Schimbarea de variabilă: recunoașterea derivatei și substituțiile tipice

Formula schimbării de variabilă e scurtă și demonstrată, dar ea nu îți spune ce să iei drept $u$. Or, exact aici se joacă tot exercițiul: la clasa a 12-a, un elev care alege bine funcția din interior termină calculul în două rânduri, iar unul care alege prost umple o pagină și nu ajunge nicăieri. Vestea bună este că alegerea nu se face la inspirație. Există un număr mic de tipare care acoperă aproape tot ce se cere la Bacalaureat M1, iar ele se recunosc după forma integrandului, nu după noroc.

Lecția are două jumătăți. Prima este despre recunoaștere: învață să vezi, într-o expresie scrisă pe un rând, perechea „funcție din interior — derivata ei", chiar și atunci când derivata e ascunsă sub un factor constant. A doua este un inventar: cele șase substituții tipice — $u=ax+b$, $u=x^2+a$, $u=\sin x$ sau $u=\cos x$, $u=\ln x$, $u=e^x$ și $u=\sqrt{\cdots }$ — cu semnalul după care se recunoaște fiecare și cu exemplul ei canonic.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tiparul $f(u(x))u^{\prime }(x)$ chiar când derivata din interior apare înmulțită cu o constantă.
• Vei ști pe de rost tabelul primitivelor compuse, adică cele trei-patru formule care rezolvă jumătate dintre exerciții.
• Vei ști să aplici regula $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$ fără să mai scrii substituția.
• Vei ști să alegi, dintre cele șase substituții tipice, pe cea potrivită formei integrandului.
• Vei ști să lucrezi cu substituția $u=\sqrt{\cdots }$, în care se schimbă și forma expresiei de integrat.
• Vei ști să precizezi de fiecare dată intervalul pe care e valabil rezultatul.

Hai să descoperim împreună

1. Cum recunoști derivata funcției din interior?

Tiparul $f(u(x))u^{\prime }(x)$ este semnul după care se recunoaște o integrală rezolvabilă prin substituție: integrandul e un produs în care unul dintre factori este o funcție uzuală aplicată unei expresii, iar celălalt factor este derivata acelei expresii, eventual înmulțită cu o constantă.

Antrenamentul de recunoaștere se face invers decât te-ai aștepta: nu cauți întâi funcția din exterior, ci expresia cea mai complicată dinăuntru. Ea e candidatul la $u$. Apoi îi calculezi derivata și o cauți, cu privirea, în restul integrandului. Dacă o găsești, ai terminat; dacă găsești doar un multiplu al ei, o repari cu o constantă; dacă nu găsești nimic, substituția nu e metoda potrivită.

Ultimul rând e cel care educă. Nu orice funcție compusă se integrează prin substituție; e nevoie ca derivata interiorului să fie prezentă ca factor. Metoda schimbării de variabilă, așa cum a fost demonstrată la formula schimbării de variabilă, rezolvă produse de un anumit tip, nu compuneri în general.

2. Cum se construiește tabelul primitivelor compuse?

Din formula generală, aplicată rând cu rând tabelului primitivelor funcțiilor uzuale, se obține un al doilea tabel, în care $u$ este o funcție derivabilă pe intervalul de lucru. Îl numim tabelul primitivelor compuse și e oglinda exactă a tabelului derivatelor compuse din clasa a XI-a:

$$\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}(n\ne -1);\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C};\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C};$$ $$\int e^u{u}^{\prime }dx=e^u+\mathcal{C};\int u^{\prime }\sin udx=-\cos u+\mathcal{C};\int u^{\prime }\cos udx=\sin u+\mathcal{C};\int \frac{u^{\prime }}{u^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{u}{a}+\mathcal{C}.$$

Tabelul acesta nu conține nimic nou: fiecare rând este rândul corespunzător din tabelul canonic, scris cu $u$ în loc de $x$ și înmulțit cu $u^{\prime }$. Îl folosești ca scurtătură, dar dacă îl uiți, formula generală ți-l reconstruiește în zece secunde. Verifică singur pe rândul radicalului: din $\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=2\sqrt{t}+\mathcal{C}$, punând $t=u(x)$ și înmulțind cu $u^{\prime }$, obții exact $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$.

Dintre toate rândurile, două merită învățate până devin reflex, pentru că apar în cele mai multe subiecte:

• $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$, citit „derivata supra funcție dă logaritm din modul";
• $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$, citit „putere ori derivata bazei ridică exponentul cu unu".

