Sinteză finală clasa a XI-a: probleme de tip Bacalaureat M1

Un an întreg de matematică arată, din interior, ca nouă capitole separate: matrice, determinanți, sisteme, drepte, șiruri, limite, continuitate, derivate, variație. Din afară — adică din subiectul de examen — el arată altfel: ca un singur set de unelte, dintre care fiecare problemă alege două sau trei. Un sistem cu parametru cere determinanți și rang. O tangentă cere derivate și ecuația unei drepte. Un șir definit printr-o matrice cere Hamilton-Cayley, recurență și limită.

Lecția aceasta este ultima din clasa a XI-a și nu predă nimic nou. Ea desenează punțile dintre capitole, arată cum se recunoaște, într-un enunț, ce unelte se cer, și rezolvă complet șase probleme care traversează materia. Recapitulările pe capitole sunt la 124, 125, 126, 127 și 128; aici le punem pe toate să lucreze împreună.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști, dintr-un enunț, ce capitole se întâlnesc în el și în ce ordine se folosesc.
• Vei ști să rezolvi complet un sistem cu parametru, cu discuție prin rang și prin teorema lui Rouché.
• Vei ști să treci de la o matrice la un șir recurent și la limita lui, prin ecuația Hamilton-Cayley.
• Vei ști să legi derivata de dreapta din planul cartezian: tangentă, pantă, coliniaritate, arie cu determinant.
• Vei ști cum e organizat un subiect de Bacalaureat M1 și ce se depunctează la redactare.

Hai să descoperim împreună

1. Anul, pe patru domenii

Cele patru nu sunt cutii separate. Legăturile dintre ele sunt exact locul din care se construiesc problemele de sinteză, iar programa le cere pe nume: „modelarea situațiilor practice cu ajutorul conceptelor de geometrie analitică", „modelarea unor procese de creștere prin șiruri numerice", „studierea variației unei funcții în problemele de extrem".

2. Cele șase punți

Puntea 4 merită o precizare: ea leagă partea discretă de cea continuă a analizei, dar și algebra de amândouă. Un șir definit prin $a_{n+1}=5a_n-6a_{n-1}$ și o matrice cu $\mathrm{tr}(A)=5$, $\det A=6$ sunt același obiect, privit din două părți.

3. Puntea algebrei: matrice, determinanți, sisteme

Vocabularul fixat, care se folosește identic în orice rezolvare:

• rangul se scrie $\mathrm{rang}A$ și este cel mai mare ordin al unui minor nenul; matricea extinsă este $\overline{A}$;
• teorema Kronecker-Capelli: sistemul e compatibil dacă și numai dacă $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}$; dacă valoarea comună e $r$ și sunt $n$ necunoscute, gradul de nedeterminare e $n-r$;
• teorema lui Rouché: sistemul e compatibil dacă și numai dacă toți determinanții caracteristici sunt nuli; cel al ecuației secundare $k$ se notează ${\Delta }_{car}^{(k)}$ și se obține bordând minorul principal cu coeficienții acelei ecuații și cu coloana termenilor liberi;
• sistemul principal = ecuațiile principale, cu necunoscutele secundare trecute în membrul drept; el se rezolvă cu regula lui Cramer, pentru că determinantul lui e chiar minorul principal.

La ridicarea la putere, numărătoarea fixată în lecția 28: calculul direct nu se numără printre metode (e procedeul de bază), cele patru metode elementare sunt inducția, binomul lui Newton, șirurile recurente și structura matricei de rotație, iar a cincea este ecuația Hamilton-Cayley. Pentru o matrice de ordinul doi cu $\mathrm{tr}$ și $\det$ simple, a cincea metodă e aproape întotdeauna cea mai rapidă.

4. Puntea determinantului: din algebră în plan

Un determinant $3\times 3$ construit din coordonate spune două lucruri deodată: $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\\ x_B& y_B& 1\\ x_C& y_C& 1\end{array}\right|,{\mathcal{S}}_{ABC}=\frac{1}{2}|\Delta |,A,B,C\text{ coliniare}⟺\Delta =0.$$

O dezambiguizare obligatorie. Litera $\Delta$ apare în clasa a XI-a cu două sensuri, amândouă corecte: determinantul de coliniaritate și de arie (de mai sus) și determinantul sistemului din regula lui Cramer, $\Delta =\det A$, cu ${\Delta }_1,\dots ,{\Delta }_n$ pentru numărătoare. Când amândouă apar în aceeași problemă — și la punți se întâmplă des — se spune într-o propoziție care e care, înainte de primul calcul.

