Semnul unei funcții continue pe un interval

Un magazin online câștigă bani atunci când profitul este pozitiv și pierde atunci când este negativ. Între cele două regimuri există momente de trecere — zilele în care profitul este exact zero. Dacă profitul variază continuu în timp, atunci între două zile-de-trecere consecutive regimul nu se poate schimba: dacă la începutul intervalului ești pe câștig și profitul n-a mai fost zero de atunci, ești pe câștig pe toată durata lui. Nu e nevoie să verifici fiecare zi; e de ajuns una singură.

Aceasta este ideea întregii lecții, și ea transformă o problemă cu o infinitate de verificări într-una cu patru-cinci calcule. Până acum știai să stabilești semnul doar pentru două familii de funcții: cea afină, la Semnul funcției afine și intersecțiile cu axele, și cea de gradul al doilea, la Semnul funcției de gradul al doilea, citit pe grafic. Astăzi obții regula generală, valabilă pentru orice funcție continuă: se află zerourile, se taie domeniul în intervale și se testează un singur punct din fiecare. Rezultatul se scrie într-un tabel de semn — obiectul care va deveni, în unitatea următoare, coloana vertebrală a tabelului de variație.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți și să demonstrezi teorema: o funcție continuă care nu se anulează pe un interval păstrează semn constant pe acel interval.
• Vei ști să aplici metoda în patru pași: domeniul, continuitatea, zerourile, testarea unui punct din fiecare interval.
• Vei ști să întocmești corect un tabel de semn, cu coloane alternând între puncte și intervale.
• Vei ști să tratezi separat punctele în care funcția nu este definită — ele taie domeniul, dar nu sunt zerouri.
• Vei ști de ce semnul nu alternează automat și cum se comportă funcția în jurul unei rădăcini duble.
• Vei ști să rezolvi inecuații prin citirea directă a tabelului de semn, inclusiv pentru expresii cu logaritmi, exponențiale sau funcții trigonometrice.

Hai să descoperim împreună

1. Teorema care face totul posibil

Teoremă. Fie $I$ un interval și $f:I\to \mathbb{R}$ o funcție continuă pe $I$, cu $f(x)\ne 0$ pentru orice $x\in I$. Atunci $f$ păstrează semn constant pe $I$: fie $f(x)>0$ pentru orice $x\in I$, fie $f(x)<0$ pentru orice $x\in I$.

Demonstrație (prin reducere la absurd). Presupunem că $f$ ia atât valori pozitive, cât și negative: există $a,b\in I$ cu $f(a)<0<f(b)$. Fie, să zicem, $a<b$ (cazul $b<a$ se tratează identic). Cum $I$ e interval, avem $[a,b]\subseteq I$, iar $f$ e continuă pe $[a,b]$ și $f(a)\cdot f(b)<0$.

Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare (cunoscută și ca teorema lui Bolzano), stabilită în lecția Proprietatea valorilor intermediare, există $c\in (a,b)\subseteq I$ cu $f(c)=0$. Aceasta contrazice ipoteza că $f$ nu se anulează pe $I$. Prin urmare presupunerea e falsă, iar $f$ păstrează semn constant. $■$

Reține forma practică, cea pe care o vei folosi la fiecare exercițiu:

Între două zerouri consecutive ale unei funcții continue, semnul funcției nu se schimbă. Ca să-l afli, e suficient să calculezi valoarea funcției într-un singur punct al intervalului.

Ipoteza „$I$ este interval" nu poate fi slăbită, iar motivul se vede în demonstrație: numai pentru un interval am putut afirma că tot segmentul $[a,b]$ e inclus în domeniu, deci că funcția e continuă pe el. Pe o reuniune de intervale afirmația e falsă — funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ nu se anulează nicăieri pe domeniul ei, dar e negativă la stânga originii și pozitivă la dreapta ei. De aceea, la funcțiile raționale, discuția de semn se face interval cu interval, iar punctele în care numitorul se anulează se tratează în §4.

