcal{C}$ și determină primitiva $F$ cu $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=0$.

17. (Problemă aplicată.) Viteza unui mobil care se deplasează pe o dreaptă este $v(t)=\frac{2t}{t^2+1}$, măsurată în metri pe secundă, pentru $t\ge 0$. Determină legea spațiului $s(t)$, știind că $s(0)=0$, și calculează $s(3)$.

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{\cos (\ln x)}{x}dx$, $x\in (0,+\infty )$.

Răspunsuri și explicații

1. $u(x)=x^2+5$, $u^{\prime }(x)=2x$, $f(t)=t^3$: rezultatul este $\frac{{\left(x^2+5\right)}^4}{4}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

2. $u(x)=x^3$, $u^{\prime }(x)=3x^2$, $f(t)=\cos t$: rezultatul este $\sin \left(x^3\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

3. Numărătorul e derivata numitorului, iar $x^2+7>0$: rezultatul este $\ln \left(x^2+7\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

4. $u(x)=\sin x$, $u^{\prime }(x)=\cos x$: $\int e^{\sin x}\cos xdx=e^{\sin x}+\mathcal{C}$. Pentru primitiva care se anulează în $0$: $e^{\sin 0}+c=1+c=0$, deci $c=-1$ și $F(x)=e^{\sin x}-1$.

5. $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$, $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$ cu primitiva $2\sqrt{t}$ (rândul 10 din tabel). Cum $x^2+1>0$, rezultatul este $2\sqrt{x^2+1}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

6. $u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f(t)=t^2$: rezultatul este $\frac{{\ln }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

7. $u(x)=x^2+3x$, $u^{\prime }(x)=2x+3$: rezultatul este $\frac{{\left(x^2+3x\right)}^6}{6}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

8. $u(x)=\sin x$, $u^{\prime }(x)=\cos x$, $f(t)=t^4$: rezultatul este $\frac{{\sin }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

9. $u(x)=e^x+2$, $u^{\prime }(x)=e^x$; cum $e^x+2>0$, rezultatul este $\ln \left(e^x+2\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

10. Adevărat. Cu $u(x)=x^2$ și $f(t)=\sin t$, o primitivă a lui $f$ este $-\cos t$, deci rezultatul este $-\cos \left(x^2\right)+\mathcal{C}$. Verificare: $(-\cos \left(x^2\right){)}^{\prime }=\sin \left(x^2\right)\cdot 2x$.

11. Fals. Derivata membrului drept este $2x\cos \left(x^2\right)$, adică de două ori integrandul. Lipsește constanta: rezultatul corect este $\frac{1}{2}\sin \left(x^2\right)+\mathcal{C}$.

12. Interiorul $u(x)=x^2+3$ cere factorul $2x$, iar în integrand stă $x$; prin liniaritate, $\int x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx=\frac{1}{2}\int 2x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx=\frac{{\left(x^2+3\right)}^5}{10}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

13. $u(x)=2x+1$, $u^{\prime }(x)=2$; se fabrică factorul $2$: $\frac{1}{2}\int 2(2x+1{)}^{5}dx=\frac{(2x+1{)}^6}{12}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

14. $u(x)=x^2+1$, $f(t)=\frac{1}{t^2}=t^{-2}$, cu primitiva $-\frac{1}{t}$: rezultatul este $-\frac{1}{x^2+1}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

15. $u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f(t)=\frac{1}{\sqrt{t}}$ cu primitiva $2\sqrt{t}$. Pe $(1,+\infty )$ avem $\ln x>0$, deci valorile lui $u$ stau în domeniul lui $f$, iar rezultatul este $2\sqrt{\ln x}+\mathcal{C}$.

16. Scriem $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ și luăm $u(x)=\cos x$, cu $u^{\prime }(x)=-\sin x$. Atunci $\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \frac{-\sin x}{\cos x}dx=-\ln (\cos x)+\mathcal{C}$, unde modulul lipsește pentru că $\cos x>0$ pe intervalul dat. Din $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\ln \frac{1}{2}+c=\ln 2+c=0$ obținem $c=-\ln 2$, deci $F(x)=-\ln (\cos x)-\ln 2$.

