Sinteză finală: probleme de tip Bacalaureat M1: pe scurt

Din interior, anul arată ca nouă capitole separate; din subiectul de examen, ca un singur set de unelte, dintre care fiecare problemă alege două-trei. Sinteza finală desenează punțile.

Puntea algebrei: $AX=B$, inversa, Cramer; când $\det A=0$, decid $\mathrm{rang}A$, Kronecker-Capelli și Rouché, iar gradul de nedeterminare este $n-r$. Puntea determinantului: același determinant $3\times 3$ dă coliniaritatea și aria, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$; iar poziția relativă a două drepte se decide prin sistemul ecuațiilor lor. Puntea derivatei: $f^{\prime }(x_0)$ este panta tangentei, deci tangenta e o dreaptă cu toate formele ei — paralelism, perpendicularitate, arii cu axele. Puntea dintre discret și continuu: din Hamilton-Cayley, $A^{n+1}=\mathrm{tr}(A)A^n-\det (A)A^{n-1}$, deci urma lui $A^n$ satisface o recurență liniară, iar limita raportului a doi termeni consecutivi este rădăcina dominantă.

Litera $\Delta$ are două sensuri — determinant de arie și determinant de sistem —; când apar amândouă, se spune într-o propoziție care e care.

Capcanele de barem, adunate: Sarrus la ordinul $4$; $A^T$ în loc de ${}^{t}A$; „incompatibil" doar din $\det A=0$; panta unei verticale numită „infinită"; „limita nu există" pentru o funcție care tinde la $+\infty$; speța I fără cuvântul finite; Rolle fără continuitatea pe intervalul închis; L'Hôpital fără verificarea nedeterminării; monotonie pe o reuniune; punct confundat cu valoare.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 1& 0\end{array}\right)$, ecuația Hamilton-Cayley este:

   • a) $A^2-3A+4I_2=O_2$
   • b) $A^2+4A+3I_2=O_2$
   • c) $A^2-4A+3I_2=O_2$
   • d) $A^2-4A-3I_2=O_2$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $A^2-4A+3I_2=O_2$

   Ecuația se scrie $A^2-\mathrm{tr}(A)A+\det (A)I_2=O_2$. Aici $\mathrm{tr}(A)=4+0=4$ și $\det A=4\cdot 0-(-3)\cdot 1=3$, deci $A^2-4A+3I_2=O_2$. Prima variantă inversează urma cu determinantul, iar celelalte două greșesc semnele — ambele erori se prind imediat verificând pe $A^2$.

2. Tangenta la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2+4x$, în punctul de inflexiune al graficului, are ecuația:

   • a) $y=x+1$
   • b) $y=x-1$
   • c) $y=2x$
   • d) $y=-x+3$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $y=x+1$

   $f^{\prime \prime }(x)=6x-6$ se anulează în $x=1$ și își schimbă semnul acolo, deci punctul de inflexiune al graficului este $(1,2)$, cu $f(1)=2$. Panta tangentei este $f^{\prime }(1)=3-6+4=1$, iar forma „prin punct, cu panta dată" dă $y-2=1\cdot (x-1)$, adică $y=x+1$. Aceasta este puntea dintre derivate și geometria analitică: derivata este panta.

3. Un sistem liniar omogen $AX=O$, cu $A\in {\mathcal{M}}_3(\mathbb{R})$, admite și soluții diferite de cea banală dacă și numai dacă:

   • a) $\det A\ne 0$
   • b) $\mathrm{rang}A=3$
   • c) sistemul este incompatibil
   • d) $\det A=0$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\det A=0$

   Un sistem omogen este întotdeauna compatibil, pentru că soluția banală îl verifică — de aceea „incompatibil" nu poate fi răspunsul. El are și soluții nebanale exact când $\mathrm{rang}A<3$, adică atunci când $\det A=0$: numai atunci gradul de nedeterminare $n-r$ este strict pozitiv. Dacă $\det A\ne 0$, sistemul e de tip Cramer și are doar soluția banală.