Sinteză: aplicații ale integralei — probleme de tip Bacalaureat M1

Ultimele treisprezece lecții au dat integralei definite ceva ce nicio altă noțiune din analiza de clasa a 12-a nu are: o măsurătoare. Aceeași formulă ${\int }_a^{b}f(x)dx$ a devenit, pe rând, aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație, coordonatele centrului de greutate al unei plăci, lucrul mecanic al unei forțe și volumul de lichid scurs printr-o conductă. Lecția de față nu adaugă nicio noțiune nouă. Ea strânge unitatea într-o listă de control, rezolvă complet șase probleme-model în formatul examenului și adună cele opt capcane care fac diferența dintre un rezultat corect și unul aproape corect. Aplicațiile integralei definite cerute la Bacalaureat M1 sunt patru: aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație în jurul axei $Ox$, centrul de greutate al unei plăci omogene și modelările din fizică.

Formatul e cel cu care te-ai obișnuit. Problema $2$ din Subiectul al III-lea are trei subpuncte de câte $5$ puncte, iar la o problemă de aplicații ele se așază aproape întotdeauna astfel: subpunctul a) cere un calcul pregătitor — o intersecție, o integrală simplă, un semn; subpunctul b) cere o pregătire a formulei — de obicei $\int f^2$, $\int xf$ sau o comparație; iar subpunctul c) cere aplicația propriu-zisă: aria, volumul, centrul de greutate sau mărimea fizică, cu unitatea ei de măsură. Cine recunoaște tiparul câștigă timp înainte de a scrie primul rând.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi lista de control a unității Aplicații ale integralei definite și să spui, pentru orice cerință, pe ce lecție se așază.
• Vei ști să alegi, dintr-o singură privire asupra enunțului, între arie, volum, centru de greutate și modelare.
• Vei ști să redactezi complet o problemă de arie, cu intersecțiile, cu stabilirea celei de deasupra și cu tratarea schimbării de semn.
• Vei ști să scrii un volum de rotație pe cei patru pași și să-l controlezi cu cilindrul circumscris.
• Vei ști să calculezi un centru de greutate și să verifici răspunsul pe figurile din gimnaziu.
• Vei ști cele opt capcane ale unității Aplicații ale integralei definite și verificarea rapidă care le prinde pe fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce trebuie să știi din aplicațiile integralei?

Aplicațiile integralei definite sunt mărimile geometrice și fizice care se obțin integrând o funcție continuă pe un interval compact: aria unei suprafețe plane, volumul unui corp de rotație, coordonatele centrului de greutate al unei plăci omogene și mărimile din fizică definite ca sumă continuă a unei rate — lucrul mecanic, volumul de lichid, energia consumată.

Lista de control a unității, în ordinea în care s-au construit noțiunile. Fiecare rând este o cerință care poate apărea singură într-un subpunct. Este o listă diferită de cea a sintezei integralei definite: aceea aduna metodele de calcul, aceasta adună întrebuințările lor.

Trimiterile complete rămân la aria subgraficului unei funcții, la volumul corpului de rotație și la centrul de greutate al plăcii plane omogene; acolo sunt demonstrațiile, aici doar adunarea lor.

2. Cum recunoști ce ți se cere?

Enunțul spune totul, dacă îl citești cu grijă. Patru cuvinte-cheie decid drumul.

• „aria suprafeței plane…" — se lucrează cu $f$ la puterea întâi, iar întrebarea următoare este întotdeauna ce mărginește regiunea: graficul și axa $Ox$, sau două grafice. Răspunsul dă una dintre cele două rețete de la secțiunea a treia.
• „volumul corpului obținut prin rotația… în jurul axei $Ox$" — se lucrează cu $f^2$ și cu factorul $\pi$ în față. Fără $\pi$ și fără pătrat, rezultatul nu are nici măcar unitățile bune.
• „centrul de greutate al plăcii omogene" — se calculează trei integrale: $\mathcal{S}$, $\int xf$ și $\int f^2$. Subpunctele a) și b) le pregătesc de obicei pe primele două.
• „lucrul mecanic / volumul scurs / energia consumată" — se aplică cele patru etape ale modelării, iar răspunsul poartă unitatea de măsură.

Mai există un semnal util: puterea la care apare $f$ sub integrală. Puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_G$; puterea a doua înseamnă volum sau numărătorul lui $y_G$. Un elev care confundă cele două aplicații scrie, de obicei, o formulă cu puterea greșită.

3. Care sunt cele trei rețete de arie și formula de buzunar?

Toate ariile se reduc la trei situații, cu numele fixate în lecțiile lor.

Regiunea dintre grafic și axa $Ox$, cu $f$ de semn constant. Dacă $f\ge 0$, aria este chiar ${\int }_a^{b}f$. Dacă $f\le 0$, regiunea nu mai este ${\Gamma }_f$ — simbolul ${\Gamma }_f$ rămâne rezervat funcțiilor pozitive — și se descrie în cuvinte: „regiunea mărginită de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=a$, $x=b$"; aria ei este $-{\int }_a^{b}f$.