Ca să nu rămână o listă de memorat, iată de unde vine primul dintre ele, scris integral. Funcția din exterior este $f(t)=\frac{1}{t}$, definită pe $(-\infty ,0)$ și pe $(0,+\infty )$, cu primitiva $\ln |t|$ (rândul 3 din tabelul canonic). Formula schimbării de variabilă, aplicată cu $u$ derivabilă și care nu se anulează pe intervalul de lucru, dă direct $$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C}.$$ Ipoteza „$u$ nu se anulează pe $I$" nu e decorativă: ea garantează că valorile lui $u$ rămân într-unul singur dintre cele două intervale pe care $f$ e definită, așa cum cere teorema. Exact la fel se obțin celelalte rânduri, schimbând doar funcția din exterior.

3. Substituția $u=ax+b$ și scurtătura ei

E cea mai simplă și cea mai des întâlnită. Când sub o funcție uzuală stă o expresie de gradul întâi, $u(x)=ax+b$ are derivata constantă $u^{\prime }(x)=a$, deci factorul lipsă e chiar $a$ și se fabrică imediat. Rezultatul se poate reține direct, ca regulă:

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C},a\ne 0,$$

unde $F$ este o primitivă a lui $f$. În cuvinte: integrezi ca și cum înăuntru ar fi $x$, apoi împarți la coeficientul lui $x$. Trei aplicații imediate, pe care le vei folosi tot restul capitolului:

$$\int (3x-2{)}^{7}dx=\frac{(3x-2{)}^8}{24}+\mathcal{C};\int \cos (5x)dx=\frac{\sin (5x)}{5}+\mathcal{C};\int e^{4x+1}dx=\frac{e^{4x+1}}{4}+\mathcal{C}.$$

Atenție la un amănunt care se greșește des: la logaritm, împărțirea la $a$ rămâne, chiar dacă „nu se vede" în forma finală. Pe intervalul $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$, $$\int \frac{dx}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln (2x+1)+\mathcal{C},$$ nu $\ln (2x+1)+\mathcal{C}$. Verificarea prin derivare o lămurește într-o secundă.

De unde vine scurtătura. Cu $u(x)=ax+b$ avem $u^{\prime }(x)=a$, o constantă nenulă. Înmulțim și împărțim cu ea și aplicăm formula generală: $$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)\cdot adx=\frac{1}{a}\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\frac{1}{a}F(u(x))+\mathcal{C}.$$ După ce ai făcut o dată acest calcul, nu îl mai scrii: în rezolvări se trece direct la rezultat, iar baremele acceptă asta. Este singura dintre cele șase substituții la care se sare peste notația de lucru, tocmai pentru că factorul lipsă e o constantă cunoscută dinainte.

Un caz particular pe care îl vei folosi constant: când $a=1$, adică interiorul este $x+b$, nu se împarte la nimic. Așa apar $\int (x-3{)}^{5}dx=\frac{(x-3{)}^6}{6}+\mathcal{C}$ sau $\int \frac{dx}{x+2}=\ln |x+2|+\mathcal{C}$, pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,-2)$ și $(-2,+\infty )$.

4. Cum fabrici constanta care lipsește?

Situația tipică: interiorul e $u$, derivata lui e $u^{\prime }$, dar în integrand apare $\lambda u^{\prime }$ pentru un $\lambda$ constant. Atunci scrii integrandul ca $\frac{1}{\lambda }\cdot \lambda$ înmulțit cu ce trebuie și scoți constanta prin liniaritate. Trei exemple, cu factorul de reparat scris explicit:

• $\int x\sin \left(x^2\right)dx$: aici $u=x^2$, $u^{\prime }=2x$, iar în integrand e $x$, adică $\frac{1}{2}{u}^{\prime }$. Deci $\int x\sin \left(x^2\right)dx=\frac{1}{2}\int 2x\sin \left(x^2\right)dx=-\frac{1}{2}\cos \left(x^2\right)+\mathcal{C}$.
• $\int x^2{\left(x^3+1\right)}^{4}dx$: $u=x^3+1$, $u^{\prime }=3x^2$, factorul de reparat e $\frac{1}{3}$.
• $\int \frac{x}{x^2+9}dx$: $u=x^2+9$, $u^{\prime }=2x$, factorul e $\frac{1}{2}$, deci rezultatul este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C}$.

Regula de aur rămâne cea fixată în lecția anterioară: o constantă lipsă se fabrică, o funcție lipsă nu. Dacă, după ce ai identificat $u$, restul integrandului nu e un multiplu constant al lui $u^{\prime }$, atunci ori ai ales greșit interiorul, ori exercițiul cere altă metodă.

Există o formulă rapidă pentru constanta de reparat, utilă când lucrezi contra cronometru. Dacă în integrand, alături de funcția compusă, stă expresia $g(x)$, iar derivata interiorului este $u^{\prime }(x)$, atunci factorul căutat este raportul $\lambda =\frac{g(x)}{u^{\prime }(x)}$ — și el trebuie să iasă un număr, nu o expresie în $x$. La $\int x^2{\left(x^3+1\right)}^{4}dx$ raportul este $\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}$, constant, deci metoda merge. La $\int x^3{\left(x^2+1\right)}^{4}dx$ raportul ar fi $\frac{x^3}{2x}=\frac{x^2}{2}$, care nu e constant — semn că trebuie fie altă alegere a lui $u$, fie o rescriere prealabilă a integrandului.

