Sinteză finală: probleme de tip Bacalaureat M1: pe scurt

Harta anului se citește invers față de manual: nu „ce am învățat”, ci „unde se cere ce am învățat”. Unitățile $1$–$3$ alimentează o singură problemă de pe foaie, dar aceea valorează $15$ puncte; unitățile $6$, $7$ și $8$ nu sunt trei capitole, ci unul singur, tăiat în trei — problema de analiză trece de regulă prin toate într-un enunț: găsește primitiva, calculează integrala, interpretează rezultatul ca arie sau volum. Problemele nu sunt „de capitol”, ci de familie: cele șase familii ale anului sunt legile și grupurile, inelele și polinoamele, conicele, studiul funcțiilor, primitivele, integralele și ariile — iar familia se recunoaște din primele două rânduri ale enunțului. Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, împărțite pe pași; primul pas este recunoașterea, ultimul finalizarea, iar recunoașterea se scrie oricât de evidentă pare. Cele zece capcane ale clasei a XII-a merg de la neutrul negăsit în mulțime și ecuațiile din ${\mathbb{Z}}_n$ cu $d$ soluții, prin reciproca falsă a teoremei lui Lagrange și criteriul rădăcinii aplicat la gradul $4$, până la asimptota oblică unde există deja orizontală, primitiva fără $\mathcal{C}$, schimbarea de variabilă fără schimbarea limitelor și aria calculată ca integrală când funcția schimbă semnul. Nouă dintre ele se prind cu o singură întrebare pusă înainte de calcul: în ce mulțime, pe ce interval, cu ce semn?

Exerciții din această mini-lecție

1. Într-un grup cu $12$ elemente, din faptul că $6$ divide $12$ rezultă:

   • a) că grupul are un subgrup cu $6$ elemente
   • b) că grupul are un element de ordin $6$
   • c) că grupul este ciclic
   • d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) nimic: reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general

   Teorema lui Lagrange merge într-un singur sens: dacă $H$ e subgrup al lui $G$ finit, atunci $\mathrm{card}H$ divide $\mathrm{card}G$. Reciproca este falsă — un divizor al cardinalului nu garantează existența unui subgrup cu atâtea elemente. Folosirea ei ca teoremă este a treia dintre cele zece capcane ale clasei a XII-a. Existența unui element de ordin $6$ ar da, într-adevăr, un subgrup ciclic cu $6$ elemente, dar tocmai existența lui trebuie demonstrată.

2. Raționamentul „funcția $f$ nu este continuă pe intervalul $I$, deci nu admite primitive pe $I$” este:

   • a) corect, prin teorema lui Darboux
   • b) greșit: continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, nu necesară
   • c) corect numai pe intervale închise
   • d) corect dacă, în plus, $f$ este mărginită
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) greșit: continuitatea este suficientă pentru existența primitivelor, nu necesară

   Implicația demonstrată merge într-un singur sens: orice funcție continuă pe un interval admite primitive. Reciproca e falsă, iar contraexemplul standard este derivata funcției care valorează $x^2\sin \frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$ și $0$ în origine: ea admite primitive prin însăși construcția ei, dar nu e continuă în $0$. Ce se poate afirma în sens invers sunt consecințele teoremei lui Darboux: o funcție cu discontinuitate de speța I sau cu imagine care nu e interval nu admite primitive.

3. ${\int }_0^{\ln 3}{e}^{2x}dx$ este egală cu:

   • a) $4$
   • b) $8$
   • c) $2$
   • d) $\frac{9}{2}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $4$

   O primitivă a lui $e^{2x}$ este $\frac{e^{2x}}{2}$ — scurtătura $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+\mathcal{C}$. Prin Leibniz–Newton, $\frac{e^{2x}}{2}{|}_0^{\ln 3}=\frac{e^{2\ln 3}-1}{2}=\frac{9-1}{2}=4$, folosind $e^{2\ln 3}={\left(e^{\ln 3}\right)}^2=9$. Varianta $8$ uită împărțirea la $2$, iar $\frac{9}{2}$ uită scăderea valorii din capătul inferior.