Substituțiile tipice: pe scurt

Tiparul căutat este $f(u(x))u^{\prime }(x)$: o funcție uzuală aplicată unei expresii, înmulțită cu derivata acelei expresii, eventual cu o constantă în plus. Tabelul primitivelor compuse nu conține formule noi — este tabelul canonic scris cu $u$ în loc de $x$ și înmulțit cu $u^{\prime }$ — iar cele mai folosite rânduri sunt $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$ și $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$.

Pentru o expresie de gradul întâi înăuntru există scurtătura $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$: integrezi ca și cum ar fi $x$, apoi împarți la $a$. Uitarea acestei împărțiri este greșeala numărul unu a lecției.

Cele șase substituții tipice se recunosc după un semnal precis: grad întâi înăuntru ($u=ax+b$), un $x$ liber ($u=x^2+a$), un $\cos x$ sau un $\sin x$ liber ($u=\sin x$, respectiv $u=\cos x$ — aici apare factorul $-1$), un $\frac{1}{x}$ liber ($u=\ln x$), un $e^x$ liber ($u=e^x$), un radical dintr-o expresie de gradul întâi ($u=\sqrt{\cdots }$, cu exprimarea lui $x$ prin $u$). Testul raportului verifică alegerea: $\lambda =\frac{g(x)}{u^{\prime }(x)}$ trebuie să iasă constant. Rezultatul se scrie mereu împreună cu intervalul pe care are sens.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$, $\int \sin (4x+1)dx$ este egală cu:

   • a) $-\cos (4x+1)+\mathcal{C}$
   • b) $-\frac{\cos (4x+1)}{4}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{\cos (4x+1)}{4}+\mathcal{C}$
   • d) $-4\cos (4x+1)+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $-\frac{\cos (4x+1)}{4}+\mathcal{C}$

   Scurtătura $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$ cu $a=4$: primitiva sinusului este $-\cos$, apoi se împarte la $4$. Controlul: derivând $-\frac{\cos (4x+1)}{4}$ apare factorul $4$ din derivata interiorului, care se simplifică exact cu numitorul.

2. Pe $\mathbb{R}$, $\int (5x+3{)}^{6}dx$ este egală cu:

   • a) $\frac{6(5x+3{)}^5}{5}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{(5x+3{)}^7}{7}+\mathcal{C}$
   • c) $\frac{(5x+3{)}^7}{5}+\mathcal{C}$
   • d) $\frac{(5x+3{)}^7}{35}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{(5x+3{)}^7}{35}+\mathcal{C}$

   Se ridică exponentul cu o unitate, se împarte la noul exponent ($7$) și la coeficientul interiorului ($5$), deci numitorul este $35$. Varianta cu exponentul $5$ derivează în loc să integreze; variantele cu numitorii $7$ și $5$ păstrează doar una dintre cele două împărțiri.

3. Pe $\mathbb{R}$, $\int {\cos }^{4}x\sin xdx$ este egală cu:

   • a) $\frac{{\cos }^{5}x{\sin }^{2}x}{10}+\mathcal{C}$
   • b) $\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$
   • c) $-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$
   • d) $-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$

   Sinusul liber cere substituția $u=\cos x$, cu $u^{\prime }(x)=-\sin x$: integrandul este $-u^4{u}^{\prime }$, deci rezultatul este $-\frac{{\cos }^{5}x}{5}+\mathcal{C}$. Semnul minus vine din derivata cosinusului și este exact ce se pierde cel mai des.