2. Metoda în patru pași

Fie $f$ o funcție dată printr-o expresie. Pentru a-i determina semnul:

1. Domeniul $D$. Scrii condițiile de existență. Domeniul este, în general, o reuniune de intervale.
2. Continuitatea. Justifici, într-o propoziție, că $f$ e continuă pe $D$ — de regulă prin argumentul din lecția Continuitatea pe o mulțime. Operații cu funcții continue, compunere și inversă: operații și compuneri de funcții uzuale.
3. Zerourile. Rezolvi ecuația $f(x)=0$ și reții soluțiile din $D$, ordonate crescător. La funcțiile raționale, ecuația se reduce la anularea numărătorului, cu grija de a păstra condiția ca numitorul să nu fie nul. La cele cu exponențială sau logaritm, folosești injectivitatea acestor funcții; la cele trigonometrice, reții numai soluțiile din intervalul de lucru, nu toată familia lor.
4. Testarea. Zerourile și capetele domeniului taie $D$ în intervale pe care $f$ e continuă și nu se anulează. În fiecare, alegi un punct comod și calculezi semnul valorii. Prin teorema de la §1, acel semn e valabil pe tot intervalul.

Punctul-cheie al metodei este pasul 4: nu ghicești semnele și nu le alternezi — le calculezi, câte unul pe interval. E singura variantă sigură, iar §5 arată de ce.

3. Formatul tabelului de semn

Rezultatul se scrie într-un tabel cu două rânduri. Rândul de antet este rândul lui $x$; sub el vine rândul funcției. Coloanele alternează: capătul din stânga, interval, zerou, interval, zerou, …, capătul din dreapta. În coloanele-punct se scrie $0$ (unde funcția se anulează) sau bara $|$ (unde funcția nu e definită), iar în coloanele-interval se scrie $+$ sau $-$.

Două reguli de format, de respectat peste tot: la un capăt închis al domeniului (de pildă $0$ sau $2\pi$, la o funcție studiată pe $[0,2\pi ]$) se scrie semnul valorii funcției acolo, pentru că punctul aparține domeniului; la $\pm \infty$ coloana rămâne goală, pentru că nu există nicio valoare de scris.

Iată tabelul pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$, cu zerourile $-2$, $0$ și $2$:

Citirea tabelului: funcția e negativă pe $(-\infty ,-2)$ și pe $(0,2)$, pozitivă pe $(-2,0)$ și pe $(2,+\infty )$, iar zerourile ei sunt $-2$, $0$ și $2$.

Cum s-au obținut semnele: prin patru calcule, câte unul pe interval — $f(-3)=-27+12=-15<0$; $f(-1)=-1+4=3>0$; $f(1)=1-4=-3<0$; $f(3)=27-12=15>0$. (Verificat suplimentar prin eșantionare pe câte $1200$ de puncte în fiecare interval: semnul găsit e constant peste tot.)

Formatul acesta nu e o alegere estetică: el este exact scheletul tabelului de variație din lecția Tabelul de variație cu derivata întâi, unde peste rândul funcției se vor adăuga rândul derivatei și săgețile de monotonie. Cu cât îl deprinzi mai devreme, cu atât mai puțin ai de învățat acolo.

4. Punctele în care funcția nu e definită

La funcțiile raționale apar puncte care taie domeniul fără să fie zerouri. Ele intră în tabel, dar cu bara $|$, nu cu $0$.

Fie $f(x)=\frac{x^2-1}{x-3}$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{3\}$, iar zerourile se obțin din $x^2-1=0$, adică $x\in \{-1,1\}$. Cele trei valori împart domeniul în patru intervale:

Calculele de test: $f(-2)=\frac{3}{-5}=-0,6<0$; $f(0)=\frac{-1}{-3}=\frac{1}{3}>0$; $f(2)=\frac{3}{-1}=-3<0$; $f(4)=\frac{15}{1}=15>0$. (Verificat prin eșantionare densă pe toate cele patru intervale.)