Legătura merge și invers: poziția relativă a două drepte se decide prin sistemul format din ecuațiile lor — soluție unică înseamnă drepte concurente, sistem incompatibil înseamnă paralele distincte, sistem nedeterminat înseamnă confundate. Pentru trei drepte, concurența se testează cel mai repede cu un singur determinant $3\times 3$ format din coeficienții lor.

5. Puntea derivatei: panta care leagă analiza de geometrie

Derivata într-un punct este panta tangentei, iar tangenta este o dreaptă din planul cartezian, cu toate formele ei disponibile: $$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

De aici, întrebările care combină cele două capitole: tangentă paralelă cu o dreaptă dată ($f^{\prime }(x_0)=m$), tangentă perpendiculară pe o dreaptă ($f^{\prime }(x_0)\cdot m=-1$), tangentă orizontală ($f^{\prime }(x_0)=0$, deci punct critic), aria triunghiului determinat de tangentă cu axele, coliniaritatea unor puncte de pe grafic. Toate se rezolvă cu unelte din lecția 97 plus unelte din unitatea de drepte — nimic nou.

Nu uita cazul special: dreapta verticală nu are pantă, deci o tangentă verticală (cazul $f^{\prime }(x_0)=\pm \infty$) nu se scrie cu formula de mai sus, ci direct ca $x=x_0$.

6. Puntea dintre discret și continuu

Trei mecanisme de recunoscut:

• Matrice $\to$ șir. Din Hamilton-Cayley, $A^2=\mathrm{tr}(A)A-\det (A)I_2$, deci $A^{n+1}=\mathrm{tr}(A)A^n-\det (A)A^{n-1}$. Orice element sau urma lui $A^n$ satisface aceeași recurență liniară de ordinul al doilea, iar limita raportului a doi termeni consecutivi se citește din puterea dominantă.
• Limite fundamentale $\to$ derivate. Cele cinci limite fundamentale sunt, de fapt, derivate în $0$ deghizate: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ este exact ${\left(a^x\right)}^{\prime }$ în $0$. De aceea ele rezolvă și nedeterminări, și derivabilitate.
• L'Hôpital $\to$ variație. Regulile lui L'Hôpital calculează limitele de la capetele domeniului, iar acele limite completează tabelul de variație. Fără ele, tabelul are coloane goale și nu dă imaginea funcției.

7. Cum e organizat subiectul de Bacalaureat M1

Trei subiecte, $30$ de puncte fiecare, plus $10$ din oficiu. Materia clasei a XI-a apare astfel:

Strategia de redactare, în patru reguli care aduc puncte fără niciun calcul în plus: scrie domeniul înainte de orice; enunță ipotezele teoremei pe care o folosești, complet; numește consecința împreună cu proprietarul ei (Consecința 2 a teoremei lui Rolle nu e același lucru cu Consecința 2 a teoremei lui Lagrange); încheie fiecare punct cu o concluzie în cuvinte, nu cu un număr subliniat.

8. Capcanele de barem, adunate

Zece lucruri care se depunctează, strânse din tot anul:

• regula lui Sarrus aplicată la ordinul $4$ — se folosește numai la ordinul $3$;
• $|A|$ în loc de $\det A$, sau $A^T$ în loc de ${}^{t}A$;
• „sistem incompatibil" declarat doar pentru că $\det A=0$, fără verificarea rangurilor;
• panta unei drepte verticale declarată „infinită" — corect e „nu este definită";
• „limita nu există" scris pentru o funcție care tinde la $+\infty$ — limita există în $\overline{\mathbb{R}}$;
• discontinuitate de speța I declarată fără cuvântul finite;
• teorema lui Rolle enunțată fără continuitatea pe intervalul închis;
• L'Hôpital aplicat fără verificarea cazului de nedeterminare;
• monotonie declarată pe o reuniune de intervale;
• punct de extrem confundat cu valoarea extremă, sau punct de inflexiune al funcției cu cel al graficului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Sistem cu parametru: rang, Rouché, Cramer

Discutați, după valorile lui $m\in \mathbb{R}$, sistemul $$\{\begin{array}{l}x+2y+3z=1\\ 2x+3y+z=4\\ 3x+5y+mz=5\end{array}$$

Rezolvare. Dezambiguizare: în această problemă $\Delta$ înseamnă determinantul sistemului, nu determinantul de coliniaritate.

