Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Sinteză finală clasa a XII-a: probleme de tip Bacalaureat M1

Sinteză finală clasa a XII-a: probleme de tip Bacalaureat M1

Q: Cum recunosc din enunț ce metodă trebuie folosită?

După primele două rânduri. „Pe ℝ se definește x * y = …" cheamă forma factorizată; „în ℤ_p[X]" cheamă Horner și derivata formală; „determinați asimptotele" cheamă schema în patru pași; „arătați că f admite primitive" cheamă continuitatea; „aria suprafeței" cheamă semnul funcției înainte de orice integrală.

Aceasta este ultima lecție a clasei a XII-a și ultima lecție de matematică din liceu. Nu predă nimic nou. Sinteza finală a clasei a 12-a reia cele opt unități ale anului de mate-info în forma în care apar pe foaia de examen: șase probleme complete de tip Bacalaureat M1, fiecare cu trei subpuncte și cu baremul comentat alături.

Un an întreg arată, din interior, ca opt capitole separate: legi, grupuri, inele și polinoame, asimptote, conice, primitive, integrale, aplicații. Din afară — adică din subiect — el arată altfel: ca două probleme de algebră și două de analiză, care aleg din aceste capitole exact uneltele de care au nevoie. Lecția aceasta desenează harta dintre cele două priviri și adună, la final, cele zece capcane care costă cel mai des puncte.

Ce vei învăța

Vei ști ce unitate a anului acoperă ce subiect de pe foaia de examen și ce cerințe tipice îți aduce.
Vei ști să rezolvi complet câte o problemă din fiecare dintre cele șase familii de probleme ale anului.
Vei ști cum se împart cele $5$ puncte ale unui subpunct și ce rând trebuie scris ca să le iei pe toate.
Vei ști să eviți cele zece capcane ale clasei a XII-a, adunate din capcanele fiecărei unități.
Vei ști cum să-ți organizezi ultimele două săptămâni de pregătire.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată anul, văzut din subiectul de examen?

Harta anului este tabelul care pune, în dreptul fiecărei unități, subiectul de examen în care apare și cerințele care se pun de obicei acolo. Ea se citește invers față de manual: nu „ce am învățat", ci „unde se cere ce am învățat".

Unitatea	Lecțiile	Unde apare în examen	Cerințe tipice
1. Legi de compoziție	1–15	Subiectul al II-lea, problema 2	forma factorizată, parte stabilă, neutru, simetric
2. Grupuri	16–35	Subiectul al II-lea, problema 2	cei patru pași, ordinul, subgrup, izomorfism
3. Inele, corpuri, polinoame	36–50	Subiectul al II-lea, problema 2	$Z_{p}$ , rădăcini, descompunere, $cmmdc$
4. Asimptote și grafice	51–65	Subiectul al III-lea, problema 1	asimptote, tabel de variație, discuția $f (x) = m$
5. Conice	66–83	intră cu programa nouă	ecuație canonică, elemente, tangentă, intersecție
6. Primitive	84–104	Subiectul al III-lea, problema 2	alegerea metodei, primitiva cu condiție
7. Integrala definită	105–124	Subiectul al III-lea, problema 2	Leibniz–Newton, părți, schimbare, șiruri $I_{n}$
8. Aplicațiile integralei	125–138	Subiectul al III-lea, problema 2	arii, volume, valoarea medie

Două observații care schimbă felul în care înveți. Prima: unitățile 1–3 alimentează o singură problemă de pe foaie, dar aceea valorează $15$ puncte, deci a șasea parte din notă. A doua: unitățile 6, 7 și 8 nu sunt trei capitole, ci unul singur, tăiat în trei — problema de analiză a Subiectului al III-lea trece, de regulă, prin toate trei într-un singur enunț: găsește primitiva, calculează integrala, interpretează rezultatul ca arie sau volum.

Formulele fiecărei unități sunt strânse în formularul clasei a XII-a; aici le punem la lucru.