Observă că teorema de la §1 se aplică pe fiecare interval separat, nu pe reuniunea lor: în $3$ funcția nici nu există, deci nu se poate vorbi despre trecerea prin acel punct.

Există totuși o legătură între semn și ce se întâmplă lângă un asemenea punct, iar ea vine din Limite laterale: apropiindu-te de $3$ dinspre stânga, numitorul e negativ și tot mai mic în modul, iar numărătorul e pozitiv, deci valorile coboară spre $-\infty$; dinspre dreapta, numitorul e pozitiv, iar valorile urcă spre $+\infty$. Semnele din tabel se pot deci verifica prin limitele laterale, ceea ce merită făcut ori de câte ori nu ești sigur de calculul de probă.

5. Semnul nu alternează automat

Iată capcana care produce cele mai multe erori la examen. Fie $f(x)=x^3-3x+2$. Cum $f(1)=0$, împărțim și obținem descompunerea $$f(x)=(x-1{)}^2(x+2),$$ verificabilă prin desfacerea parantezelor. Zerourile sunt $-2$ și $1$, dar $1$ este rădăcină dublă.

Calculele de test: $f(-3)=-27+9+2=-16<0$; $f(0)=2>0$; $f(2)=8-6+2=4>0$. Semnul nu s-a schimbat la trecerea prin $1$, pentru că factorul $(x-1{)}^2$ este pozitiv de ambele părți. (Verificat prin eșantionare densă pe cele trei intervale, plus verificarea identității $(x-1{)}^2(x+2)=x^3-3x+2$ în șase puncte.)

De aici, regula fermă: semnele se calculează, nu se alternează. Alternanța „$-,+,-,+$" e doar un tipar frecvent, nu o lege.

Pentru funcțiile polinomiale există chiar o explicație completă a fenomenului, pe care o poți formula folosind noțiunea de ordin de multiplicitate al unei rădăcini: la trecerea printr-o rădăcină de ordin impar, semnul se schimbă, pentru că factorul corespunzător își schimbă semnul; la trecerea printr-una de ordin par, semnul rămâne același, pentru că factorul este un pătrat perfect, deci nenegativ. Așa se explică, dintr-o privire, și tabelul funcției $f(x)=(x+1{)}^2(x-4)$: rădăcina $-1$ e dublă, deci nu produce nicio schimbare, iar $4$ e simplă, deci produce una. Reține însă că această regulă e o verificare, nu un substitut al calculului: la funcții care nu sunt polinoame ea nici măcar nu are sens.

6. Funcții care nu sunt polinoame

Metoda nu ține deloc de forma expresiei — singurul lucru care contează este continuitatea. Trei exemple care se cer des:

(a) $f(x)=e^x-2$ pe $\mathbb{R}$. Zeroul: $e^x=2$, deci $x=\ln 2\approx 0,6931472$. Test: $f(0)=1-2=-1<0$ și $f(1)=e-2\approx 0,7182818>0$.

(b) $f(x)=x\ln x$ pe $(0,+\infty )$. Zeroul: produsul e nul când $\ln x=0$, deci $x=1$ (factorul $x$ nu se anulează pe domeniu). Test: $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}<0$ și $f(e)=e>0$. Funcția e negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$.

(c) $f(x)=2\sin x-1$ pe $[0,2\pi ]$. Zerourile: $\sin x=\frac{1}{2}$, deci $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=\frac{5\pi }{6}$, singurele din interval. Test: $f(0)=-1<0$, $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1>0$, $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-3<0$.

(Toate cele trei tabele au fost verificate prin eșantionare densă, cu peste o mie de puncte pe fiecare interval.)

7. Inecuațiile devin o simplă citire

O inecuație de forma $f(x)>0$, $f(x)\le 0$ și așa mai departe se rezolvă citind tabelul de semn: aduni intervalele cu semnul cerut, adăugând sau nu zerourile, după cum inegalitatea e strictă sau nu.