17. Spațiul este primitiva vitezei: $s(t)=\int \frac{2t}{t^2+1}dt=\ln \left(t^2+1\right)+c$. Din $s(0)=\ln 1+c=c=0$ rezultă $s(t)=\ln \left(t^2+1\right)$, deci $s(3)=\ln 10\approx 2,30$ metri.

18. $u(x)=\ln x$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, $f(t)=\cos t$: rezultatul este $\sin (\ln x)+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$. Verificare: $(\sin (\ln x){)}^{\prime }=\cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}$.

De reținut

• Formula schimbării de variabilă este $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=F(u(x))+\mathcal{C}$, unde $F$ este o primitivă a lui $f$, iar $u$ este derivabilă pe intervalul $I$ și ia valori în intervalul $J$ pe care lucrează $f$.
• Demonstrația are un singur pas esențial: $(F\circ u{)}^{\prime }=(F^{\prime }\circ u)\cdot u^{\prime }=f(u(x))u^{\prime }(x)$, adică regula de derivare a funcțiilor compuse citită de la dreapta la stânga.
• Cei trei pași ai schimbării de variabilă sunt: identifici $u$ și $u^{\prime }$, calculezi o primitivă $F$ a funcției din exterior, revii la $x$ înlocuind $t$ cu $u(x)$.
• Notația $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$ este o prescurtare de lucru, permisă în rezolvări, dar revenirea la variabila $x$ la final este obligatorie.
• O constantă lipsă din integrand se fabrică prin liniaritate, o funcție lipsă nu se fabrică niciodată.

Greșeli frecvente

• Rezultatul rămâne scris în $t$. După ce ai găsit $F(t)$, mai ai un pas: înlocuiești $t$ cu $u(x)$. Un răspuns care conține litera $t$, absentă din enunț, nu este un răspuns.
• Se „scoate în față" un factor care depinde de $x$. Din $\int e^{x^2}dx$ nu se obține $\frac{1}{2x}{e}^{x^2}$: numai constantele ies din integrală, iar $\frac{1}{2x}$ nu e constantă. Controlul: derivează și vezi că nu iese integrandul.
• Se aplică formula fără ca $u^{\prime }$ să fie în integrand. Tiparul cerut este $f(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$, cu $u^{\prime }$ prezent ca factor. Dacă lipsește o funcție, metoda pur și simplu nu se aplică sub această formă.
• Se uită intervalul. Pentru $\int \frac{2x}{x^2-1}dx$ răspunsul $\ln \left|x^2-1\right|+\mathcal{C}$ se scrie pe fiecare dintre cele trei intervale separat; „două primitive diferă printr-o constantă" e adevărat pe un interval, nu pe o reuniune de intervale.
• Se confundă ${\ln }^{2}x$ cu $\ln \left(x^2\right)$. Prima înseamnă $(\ln x{)}^2$ și apare la $\int \frac{\ln x}{x}dx$; a doua este $2\ln |x|$ și nu are nicio legătură cu acel calcul.

Aplică acasă

1. Fabrica de perechi. Alege cinci funcții compuse pe care le poți deriva ușor — de pildă $\sin \left(x^3\right)$, $e^{2x+1}$, $\ln \left(x^2+5\right)$, $\sqrt{x^2+9}$, $(3x-1{)}^4$ — derivează-le pe caiet, apoi scrie rezultatele ca integrale. Ai obținut, în cinci minute, cinci exerciții de schimbare de variabilă cu răspuns garantat corect.

2. Vânătoarea de $u$ prim. Ia douăzeci de integrale dintr-o culegere și, fără să le rezolvi, marchează cu creionul, în fiecare, ce ai alege drept $u$ și unde vezi $u^{\prime }$. Notează câte dintre ele au $u^{\prime }$ complet, câte au doar o constantă lipsă și câte nu se pretează deloc metodei. Proporțiile te vor surprinde.

3. Controlul cu trei puncte. Pentru trei dintre rezultatele obținute azi, verifică numeric derivata: calculează $\frac{F(x_0+0,001)-F(x_0-0,001)}{0,002}$ cu un calculator obișnuit și compară cu valoarea integrandului în $x_0$. Alege puncte din interiorul intervalului, departe de capete.