2. Care sunt cele șase familii de probleme ale anului?

Familia	Cum o recunoști în enunț	Uneltele
1. legi și grupuri	„pe $R$ se definește $x * y = \dots$ ", „arătați că este grup", „în $(Z_{n}, +)$ "	forma factorizată, cei patru pași, ordinul, Lagrange, izomorfismul
2. inele și polinoame	„în $Z_{p} [X]$ ", „determinați $\overset{a}{^}$ pentru care", „descompuneți"	Bézout, Horner, derivata formală, ireductibilitatea
3. conice	„determinați focarele", „scrieți ecuația tangentei în punctul"	ecuația canonică, dedublarea, condiția de tangență
4. studiul funcțiilor	„determinați asimptotele", „discutați numărul soluțiilor"	schema în nouă pași, valorile-prag
5. primitive	„arătați că $f$ admite primitive", „determinați $F$ cu $F (x_{0}) = y_{0}$ "	tabelul, părțile, substituția, fracțiile simple
6. integrale și arii	„calculați $\int_{a}^{b}$ ", „aria suprafeței", „volumul corpului"	Leibniz–Newton, teorema de medie, $π \int f^{2}$

Cele șase exemple rezolvate de mai jos iau familiile în ordinea din tabel, câte o problemă din fiecare, fiecare cu trei subpuncte, ca pe foaia de examen. Recapitulările pe unități, cu alte enunțuri, sunt la sinteza de legi de compoziție și grupuri, sinteza de polinoame peste un corp, sinteza studiului complet al funcției, sinteza de conice, sinteza de primitive și sinteza integralei definite; niciuna dintre problemele lor nu se repetă aici.

3. Ce cere baremul, punct cu punct?

Fiecare subpunct al unei probleme de Subiectul al II-lea sau al III-lea valorează 5 puncte, iar baremul oficial le taie în doi sau trei pași — de obicei $2 p + 3 p$ sau $1 p + 2 p + 2 p$ . Regula practică: primul pas e recunoașterea, ultimul e finalizarea, iar între ele stă calculul.

Ce înseamnă asta în scris, concret:

Recunoașterea se scrie. „Funcția e continuă pe $[a, b]$ , deci admite primitive" e un rând care valorează un punct sau două, indiferent cât de evident ți se pare.
Ipotezele teoremei se enunță complet, cu numele teoremei. „Din teorema de medie, $f$ fiind continuă pe $[a, b]$ , există $c$ …" — nu doar „există $c$ ".
Consecința se numește împreună cu proprietarul ei. Consecința 1 a teoremei lui Lagrange (grupuri) nu e Consecința 1 a teoremei lui Darboux.
Finalizarea e o propoziție, nu un număr. „Aria cerută este $2$ " ia punctul de finalizare; un „ $= 2$ " subliniat, uneori, nu.
Verificarea aduce puncte indirect: un rezultat controlat prin substituție sau prin derivare nu ajunge greșit pe foaie.

⚠️ Ordinea contează la punctaj: dacă subpunctul b) se sprijină pe a) și a) e greșit, b) se punctează pentru metodă, nu pentru rezultat. De aceea metoda se scrie explicit, chiar și când calculul s-a rupt.

4. Care sunt cele zece capcane ale clasei a XII-a?

Adunate din capcanele fiecărei unități, în ordinea în care apar pe foaie:

Neutrul sau simetricul găsit ca număr, dar nu verificat că e în mulțime. Pe $(a, + \infty)$ , $e = a + 1$ e bun; pe $(a + 2, + \infty)$ nu mai e.
Ecuația $\overset{a}{^} \overset{x}{^} = \hat{b}$ rezolvată prin simplificare cu o clasă neinversabilă, sau declarată cu o singură soluție când $d = (a, n)$ dă $d$ soluții.
Reciproca teoremei lui Lagrange folosită ca teoremă. Din $6 ∣ 12$ nu rezultă că un grup cu $12$ elemente are un subgrup cu $6$ .
Criteriul „reductibil $⟺$ are rădăcină" aplicat la gradul 4. El e valabil numai la gradele $2$ și $3$ .
Asimptotă oblică căutată spre un capăt unde există deja orizontală, sau $n$ calculat înaintea lui $m$ . Cele două se exclud reciproc, iar ordinea e obligatorie.
Elementele conicei citite înainte de normalizarea ecuației, sau focarul parabolei așezat la distanța $p$ de vârf, în loc de $\frac{p}{2}$ .
Primitiva scrisă fără $+ C$ , sau logaritmul fără modul, sau căutată pe o reuniune de intervale în loc de un interval.
„Nu e continuă, deci nu are primitive". Implicația merge invers: continuitatea e suficientă, nu necesară.
Schimbarea de variabilă la integrala definită făcută fără schimbarea limitelor, sau rezultatul lăsat în variabila $t$ .
Aria calculată ca $\int_{a}^{b} f$ atunci când $f$ schimbă semnul. Aria este $\int_{a}^{b} ∣ f ∣$ ; se rupe intervalul în zerouri și se adună valorile absolute.