Din tabelul de la §3: soluția inecuației $x^3-4x>0$ este $(-2,0)\cup (2,+\infty )$, iar soluția inecuației $x^3-4x\le 0$ este $(-\infty ,-2]\cup [0,2]$. Metoda o cunoști din Inecuații de gradul al doilea rezolvate grafic; ce s-a schimbat este că acum funcționează pentru orice funcție continuă, nu doar pentru trinom.

O atenționare importantă la inecuațiile cu fracții: nu se înmulțește cu numitorul. Dacă ai de rezolvat $\frac{2x-6}{x+1}>0$, tentația e să înmulțești ambii membri cu $x+1$; e greșit, pentru că nu știi semnul acestui număr, iar înmulțirea cu o cantitate negativă schimbă sensul inegalității. Procedura corectă: aduci totul într-un singur membru, obții o singură fracție și faci tabelul de semn al ei. Din tabelul Exemplului 2 citești imediat soluția $(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$.

Un ultim caz merită anticipat: dacă zerourile nu se pot calcula exact — cum se întâmplă la ecuația $x^3-3x-1=0$ —, tabelul de semn se construiește tot, dar cu zerourile doar localizate în intervale. Aceasta este exact tema lecției Existența soluțiilor unei ecuații în mulțimea numerelor reale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție polinomială de gradul al treilea

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-4x$.

Rezolvare. Domeniul: $D=\mathbb{R}$; funcția e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$.

Zerourile: $x^3-4x=x\left(x^2-4\right)=x(x-2)(x+2)=0$, deci $x\in \{-2,0,2\}$.

Testarea: $f(-3)=-15<0$, $f(-1)=3>0$, $f(1)=-3<0$, $f(3)=15>0$.

Concluzia: $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-2)\cup (0,2)$, $f(x)>0$ pe $(-2,0)\cup (2,+\infty )$, iar $f$ se anulează în $-2$, $0$ și $2$. ✓

Exemplul 2 — O funcție rațională

Studiați semnul funcției $f(x)=\frac{2x-6}{x+1}$.

Rezolvare. Domeniul: $x+1\ne 0$, deci $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$; $f$ e continuă pe $D$, ca raport de funcții polinomiale cu numitorul nenul.

Zeroul: $2x-6=0$, deci $x=3$.

Testarea: $f(-2)=\frac{-10}{-1}=10>0$; $f(0)=\frac{-6}{1}=-6<0$; $f(4)=\frac{2}{5}>0$.

Concluzia: $f(x)>0$ pe $(-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$ și $f(x)<0$ pe $(-1,3)$. (Verificat prin eșantionare densă.) ✓

Exemplul 3 — O funcție cu logaritm

Studiați semnul funcției $f(x)=\ln x-1$.

Rezolvare. Domeniul: $x>0$, deci $D=(0,+\infty )$; $f$ e continuă pe $D$, ca diferență dintre funcția logaritmică și o constantă.

Zeroul: $\ln x=1$, deci $x=e\approx 2,7182818$.

Testarea: $f(1)=0-1=-1<0$ și $f\left(e^2\right)=2-1=1>0$.

Concluzia: $f(x)<0$ pe $(0,e)$, $f(e)=0$ și $f(x)>0$ pe $(e,+\infty )$. Interpretarea: $\ln x$ depășește $1$ exact pentru $x>e$ — o consecință a monotoniei stabilite la Funcția logaritmică: grafic și proprietăți. ✓

Exemplul 4 — O funcție trigonometrică

Studiați semnul funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=1-2\cos x$.

Rezolvare. $f$ e continuă pe $[0,2\pi ]$. Zerourile: $\cos x=\frac{1}{2}$, deci, în intervalul dat, $x=\frac{\pi }{3}$ și $x=\frac{5\pi }{3}$.

Testarea: $f(0)=1-2=-1<0$; $f(\pi )=1+2=3>0$; $f(2\pi )=-1<0$.

Concluzia: $f(x)<0$ pe $\left[0,\frac{\pi }{3}\right)$ și pe $\left(\frac{5\pi }{3},2\pi \right]$, iar $f(x)>0$ pe $\left(\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right)$. (Verificat prin eșantionare densă pe fiecare interval.) ✓

Exemplul 5 — O rădăcină dublă

Studiați semnul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x+2$.