Regiunea dintre grafic și axă, cu $f$ care schimbă semnul. Se aplică cele trei etape ale ariei cu schimbare de semn, fixate la lecția despre ariile cu schimbare de semn: Etapa $1$ — zerourile lui $f$ din interval; Etapa $2$ — tabelul de semn, citit ca la semnul funcției de gradul al doilea; Etapa $3$ — suma integralelor, fiecare luată cu semnul care o face pozitivă. Controlul unității: fiecare termen al sumei trebuie să iasă pozitiv.

Regiunea dintre două grafice. Se aplică cele trei etape ale ariei dintre grafice, de la lecția despre aria dintre două grafice: Etapa $1$ — punctele de intersecție, din ecuația $f(x)=g(x)$; Etapa $2$ — stabilirea celei de deasupra pe fiecare interval determinat de ele; Etapa $3$ — integrala diferenței, scrisă fără modul.

Când marginile sunt conice, drumul e același, dar cu două unelte în plus: formula de buzunar ${\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}dx=\frac{\pi r^2}{2}$, dedusă la lecția despre aria discului și a elipsei, și cele patru etape ale calculului unei arii mărginite de două conice, fixate la lecția despre ariile delimitate de două conice. Tot acolo e și criteriul „după $x$ sau după $y$": o parabolă cu axa orizontală se integrează după $y$, una cu axa verticală după $x$. O notă de onestitate, ca în toată unitatea $5$: în subiectele de Bacalaureat M1 de până acum conicele nu au apărut; ele intră în examen odată cu programa nouă.

4. Care sunt cei patru pași ai volumului de rotație?

Cei patru pași ai volumului de rotație, fixați la lecția lor, se scriu de fiecare dată în această ordine: (1) se verifică ipotezele — $f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$; (2) se scrie formula $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$; (3) se calculează $f^2$ și se integrează, cu metoda potrivită; (4) se scrie rezultatul, cu $\pi$ păstrat în formă exactă.

Controlul care prinde aproape orice greșeală: corpul de rotație este cuprins în cilindrul circumscris, de rază $\max f$ și înălțime $b-a$, și cuprinde cilindrul înscris, de rază $\min f$. Prin urmare

$$\pi {\left(\min f\right)}^2(b-a)\le \mathcal{V}(C_f)\le \pi {\left(\max f\right)}^2(b-a).$$

Volumele corpurilor rotunde din gimnaziu — cilindru, con, trunchi de con, sferă — au fost deduse cu această formulă la lecția despre volumele corpurilor rotunde, deci pot fi folosite oricând drept control: dacă funcția rotită e constantă, trebuie să iasă cilindrul; dacă e o dreaptă prin origine, conul; dacă e $\sqrt{r^2-x^2}$, sfera sau o parte din ea.

5. Cum se află centrul de greutate al unei plăci plane?

Pentru placa omogenă ${\Gamma }_f$, cu $f\ge 0$ continuă și neidentic nulă pe $[a,b]$, coordonatele centrului de greutate sunt

$$x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_a^{b}xf(x)dx,y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_a^b{f}^2(x)dx,\text{unde }\mathcal{S}={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

Trei integrale, dintre care două le mai calculezi și pentru arie și pentru volum — de aceea problemele de examen le cer pe rând, la subpunctele a) și b).

Două controale, ambele instantanee. Primul: $x_G$ trebuie să cadă în $[a,b]$, iar $y_G$ între $0$ și $\max f$. Al doilea: pe figurile cunoscute rezultatul trebuie să reproducă gimnaziul — pentru dreptunghi, centrul geometric; pentru triunghiul de sub o dreaptă prin origine, $x_G$ la două treimi din bază. Iar când $f$ este pară pe un interval simetric $[-c,c]$, Propoziția simetriei dă direct $x_G=0$, fără niciun calcul.

Atenție la o subtilitate deja semnalată: centrul de greutate nu se află neapărat în interiorul plăcii. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[-1,1]$ el cade sub grafic, în afara regiunii — un fapt care nu contrazice nimic, pentru că punctul de echilibru al unei plăci scobite poate sta în scobitură.

6. Cum se rezolvă o modelare din fizică, în cele patru etape?

Toate problemele de fizică ale unității urmează cele patru etape ale modelării, fixate la lecția despre lucrul mecanic calculat cu integrala și reluate la cea despre debit, volum și energie: (1) se aleg variabila și intervalul, cu unitățile lor; (2) se scrie funcția care se integrează, cu unitatea ei; (3) se scrie și se calculează integrala; (4) se dă răspunsul cu unitatea de măsură și se face un control de plauzibilitate.

Cheia întregii idei stă în etapa a doua: se integrează rata, adică mărimea care spune cât se adaugă pe unitate de variabilă. Forța este rata lucrului mecanic în raport cu deplasarea, debitul este rata volumului în raport cu timpul, puterea este rata energiei în raport cu timpul. De aceea unitatea rezultatului iese singură: newton $\times$ metru $=$ joule, litri pe minut $\times$ minute $=$ litri, kilowați $\times$ ore $=$ kilowați-oră.