Nouă dintre cele zece se prind cu o singură întrebare pusă înainte de calcul: în ce mulțime, pe ce interval, cu ce semn?

5. Ce se ia din clasele a IX-a – a XI-a?

Subiectul I ( $6 \times 5 = 30$ de puncte) și prima problemă a fiecăruia dintre celelalte două subiecte nu sunt din clasa a XII-a. Ele vin din anii anteriori și se pregătesc separat:

Subiect	De unde vine	Ce se cere
I, cerințele 1–6	clasele a IX-a și a X-a	progresii, funcții, combinatorică, probabilități, numere complexe, logaritmi, trigonometrie, geometrie analitică
al II-lea, problema 1	clasa a XI-a	matrice, determinanți, sisteme, ecuații matriceale
al III-lea, problema 1	clasa a XI-a, completată de unitatea 4	limite, continuitate, derivate, tabelul de variație, asimptote

Legătura cea mai strânsă e la Subiectul al III-lea: problema 1 folosește derivata, problema 2 folosește primitiva — aceeași unealtă, citită în două sensuri. Recapitularea pe capitole a clasei a XI-a e la sinteza finală a clasei a XI-a, iar discuția numărului de soluții se poate face și cu șirul lui Rolle, nu doar grafic.

6. Mesajul de final

Ai parcurs, în patru ani, drumul de la ecuația de gradul al doilea la integrala definită. Ce rămâne, dincolo de examen, nu sunt formulele — pe acelea le poți oricând recăuta — ci trei deprinderi: întrebi mai întâi unde e valabil ceea ce vrei să folosești; scrii pasul înainte de a-l face; verifici rezultatul pe un caz pe care îl poți controla. Ele nu se predau într-o lecție; se formează în trei sute de exerciții și rămân pentru toată viața, indiferent ce vei studia mai departe.

Pentru ultimele două săptămâni, un plan simplu care funcționează: o variantă completă la trei zile, cronometrată la trei ore, urmată de o oră de analiză a greșelilor; în zilele dintre ele, doar capcanele din secțiunea 4 și rândurile de formular pe care nu le știi; în ultima zi, nimic nou — o singură pagină recitită și somn. Un elev odihnit rezolvă cu zece puncte mai mult decât unul care a învățat până la trei dimineața. Succes!

Exemple rezolvate

Fiecare problemă e scrisă în formatul examenului: trei subpuncte de câte $5$ puncte. Sub fiecare subpunct, în italice, baremul comentat.

Exemplul 1 — Grupuri și subgrupuri (Subiectul al II-lea)

Se consideră grupul $(Z_{28}, +)$ și mulțimea $H = {\hat{0}, \hat{7}, 14, 21}$ . a) Calculați $ord (\hat{7})$ și $ord (12)$ în $(Z_{28}, +)$ . b) Arătați că $H$ este subgrup al lui $(Z_{28}, +)$ și verificați teorema lui Lagrange. c) Arătați că $(H, +) ≃ (Z_{4}, +)$ și determinați numărul generatorilor grupului $(Z_{28}, +)$ .

Rezolvare. a) Formula din formular dă direct $ord (\overset{a}{^}) = \frac{n}{( a , n )}$ . Cum $(7, 28) = 7$ , avem $ord (\hat{7}) = \frac{28}{7} = 4$ ; într-adevăr, $\hat{7} + \hat{7} + \hat{7} + \hat{7} = 28 = \hat{0}$ , iar niciun multiplu mai mic nu se anulează. Cum $(12, 28) = 4$ , avem $ord (12) = \frac{28}{4} = 7$ . (Ambele verificate prin calcul direct al multiplilor.)

