Semnul unei funcții continue pe un interval: pe scurt

Teoremă. O funcție continuă pe un interval, care nu se anulează acolo, păstrează semn constant. Se demonstrează prin reducere la absurd, cu consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (teorema lui Bolzano). Forma practică: între două zerouri consecutive, semnul nu se schimbă, deci e de ajuns un singur punct de test.

Metoda are patru pași: domeniul; justificarea continuității; zerourile (ordonate crescător); testarea unui punct comod din fiecare interval.

Formatul tabelului de semn: antetul este rândul $x$, sub el rândul $f(x)$; coloanele alternează punct–interval. În coloanele-punct se scrie $0$ (zerou) sau $|$ (funcția nu e definită); în coloanele-interval, $+$ sau $-$. La un capăt închis al domeniului se scrie semnul valorii; la $\pm \infty$ coloana rămâne goală.

⚠️ Semnul nu alternează automat. Pentru $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$, semnul nu se schimbă la trecerea prin $1$, factorul $(x-1{)}^2$ fiind pozitiv de ambele părți. Regula: la o rădăcină de ordin impar semnul se schimbă, la una de ordin par nu — dar semnele se calculează, nu se alternează.

Metoda nu ține de forma expresiei, ci doar de continuitate, deci merge la fel la exponențiale, logaritmi și funcții trigonometrice. Inecuațiile se rezolvă apoi prin simpla citire a tabelului; la fracții nu se înmulțește cu numitorul.

Exerciții din această mini-lecție

1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-9x$, este:

   • a) pozitivă pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(0,3)$
   • b) pozitivă pe tot $\mathbb{R}$
   • c) negativă pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(0,3)$, pozitivă pe $(-3,0)$ și pe $(3,+\infty )$
   • d) negativă pe $(-3,0)$ și pe $(3,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) negativă pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(0,3)$, pozitivă pe $(-3,0)$ și pe $(3,+\infty )$

   Descompunem: $f(x)=x(x-3)(x+3)$, cu zerourile $-3$, $0$ și $3$. Testăm câte un punct din fiecare interval: $f(-4)=-28<0$; $f(-1)=8>0$; $f(1)=-8<0$; $f(4)=28>0$. Semnele se calculează, nu se ghicesc — aici tiparul chiar alternează, pentru că toate rădăcinile sunt simple.

2. Pentru $f(x)=(x-2{)}^2(x+5)$, la trecerea prin $x=2$:

   • a) semnul se schimbă din $-$ în $+$
   • b) semnul se schimbă din $+$ în $-$
   • c) funcția nu este definită
   • d) semnul nu se schimbă, pentru că $2$ este rădăcină dublă
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) semnul nu se schimbă, pentru că $2$ este rădăcină dublă

   Factorul $(x-2{)}^2$ este strict pozitiv de ambele părți ale lui $2$, deci semnul lui $f$ este dat, în jurul lui $2$, doar de $x+5>0$: funcția e pozitivă și înainte, și după. La o rădăcină de ordin par semnul se păstrează; la una de ordin impar, ca $-5$ aici, se schimbă.

3. Soluția inecuației $x^3-9x\le 0$ este:

   • a) $(-\infty ,-3]\cup [0,3]$
   • b) $[-3,0]\cup [3,+\infty )$
   • c) $(-\infty ,-3)\cup (0,3)$
   • d) $[-3,3]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $(-\infty ,-3]\cup [0,3]$

   Din tabelul de semn, $f$ este negativă pe $(-\infty ,-3)$ și pe $(0,3)$, iar zerourile sunt $-3$, $0$ și $3$. Inegalitatea fiind nestrictă, zerourile intră în soluție, deci mulțimea soluțiilor este $(-\infty ,-3]\cup [0,3]$. Varianta c) uită să adauge zerourile.