Două dezambiguizări care se cer respectate: în problemele de lucru mecanic, $F$ este forța, nu o primitivă; iar în problemele de debit, $V$ este volumul de lichid, în timp ce $\mathcal{V}$ rămâne volumul unui corp de rotație.

7. Cum se redactează ca să iasă baremul?

Un subpunct de $5$ puncte se împarte de obicei $2+3$ sau $1+2+2$, pe pași identificabili. Ordinea care îi face vizibili, la o problemă de aplicații:

1. ipotezele verificate — continuitatea, semnul funcției, apartenența punctelor de intersecție la interval: o propoziție, nu subînțeleasă;
2. formula scrisă în forma ei generală, înainte de a înlocui ceva;
3. înlocuirea datelor și integrala de calculat, scrisă complet, cu limitele ei;
4. calculul, cu $F(x){|}_a^b$ scris explicit;
5. rezultatul exact, cu $\pi$ sau $\ln 2$ păstrate ca atare;
6. răspunsul la cerință, cu unitatea de măsură și cu cuvintele enunțului.

Regula scurtă e aceeași ca în toată analiza: fiecare rând trebuie să poată fi punctat singur. Iar la final se aplică cele trei semne că ai greșit de la lecția despre estimarea numerică a integralelor: semnul, ordinul de mărime, comparația cu o arie sau un volum elementar.

8. Cele opt capcane ale unității Aplicații ale integralei definite

Sunt cele care revin la fiecare corectare, în ordinea în care apar în rezolvare. Lista este proprie acestei unități și nu se confundă cu cea a sintezei integralei definite, care privește metodele de calcul.

1. ${\Gamma }_f$ folosit pentru o funcție care ia valori negative. Simbolul ${\Gamma }_f$ e definit numai pentru $f\ge 0$. Pentru o funcție care coboară sub axă, regiunea se descrie în cuvinte, iar aria se scrie cu modul.
2. Cine e deasupra, stabilit din desen, nu din calcul. Pe fiecare interval dintre două intersecții consecutive se compară efectiv valorile, de pildă într-un punct-test; altfel diferența poate fi scrisă în ordinea greșită și aria iese negativă.
3. Aria confundată cu integrala când $f$ schimbă semnul. ${\int }_0^3\left(x^2-x-2\right)dx=-\frac{3}{2}$, în timp ce aria dintre grafic și axă este $\frac{31}{6}$. Integrala adună cu semn, aria adună în valoare absolută.
4. Volumul scris cu $f$ în loc de $f^2$. Formula este $\pi {\int }_a^b{f}^2$; a scrie $\pi {\int }_a^{b}f$ înseamnă a înmulți o arie cu $\pi$, ceea ce nu are nicio semnificație geometrică.
5. Limitele nepotrivite la schimbarea de variabilă. Într-un calcul de volum sau de arie, substituția schimbă limitele în $u(a)$ și $u(b)$ și nu se mai revine la variabila veche — regula fixată pentru integrala definită rămâne valabilă și aici.
6. Constanta $\mathcal{C}$ scrisă la o integrală definită. $\mathcal{C}$ apare numai la integrala nedefinită. Într-un calcul de arie sau de volum se alege o primitivă anume și se evaluează între limite; o constantă adăugată acolo se simplifică oricum.
7. Semnul rezultatului nepus la îndoială. O arie și un volum sunt pozitive. Un rezultat negativ înseamnă limite inversate, o diferență scrisă anapoda sau un termen al sumei luat cu semnul greșit.
8. Unitățile de măsură uitate la modelări. „Lucrul mecanic este $15$" nu spune nimic; corect este „lucrul mecanic este de $15$ jouli". La problemele geometrice, aria se exprimă în unități pătratice, iar volumul în unități cubice.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Aria dintre două parabole

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x+2$ și $g(x)=-x^2+4x-2$. a) Determinați abscisele punctelor de intersecție a celor două grafice. (5 puncte) b) Arătați că $g(x)\ge f(x)$ pentru orice $x\in [1,2]$. (5 puncte) c) Calculați aria suprafeței plane cuprinse între cele două grafice. (5 puncte)

Rezolvare. a) Etapa $1$ a rețetei: $f(x)=g(x)$ dă $x^2-2x+2=-x^2+4x-2$, adică $2x^2-6x+4=0$, sau $x^2-3x+2=0$, cu soluțiile $x_1=1$ și $x_2=2$. Punctele de intersecție sunt $(1,1)$ și $(2,2)$.

b) Etapa $2$: $g(x)-f(x)=-2x^2+6x-4=-2(x-1)(x-2)$. Pe $[1,2]$ avem $x-1\ge 0$ și $x-2\le 0$, deci produsul $(x-1)(x-2)$ este negativ sau nul, iar $-2(x-1)(x-2)\ge 0$. Prin urmare $g\ge f$ pe tot intervalul.

c) Etapa $3$, cu diferența scrisă fără modul:

$$\mathcal{S}={\int }_1^2(g(x)-f(x))dx={\int }_1^2\left(-2x^2+6x-4\right)dx=\left(-\frac{2x^3}{3}+3x^2-4x\right){|}_1^2=-\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}.$$

Controlul: rezultatul e pozitiv, iar regiunea e cuprinsă într-un dreptunghi de bază $1$ și înălțime $g\left(\frac{3}{2}\right)-f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}$, deci aria nu poate depăși $\frac{1}{2}$ — și nu o face.