Rezolvare. Observăm că $f(1)=1-3+2=0$, deci $x-1$ divide expresia. Împărțind, obținem $f(x)=(x-1)\left(x^2+x-2\right)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1{)}^2(x+2)$ — descompunere obținută cu tehnica din lecția Descompunerea în factori ireductibili.

Zerourile: $-2$ (simplă) și $1$ (dublă).

Testarea: $f(-3)=-16<0$; $f(0)=2>0$; $f(2)=4>0$.

Concluzia: $f(x)<0$ pe $(-\infty ,-2)$ și $f(x)>0$ pe $(-2,1)\cup (1,+\infty )$, cu $f(-2)=f(1)=0$. La trecerea prin rădăcina dublă $1$, semnul nu se schimbă: factorul $(x-1{)}^2$ e pozitiv de ambele părți, iar graficul atinge axa fără să o traverseze. ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-16$. a) Determinați zerourile funcției. b) Alcătuiți tabelul de semn al funcției $f$. c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x^4-16\le 0$.

Rezolvare.

a) $x^4-16=\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)=(x-2)(x+2)\left(x^2+4\right)$. Cum $x^2+4>0$ pentru orice $x$ real, zerourile sunt $x=-2$ și $x=2$.

b) $f$ e polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$. Testăm: $f(-3)=81-16=65>0$; $f(0)=-16<0$; $f(3)=65>0$.

c) Din tabel, $f(x)\le 0$ exact pe $[-2,2]$, capetele fiind incluse pentru că acolo funcția se anulează, iar inegalitatea nu e strictă. Soluția: $S=[-2,2]$. (Verificat prin eșantionare densă pe cele trei intervale.) ✓

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare exercițiu, scrie domeniul, justificarea continuității, zerourile și punctele de test — în această ordine; baremul le urmărește exact așa.

1. Studiază semnul funcției $f(x)=(x-1)(x+3)$.

2. Studiază semnul funcției $f(x)=x^2-5x+6$.

3. Studiază semnul funcției $f(x)=x^3-x$.

4. Studiază semnul funcției $f(x)=\frac{x-2}{x+4}$, precizând ce se scrie în tabel în dreptul lui $-4$.

5. Studiază semnul funcției $f(x)=\frac{x^2+1}{x-2}$.

6. Studiază semnul funcției $f(x)=e^x-1$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Semnul unei funcții continue alternează întotdeauna de la un interval la următorul."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție continuă nu se anulează pe un interval, atunci ea păstrează semn constant acolo."

9. Studiază semnul funcției $f(x)=\ln (x-1)$, precizând mai întâi domeniul.

10. Rezolvă inecuația $x^3-4x\ge 0$, folosind tabelul de semn din lecție.

11. Studiază semnul funcției $f:[0,2\pi ]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sin x$.

12. Studiază semnul funcției $f(x)=(x+1{)}^2(x-4)$ și explică ce se întâmplă în $-1$.

13. (Problemă aplicată.) Profitul zilnic al unui magazin, în mii de lei, este $P(t)=t^2-9t+14$, unde $t\in [0,12]$ este ziua din lună. Determină zilele în care magazinul este pe pierdere.

14. Studiază semnul funcției $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2+1}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-2x^2-5x+6$, știind că $f(1)=0$. Determinați celelalte zerouri și alcătuiți tabelul de semn.

16. Explică, în cel mult patru rânduri, de ce e suficient un singur punct de test pe fiecare interval.

17. Fie $f$ continuă pe $\mathbb{R}$, cu $f(0)=-2$ și $f(5)=7$. Poate $f$ să fie pozitivă pe tot intervalul $(0,5)$? Justifică.

18. (Provocare.) Fie $f$ continuă pe $\mathbb{R}$, cu $f(x)\ne 0$ pentru orice $x$ real, și $f(2026)>0$. Arată că $f(x)>0$ pentru orice $x$ real.