Barem comentat: câte 2 p pentru fiecare ordin (formula plus un rând de justificare) și 1 p pentru precizarea că, într-un grup aditiv, „puterea a $k$ -a" înseamnă $k$ termeni adunați.

b) $H$ este chiar mulțimea multiplilor lui $\hat{7}$ , adică $H = ⟨ \hat{7} ⟩$ . Aplicăm criteriul de subgrup. $H \neq = \emptyset$ , fiindcă $\hat{0} \in H$ . Stabilitatea: suma a doi multipli de $\hat{7}$ e tot un multiplu de $\hat{7}$ , iar tabelul de adunare al lui $H$ se închide — de pildă $14 + 21 = 35 = \hat{7} \in H$ . Opusele: $- \hat{7} = 21 \in H$ , $- 14 = 14 \in H$ , $- 21 = \hat{7} \in H$ , $- \hat{0} = \hat{0}$ . Deci $H$ este subgrup.

Teorema lui Lagrange cere $card H ∣ card Z_{28}$ : într-adevăr, $4 ∣ 28$ ✓. Se regăsește și Consecința 1, fiindcă $card H = ord (\hat{7}) = 4$ . (Stabilitatea și opusele verificate pe toate cele $16$ perechi.)

Barem comentat: 1 p pentru $H \neq = \emptyset$ , 2 p pentru stabilitate, 1 p pentru opuse, 1 p pentru verificarea divizibilității. ⚠️ Într-un grup aditiv, condiția „ $x^{- 1} \in H$ " se scrie „ $- x \in H$ " — forma multiplicativă copiată mecanic e o greșeală de notație.

c) Definim $f : Z_{4} \to H$ , $f (\hat{k}) = 7 k$ . Buna definire: dacă $\hat{k} = \hat{l}$ în $Z_{4}$ , atunci $4 ∣ (k - l)$ , deci $28 ∣ 7 (k - l)$ și $7 k = 7 l$ în $Z_{28}$ . Morfismul: $f (\hat{k} + \hat{l}) = 7 (k + l) = 7 k + 7 l = f (\hat{k}) + f (\hat{l})$ . Bijectivitatea: cele patru valori $\hat{0}, \hat{7}, 14, 21$ sunt distincte, iar ambele mulțimi au patru elemente. Deci $f$ e izomorfism și $(H, +) ≃ (Z_{4}, +)$ .

Generatorii lui $(Z_{28}, +)$ sunt clasele de ordin $28$ , adică acelea cu $(a, 28) = 1$ ; numărul lor este $φ (28) = φ (4) φ (7) = 2 \cdot 6 = 12$ . Ele sunt $\hat{1}, \hat{3}, \hat{5}, \hat{9}, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27$ . (Verificat: fiecare are ordinul $28$ , celelalte nu.) ✓

Barem comentat: 1 p buna definire, 1 p morfismul, 1 p bijectivitatea, 2 p numărul generatorilor. Buna definirii unei funcții pe clase de resturi e pasul pe care baremele îl cer explicit și pe care candidații îl sar cel mai des.

Exemplul 2 — Polinoame peste un corp (Subiectul al II-lea)

În $Z_{5} [X]$ se consideră $f = X^{3} + \hat{3} X^{2} + \overset{a}{^} X + \hat{2}$ , cu $\overset{a}{^} \in Z_{5}$ . a) Determinați $\overset{a}{^}$ pentru care $\hat{2}$ este rădăcină a lui $f$ . b) Pentru $\overset{a}{^}$ găsit, descompuneți $f$ în factori ireductibili peste $Z_{5}$ . c) Calculați derivata formală $f^{'}$ și arătați că $f$ nu are rădăcini multiple.

Rezolvare. a) $f (\hat{2}) = \hat{8} + \hat{3} \cdot \hat{4} + \hat{2} \overset{a}{^} + \hat{2} = \hat{3} + 12 + \hat{2} \overset{a}{^} + \hat{2} = \hat{3} + \hat{2} + \hat{2} \overset{a}{^} + \hat{2} = \hat{2} + \hat{2} \overset{a}{^}$ . Condiția $f (\hat{2}) = \hat{0}$ dă $\hat{2} \overset{a}{^} = \hat{3}$ ; cum $\hat{2}$ e inversabilă în $Z_{5}$ , cu $\hat{2}^{- 1} = \hat{3}$ , obținem $\overset{a}{^} = \hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{4}$ . (Verificat: e singura valoare din cele cinci care anulează $f$ în $\hat{2}$ .)