Exemplul 2. Arie cu schimbare de semn

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-x-2$. a) Calculați ${\int }_0^{3}f(x)dx$. (5 puncte) b) Determinați semnul funcției $f$ pe intervalul $[0,3]$. (5 puncte) c) Calculați aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=3$. (5 puncte)

Rezolvare. a) O primitivă este $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x$, deci

$${\int }_0^3\left(x^2-x-2\right)dx=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_0^3=9-\frac{9}{2}-6=-\frac{3}{2}.$$

b) Etapele $1$ și $2$: rădăcinile trinomului sunt $-1$ și $2$, dintre care numai $2$ este în interval. Coeficientul dominant fiind pozitiv, $f$ este negativă între rădăcini și pozitivă în afara lor:

c) Etapa $3$: aria este suma integralelor luate cu semnul care le face pozitive.

$$\mathcal{S}=-{\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=\frac{10}{3}+\frac{11}{6}=\frac{31}{6}.$$

Într-adevăr, ${\int }_0^{2}f=\frac{8}{3}-2-4=-\frac{10}{3}$ și ${\int }_2^{3}f=-\frac{3}{2}+\frac{10}{3}=\frac{11}{6}$.

Controlul unității: ambii termeni ai sumei sunt pozitivi, iar suma lor cu semne, $-\frac{10}{3}+\frac{11}{6}=-\frac{3}{2}$, reproduce rezultatul de la a) — cea mai bună verificare a ruperii intervalului.

Exemplul 3. Volumul unui corp de rotație

Se consideră $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. a) Calculați ${\int }_0^{1}f(x)dx$. (5 puncte) b) Calculați ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$. (5 puncte) c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Este integrala-etalon a integrării prin părți, la care revenim aici cu altă întrebare. Cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^x$:

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1.$$

b) $f^2(x)=x^2{e}^{2x}$. Prin părți de două ori, cu $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, deci $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$:

$${\int }_0^1{x}^2{e}^{2x}dx=\frac{x^2{e}^{2x}}{2}{|}_0^1-{\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx=\frac{e^2}{2}-\left(\frac{x{e}^{2x}}{2}{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx\right)=\frac{e^2-1}{4}.$$

c) Cei patru pași. Pasul $1$: $f$ este continuă pe $[0,1]$ și $f(x)=x{e}^x\ge 0$ acolo. Pasul $2$: $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx$. Pasul $3$: integrala e cea de la b). Pasul $4$:

$$\mathcal{V}(C_f)=\frac{\pi \left(e^2-1\right)}{4}\approx 5,018.$$

Controlul: $f$ este crescătoare pe $[0,1]$, cu $\max f=f(1)=e$, deci cilindrul circumscris are volumul $\pi e^2\approx 23,213$; rezultatul e mai mic, cum trebuia.

Exemplul 4. Centrul de greutate al unei plăci

Se consideră placa omogenă mărginită de graficul funcției $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3$, de axa $Ox$ și de dreapta $x=1$. a) Calculați aria plăcii. (5 puncte) b) Calculați ${\int }_0^{1}xf(x)dx$ și ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$. (5 puncte) c) Determinați coordonatele centrului de greutate al plăcii. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția e continuă și pozitivă pe $[0,1]$, deci placa este chiar ${\Gamma }_f$, iar

$$\mathcal{S}={\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{x^4}{4}{|}_0^1=\frac{1}{4}.$$

b) ${\int }_0^{1}x\cdot x^{3}dx=\frac{x^5}{5}{|}_0^1=\frac{1}{5}$ și ${\int }_0^1{\left(x^3\right)}^{2}dx=\frac{x^7}{7}{|}_0^1=\frac{1}{7}$.

c) Cu formulele centrului de greutate:

$$x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_0^{1}xf(x)dx=4\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5},y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_0^1{f}^2(x)dx=2\cdot \frac{1}{7}=\frac{2}{7}.$$

Deci $G\left(\frac{4}{5},\frac{2}{7}\right)$.

Controalele: $x_G=0,8\in [0,1]$ ✓; $y_G\approx 0,2857$, iar $f\left(\frac{4}{5}\right)=0,512>y_G$, deci punctul cade sub grafic, adică în interiorul plăcii ✓. Faptul că $x_G$ e aproape de $1$ era de așteptat: aproape toată materia plăcii se strânge lângă capătul din dreapta, unde graficul urcă brusc.