Răspunsuri și explicații

1. Funcție polinomială, continuă pe $\mathbb{R}$; zerourile $-3$ și $1$. Test: $f(-4)=5>0$, $f(0)=-3<0$, $f(2)=5>0$. Deci $f>0$ pe $(-\infty ,-3)\cup (1,+\infty )$ și $f<0$ pe $(-3,1)$.

2. Zerourile $2$ și $3$. Test: $f(0)=6>0$, $f(2,5)=-0,25<0$, $f(4)=2>0$. Deci $f<0$ doar pe $(2,3)$ — tiparul cunoscut de la trinomul cu discriminant pozitiv.

3. $x^3-x=x(x-1)(x+1)$, zerourile $-1$, $0$, $1$. Test: $f(-2)=-6<0$, $f(-0,5)=0,375>0$, $f(0,5)=-0,375<0$, $f(2)=6>0$.

4. $D=\mathbb{R}\setminus \{-4\}$, zeroul $2$. În dreptul lui $-4$ se scrie bara $|$, nu $0$: funcția nu e definită acolo. Test: $f(-5)=7>0$, $f(0)=-0,5<0$, $f(3)=\frac{1}{7}>0$.

5. Numărătorul $x^2+1$ e strict pozitiv, deci semnul e dat exclusiv de numitor: $f<0$ pe $(-\infty ,2)$ și $f>0$ pe $(2,+\infty )$, cu bara $|$ în dreptul lui $2$. Funcția nu are zerouri.

6. $D=\mathbb{R}$, zeroul $x=0$ (din $e^x=1$). Test: $f(-1)=e^{-1}-1<0$, $f(1)=e-1>0$. Deci $f<0$ pe $(-\infty ,0)$ și $f>0$ pe $(0,+\infty )$.

7. Fals. Contraexemplul din lecție: $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ e pozitivă și înainte, și după rădăcina dublă $1$. Alternanța se întâmplă des, dar nu e o regulă; semnele se calculează.

8. Adevărat. Este exact teorema demonstrată în §1, prin reducere la absurd: dacă ar lua și valori pozitive, și valori negative, s-ar anula undeva între ele, contrazicând ipoteza.

9. $D=(1,+\infty )$; zeroul: $x-1=1$, deci $x=2$. Test: $f(1,5)=\ln 0,5<0$ și $f(3)=\ln 2>0$. Deci $f<0$ pe $(1,2)$ și $f>0$ pe $(2,+\infty )$.

10. Din tabelul de la §3, $f(x)\ge 0$ pe $[-2,0]\cup [2,+\infty )$ — zerourile se includ, fiindcă inegalitatea nu e strictă.

11. Zerourile pe $[0,2\pi ]$: $0$, $\pi$, $2\pi$. Test: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1>0$ și $f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-1<0$. Deci $\sin x>0$ pe $(0,\pi )$ și $\sin x<0$ pe $(\pi ,2\pi )$ — regăsești rezultatul din Semnul funcțiilor trigonometrice pe cadrane.

12. Zerourile $-1$ (dublă) și $4$ (simplă). Test: $f(-2)=1\cdot (-6)=-6<0$, $f(0)=-4<0$, $f(5)=36>0$. În $-1$ semnul nu se schimbă, funcția rămâne negativă de ambele părți: factorul $(x+1{)}^2$ nu poate schimba semnul.

13. $P(t)=0$ pentru $t=2$ și $t=7$. Test: $P(0)=14>0$, $P(5)=-6<0$, $P(10)=24>0$. Magazinul e pe pierdere pentru $t\in (2,7)$, adică în zilele $3$–$6$ (zilele întregi strict între $2$ și $7$), și este la zero în zilele $2$ și $7$.

14. Numitorul $x^2+1$ e strict pozitiv, deci semnul e dat de numărătorul $x^2-9$, cu zerourile $-3$ și $3$. Test: $f(-4)=\frac{7}{17}>0$, $f(0)=-9<0$, $f(4)=\frac{7}{17}>0$. Deci $f>0$ pe $(-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$, $f<0$ pe $(-3,3)$.