5. Când folosești substituțiile $u=x^2+a$, $u=\sin x$ și $u=\cos x$?

Semnalul pentru $u=x^2+a$ (mai general, $u$ = un polinom) este un factor $x$ singur lângă o expresie în $x^2$, sau un $x^2$ lângă o expresie în $x^3$. Exemplele canonice: $$\int x{\left(x^2-1\right)}^{5}dx=\frac{{\left(x^2-1\right)}^6}{12}+\mathcal{C};\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}dx=\sqrt{x^2+9}+\mathcal{C}.$$ La al doilea, factorul de reparat e $\frac{1}{2}$, iar rândul folosit din tabelul compuselor este $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$, care dă $2\sqrt{u}$; cele două se anulează și rămâne $\sqrt{x^2+9}$ — un rezultat frumos, care merită reținut ca atare.

Semnalul pentru $u=\sin x$ este un factor $\cos x$ liber, iar restul integrandului exprimat prin $\sin x$. Simetric, semnalul pentru $u=\cos x$ este un factor $\sin x$ liber, cu restul exprimat prin $\cos x$; atunci $u^{\prime }=-\sin x$, deci apare un semn minus de reparat. Așa se obțin, de pildă, $$\int {\sin }^{3}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+\mathcal{C};\int \mathrm{ctg}xdx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx=\ln (\sin x)+\mathcal{C},x\in (0,\pi ).$$ La al doilea, modulul a dispărut pentru că pe $(0,\pi )$ sinusul e strict pozitiv; pe alt interval el se păstrează sub forma $\ln |\sin x|$.

Substituțiile trigonometrice au și o aplicație pe care merită să o vezi acum, pentru că explică de ce apar atât de des: ele rezolvă puterile impare ale sinusului sau cosinusului. Ideea e să desprinzi un singur factor și să rescrii restul cu formula fundamentală a trigonometriei. Pentru $\int {\sin }^{3}xdx$: $$\int {\sin }^{3}xdx=\int {\sin }^{2}x\sin xdx=\int \left(1-{\cos }^{2}x\right)\sin xdx=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\mathcal{C}.$$ La ultimul pas am luat $u=\cos x$, cu $u^{\prime }=-\sin x$, deci factorul de reparat a fost $-1$. Tratarea sistematică a acestor integrale, cu toate cazurile din programă (puteri pare și impare, produse de sinusuri și cosinusuri, $\frac{1}{\sin x}$ și $\frac{1}{\cos x}$), este subiectul lecției despre primitivele funcțiilor trigonometrice; aici ne interesează doar că mecanismul e tot o schimbare de variabilă.

6. Cum recunoști substituțiile $u=\ln x$ și $u=e^x$?

Semnalul pentru $u=\ln x$ este prezența factorului $\frac{1}{x}$ — adică un $x$ la numitor — alături de o expresie în $\ln x$. Exemplele canonice: $$\int \frac{{\ln }^{3}x}{x}dx=\frac{{\ln }^{4}x}{4}+\mathcal{C},x\in (0,+\infty );\int \frac{dx}{x\ln x}=\ln (\ln x)+\mathcal{C},x\in (1,+\infty ).$$ La al doilea, intervalul nu e o formalitate: pe $(1,+\infty )$ avem $\ln x>0$, deci valorile lui $u$ stau în domeniul logaritmului exterior. Pe $(0,1)$ funcția e tot definită, dar rezultatul se scrie $\ln |\ln x|+\mathcal{C}$.

Semnalul pentru $u=e^x$ e cel mai comod dintre toate, pentru că $u^{\prime }=e^x$ coincide cu $u$: e suficient să vezi un $e^x$ liber, iar restul integrandului scris tot prin $e^x$. Exemplul cel mai util, care aduce arctangenta din primitivele cu arctangentă și arcsinus, este $$\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx=\int \frac{e^x}{{\left(e^x\right)}^2+1}dx=\mathrm{arctg}\left(e^x\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ Pasul de rescriere $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$ e cel care face substituția vizibilă; fără el, tiparul rămâne ascuns.

7. Substituția cu radical: $u=\sqrt{\cdots }$

Aceasta e singura dintre cele șase la care integrandul își schimbă forma, nu doar se rescrie. Se folosește când sub radical stă o expresie de gradul întâi, iar în afara radicalului au mai rămas puteri ale lui $x$.