Exemplul 5. O modelare din fizică

Un cărucior este tras pe o șină, pe distanța de $3$ metri, de o forță orizontală care variază după legea $F(x)=\frac{50}{(x+2{)}^2}$ newtoni, unde $x$ este distanța parcursă, în metri. a) Arătați că $F$ este strict descrescătoare pe $[0,3]$ și calculați $F(0)$ și $F(3)$. (5 puncte) b) Încadrați lucrul mecanic efectuat între două valori, folosind monotonia integralei. (5 puncte) c) Calculați lucrul mecanic efectuat de forță pe cei $3$ metri. (5 puncte)

Rezolvare. a) $F^{\prime }(x)=-\frac{100}{(x+2{)}^3}<0$ pe $[0,3]$, deci $F$ este strict descrescătoare; $F(0)=\frac{50}{4}=12,5$ newtoni și $F(3)=\frac{50}{25}=2$ newtoni.

b) Din monotonie, $2\le F(x)\le 12,5$ pe $[0,3]$, deci, prin monotonia integralei pe un interval de lungime $3$,

$$6\le {\int }_0^{3}F(x)dx\le 37,5.$$

c) Cele patru etape ale modelării. Variabila este deplasarea $x\in [0,3]$, în metri; funcția integrată este forța, în newtoni; integrala este

$$L={\int }_0^3\frac{50}{(x+2{)}^2}dx=50\left(-\frac{1}{x+2}\right){|}_0^3=50\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=50\cdot \frac{3}{10}=15.$$

Răspunsul: lucrul mecanic este de $15$ jouli. Controlul: $6\le 15\le 37,5$, deci rezultatul respectă încadrarea de la b).

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}+x$. Problema are formatul obișnuit al problemei $2$ din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Calculați aria subgraficului funcției $f$. (5 puncte)

b) Calculați ${\int }_0^1{f}^2(x)dx$. (5 puncte)

c) Calculați volumul corpului obținut prin rotația subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ și comparați-l cu volumul cilindrului de rază $f(1)$ și înălțime $1$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Funcția este continuă și pozitivă pe $[0,1]$, deci subgraficul ${\Gamma }_f$ are aria

$$\mathcal{S}({\Gamma }_f)={\int }_0^1\left(\sqrt{x}+x\right)dx=\left(\frac{2x\sqrt{x}}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}.$$

b) $f^2(x)={\left(\sqrt{x}+x\right)}^2=x+2x\sqrt{x}+x^2$, iar $x\sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}$, deci

$${\int }_0^1{f}^2(x)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\frac{4x^2\sqrt{x}}{5}+\frac{x^3}{3}\right){|}_0^1=\frac{1}{2}+\frac{4}{5}+\frac{1}{3}=\frac{49}{30}.$$

c) Prin cei patru pași ai volumului de rotație, cu ipotezele verificate la a):

$$\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_0^1{f}^2(x)dx=\frac{49\pi }{30}\approx 5,131.$$

Cilindrul de rază $f(1)=2$ și înălțime $1$ are volumul $\pi \cdot 2^2\cdot 1=4\pi \approx 12,566$. Cum $f$ este crescătoare, cu $\max f=f(1)=2$, corpul de rotație este cuprins în acest cilindru, iar inegalitatea $\frac{49\pi }{30}<4\pi$ o confirmă: $\frac{49}{30}\approx 1,633<4$.

Să exersăm

1. Calculați aria subgraficului funcției $f:[0,2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+1$.

2. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=x+6$ și $g(x)=x^2$.

3. Calculați aria suprafeței cuprinse între graficele funcțiilor $f(x)=\frac{1}{x}$ și $g(x)=\frac{1}{x^2}$ pe intervalul $[1,2]$.

4. Calculați aria regiunii mărginite de graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-16$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=5$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Aria suprafeței dintre graficele a două funcții continue pe $[a,b]$ este ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci aria dintre graficul lui $f$ și axa $Ox$ este nulă."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Volumul corpului obținut prin rotația subgraficului lui $f$ în jurul axei $Ox$ este $\pi {\int }_a^{b}f(x)dx$."

8. Calculați volumul corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$, în jurul axei $Ox$.

9. Calculați volumul corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{25-x^2}$, și precizați ce corp este.

10. Calculați volumul corpului obținut prin rotația subgraficului funcției $f:[0,\ln 2]\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^{-x}$.

11. Determinați centrul de greutate al plăcii omogene mărginite de graficul funcției constante $f:[0,6]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$, $x=6$, apoi verificați rezultatul geometric.

12. Determinați centrul de greutate al plăcii omogene ${\Gamma }_f$, pentru $f:[0,9]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$.

13. Calculați aria discului de rază $6$, folosind formula de buzunar.

14. (Problemă aplicată.) Calculați aria suprafeței mărginite de elipsa de ecuație $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{25}=1$.

15. Un resort are constanta elastică $k=400$ newtoni pe metru, iar forța necesară alungirii lui cu $x$ metri este $F(x)=400x$. Calculați lucrul mecanic necesar alungirii resortului de la $0$ la $0,2$ metri.

16. Debitul unei conducte este $Q(t)=4t+1$ litri pe minut, pentru $t\in [0,5]$. Calculați volumul de lichid scurs în cele cinci minute.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+2x$. a) Calculați ${\int }_0^{2}f(x)dx$. b) Calculați aria regiunii mărginite de graficul lui $f$, de axa $Ox$ și de dreptele $x=0$ și $x=2$.

18. (Provocare.) Pentru $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, fie placa omogenă ${\Gamma }_{f_n}$, cu $f_n:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f_n(x)=x^n$. Determinați $x_G$ și $y_G$ în funcție de $n$ și calculați limitele lor când $n\to \infty$.