Pasul 1 — determinantul sistemului. $$\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 5& m\end{array}\right|=1(3m-5)-2(2m-3)+3(10-9)=3m-5-4m+6+3=4-m.$$

Pasul 2 — cazul $m\ne 4$. Atunci $\Delta \ne 0$, deci sistemul e de tip Cramer: compatibil determinat. Cu ${\Delta }_1=5(4-m)$, ${\Delta }_2=2(m-4)$ și ${\Delta }_3=0$, obținem $$x=\frac{5(4-m)}{4-m}=5,y=\frac{2(m-4)}{4-m}=-2,z=0.$$ Soluția $(5,-2,0)$ nu depinde de $m$ — se vede și direct: ea verifică primele două ecuații, iar a treia devine $15-10+0=5$, adevărată pentru orice $m$. (Verificat prin substituție în toate cele trei ecuații, pentru $m\in \{0,2,5,-3,\frac{1}{2}\}$.) ✓

Pasul 3 — cazul $m=4$. Acum $\Delta =0$. Minorul $\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=-1\ne 0$ e minor principal, deci $\mathrm{rang}A=2$; necunoscutele principale sunt $x$ și $y$, secundară e $z$, iar ecuațiile principale sunt primele două. Determinantul caracteristic al ecuației a treia: $${\Delta }_{car}^{(3)}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 4\\ 3& 5& 5\end{array}\right|=1(15-20)-2(10-12)+1(10-9)=-5+4+1=0.$$ Fiind nul, teorema lui Rouché dă: sistemul e compatibil. Cum $\mathrm{rang}A=\mathrm{rang}\overline{A}=2<3$, el e simplu nedeterminat.

Pasul 4 — soluția generală pentru $m=4$. Cu $z=\alpha$, sistemul principal $x+2y=1-3\alpha$, $2x+3y=4-\alpha$ dă $y=-2-5\alpha$ și $x=5+7\alpha$, deci $$S=\{(5+7\alpha ,-2-5\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}.$$ (Verificat în toate cele trei ecuații pentru $\alpha \in \{0,2,-3,\frac{1}{2}\}$.) ✓

Exemplul 2 — De la matrice la șir și la limită

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ 1& 0\end{array}\right)$. a) Scrieți ecuația Hamilton-Cayley. b) Determinați $A^n$. c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{tr}\left(A^{n+1}\right)}{\mathrm{tr}\left(A^n\right)}$.

Rezolvare. a) $\mathrm{tr}(A)=5+0=5$ și $\det A=0-(-6)=6$, deci $$A^2-5A+6I_2=O_2.$$ (Verificat prin înmulțire directă, cu fracții exacte.) ✓

b) Din ecuație, $A^{n+1}=5A^n-6A^{n-1}$. Căutăm $A^n=a_{n}A+b_n{I}_2$; recurența are ecuația caracteristică $t^2-5t+6=0$, cu rădăcinile $2$ și $3$, deci coeficienții sunt combinații de $2^n$ și $3^n$. Din $A^1=A$ și $A^2=5A-6I_2$ se determină $$A^n=\left(3^n-2^n\right)A+\left(3\cdot 2^n-2\cdot 3^n\right)I_2=\left(\begin{array}{cc}{3}^{n+1}-2^{n+1}& -6\left(3^n-2^n\right)\\ 3^n-2^n& 3\cdot 2^n-2\cdot 3^n\end{array}\right).$$ (Verificat prin ridicare efectivă la putere, cu fracții exacte, pentru $n=1,\dots ,12$.) ✓

c) Urma este $\mathrm{tr}\left(A^n\right)=3^{n+1}-2^{n+1}+3\cdot 2^n-2\cdot 3^n=3^n+2^n$. Atunci, scoțând termenul dominant, $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^n+2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}=3,$$ pentru că ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$. Limita e chiar cea mai mare dintre cele două rădăcini ale ecuației caracteristice — rezultatul general al recurențelor liniare.

Exemplul 3 — Tangenta, inflexiunea și aria

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+9x$. a) Determinați punctul de inflexiune al graficului. b) Scrieți ecuația tangentei în acel punct. c) Calculați aria triunghiului determinat de tangentă cu axele de coordonate.

Rezolvare. Dezambiguizare: aici $\Delta$ va însemna determinantul de arie, nu al unui sistem.

a) $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+9$ și $f^{\prime \prime }(x)=6x+12$, care se anulează în $x=-2$ și își schimbă semnul acolo (din $-$ în $+$). Cum $f(-2)=-8+24-18=-2$, punctul de inflexiune al graficului este $(-2,-2)$; al funcției, $x_0=-2$.