Ia $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$ pe intervalul $(-1,+\infty )$ și notează $u(x)=\sqrt{x+1}$, deci $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ și $x=u^2-1$. Integrandul se rescrie prin $u$: $$\frac{x}{\sqrt{x+1}}=\frac{u^2-1}{u}=2\left(u^2-1\right)\cdot \frac{1}{2u}=2\left(u^2-1\right)u^{\prime }.$$ Am ajuns exact la tiparul cerut, cu $f(t)=2\left(t^2-1\right)$, care are primitiva $\frac{2t^3}{3}-2t$. Prin urmare $$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx=\frac{2}{3}\sqrt{(x+1{)}^3}-2\sqrt{x+1}+\mathcal{C},x\in (-1,+\infty ).$$ Rețeta, în cuvinte: notezi radicalul cu $u$, exprimi $x$ prin $u$, și tot ce a rămas se transformă într-un polinom în $u$. Verificarea prin derivare e obligatorie aici mai mult decât oriunde, pentru că lanțul de rescrieri e mai lung.

Doi pași merită detaliați, pentru că acolo se pierd elevii. Primul: din $u=\sqrt{ax+b}$ se obține $u^2=ax+b$, deci $x=\frac{u^2-b}{a}$ — o expresie polinomială în $u$, ceea ce e tot rostul substituției. Al doilea: derivata, $u^{\prime }(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}=\frac{a}{2u}$, apare mereu cu $u$ la numitor, deci ea „consumă" exact un radical din integrand. De aceea metoda funcționează când în afara radicalului au rămas doar puteri întregi ale lui $x$: după rescriere, totul devine polinom.

Observă că, formal, nu am ieșit deloc din teorema demonstrată în lecția anterioară — nu am „inversat" nicio funcție și nu am folosit nicio ipoteză nouă. Am scris pur și simplu integrandul sub forma $f(u(x))u^{\prime }(x)$, unde $f$ este polinomul găsit prin rescriere. Substituția cu radical arată mai spectaculos decât celelalte, dar mecanismul rămâne același.

8. Cum alegi substituția potrivită?

Tot ce s-a spus mai sus încape într-un tabel de decizie. Îl citești de sus în jos și te oprești la primul rând al cărui semnal îl vezi în integrand.

Tabelul nu e o listă închisă, ci un punct de plecare: în subiecte apar și substituții „mixte", în care interiorul e o combinație a celor de mai sus — $u=\sin \left(x^2\right)$, $u=\ln \left(x^2+1\right)$, $u=e^x+x$. Semnalul rămâne același: derivata expresiei alese trebuie să se vadă, ca factor, în restul integrandului. Când ai două expresii complicate suprapuse, ia-o pe cea mai dinăuntru care are derivata prezentă; dacă nu ești sigur, testul raportului din subsecțiunea 4 decide în cinci secunde.

O a doua observație ține de ordinea în care încerci lucrurile. Înainte de orice substituție, uită-te dacă integrandul nu se rescrie algebric într-o formă din tabelul canonic: $\frac{x^2+1}{x}$ se desface în $x+\frac{1}{x}$, $\frac{\sin (2x)}{\cos x}$ devine $2\sin x$, iar ${\left(e^x+1\right)}^2$ se dezvoltă. Rescrierea e gratuită și, când merge, scutește de tot restul. Substituția se încearcă abia după ce forma simplă a fost epuizată.

O ultimă observație, care deschide lecția următoare. Recunoașterea „derivata la numărător" funcționează la fel de bine și când numitorul e un trinom de gradul al doilea: în $\int \frac{x+1}{x^2+2x+2}dx$, numărătorul e jumătate din derivata numitorului, deci rezultatul este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+2x+2\right)+\mathcal{C}$. Ce se întâmplă când numărătorul nu e proporțional cu derivata trinomului este subiectul lecției despre primitivele cu trinom de gradul al doilea.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Substituția $u=ax+b$

Calculați: a) $\int (2x-5{)}^{6}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \sin \frac{x}{3}dx$, $x\in \mathbb{R}$; c) $\int e^{-3x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare. În toate trei, $u(x)=ax+b$ și $u^{\prime }(x)=a$, deci se fabrică factorul $\frac{1}{a}$.

a) $u=2x-5$, $a=2$, $f(t)=t^6$ cu primitiva $\frac{t^7}{7}$: $$\int (2x-5{)}^{6}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2x-5{)}^7}{7}+\mathcal{C}=\frac{(2x-5{)}^7}{14}+\mathcal{C}.$$

b) $u=\frac{x}{3}$, deci $a=\frac{1}{3}$ și factorul din față este $\frac{1}{a}=3$; primitiva sinusului e $-\cos$, așa că $\int \sin \frac{x}{3}dx=-3\cos \frac{x}{3}+\mathcal{C}$. Observă că un coeficient subunitar mărește rezultatul, nu îl micșorează.

c) $u=-3x$, $a=-3$: $\int e^{-3x}dx=-\frac{1}{3}{e}^{-3x}+\mathcal{C}$. Semnul minus vine chiar din $\frac{1}{a}$. (Toate trei verificate numeric, în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 2 — Substituția $u=x^2+a$