Barem comentat: 3 p pentru punerea condiției $f (\hat{2}) = \hat{0}$ cu calculul în $Z_{5}$ , 2 p pentru rezolvarea ecuației. ⚠️ Rezultatele se scriu ca clase, nu ca întregi: $\hat{4}$ , nu $9$ .

b) Cu $\overset{a}{^} = \hat{4}$ , $f = X^{3} + \hat{3} X^{2} + \hat{4} X + \hat{2}$ . Din teorema lui Bézout, $X - \hat{2}$ divide $f$ . Schema lui Horner cu rădăcina $\hat{2}$ , pe coeficienții $\hat{1}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{2}$ , dă câtul $X^{2} + \hat{0} X + \hat{4} = X^{2} + \hat{4}$ și restul $\hat{0}$ ✓. Rămâne de descompus $X^{2} + \hat{4}$ : căutăm rădăcinile în cele cinci clase și găsim $\hat{1}$ și $\hat{4}$ (fiindcă $\hat{1} + \hat{4} = \hat{0}$ și $16 + \hat{4} = \hat{1} + \hat{4} = \hat{0}$ ). Așadar $f = (X - \hat{1}) (X - \hat{2}) (X - \hat{4}) = (X + \hat{4}) (X + \hat{3}) (X + \hat{1}) .$ (Verificat prin înmulțire înapoi, modulo $5$ .) ✓ Factorii sunt de gradul întâi, deci ireductibili peste orice corp.

Barem comentat: 2 p Horner (sau împărțirea scrisă), 2 p rădăcinile trinomului, 1 p concluzia „factorii de gradul întâi sunt ireductibili". Verificarea prin înmulțire înapoi nu aduce punct, dar salvează exercițiul.

c) Derivând termen cu termen, $f^{'} = \hat{3} X^{2} + \hat{6} X + \hat{4} = \hat{3} X^{2} + \hat{1} X + \hat{4}$ . Criteriul rădăcinilor multiple cere ca o rădăcină multiplă $\overset{r}{^}$ să anuleze și $f^{'}$ . Calculăm: $f^{'} (\hat{1}) = \hat{3} + \hat{1} + \hat{4} = \hat{3}$ , $f^{'} (\hat{2}) = 12 + \hat{2} + \hat{4} = \hat{3}$ , $f^{'} (\hat{4}) = 48 + \hat{4} + \hat{4} = \hat{1}$ — niciuna nulă. Deci $f$ are trei rădăcini simple, ceea ce se vede și din descompunerea de la b), în care fiecare factor apare o singură dată.

Barem comentat: 2 p derivata formală, 3 p verificarea în cele trei rădăcini. ⚠️ Peste $Z_{p}$ , implicația „ $f (r) = f^{'} (r) = 0 \Rightarrow$ rădăcină multiplă" nu se poate inversa; aici o folosim în sensul bun, prin negație.

Exemplul 3 — Conice

Se consideră elipsa de ecuație $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ . a) Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea. b) Arătați că $M (4, \frac{9}{5})$ aparține elipsei și scrieți ecuația tangentei în $M$ . c) Determinați punctele de intersecție ale elipsei cu dreapta $x + y - 5 = 0$ .

Rezolvare. a) Ecuația e deja în formă canonică, cu $a^{2} = 25$ și $b^{2} = 9$ , deci $a = 5$ , $b = 3$ și $a > b$ : axa mare e pe $O x$ . Atunci $c = 25 - 9 = 4$ , focarele sunt $F (4, 0)$ și $F^{'} (- 4, 0)$ , iar $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} \in (0, 1)$ ✓.