b) $f^{\prime }(-2)=12-24+9=-3$, deci tangenta are ecuația $y+2=-3(x+2)$, adică $$y=-3x-8,\text{sau, ıˆn forma˘ generala˘,}3x+y+8=0.$$

c) Tangenta taie axa $Ox$ în $P\left(-\frac{8}{3},0\right)$ (din $-3x-8=0$) și axa $Oy$ în $Q(0,-8)$. Triunghiul $OPQ$ are un vârf în origine, deci se poate folosi scurtătura: $${\mathcal{S}}_{OPQ}=\frac{1}{2}\left|x_P{y}_Q-x_Q{y}_P\right|=\frac{1}{2}\left|\left(-\frac{8}{3}\right)(-8)-0\right|=\frac{32}{3}.$$ Același rezultat pe calea lungă, cu determinantul complet: $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -\frac{8}{3}& 0& 1\\ 0& -8& 1\end{array}\right|=\frac{64}{3}$, deci $\mathcal{S}=\frac{1}{2}\left|\Delta \right|=\frac{32}{3}$. ✓

Exemplul 4 — Trei drepte concurente

Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $d_1:2x-y+1=0$, $d_2:x+3y-10=0$ și $d_3:mx+y-4=0$ sunt concurente.

Rezolvare. Metoda 1 — prin sistem. Dreptele $d_1$ și $d_2$ au pantele $2$ și $-\frac{1}{3}$, diferite, deci se intersectează într-un singur punct. Din $y=2x+1$ și $x+3(2x+1)=10$ obținem $7x=7$, deci $x=1$ și $y=3$: punctul este $M(1,3)$. Cele trei drepte sunt concurente exact când $M\in d_3$, adică $m\cdot 1+3-4=0$, deci $\boxed{m=1}$.

Metoda 2 — printr-un singur determinant. Trei drepte sunt concurente sau paralele dacă determinantul coeficienților lor se anulează. Pentru $m=1$: $$\left|\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 3& -10\\ 1& 1& -4\end{array}\right|=2(-12+10)+1(-4+10)+1(1-3)=-4+6-2=0.✓$$ Pentru $m=3$, același determinant valorează $14\ne 0$, deci dreptele formează un triunghi. Metoda a doua e mai rapidă, dar trebuie completată cu observația că $d_1$ și $d_2$ chiar se intersectează — altfel „determinant nul" ar putea însemna și „toate trei paralele".

Exemplul 5 — Limite fundamentale, continuitate și L'Hôpital

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^{2x}-1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=a$. a) Determinați $a$ pentru care $f$ e continuă în $0$. b) Pentru acest $a$, calculați $f^{\prime }(0)$ din definiție.

Rezolvare. a) Cu limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$ și substituția $t=2x$ (justificată: $t\to 0$ când $x\to 0$), $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}=2\cdot 1=2.$$ Continuitatea cere $a=2$. (Verificat numeric: valoarea în $x=10^{-6}$ este $2,000002$.)

b) Din definiție, $$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^{2x}-1}{x}-2}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-2x}{x^2}.$$ E o nedeterminare $\frac{0}{0}$ (numărătorul și numitorul tind la $0$), funcțiile sunt derivabile în jurul lui $0$ și derivata numitorului, $2x$, e nenulă pentru $x\ne 0$: regula lui L'Hôpital se poate aplica. $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2e^{2x}-2}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{x}=2.$$ Deci $f^{\prime }(0)=2$: funcția e derivabilă în $0$. (Verificat numeric: raportul calculat în $x=10^{-4}$ este $2,0001$.) ✓

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați punctele de extrem și valorile extreme. c) Determinați imaginea funcției. d) Arătați că $-1\le \frac{2x-1}{x^2+2}\le \frac{1}{2}$ pentru orice $x$ real. e) Scrieți ecuația tangentei la grafic în punctul de abscisă $0$.

Rezolvare. Domeniul e $\mathbb{R}$, pentru că $x^2+2>0$ peste tot.

a) Cu regula câtului, $$f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2+2\right)-(2x-1)\cdot 2x}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{-2x^2+2x+4}{{\left(x^2+2\right)}^2}=\frac{-2(x-2)(x+1)}{{\left(x^2+2\right)}^2}.$$ (Verificat cu raportul de diferențe centrat în șase puncte.)

b) Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e dat de $-2(x-2)(x+1)$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,2)$, negativ pe $(2,+\infty )$. Limitele la $\pm \infty$ sunt $0$.

Punctul de minim este $x=-1$, cu valoarea minimă $f(-1)=-1$; punctul de maxim este $x=2$, cu valoarea maximă $f(2)=\frac{1}{2}$.

c) Pe $(-\infty ,-1]$ funcția scade de la $0$ la $-1$; pe $[-1,2]$ crește de la $-1$ la $\frac{1}{2}$; pe $[2,+\infty )$ scade de la $\frac{1}{2}$ la $0$. Reuniunea intervalelor de valori este $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$, care e imaginea.

d) Cele două extreme sunt globale, tocmai pentru că imaginea e mărginită de ele: $f(x)\ge f(-1)=-1$ și $f(x)\le f(2)=\frac{1}{2}$ pentru orice $x$ real. Aceasta e exact inegalitatea cerută, cu egalitate în $x=-1$, respectiv $x=2$. (Verificat în unsprezece puncte de probă, de la $-1000$ la $1000$.) ✓

e) $f(0)=-\frac{1}{2}$ și $f^{\prime }(0)=\frac{-2(-2)(1)}{4}=1$, deci tangenta este $y+\frac{1}{2}=1\cdot (x-0)$, adică $y=x-\frac{1}{2}$.

