Sinteză: aplicații ale integralei: pe scurt

Sinteza unității pornește de la un semn care spune, dintr-o privire, ce se calculează: puterea la care apare funcția sub integrală. Puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_G$; puterea a doua înseamnă volum sau numărătorul lui $y_G$. Aria este ${\int }_a^b|f|$, nu ${\int }_a^{b}f$: când funcția schimbă semnul, intervalul se rupe în zerourile din interiorul lui și fiecare bucată intră cu semnul care o face pozitivă — pentru $f(x)=x^2-x-2$ pe $[0,3]$ integrala este $-\frac{3}{2}$, iar aria $\frac{31}{6}$. Simbolul ${\Gamma }_f$ rămâne rezervat funcțiilor pozitive; în rest regiunea se descrie în cuvinte. Cine este deasupra se stabilește cu un punct de test, nu din desen. Volumul corpului de rotație se scrie $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ și se controlează cu cilindrii înscris și circumscris, care îl încadrează; pentru $f$ constantă formula trebuie să dea $\pi r^{2}h$. Centrul de greutate cere trei integrale — aria întâi —, iar rezultatul se verifică pe figurile din gimnaziu. La orice modelare din fizică se integrează o rată — forța, debitul, puterea —, iar răspunsul se scrie obligatoriu cu unitatea de măsură: ariile în unități pătratice, volumele în unități cubice, lucrul mecanic în jouli. Constanta $\mathcal{C}$ nu apare niciodată la o integrală definită.

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-o problemă apare ${\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Această integrală poate fi:

   • a) aria subgraficului sau numărătorul lui $x_G$
   • b) numai lucrul mecanic al unei forțe
   • c) numai aria dintre două grafice
   • d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $\pi$) sau numărătorul lui $y_G$ (până la factorul $\frac{1}{2}$)
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) volumul unui corp de rotație (până la factorul $\pi$) sau numărătorul lui $y_G$ (până la factorul $\frac{1}{2}$)

   Puterea la care apare funcția sub integrală spune ce se calculează: puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_G$ (acolo cu factorul $x$), iar puterea a doua înseamnă volum, $\mathcal{V}=\pi \int f^2$, sau numărătorul lui $y_G$, $\frac{1}{2}\int f^2$. Este cel mai rapid mod de a recunoaște tipul unui subpunct de Bacalaureat M1.

2. Aria regiunii mărginite de graficul funcției $f(x)=x^2-2x-3$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=4$ este:

   • a) $-\frac{20}{3}$
   • b) $\frac{34}{3}$
   • c) $\frac{20}{3}$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $\frac{34}{3}$

   Rădăcinile sunt $-1$ și $3$; în interiorul intervalului se află doar $x=3$. Pe $[0,3]$ funcția este negativă, pe $[3,4]$ pozitivă: ${\int }_0^3\left(3+2x-x^2\right)dx+{\int }_3^4\left(x^2-2x-3\right)dx=9+\frac{7}{3}=\frac{34}{3}$. Varianta $-\frac{20}{3}$ este integrala fără modul; un rezultat negativ pentru o arie este semnalul imediat al greșelii.

3. Ai calculat volumul unui corp de rotație. Care este cea mai rapidă verificare?

   • a) să verifici că, pentru $f$ constantă, formula dă volumul cilindrului $\pi r^{2}h$
   • b) să compari cu aria subgraficului
   • c) să refaci calculul cu altă primitivă
   • d) să verifici că rezultatul este întreg
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) să verifici că, pentru $f$ constantă, formula dă volumul cilindrului $\pi r^{2}h$

   Cazul constant este proba formulei: pentru $f(x)=r$ pe $[0,h]$ trebuie să iasă exact $\pi r^{2}h$. În plus, corpul este cuprins între cilindrii de raze $\min f$ și $\max f$, care îl încadrează și dau un control de ordin de mărime. Aria subgraficului se măsoară în alte unități, deci comparația de la b) nu spune nimic.