Barem comentat: 2 p semiaxele (cu precizarea orientării), 2 p focarele, 1 p excentricitatea. ⚠️ Fără normalizare nu se citește nimic: la $9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$ primul gest e împărțirea la $225$ .

b) Apartenența: $\frac{16}{25} + \frac{81}{25 \cdot 9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$ ✓. Dedublarea, cu $x_{0} = 4$ și $y_{0} = \frac{9}{5}$ : $\frac{4 x}{25} + \frac{9 y}{5 \cdot 9} = 1 ⟺ \frac{4 x}{25} + \frac{y}{5} = 1 ⟺ 4 x + 5 y - 25 = 0.$ Controlul prin condiția de tangență: dreapta se scrie $y = - \frac{4}{5} x + 5$ , deci $m = - \frac{4}{5}$ și $n = 5$ ; condiția $n^{2} = a^{2} m^{2} + b^{2}$ cere $25 = 25 \cdot \frac{16}{25} + 9 = 16 + 9$ ✓. (Verificat și prin sistem: discriminantul ecuației de gradul al doilea este nul.)

Barem comentat: 1 p apartenența (se cere explicit!), 3 p dedublarea, 1 p forma finală a ecuației. Verificarea prin condiția de tangență e gratuită ca punctaj și obligatorie ca igienă.

c) Din dreaptă, $y = 5 - x$ . Înlocuind, $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{( 5 - x ) ^{2}}{9} = 1$ , adică, după înmulțirea cu $225$ : $9 x^{2} + 25 (25 - 10 x + x^{2}) = 225$ , deci $34 x^{2} - 250 x + 400 = 0$ și, după simplificare cu $2$ , $17 x^{2} - 125 x + 200 = 0, Δ = 15625 - 13600 = 2025 = 4 5^{2} > 0.$ Coeficientul lui $x^{2}$ e nenul, iar $Δ > 0$ : dreapta e secantă. Rădăcinile sunt $x_{1} = \frac{125 + 45}{34} = 5$ și $x_{2} = \frac{125 - 45}{34} = \frac{40}{17}$ , cu ordonatele $y_{1} = 0$ și $y_{2} = \frac{45}{17}$ . Punctele sunt $A (5, 0)$ și $B (\frac{40}{17}, \frac{45}{17})$ . (Ambele verificate în ambele ecuații.) ✓

Barem comentat: 1 p substituția, 1 p verificarea coeficientului lui $x^{2}$ și calculul lui $Δ$ , 3 p punctele. Substituirea în ambele ecuații e pasul care prinde punctele false.

Exemplul 4 — Studiul unei funcții (Subiectul al III-lea)

Fie $f : R ∖ {3} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 34}{x - 3}$ . a) Determinați asimptotele graficului. b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem. c) Discutați, după $m \in R$ , numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ .

Rezolvare. Primul gest: împărțirea. Cum $x^{2} - 6 x + 34 = (x - 3)^{2} + 25$ , avem $f (x) = (x - 3) + \frac{25}{x - 3} .$

a) Verticala: în $x = 3$ numărătorul valorează $25 \neq = 0$ , deci limitele laterale sunt $- \infty$ la stânga și $+ \infty$ la dreapta — $x = 3$ e asimptotă verticală bilaterală. La capete, $\frac{25}{x - 3} \to 0$ , deci $m = 1$ și $n = - 3$ : dreapta $y = x - 3$ e asimptotă oblică spre ambele capete, iar orizontală nu există. (Verificat numeric la $x = \pm 1 0^{8}$ .)

Barem comentat: 2 p verticala (cu ambele limite laterale scrise), 3 p oblica. Scrierea lui $f$ sub forma $(x - 3) + \frac{25}{x - 3}$ nu e cerută, dar scurtează ambele calcule.

b) $f^{'} (x) = 1 - \frac{25}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{( x - 3 ) ^{2} - 25}{( x - 3 ) ^{2}} = \frac{( x - 8 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ^{2}}$ . Numitorul e strict pozitiv, deci semnul lui $f^{'}$ e semnul lui $(x - 8) (x + 2)$ .

$x$	$- \infty$		$- 2$		$3$		$8$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗$	$- 10 M$	$↘$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘$	$10 m$	$↗$	$+ \infty$

Punctul de maxim local este $x = - 2$ , cu valoarea $f (- 2) = - 5 - 5 = - 10$ ; punctul de minim local este $x = 8$ , cu $f (8) = 5 + 5 = 10$ . ⚠️ Monotonia se declară pe intervale, nu pe reuniunea lor.