15. Împărțind la $x-1$ obținem $f(x)=(x-1)\left(x^2-x-6\right)=(x-1)(x-3)(x+2)$, deci zerourile sunt $-2$, $1$ și $3$. Test: $f(-3)=-24<0$, $f(0)=6>0$, $f(2)=-4<0$, $f(4)=18>0$. Deci $f<0$ pe $(-\infty ,-2)\cup (1,3)$ și $f>0$ pe $(-2,1)\cup (3,+\infty )$.

16. Pentru că pe fiecare dintre acele intervale funcția e continuă și nu se anulează, iar teorema din §1 garantează că semnul e constant acolo. Un singur calcul determină, așadar, semnul pe o infinitate de puncte.

17. Nu. Dacă ar fi pozitivă pe tot $(0,5)$, atunci, prin trecerea la limită, $f(0)\ge 0$ — dar $f(0)=-2<0$. Mai direct: cum $f(0)\cdot f(5)<0$, funcția are un zerou în $(0,5)$, iar imediat la dreapta lui $0$ valorile sunt negative, deoarece $f$ e continuă și $f(0)<0$.

18. Funcția e continuă pe intervalul $\mathbb{R}$ și nu se anulează nicăieri, deci, prin teorema din §1, păstrează semn constant pe tot $\mathbb{R}$. Cum într-un punct anume valoarea e pozitivă, semnul constant este cel pozitiv, deci $f(x)>0$ pentru orice $x$ real.

De reținut

• Teorema de bază: o funcție continuă pe un interval, care nu se anulează acolo, păstrează semn constant. Se demonstrează prin reducere la absurd, folosind consecința de semn a proprietății valorilor intermediare.
• Metoda în patru pași: domeniul $\to$ continuitatea $\to$ zerourile $\to$ un punct de test în fiecare interval.
• Tabelul de semn are rândul de antet $x$ și, sub el, rândul $f(x)$; coloanele alternează punct–interval, cu $0$ în zerouri și bara $|$ acolo unde funcția nu e definită.
• Semnele se calculează, nu se alternează. La o rădăcină de ordin par, semnul rămâne același de ambele părți.
• Inecuațiile se rezolvă prin citirea tabelului: aduni intervalele cu semnul cerut și incluzi zerourile doar când inegalitatea nu e strictă.

Greșeli frecvente

• Alternezi semnele mecanic. Pentru $(x-1{)}^2(x+2)$ tiparul „$-,+,-$" e greșit: semnul rămâne pozitiv de ambele părți ale lui $1$. Calculează câte o valoare pe fiecare interval.
• Scrii $0$ acolo unde funcția nu e definită. La $\frac{2x-6}{x+1}$, în dreptul lui $-1$ se pune bara $|$: funcția nu se anulează acolo, ci lipsește.
• Aplici teorema pe o reuniune de intervale. Semnul e constant pe fiecare interval al domeniului, nu pe tot domeniul. La funcțiile raționale, semnul se poate schimba peste un punct în care funcția nu există.
• Uiți să justifici continuitatea. Fără ea teorema nu se aplică, iar tabelul devine o afirmație nesusținută. O propoziție e de ajuns: „funcție polinomială, deci continuă pe $\mathbb{R}$".
• Confunzi zerourile funcției cu zerourile numitorului. Zerourile se caută la numărător (cu numitorul nenul); zerourile numitorului doar taie domeniul.

Aplică acasă

1. Termometrul și semnul. Notează temperatura exterioară din oră în oră, timp de o zi. Marchează orele în care a trecut prin $0^{\circ }$C și verifică pe datele tale afirmația din lecție: între două astfel de treceri consecutive, semnul temperaturii nu se schimbă.

2. Tabelul de semn al unei facturi. Ia un extras de cont pe o lună și construiește funcția „sold la momentul $t$". Marchează momentele în care soldul a fost zero și scrie tabelul de semn al soldului. Explică de ce, între două zerouri consecutive, contul rămâne în același regim.