Răspunsuri și explicații

1. ${\int }_0^2\left(3x^2+1\right)dx=\left(x^3+x\right){|}_0^2=8+2=10$. Funcția e pozitivă, deci integrala este chiar aria.

2. Intersecțiile: $x^2=x+6$ dă $x^2-x-6=0$, cu $x\in \{-2,3\}$. Pe $[-2,3]$ dreapta este deasupra parabolei, deci $\mathcal{S}={\int }_{-2}^3\left(x+6-x^2\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-2}^3=\frac{27}{2}-\left(-\frac{22}{3}\right)=\frac{125}{6}$.

3. Pe $[1,2]$ avem $x\ge 1$, deci $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{x^2}$: prima funcție este deasupra. Aria este ${\int }_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{1}{x}\right){|}_1^2=\ln 2-\frac{1}{2}\approx 0,1931$.

4. Funcția se anulează în $4$, e negativă pe $[0,4)$ și pozitivă pe $(4,5]$. Aria este ${\int }_0^4\left(16-x^2\right)dx+{\int }_4^5\left(x^2-16\right)dx=\frac{128}{3}+\frac{13}{3}=\frac{141}{3}=47$. Control: suma cu semne, $-\frac{128}{3}+\frac{13}{3}=-\frac{115}{3}$, este exact ${\int }_0^5\left(x^2-16\right)dx$.

5. Fals. Formula corectă este ${\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$; modulul se scoate numai după ce s-a stabilit cine e deasupra pe fiecare interval dintre intersecții. Dacă graficele se intersectează în interiorul intervalului, diferența își schimbă semnul și integrala fără modul dă mai puțin decât aria.

6. Fals. Contraexemplu: pentru $f(x)=x^3-3x^2+2x$ pe $[0,2]$, integrala este $0$, dar aria este $\frac{1}{2}$ — vezi exercițiul $17$. Integrala adună cu semn; aria adună în valoare absolută.

7. Fals. Formula corectă este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Ea vine din volumul feliei cilindrice, $\pi f^2({\xi }_i)(x_i-x_{i-1})$, în care raza este $f({\xi }_i)$ și apare la pătrat.

8. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1(2x+1{)}^{2}dx=\pi \cdot \frac{(2x+1{)}^3}{6}{|}_0^1=\pi \left(\frac{27}{6}-\frac{1}{6}\right)=\frac{13\pi }{3}\approx 13,614$. Corpul este un trunchi de con cu razele $1$ și $3$ și înălțimea $1$; formula din gimnaziu dă $\frac{\pi \cdot 1}{3}(9+3+1)=\frac{13\pi }{3}$ ✓.

9. $f^2(x)=25-x^2$, deci $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^5\left(25-x^2\right)dx=\pi \left(125-\frac{125}{3}\right)=\frac{250\pi }{3}$. Corpul este semisfera de rază $5$, iar jumătate din $\frac{4\pi \cdot 125}{3}$ dă exact aceeași valoare ✓.

10. $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^{\ln 2}{e}^{-2x}dx=\pi \left(-\frac{e^{-2x}}{2}\right){|}_0^{\ln 2}=\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{3\pi }{8}\approx 1,178$, pentru că $e^{-2\ln 2}=\frac{1}{4}$.

11. $\mathcal{S}=12$; $x_G=\frac{1}{12}{\int }_0^{6}2xdx=\frac{36}{12}=3$ și $y_G=\frac{1}{24}{\int }_0^{6}4dx=\frac{24}{24}=1$. Deci $G(3,1)$ — exact centrul dreptunghiului de laturi $6$ și $2$, cum trebuia.

12. $\mathcal{S}={\int }_0^9\sqrt{x}dx=\frac{2x\sqrt{x}}{3}{|}_0^9=18$; ${\int }_0^{9}x\sqrt{x}dx=\frac{2x^2\sqrt{x}}{5}{|}_0^9=\frac{486}{5}$, deci $x_G=\frac{486}{5\cdot 18}=\frac{27}{5}=5,4$; ${\int }_0^{9}xdx=\frac{81}{2}$, deci $y_G=\frac{81}{2\cdot 2\cdot 18}=\frac{9}{8}=1,125$. Ambele controale trec: $5,4\in [0,9]$ și $1,125<\sqrt{9}=3$.

13. Discul de rază $6$ este mărginit de cele două ramuri $y=\pm \sqrt{36-x^2}$, deci aria lui este $2{\int }_{-6}^6\sqrt{36-x^2}dx=2\cdot \frac{\pi \cdot 36}{2}=36\pi$, prin formula de buzunar.

14. Ramura de deasupra axei este $y=5\sqrt{1-\frac{x^2}{36}}=\frac{5}{6}\sqrt{36-x^2}$, deci aria este $2\cdot \frac{5}{6}{\int }_{-6}^6\sqrt{36-x^2}dx=\frac{5}{3}\cdot \frac{\pi \cdot 36}{2}=30\pi \approx 94,25$ — adică $\pi ab$ cu $a=6$ și $b=5$, cum era de așteptat.