Calculați: a) $\int x{\left(x^2+2\right)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) $u=x^2+2$, $u^{\prime }=2x$; în integrand e $x$, deci reparăm cu $\frac{1}{2}$: $$\int x{\left(x^2+2\right)}^{4}dx=\frac{1}{2}\int 2x{\left(x^2+2\right)}^{4}dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{{\left(x^2+2\right)}^5}{5}+\mathcal{C}=\frac{{\left(x^2+2\right)}^5}{10}+\mathcal{C}.$$

b) $u=x^2+9>0$, $u^{\prime }=2x$, rândul $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$ dă $2\sqrt{u}$: $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}dx=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{x^2+9}+\mathcal{C}=\sqrt{x^2+9}+\mathcal{C}.$$ (Verificate numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 3 — Substituții trigonometrice

Calculați: a) $\int {\sin }^{2}x\cos xdx$, $x\in \mathbb{R}$; b) $\int \mathrm{ctg}xdx$, $x\in (0,\pi )$.

Rezolvare.

a) Factorul $\cos x$ e liber, restul e o putere a lui $\sin x$: luăm $u=\sin x$, $u^{\prime }=\cos x$, $f(t)=t^2$. Rezultă $\int {\sin }^{2}x\cos xdx=\frac{{\sin }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

b) Scriem $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ și recunoaștem rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=\sin x$. Pe $(0,\pi )$ avem $\sin x>0$, deci $$\int \mathrm{ctg}xdx=\ln (\sin x)+\mathcal{C}.$$ Pe un interval oarecare pe care sinusul nu se anulează, rezultatul se scrie $\ln |\sin x|+\mathcal{C}$ — este chiar rândul 16 din tabelul canonic al primitivelor. (Verificate numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 4 — Substituțiile $u=\ln x$ și $u=e^x$

Calculați: a) $\int \frac{dx}{x\left(1+{\ln }^{2}x\right)}$, $x\in (0,+\infty )$; b) $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+4}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) $u=\ln x$, $u^{\prime }=\frac{1}{x}$, iar numitorul e $1+u^2$: suntem pe rândul arctangentei, cu $a=1$, deci $$\int \frac{dx}{x\left(1+{\ln }^{2}x\right)}=\mathrm{arctg}(\ln x)+\mathcal{C},x\in (0,+\infty ).$$

b) Aici interiorul e $u=e^{2x}+4$, cu $u^{\prime }=2e^{2x}$, iar în integrand stă $e^{2x}$, adică jumătate din cât trebuie. Cum $u>0$ peste tot, rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ dă $$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}+4}dx=\frac{1}{2}\ln \left(e^{2x}+4\right)+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ (Verificate numeric în câte trei puncte; la a) verificarea a folosit derivarea funcției compuse $\mathrm{arctg}$.) ✓

Exemplul 5 — Substituția cu radical

Calculați: a) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx$, $x\in (-1,+\infty )$; b) $\int x\sqrt{x-2}dx$, $x\in (2,+\infty )$.

Rezolvare.

a) Cu $u=\sqrt{x+1}$ avem $x=u^2-1$ și $u^{\prime }=\frac{1}{2u}$, deci integrandul este $2\left(u^2-1\right)u^{\prime }$ și $$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}}dx=\frac{2}{3}\sqrt{(x+1{)}^3}-2\sqrt{x+1}+\mathcal{C}.$$

b) Cu $u=\sqrt{x-2}$ avem $x=u^2+2$ și $u^{\prime }=\frac{1}{2u}$, iar $x\sqrt{x-2}=\left(u^2+2\right)u=2\left(u^2+2\right)u^2\cdot \frac{1}{2u}\cdot u$. Mai simplu, integrandul se scrie direct ca $2\left(u^4+2u^2\right)u^{\prime }$, cu primitiva $\frac{2u^5}{5}+\frac{4u^3}{3}$, deci $$\int x\sqrt{x-2}dx=\frac{2}{5}\sqrt{(x-2{)}^5}+\frac{4}{3}\sqrt{(x-2{)}^3}+\mathcal{C}.$$ (Verificate numeric în câte trei puncte.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$. a) Determinați $\int f(x)dx$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=0$. c) Folosind rezultatul de la a), calculați $\int \frac{dx}{e^x+1}$, $x\in \mathbb{R}$.