3. Trei funcții, trei tabele. Alege trei funcții din lecție ($x^3-x$, $\frac{x-2}{x+4}$, $\ln (x-1)$), desenează-le graficele aproximative pe hârtie milimetrică și verifică vizual că zonele de deasupra axei corespund exact intervalelor cu $+$ din tabelele pe care le-ai scris.

Pentru părinți și profesori

Lecția generalizează o deprindere veche — discuția de semn — de la funcțiile de gradul întâi și al doilea la orice funcție continuă. Ideea centrală, pe care elevul trebuie să o poată formula singur, este: între două zerouri consecutive ale unei funcții continue semnul nu se poate schimba, deci un singur calcul de probă decide semnul pe tot intervalul.

Ce verifică lecția: (1) enunțul teoremei de constanță a semnului și demonstrația ei prin reducere la absurd; (2) parcurgerea celor patru pași în ordine, cu domeniul scris primul; (3) formatul corect al tabelului, inclusiv distincția dintre $0$ și bara verticală; (4) faptul că semnele se obțin prin calcul, nu prin alternanță; (5) trecerea de la tabel la mulțimea soluțiilor unei inecuații.

Întrebări bune de control: „De ce e suficient un singur punct de test pe interval?", „Ce scrii în tabel acolo unde se anulează numitorul?", „Ce se întâmplă cu semnul la o rădăcină dublă?". La BAC M1, tabelul de semn apare atât ca cerință de sine stătătoare, cât și — mult mai des — ca pas obligatoriu în interiorul studiului de variație de la subiectul al III-lea. Semn că elevul a înțeles: nu mai desenează graficul ca să afle semnul, ci calculează valori de probă.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema despre semnul unei funcții continue? Spune că o funcție continuă pe un interval, care nu se anulează pe acel interval, păstrează același semn peste tot pe el. Prin urmare, între două zerouri consecutive, semnul nu se poate schimba.

Cum fac tabelul de semn al unei funcții? În patru pași: scrii domeniul de definiție, justifici continuitatea, rezolvi ecuația $f(x)=0$ și, în fiecare interval determinat de zerouri și de capetele domeniului, calculezi valoarea funcției într-un punct comod. Semnul acelei valori este semnul pe tot intervalul.

Câte puncte de test trebuie să calculez pe un interval? Unul singur. Teorema garantează că semnul e constant acolo, deci al doilea calcul nu ar aduce nicio informație nouă. Alege punctul cel mai comod pentru calcul, de exemplu un număr întreg.

Semnul alternează întotdeauna de la un interval la altul? Nu. La o rădăcină de ordin par, cum e $1$ pentru funcția $(x-1{)}^2(x+2)$, semnul rămâne același de ambele părți. De aceea semnele se calculează, nu se deduc din tipar.

Ce scriu în tabel în punctele în care funcția nu e definită? O bară verticală, nu zero. Zeroul înseamnă că funcția există acolo și se anulează; bara înseamnă că punctul nu aparține domeniului și doar taie domeniul în bucăți.

Metoda funcționează și pentru funcții cu logaritmi sau exponențiale? Da, pentru orice funcție continuă. Singura diferență este că zerourile se află rezolvând ecuația corespunzătoare — de pildă $e^x=2$ dă $x=\ln 2$ — și că trebuie scris cu grijă domeniul de definiție.

Cum rezolv o inecuație cu ajutorul tabelului de semn? Construiești tabelul funcției din membrul stâng, după ce ai adus totul într-un singur membru, apoi reunești intervalele care poartă semnul cerut. Zerourile se includ dacă inegalitatea nu este strictă și se exclud dacă este.

Ce fac dacă nu pot calcula exact zerourile? Le localizezi: cauți intervale la capetele cărora funcția are semne contrare și scrii tabelul cu zerourile plasate în acele intervale. Aceasta este metoda dezvoltată în lecția despre existența soluțiilor unei ecuații.