Pentru părinți și profesori

Schimbarea de variabilă este, alături de integrarea prin părți, una dintre cele două metode de calcul cerute explicit de programa clasei a XII-a, iar programa cere ca formula să fie dedusă din regula de derivare a funcțiilor compuse, nu doar enunțată. Lecția de față face exact acest lucru și se oprește la cazurile în care funcția din interior și derivata ei se văd direct în integrand; recunoașterea în situații mascate și inventarul substituțiilor uzuale sunt subiectul lecției următoare.

Ce verifică lecția: (1) enunțul complet al teoremei, cu ipoteza că $u$ ia valori în intervalul pe care lucrează $f$; (2) demonstrația în trei rânduri, pornind de la derivarea compunerii; (3) aplicarea celor trei pași, cu revenirea la variabila $x$; (4) folosirea corectă a notației $t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$, ca prescurtare, nu ca justificare; (5) deosebirea dintre o constantă lipsă (care se fabrică) și o funcție lipsă (care nu se fabrică).

Întrebări bune de control: „Care e funcția din interior?", „Unde vezi derivata ei în integrand?", „Pe ce interval e valabil răspunsul?", „Cum verifici în zece secunde?". La BAC M1, metoda apare mai ales în Subiectul al III-lea, la cerințe de tipul „determinați primitivele funcției" sau „determinați primitiva $F$ pentru care $F(a)=b$", și, indirect, în aproape orice calcul de arie. Semn că elevul a înțeles: după ce scrie răspunsul, îl derivează din reflex, fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Ce este schimbarea de variabilă la primitive? Este metoda prin care o integrală de forma $\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx$ se calculează compunând o primitivă a funcției din exterior cu funcția din interior: rezultatul este $F(u(x))+\mathcal{C}$. Ea se obține citind invers regula de derivare a funcțiilor compuse și este a doua metodă mare de integrare din programa clasei a XII-a.

Cum se demonstrează formula schimbării de variabilă? Se pornește de la $(F\circ u{)}^{\prime }(x)=F^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$. Cum $F$ este primitivă a lui $f$, avem $F^{\prime }=f$, deci derivata lui $F\circ u$ este chiar $f(u(x))u^{\prime }(x)$. Prin definiția primitivei, $F\circ u$ este o primitivă a funcției de integrat, iar pe un interval toate celelalte diferă de ea printr-o constantă.

De ce trebuie să revin la variabila $x$ la final? Pentru că enunțul cere primitivele unei funcții de $x$, iar variabila $t$ a fost doar o unealtă de lucru, introdusă de tine și absentă din problemă. Un răspuns lăsat în $t$ este incomplet și pierde punctele de finalizare. La integrala definită situația e alta: acolo se schimbă limitele de integrare și revenirea nu mai e necesară.

Ce înseamnă notația $dt=u^{\prime }(x)dx$? Este o convenție de scriere care prescurtează raționamentul din demonstrație, nu o egalitate între obiecte definite separat. Simbolul $dx$ arată doar în raport cu ce variabilă integrăm. Notația e permisă în rezolvări și apare în bareme, dar justificarea corectă, dacă ți se cere, rămâne teorema, nu manipularea simbolurilor.

Ce fac dacă din integrand lipsește o constantă? O fabrici: înmulțești și împarți cu ea, apoi scoți factorul în față prin liniaritate. De exemplu $\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int 2x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+\mathcal{C}$. Atenție însă: numai constantele ies din integrală, niciodată o expresie care depinde de $x$.

Cum verific dacă am calculat corect o primitivă? Derivezi rezultatul și trebuie să obții exact funcția de sub integrală — verificarea este completă, pentru că e chiar definiția primitivei. Pentru siguranță în plus, compari numeric derivata în trei puncte din interiorul intervalului cu valoarea integrandului acolo, folosind un pas mic.

Pe ce interval este valabil rezultatul unei schimbări de variabilă? Pe orice interval $I$ pe care $u$ este derivabilă și pe care valorile ei rămân în intervalul unde funcția din exterior e definită. Practic, elimini punctele în care numitorul se anulează sau logaritmul își pierde sensul, apoi scrii răspunsul separat pe fiecare interval rămas, pentru că acolo constantele pot fi diferite.