Rezolvare.

a) Numărătorul este derivata numitorului, iar $e^x+1>0$ pe $\mathbb{R}$; suntem pe rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=e^x+1$: $$\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=\ln \left(e^x+1\right)+\mathcal{C}.$$

b) Din $F(x)=\ln \left(e^x+1\right)+c$ și $F(0)=\ln 2+c=0$ rezultă $c=-\ln 2$, deci $$F(x)=\ln \left(e^x+1\right)-\ln 2=\ln \frac{e^x+1}{2}.$$

c) Trucul standard al Subiectului al III-lea: scădem și adunăm ca să apară integrala deja calculată. Din $\frac{1}{e^x+1}=\frac{e^x+1-e^x}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}$ și din liniaritate obținem $$\int \frac{dx}{e^x+1}=\int 1dx-\int \frac{e^x}{e^x+1}dx=x-\ln \left(e^x+1\right)+\mathcal{C}.$$ (Verificat numeric: derivata rezultatului coincide cu integrandul în trei puncte, iar $F(0)=0$ exact.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu notează întâi $u(x)$ și $u^{\prime }(x)$, apoi constanta pe care trebuie să o fabrici, și abia la final scrie rezultatul, cu intervalul.

1. Calculează $\int (2x+3{)}^{5}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

2. Calculează $\int \sin (4x)dx$, $x\in \mathbb{R}$.

3. Calculează $\int e^{5x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

4. Calculează $\int \frac{dx}{3x-1}$, $x\in \left(\frac{1}{3},+\infty \right)$.

5. Calculează $\int \frac{x}{x^2+4}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

6. Calculează $\int x^2{\left(x^3+2\right)}^{4}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

7. Calculează $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+16}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

8. Calculează $\int {\cos }^{2}x\sin xdx$, $x\in \mathbb{R}$.

9. Calculează $\int \frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

10. Calculează $\int \frac{dx}{x{\ln }^{2}x}$, $x\in (1,+\infty )$.

11. Calculează $\int \frac{e^x}{e^x+3}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

12. Calculează $\int \frac{x^3}{x^4+1}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

13. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pe $\mathbb{R}$ are loc $\int \cos (3x)dx=\sin (3x)+\mathcal{C}$."

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $u$ este derivabilă și nu se anulează pe intervalul $I$, atunci $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+\mathcal{C}$ pe $I$."

15. Calculează $\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+4}}$. a) Determină $\int f(x)dx$. b) Determină primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(0)=0$.

17. (Problemă aplicată.) Numărul de utilizatori ai unei aplicații crește cu viteza $N^{\prime }(t)=300t{e}^{-t^2}$ utilizatori pe lună, unde $t\ge 0$ este timpul în luni. Știind că $N(0)=1000$, determină $N(t)$ și spune spre ce valoare tinde numărul de utilizatori.

18. (Provocare.) Calculează $\int \frac{e^x}{\sqrt{e^x+1}}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $u=2x+3$, $a=2$: $\frac{(2x+3{)}^6}{12}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

2. $u=4x$, $a=4$, primitiva sinusului e $-\cos$: $-\frac{\cos (4x)}{4}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

3. $u=5x$, $a=5$: $\frac{e^{5x}}{5}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

4. $u=3x-1>0$ pe intervalul dat, $a=3$: $\frac{1}{3}\ln (3x-1)+\mathcal{C}$.

5. $u=x^2+4$, $u^{\prime }=2x$, factorul de reparat $\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$ (modulul cade, $x^2+4>0$).

6. $u=x^3+2$, $u^{\prime }=3x^2$, factorul $\frac{1}{3}$: $\frac{{\left(x^3+2\right)}^5}{15}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

7. $u=x^2+16>0$, rândul $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$: $\sqrt{x^2+16}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

8. $u=\cos x$, $u^{\prime }=-\sin x$, deci factorul de reparat e $-1$: $-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

9. $u=\cos x$, $u^{\prime }=-\sin x$, deci factorul de reparat e $-1$, iar numitorul e $1+u^2$: rezultatul este $-\mathrm{arctg}(\cos x)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

10. $u=\ln x$, $u^{\prime }=\frac{1}{x}$, iar $f(t)=t^{-2}$ are primitiva $-\frac{1}{t}$: rezultatul este $-\frac{1}{\ln x}+\mathcal{C}$, pe $(1,+\infty )$.

11. $u=e^x+3>0$, $u^{\prime }=e^x$: $\ln \left(e^x+3\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

12. $u=x^4+1>0$, $u^{\prime }=4x^3$, factorul $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{4}\ln \left(x^4+1\right)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

13. Fals. Derivata membrului drept este $3\cos (3x)$, adică de trei ori integrandul. Rezultatul corect este $\frac{\sin (3x)}{3}+\mathcal{C}$ — exact scurtătura din subsecțiunea 3.

14. Adevărat. Este rândul $\frac{u^{\prime }}{u}$ din tabelul primitivelor compuse, obținut cu $f(t)=\frac{1}{t}$. Ipoteza „$u$ nu se anulează pe $I$" e esențială: ea asigură că valorile lui $u$ rămân într-unul dintre intervalele $(-\infty ,0)$ sau $(0,+\infty )$, pe care logaritmul din modul are sens.