Să exersăm

1. Fie $A=\left(\begin{array}{cc}5& -6\\ 1& 0\end{array}\right)$. Calculați $\mathrm{tr}(A)$ și $\det A$ și scrieți ecuația Hamilton-Cayley a matricei.

2. Folosind ecuația de la exercițiul 1, exprimați $A^{-1}$ în funcție de $A$ și $I_2$, apoi calculați efectiv $A^{-1}$.

3. Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\end{array}\right)$, cu $A$ de la exercițiul 1.

4. Arătați că $\mathrm{tr}\left(A^n\right)=3^n+2^n$ și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{tr}\left(A^{n+1}\right)}{\mathrm{tr}\left(A^n\right)}$.

5. Calculați $\det \left(A^n\right)$ și apoi $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mathrm{tr}\left(A^n\right)}{\det \left(A^n\right)}$.

6. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care sistemul omogen $\{\begin{array}{l}x+2y-z=0\\ 2x-y+3z=0\\ x+7y+mz=0\end{array}$ admite și soluții diferite de cea banală.

7. Pentru valoarea găsită la exercițiul 6, rezolvați sistemul și scrieți mulțimea soluțiilor.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un sistem liniar omogen poate fi incompatibil."

9. Determinați $m\in \mathbb{R}$ pentru care dreptele $d_1:2x-y+1=0$, $d_2:x+3y-10=0$ și $d_3:mx+y-4=0$ sunt concurente.

10. Punctele $A(1,1)$, $B(2,4)$ și $C(3,9)$ sunt situate pe graficul funcției $f(x)=x^2$. Arătați că nu sunt coliniare și calculați aria triunghiului $ABC$.

11. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f(x)=x^3+6x^2+9x$ în punctul de abscisă $1$ și calculați aria triunghiului determinat de ea cu axele.

12. Determinați $a\in \mathbb{R}$ pentru care funcția $f:\left(-\frac{1}{6},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln (1+6x)}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $f(0)=a$, este continuă în $0$.

13. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+4x)}{\sin 3x}$.

14. (Problemă aplicată.) Un mobil se deplasează rectiliniu după legea $s(t)=2t^3-15t^2+24t$ (metri, la momentul $t$ secunde). Determinați momentele în care viteza se anulează și accelerația în acele momente.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Trei puncte din plan sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul format cu coordonatele lor și cu o coloană de $1$ este nul."

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}$. a) Calculați $f^{\prime }(x)$. b) Determinați punctul de extrem și imaginea funcției. c) Scrieți ecuația tangentei în punctul de abscisă $1$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+9x$. a) Determinați punctele de extrem ale funcției. b) Arătați că punctele graficului de abscise $-3$, $-2$ și $-1$ sunt coliniare și scrieți ecuația dreptei care le conține.

18. (Provocare.) Fie $A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ cu $\mathrm{tr}(A)=5$ și $\det A=6$, iar $x_n=\mathrm{tr}\left(A^n\right)$, $n\in \mathbb{N}$. Arătați că $x_{n+1}=5x_n-6x_{n-1}$ pentru orice $n\ge 1$, deduceți $x_n=3^n+2^n$ și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}}{x_n}$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{tr}(A)=5+0=5$ și $\det A=5\cdot 0-(-6)\cdot 1=6$, deci $A^2-5A+6I_2=O_2$.

2. Din $A^2-5A+6I_2=O_2$ rezultă $A(A-5I_2)=-6I_2$, deci $A\cdot \frac{5I_2-A}{6}=I_2$, adică $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(5I_2-A\right)$. Efectiv, $A^{-1}=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{1}{6}& \frac{5}{6}\end{array}\right)$. (Verificat: $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2$, cu fracții exacte.)

3. $X=A^{-1}\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -\frac{1}{6}& \frac{5}{6}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Verificare: $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5-12\\ 1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\end{array}\right)$ ✓.

4. Din formula $A^n=\left(\begin{array}{cc}{3}^{n+1}-2^{n+1}& -6\left(3^n-2^n\right)\\ 3^n-2^n& 3\cdot 2^n-2\cdot 3^n\end{array}\right)$, urma este $3^{n+1}-2^{n+1}+3\cdot 2^n-2\cdot 3^n=3^n+2^n$. Limita: scoatem $3^n$ factor comun sus și jos și obținem $\frac{3+2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}\to 3$.