15. $L={\int }_0^{0,2}400xdx=200x^2{|}_0^{0,2}=200\cdot 0,04=8$ jouli. Control: forța maximă este $400\cdot 0,2=80$ de newtoni, deci lucrul mecanic nu putea depăși $80\cdot 0,2=16$ jouli.

16. $V={\int }_0^5(4t+1)dt=\left(2t^2+t\right){|}_0^5=50+5=55$ de litri. Control: debitul a variat între $1$ și $21$ de litri pe minut, deci volumul stă între $5$ și $105$ de litri.

17. a) ${\int }_0^2\left(x^3-3x^2+2x\right)dx=\left(\frac{x^4}{4}-x^3+x^2\right){|}_0^2=4-8+4=0$. b) Zerourile lui $f$ sunt $0$, $1$ și $2$; funcția e pozitivă pe $(0,1)$ și negativă pe $(1,2)$. Aria este ${\int }_0^{1}f-{\int }_1^{2}f=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Rezultatul de la a) arată de ce aria nu este integrala: cele două bucăți se anulează reciproc.

18. $\mathcal{S}={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$; ${\int }_0^1{x}^{n+1}dx=\frac{1}{n+2}$; ${\int }_0^1{x}^{2n}dx=\frac{1}{2n+1}$. Deci $x_G=\frac{n+1}{n+2}$ și $y_G=\frac{n+1}{2(2n+1)}$, cu limitele $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_G=1$ și $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_G=\frac{1}{4}$. Interpretarea: pentru $n$ mare placa se subțiază și se lipește de colțul din dreapta-jos al pătratului unitate, iar centrul ei de greutate se apropie de punctul $\left(1,\frac{1}{4}\right)$. Verificare pe Exemplul $4$: pentru $n=3$ formulele dau $\frac{4}{5}$ și $\frac{2}{7}$ ✓.

De reținut

• Puterea la care apare funcția sub integrală spune ce se calculează: puterea întâi înseamnă arie sau numărătorul lui $x_G$, iar puterea a doua înseamnă volum sau numărătorul lui $y_G$.
• Aria este ${\int }_a^b|f|$, nu ${\int }_a^{b}f$: când funcția schimbă semnul, intervalul se rupe în zerouri și fiecare bucată intră cu semnul care o face pozitivă.
• Volumul corpului de rotație se scrie $\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$ și se controlează cu cilindrii înscris și circumscris, care îl încadrează.
• Centrul de greutate cere trei integrale, iar rezultatul se verifică pe figurile din gimnaziu: dreptunghiul dă centrul geometric, triunghiul dă două treimi din bază.
• La orice modelare din fizică se integrează o rată — forța, debitul, puterea —, iar răspunsul se scrie obligatoriu cu unitatea de măsură.

Greșeli frecvente

• Scrii ${\Gamma }_f$ pentru o funcție care ia valori negative. Subgraficul e definit numai pentru $f\ge 0$; în rest, regiunea se descrie în cuvinte, iar aria se calculează cu modul.
• Stabilești din desen cine e deasupra. Se compară valorile într-un punct-test de pe fiecare interval dintre intersecții; un desen aproximativ te poate păcăli exact acolo unde graficele sunt apropiate.
• Confunzi aria cu integrala. Pentru $f(x)=x^2-x-2$ pe $[0,3]$, integrala este $-\frac{3}{2}$, iar aria este $\frac{31}{6}$; un rezultat negativ pentru o arie e semnalul imediat al greșelii.
• Pui $f$ în loc de $f^2$ la volum, sau uiți factorul $\pi$. Verificarea rapidă: dacă funcția e constantă, formula trebuie să dea volumul cilindrului, $\pi r^{2}h$.
• Uiți unitatea de măsură la rezultat. „Lucrul mecanic este $15$" nu spune nimic; corect este „$15$ jouli". Ariile se exprimă în unități pătratice, volumele în unități cubice, iar $\mathcal{C}$ nu apare niciodată la o integrală definită.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură foaie lista de control de la secțiunea $1$, dar în ordine inversă: pornind de la cerințele care apar la examen și mergând spre formula care le rezolvă. Adaugă în dreapta fiecărui rând controlul care i se potrivește — cilindrul circumscris, figura din gimnaziu, unitatea de măsură.

2. Trierea în treizeci de secunde. Ia douăzeci de enunțuri de aplicații dintr-o culegere și, fără să le rezolvi, notează în dreptul fiecăruia doar eticheta: arie sub grafic, arie între grafice, arie cu schimbare de semn, volum, centru de greutate, modelare. Verifică apoi rezolvând cinci dintre ele.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele $2$, $3$ și $6$, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează unde ai pierdut timp: de regulă se pierde la stabilirea celei de deasupra, iar puncte se pierd la unitățile de măsură.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea „Aplicații ale integralei definite" și, totodată, întreaga analiză matematică a clasei a XII-a. Ea adună competențele XII.CS.6.6, XII.CS.3.6 și XII.CS.1.6 într-un singur format: cel al problemei $2$ din Subiectul al III-lea. Nu introduce noțiuni noi; valoarea ei stă în triere, redactare și verificare. Cele șase probleme-model acoperă exact tiparele care apar în subiecte: aria dintre două grafice, aria cu schimbare de semn, volumul unui corp de rotație, centrul de greutate al unei plăci, o modelare din fizică și o problemă combinată de arie și volum.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea aplicației cerute din enunț; (2) redactarea completă a unei arii, cu intersecțiile și cu stabilirea celei de deasupra; (3) ruperea intervalului la schimbarea de semn; (4) aplicarea corectă a formulei volumului, cu $f^2$ și cu $\pi$; (5) calculul celor trei integrale ale centrului de greutate și controlul rezultatului; (6) scrierea unităților de măsură la modelări.