15. $u=\sin x$, $u^{\prime }=\cos x$, iar $1+{\sin }^{2}x=u^2+1$: rândul arctangentei dă $\mathrm{arctg}(\sin x)+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$. Compară-l cu exercițiul $9$: cele două sunt oglinda unul altuia, iar singura deosebire dintre răspunsuri este semnul minus, adus acolo de $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Perechea aceasta merită reținută ca atare — la examen, semnul e tot ce se pierde.

16. a) Cu $u=\sqrt{x+4}$, deci $x=u^2-4$, integrandul devine $2\left(u^2-4\right)u^{\prime }$, cu primitiva $\frac{2u^3}{3}-8u$: $$\int \frac{x}{\sqrt{x+4}}dx=\frac{2}{3}\sqrt{(x+4{)}^3}-8\sqrt{x+4}+\mathcal{C}.$$ b) În $x=0$: $\frac{2}{3}\cdot 8-8\cdot 2=\frac{16}{3}-16=-\frac{32}{3}$, deci $F(x)=\frac{2}{3}\sqrt{(x+4{)}^3}-8\sqrt{x+4}+\frac{32}{3}$.

17. $N(t)=\int 300t{e}^{-t^2}dt$. Cu $u=-t^2$, $u^{\prime }=-2t$, factorul de reparat e $-150$, deci $N(t)=-150e^{-t^2}+c$. Din $N(0)=-150+c=1000$ rezultă $c=1150$ și $N(t)=1150-150e^{-t^2}$. Cum $e^{-t^2}\to 0$ când $t\to +\infty$, numărul de utilizatori tinde la $1150$.

18. $u=e^x+1>0$, $u^{\prime }=e^x$, rândul $\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$: rezultatul este $2\sqrt{e^x+1}+\mathcal{C}$, pe $\mathbb{R}$.

De reținut

• Tiparul care se caută este $f(u(x))u^{\prime }(x)$: o funcție uzuală aplicată unei expresii, înmulțită cu derivata acelei expresii, eventual cu o constantă în plus.
• Tabelul primitivelor compuse nu conține formule noi: e tabelul canonic scris cu $u$ în loc de $x$ și înmulțit cu $u^{\prime }$; cele mai folosite rânduri sunt $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$ și $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$.
• Pentru o expresie de gradul întâi dinăuntru există scurtătura $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$, adică „integrezi ca și cum ar fi $x$, apoi împarți la $a$".
• Cele șase substituții tipice se recunosc după un semnal precis: gradul întâi înăuntru, un $x$ liber, $\cos x$ sau $\sin x$ liber, $\frac{1}{x}$ liber, $e^x$ liber, radical dintr-o expresie de gradul întâi.
• La substituția cu radical se notează radicalul cu $u$, se exprimă $x$ prin $u$, iar integrandul devine un polinom în $u$ înmulțit cu $u^{\prime }$.

Greșeli frecvente

• Se uită împărțirea la $a$. $\int \cos (5x)dx$ nu este $\sin (5x)+\mathcal{C}$, ci $\frac{\sin (5x)}{5}+\mathcal{C}$. Controlul: derivează rezultatul și vezi dacă apare factorul $5$ nedorit.
• Se pierde semnul minus la $u=\cos x$. Cum $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, un $\sin x$ liber cere factorul de reparat $-1$: $\int {\cos }^{2}x\sin xdx=-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\mathcal{C}$, nu $+\frac{{\cos }^{3}x}{3}$.
• Se scoate din integrală un factor care depinde de $x$. În $\int e^{x^2}dx$ nu se poate „completa" cu $\frac{1}{2x}$: numai constantele ies. Când lipsește o funcție, substituția nu se aplică.
• Se confundă ${\ln }^{2}x$ cu $\ln \left(x^2\right)$ și $e^{2x}$ cu $e^{x^2}$. Prima pereche apare la substituția $u=\ln x$, a doua la $u=e^x$; rescrierea $e^{2x}={\left(e^x\right)}^2$ e corectă, dar $e^{x^2}={\left(e^x\right)}^x$ nu ajută la nimic.
• Se scrie rezultatul fără interval. La $\int \frac{dx}{x\ln x}$ răspunsul $\ln (\ln x)+\mathcal{C}$ e valabil pe $(1,+\infty )$; pe $(0,1)$ se scrie $\ln |\ln x|+\mathcal{C}$, iar în $x=1$ funcția nici nu e definită.

Aplică acasă

1. Cartonașele cu semnale. Scrie pe șase cartonașe cele șase substituții tipice, iar pe verso semnalul după care se recunoaște fiecare. Amestecă-le și, luând integrale la întâmplare dintr-o culegere, potrivește-le cu cartonașul corect — fără să le rezolvi. Zece minute pe zi, o săptămână.

2. Constanta lipsă. Ia cincisprezece integrale de forma „ceva ori derivata a altceva" și, pentru fiecare, scrie doar constanta pe care trebuie să o fabrici: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $-1$, $\frac{1}{2a}$ și așa mai departe. Vei observa că peste jumătate dintre exerciții se rezolvă corect sau greșit exact în acest pas.