5. $\det \left(A^n\right)={\left(\det A\right)}^n=6^n$. Atunci $\frac{3^n+2^n}{6^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, pentru că amândouă rațiile sunt subunitare în modul.

6. Un sistem omogen are soluții nebanale exact când determinantul lui se anulează. $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& -1& 3\\ 1& 7& m\end{array}\right|=1(-m-21)-2(2m-3)-1(14+1)=-m-21-4m+6-15=-5m-30$, care se anulează pentru $m=-6$.

7. Pentru $m=-6$: din prima ecuație $x=z-2y$; înlocuind în a doua, $2z-4y-y+3z=0$, deci $5z=5y$, adică $y=z$; atunci $x=-z$. A treia ecuație se verifică identic: $-z+7z-6z=0$. Cu $z=\alpha$, mulțimea soluțiilor este $S=\{(-\alpha ,\alpha ,\alpha )\mid \alpha \in \mathbb{R}\}$.

8. Fals. Un sistem omogen are întotdeauna soluția banală $(0,0,\dots ,0)$, deci e întotdeauna compatibil. Întrebarea reală la sistemele omogene nu e „are soluții?", ci „are și altele în afară de cea banală?".

9. $d_1$ și $d_2$ au pantele $2$ și $-\frac{1}{3}$, deci se intersectează. Rezolvând sistemul lor: $x=1$, $y=3$. Condiția ca $d_3$ să treacă prin $(1,3)$ este $m+3-4=0$, deci $m=1$. (Verificat și cu determinantul coeficienților, care se anulează pentru $m=1$ și valorează $14$ pentru $m=3$.)

10. $\Delta =\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 4& 1\\ 3& 9& 1\end{array}\right|=1(4-9)-1(2-3)+1(18-12)=-5+1+6=2\ne 0$, deci punctele nu sunt coliniare. Aria este $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |=1$.

11. $f(1)=1+6+9=16$ și $f^{\prime }(1)=3+12+9=24$, deci tangenta este $y-16=24(x-1)$, adică $y=24x-8$. Ea taie axele în $\left(\frac{1}{3},0\right)$ și $(0,-8)$, deci aria triunghiului cu vârful în origine este $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot 8=\frac{4}{3}$.

12. Cu limita fundamentală $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$ și substituția $t=6x$: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+6x)}{x}=6\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+6x)}{6x}=6$. Deci $a=6$. (Verificat numeric în $x=10^{-6}$.)

13. Nedeterminare $\frac{0}{0}$. Cu limitele fundamentale: $\frac{\ln (1+4x)}{\sin 3x}=\frac{\ln (1+4x)}{4x}\cdot \frac{3x}{\sin 3x}\cdot \frac{4}{3}$, iar primele două rapoarte tind la $1$. Limita este $\frac{4}{3}$. (Se poate și cu regula lui L'Hôpital: $\frac{4/(1+4x)}{3\cos 3x}\to \frac{4}{3}$.)

14. Viteza este $v(t)=s^{\prime }(t)=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)$, care se anulează la $t=1$ s și $t=4$ s. Accelerația este $a(t)=v^{\prime }(t)=12t-30$, deci $a(1)=-18$ m/s² și $a(4)=18$ m/s². La primul moment mobilul își încheie o fază de înaintare, la al doilea o fază de întoarcere.

15. Adevărat. Determinantul este, până la factorul $\frac{1}{2}$ și la modul, aria triunghiului format de cele trei puncte; aria e nulă exact când triunghiul e degenerat, adică punctele sunt coliniare. E dubla folosire a lui $\Delta$ despre care vorbește secțiunea 4.

16. a) Scriem $f(x)=1-\frac{2}{x^2+1}$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu semnul lui $x$. b) Punctul de minim este $x=0$, cu valoarea minimă $f(0)=-1$; limitele la $\pm \infty$ sunt $1$, valoare neatinsă, deci imaginea este $[-1,1)$. c) $f(1)=0$ și $f^{\prime }(1)=\frac{4}{4}=1$, deci tangenta este $y=x-1$.