Întrebări bune de control: „Ce se cere: o arie sau un volum, și de unde știi?", „Cine e deasupra pe fiecare bucată?", „De ce ai rupt intervalul acolo?", „Cu ce ai verificat volumul?", „În ce unități se exprimă rezultatul?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a scrie formula, spune ce mărginește regiunea. La BAC, problema de acest tip valorează $15$ puncte, iar subpunctul a) este aproape întotdeauna accesibil.

Recomandare practică: exercițiile $17$ și $18$ sunt formulate exact ca la examen, respectiv ca o generalizare a Exemplului $4$, și merită rezolvate cu cronometrul. Unitatea următoare, structura examenului de Bacalaureat M1, pornește de la aceste tipare și le așază pe structura celor trei subiecte.

Întrebări frecvente

Care sunt aplicațiile integralei definite din programa clasei a XII-a?

Sunt patru: aria unei suprafețe plane — sub un grafic, între două grafice sau mărginită de conice; volumul corpului obținut prin rotația unui subgrafic în jurul axei $Ox$; coordonatele centrului de greutate al unei plăci plane omogene; și modelările din fizică — lucrul mecanic, volumul de lichid scurs, energia consumată. Toate se reduc la o integrală definită dintr-o funcție continuă.

Cum se calculează aria dintre două grafice?

În trei etape. Se determină punctele de intersecție, rezolvând $f(x)=g(x)$; se stabilește cine e deasupra pe fiecare interval dintre intersecții consecutive, comparând valorile într-un punct-test; se integrează diferența, cu funcția de deasupra prima, pe fiecare interval, și se adună rezultatele. Aria iese întotdeauna pozitivă.

Care este formula volumului unui corp de rotație?

Pentru $f$ continuă și pozitivă pe $[a,b]$, volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului în jurul axei $Ox$ este $\mathcal{V}(C_f)=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$. Funcția apare la pătrat, pentru că raza feliei cilindrice este $f(x)$, iar aria discului este $\pi f^2(x)$. Fără pătrat și fără $\pi$, rezultatul nu este un volum.

Cum se determină centrul de greutate al unei plăci plane?

Se calculează trei integrale: aria $\mathcal{S}={\int }_a^{b}f$, apoi ${\int }_a^{b}xf$ și ${\int }_a^b{f}^2$. Coordonatele sunt $x_G=\frac{1}{\mathcal{S}}{\int }_a^{b}xf$ și $y_G=\frac{1}{2\mathcal{S}}{\int }_a^b{f}^2$. Când funcția e pară pe un interval simetric, $x_G=0$ prin Propoziția simetriei, fără calcul.

De ce aria nu este întotdeauna egală cu integrala?

Pentru că integrala adună cu semn: bucățile de sub axa $Ox$ intră cu minus. Aria adună în valoare absolută, deci este ${\int }_a^b|f|$. Pentru $f(x)=x^3-3x^2+2x$ pe $[0,2]$, integrala este $0$, iar aria este $\frac{1}{2}$: cele două bucăți, de o parte și de alta a axei, se anulează reciproc în integrală.

Cum verifici rezultatul unei probleme de arie sau de volum?

Cu cele trei semne că ai greșit: semnul — o arie și un volum sunt pozitive; ordinul de mărime — rezultatul trebuie să cadă între marginile date de un dreptunghi, un cilindru înscris și unul circumscris; și comparația cu o figură elementară din gimnaziu, când regiunea sau corpul este un trapez, un con, un trunchi de con ori o sferă.

Ce se cere la subpunctul c) al unei probleme de aplicații la Bacalaureat M1?

Aproape întotdeauna aplicația propriu-zisă: aria, volumul, o coordonată a centrului de greutate sau o mărime fizică, exprimată cu unitatea ei de măsură. Subpunctele a) și b) pregătesc integralele de care are nevoie — de obicei $\int f$ și $\int f^2$ —, deci rezultatele lor se folosesc direct, fără a fi recalculate.

Cum se scriu unitățile de măsură la o problemă de modelare?

Se înmulțesc unitatea funcției integrate cu unitatea variabilei: newton înmulțit cu metru dă joule, litri pe minut înmulțit cu minute dă litri, kilowați înmulțit cu ore dă kilowați-oră. De aceea etapa a doua a modelării cere scrierea funcției împreună cu unitatea ei: fără ea, rezultatul rămâne un număr fără înțeles.