3. Verificarea inversă. Pentru trei dintre rezultatele de azi, derivează-le și scrie derivarea integral, cu regula funcțiilor compuse. Dacă nu obții exact integrandul de la care ai plecat, ai găsit greșeala singur — și ai învățat mai mult decât dintr-un răspuns copiat.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este partea practică a metodei introduse anterior: formula era deja demonstrată, aici se învață când și cum se aplică. Programa cere explicit „calcularea integralelor nedefinite ale unor funcții compuse, identificând opțiuni de a alege schimbarea de variabilă", deci accentul cade pe recunoaștere și pe decizie, nu pe manipulare simbolică.

Ce verifică lecția: (1) identificarea funcției din interior și găsirea derivatei ei în integrand; (2) folosirea corectă a tabelului primitivelor compuse, mai ales a rândurilor $\frac{u^{\prime }}{u}$ și $u^n{u}^{\prime }$; (3) scurtătura pentru $u=ax+b$, cu împărțirea la $a$; (4) fabricarea constantei lipsă, cu semnul corect; (5) substituția cu radical, în care integrandul se rescrie complet; (6) precizarea intervalului de valabilitate.

Întrebări bune de control: „Ce ai lua drept $u$ și de ce?", „Unde vezi derivata lui $u$?", „Ce constantă îți lipsește?", „Pe ce interval scrii răspunsul?". La BAC M1, aceste substituții apar în Subiectul al III-lea aproape la fiecare sesiune, fie direct („determinați primitivele funcției"), fie ascunse într-un calcul de arie sau de integrală definită. Semn că elevul a înțeles: privind o integrală nouă, spune în trei secunde dacă metoda se aplică sau nu, înainte de a scrie ceva.

Întrebări frecvente

Cum aleg substituția potrivită la o integrală? Cauți în integrand expresia cea mai complicată dinăuntru și o iei drept $u$, apoi îi calculezi derivata și verifici dacă o regăsești, măcar înmulțită cu o constantă, în restul integrandului. Dacă o regăsești, substituția e bună; dacă nu, alegi altă expresie sau altă metodă de integrare.

Care sunt substituțiile tipice cerute la Bacalaureat M1? Sunt șase: $u=ax+b$ pentru o expresie de gradul întâi dinăuntru, $u=x^2+a$ când ai un $x$ liber, $u=\sin x$ sau $u=\cos x$ la integrale trigonometrice, $u=\ln x$ când apare $\frac{1}{x}$, $u=e^x$ când apare $e^x$ liber și $u=\sqrt{ax+b}$ când ai un radical de gradul întâi.

Ce este tabelul primitivelor compuse? Este tabelul canonic al primitivelor rescris cu o funcție $u$ în locul variabilei $x$ și înmulțit cu $u^{\prime }$. Rândurile lui cele mai folosite sunt $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$, $\int u^n{u}^{\prime }dx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+\mathcal{C}$ și $\int \frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}dx=2\sqrt{u}+\mathcal{C}$. Nu conține nicio formulă nouă.

De ce se împarte la $a$ la integrala din $f(ax+b)$? Pentru că derivata funcției din interior este $a$, iar formula schimbării de variabilă cere ca acest factor să apară în integrand. Cum el nu apare, îl fabrici înmulțind și împărțind cu $a$, iar $\frac{1}{a}$ rămâne în fața rezultatului. De aceea $\int \cos (5x)dx=\frac{\sin (5x)}{5}+\mathcal{C}$.

Când apare modulul la logaritm și când nu? Formula generală este $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|+\mathcal{C}$, deci modulul se scrie întotdeauna. El poate fi înlăturat doar când, pe intervalul de lucru, funcția $u$ este strict pozitivă — de pildă la $x^2+4$ sau la $e^x+1$, care sunt pozitive oriunde. Când $u$ își schimbă semnul, modulul rămâne obligatoriu.

Cum se face substituția cu radical? Notezi radicalul însuși cu $u$, adică $u=\sqrt{ax+b}$, exprimi $x$ în funcție de $u$ din relația $u^2=ax+b$, apoi rescrii tot integrandul prin $u$ și prin $u^{\prime }$. Rezultatul este un polinom în $u$ înmulțit cu $u^{\prime }$, care se integrează imediat, iar la final revii la $x$.

Ce fac dacă derivata funcției din interior nu apare deloc în integrand? Atunci metoda schimbării de variabilă nu se aplică sub această formă și trebuie să încerci altceva: integrarea prin părți, după regula descreșterii, o rescriere algebrică a integrandului sau, dacă la numitor apare un trinom de gradul al doilea, rețeta special construită pentru acest caz. Fabricarea unei constante e permisă, fabricarea unei funcții nu.