17. a) $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3)$, cu semnele $+,-,+$: punctul de maxim local este $x=-3$, cu valoarea $f(-3)=0$, iar punctul de minim local este $x=-1$, cu valoarea $f(-1)=-4$. b) Punctele sunt $(-3,0)$, $(-2,-2)$ și $(-1,-4)$, iar $\left|\begin{array}{ccc}-3& 0& 1\\ -2& -2& 1\\ -1& -4& 1\end{array}\right|=-3(-2+4)-0+1(8-2)=-6+6=0$, deci sunt coliniare. Panta prin primul și ultimul este $\frac{-4-0}{-1+3}=-2$, deci dreapta este $y=-2(x+3)$, adică $2x+y+6=0$; punctul din mijloc o verifică: $-4-2+6=0$ ✓. (Nu e o coincidență: cele trei abscise sunt simetrice față de $-2$, abscisa punctului de inflexiune.)

18. Din ecuația Hamilton-Cayley, $A^2=5A-6I_2$; înmulțind cu $A^{n-1}$, obținem $A^{n+1}=5A^n-6A^{n-1}$. Urma fiind o operație liniară, $x_{n+1}=5x_n-6x_{n-1}$. Cum $x_0=\mathrm{tr}(I_2)=2$ și $x_1=\mathrm{tr}(A)=5$, iar ecuația caracteristică $t^2-5t+6=0$ are rădăcinile $2$ și $3$, șirul este $x_n=\alpha \cdot 2^n+\beta \cdot 3^n$; din $\alpha +\beta =2$ și $2\alpha +3\beta =5$ rezultă $\alpha =\beta =1$, deci $x_n=3^n+2^n$. Limita raportului este $3$, rădăcina dominantă.

De reținut

• Problemele de sinteză se recunosc după punți, nu după capitole. Un enunț cu „discutați după $m$" cere determinanți și rang; unul cu „tangenta" cere derivate și ecuația dreptei; unul cu „$A^n$" cere Hamilton-Cayley și recurențe.
• Un sistem cu parametru se rezolvă în două cazuri: $\Delta \ne 0$ înseamnă Cramer, cu soluție unică; $\Delta =0$ cere rangurile, determinanții caracteristici ${\Delta }_{car}^{(k)}$ și sistemul principal.
• Determinantul $3\times 3$ din coordonate este și arie, și test de coliniaritate. Când $\Delta$ apare în aceeași problemă și ca determinant de sistem, se spune într-o propoziție care e care.
• Derivata este pantă, deci orice cerință despre tangente se traduce imediat în limbajul dreptelor: paralelism, perpendicularitate, arie cu axele, coliniaritate de puncte de pe grafic.
• Punctele de redactare se câștigă înainte de calcul: domeniul scris, ipotezele enunțate complet, consecința numită cu proprietarul ei, concluzia formulată în cuvinte.

Greșeli frecvente

• Se declară „sistem incompatibil" doar pentru că $\Delta =0$. Corect: $\Delta =0$ deschide discuția, nu o încheie — se calculează rangurile și determinanții caracteristici, iar sistemul poate ieși nedeterminat.
• Se folosește regula lui Sarrus la un determinant de ordinul 4. Corect: Sarrus și regula triunghiului se aplică numai la ordinul 3; la ordinul 4 se dezvoltă după o linie sau se fac transformări elementare.
• Se scrie ecuația tangentei fără să se verifice dacă $f^{\prime }(x_0)$ e finită. Corect: dacă derivata e infinită, tangenta e verticală și se scrie $x=x_0$; formula cu panta nu se aplică.
• Se aplică regula lui L'Hôpital direct, fără verificarea nedeterminării. Corect: se arată întâi că limita e de tip $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$, apoi se derivează numărătorul și numitorul separat.
• Se amestecă cele două sensuri ale lui $\Delta$ într-o problemă care le folosește pe amândouă. Corect: o propoziție de dezambiguizare la prima apariție, apoi notații consecvente (${\Delta }_1,{\Delta }_2,{\Delta }_3$ pentru Cramer, $\mathcal{S}=\frac{1}{2}|\Delta |$ pentru arie).

Aplică acasă

1. Harta punților, pe o pagină. Desenează cele patru domenii ale anului ca patru cercuri și trage între ele săgețile celor șase punți, scriind pe fiecare săgeată formula care o traversează. Pagina aceasta e cea mai bună foaie de recapitulare pentru ultima săptămână dinaintea examenului.
2. Un subiect pe zi, cronometrat. Ia o variantă de subiect de Bacalaureat M1 și rezolvă numai problemele care ating clasa a XI-a, cu ceasul pornit: $15$ minute pentru un exercițiu de subiectul I, $25$ pentru unul de subiectul al II-lea sau al III-lea. Notează, de fiecare dată, nu doar dacă ai greșit, ci care punte ți-a scăpat.
3. Fabrica de punți. Inventează tu trei enunțuri care combină două capitole diferite — de pildă o matrice ale cărei elemente sunt valori ale unei funcții, sau un triunghi ale cărui vârfuri sunt puncte de extrem ale unui grafic — și rezolvă-le. Cine construiește o problemă o și recunoaște, apoi, în orice variantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie clasa a XI-a și este, prin natura ei, o lecție de strategie, nu de conținut nou. Ea răspunde competențelor XI.CS.3.2, XI.CS.3.3 și XI.CS.3.6 din programă și mai ales cerinței din sugestiile metodologice ca elevul să poată selecta metoda potrivită dintr-un set de metode disponibile.

Valoarea ei stă în punți: problemele de examen nu sunt „de capitol", iar elevul care a învățat fiecare capitol separat se blochează la primul enunț care le combină. De aceea toate cele șase exemple rezolvate traversează cel puțin două unități, iar exercițiile sunt construite pe același principiu.

Ce verifică lecția: (1) rezolvarea completă a unui sistem cu parametru, cu discuție prin rang și Rouché; (2) trecerea de la o matrice la un șir recurent și la limita lui; (3) legătura derivată–pantă–dreaptă, inclusiv aria cu determinant; (4) folosirea corectă a limitelor fundamentale și a regulii lui L'Hôpital; (5) un studiu de funcție dus până la imagine și inegalitate.

Întrebări bune de control: „Ce capitole se întâlnesc în această problemă?", „De ce ai ales metoda aceasta și nu alta?", „Ce înseamnă $\Delta$ aici?", „Ai scris domeniul înainte de primul calcul?". La BAC M1, subiectele al II-lea și al III-lea sunt aproape întotdeauna probleme cu punți. Semn că elevul e pregătit: citind enunțul, spune în două propoziții ce unelte va folosi, înainte să scrie ceva.

Întrebări frecvente

Cum îmi dau seama, dintr-un enunț, ce capitole trebuie combinate? După cuvintele-cheie. „Discutați după $m$" cheamă determinantul și rangul; „tangenta" cheamă derivata și ecuația dreptei; „$A^n$" cheamă Hamilton-Cayley și recurențele; „aria triunghiului cu vârfurile" cheamă determinantul $3\times 3$; „arătați că ecuația are exact $n$ soluții" cheamă șirul lui Rolle sau tabelul de variație.

Ce fac primul lucru la un sistem cu parametru? Calculezi determinantul sistemului și afli valorile parametrului care îl anulează. Pentru celelalte valori aplici Cramer și scrii soluția unică; pentru valorile critice treci la ranguri, la determinanții caracteristici și la sistemul principal.

De ce apare aceeași literă $\Delta$ pentru lucruri diferite? Pentru că amândouă notațiile sunt tradiționale în manualele românești și în subiectele de Bacalaureat M1: $\Delta$ e determinantul sistemului la Cramer și determinantul de arie și coliniaritate în geometria analitică. Soluția nu e să schimbi notația, ci să scrii o propoziție care spune, la prima apariție, despre care dintre ele e vorba.

Cum trec de la o matrice la un șir? Prin ecuația Hamilton-Cayley: din $A^2=\mathrm{tr}(A)A-\det (A)I_2$ înmulțită cu $A^{n-1}$ obții $A^{n+1}=\mathrm{tr}(A)A^n-\det (A)A^{n-1}$. Orice element al matricei, ca și urma ei, satisface aceeași recurență liniară de ordinul al doilea, care se rezolvă cu ecuația caracteristică.

Care e legătura dintre limitele fundamentale și derivate? Fiecare dintre cele cinci limite fundamentale este derivata unei funcții uzuale în $0$, scrisă din definiție. De aceea aceleași limite apar și la calculul limitelor, și la studiul derivabilității unei funcții definite pe ramuri.

Ce se cere din clasa a XI-a la Bacalaureat M1? La subiectul I, exerciții scurte: un determinant, o limită, o derivată, o pantă. La subiectul al II-lea, o problemă completă de algebră liniară — matrice, determinanți, sisteme, ecuații matriceale. La subiectul al III-lea, o problemă de analiză: limite, continuitate, derivate, monotonie, extreme, inegalități.

Se cere trasarea graficului unei funcții? Nu la clasa a XI-a. Programa se oprește la tabelul de variație; asimptotele și reprezentarea grafică se studiază în clasa a XII-a. Limitele la capetele domeniului se calculează totuși, pentru că fac parte din capitolul de limite și completează tabelul.

Cum îmi organizez ultimele săptămâni de recapitulare? Întâi capitolele, pe recapitulările 124–128, ca să nu rămână goluri. Apoi punțile, cu lecția aceasta și cu variante de subiect rezolvate contra cronometru. La final, o singură pagină cu formulele-cheie și cu cele zece capcane de barem din secțiunea 8 — aceasta e foaia pe care o recitești în dimineața examenului.