Barem comentat: 2 p derivata, 1 p semnul, 2 p tabelul cu extremele. Confuzia „punct de extrem" / „valoare extremă" costă punctul de finalizare.

c) Din tabel se citesc valorile-prag: $- 10$ și $10$ . Pe ramura $x < 3$ , funcția crește de la $- \infty$ la $- 10$ , apoi scade la $- \infty$ ; pe ramura $x > 3$ , scade de la $+ \infty$ la $10$ , apoi crește la $+ \infty$ .

Valorile lui $m$	Numărul soluțiilor
$m < - 10$	$2$
$m = - 10$	$1$
$- 10 < m < 10$	$0$
$m = 10$	$1$
$m > 10$	$2$

(Verificat numeric pe ambele ramuri; cazurile $m = \pm 10$ dau rădăcini duble — eșantionarea prin schimbări de semn nu le vede, de aceea au fost tratate separat.) ✓

Barem comentat: 2 p identificarea valorilor-prag, 3 p discuția completă, în tabel cu două coloane. Cazurile de egalitate ( $m = \pm 10$ ) sunt cele mai des uitate și valorează, împreună, jumătate din subpunct.

Exemplul 5 — Primitive (Subiectul al III-lea)

Fie $f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{3 x + 7}{x ^{2} + 4 x + 3}$ . a) Arătați că $f$ admite primitive pe $(- 1, + \infty)$ . b) Determinați $\int f (x) d x$ pe acest interval. c) Determinați primitiva $F$ cu $F (0) = ln 3$ și arătați că este strict crescătoare.

Rezolvare. a) $x^{2} + 4 x + 3 = (x + 1) (x + 3)$ , iar pe $(- 1, + \infty)$ ambii factori sunt strict pozitivi, deci numitorul nu se anulează. Fiind un cât de funcții polinomiale cu numitorul nenul, $f$ e continuă pe interval; orice funcție continuă pe un interval admite primitive.

Barem comentat: 2 p factorizarea și observația că numitorul nu se anulează, 3 p invocarea explicită a teoremei. „Se vede că e continuă" nu e justificare.

b) Gradul numărătorului e mai mic decât al numitorului, deci nu e nevoie de împărțire. Descompunem în fracții simple: $\frac{3 x + 7}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3} ⟹ 3 x + 7 = A (x + 3) + B (x + 1) .$ Metoda valorilor particulare: $x = - 1$ dă $4 = 2 A$ , deci $A = 2$ ; $x = - 3$ dă $- 2 = - 2 B$ , deci $B = 1$ . Prin urmare $\int \frac{3 x + 7}{x ^{2} + 4 x + 3} d x = 2 ln (x + 1) + ln (x + 3) + C .$ Pe $(- 1, + \infty)$ ambele argumente sunt strict pozitive, deci modulul se poate scoate — și se spune că din acest motiv. (Verificat prin derivare în patru puncte ale intervalului.) ✓

Barem comentat: 1 p forma descompunerii, 2 p coeficienții, 2 p integrarea. ⚠️ Fără menționarea intervalului, scoaterea modulului e o greșeală, nu o simplificare.

c) Mulțimea primitivelor e ${2 ln (x + 1) + ln (x + 3) + c ∣ c \in R}$ . Impunem condiția: $F (0) = 2 ln 1 + ln 3 + c = ln 3$ , deci $c = 0$ și $F (x) = 2 ln (x + 1) + ln (x + 3) = ln [(x + 1)^{2} (x + 3)] .$ Monotonia se citește din $F^{'} = f$ : pe $(- 1, + \infty)$ avem $3 x + 7 > 4 > 0$ și numitorul $> 0$ , deci $f > 0$ și $F$ e strict crescătoare. (Verificat: $F (0) = ln 3$ și $F^{'} = f$ numeric.) ✓

Barem comentat: 1 p mulțimea primitivelor, 2 p determinarea constantei, 2 p monotonia din semnul lui $f$ . Monotonia se justifică prin semnul lui $f$ , nu prin „se vede pe grafic".

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Fie $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ . a) Calculați aria subgraficului lui $f$ . b) Determinați valoarea medie a lui $f$ pe $[0, 4]$ și numărul $c$ dat de teorema de medie. c) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui $f$ în jurul axei $O x$ .

Rezolvare. Pe $[0, 4]$ avem $2 x + 1 \in [1, 9]$ , deci $f$ e bine definită, continuă și strict pozitivă — condițiile tuturor celor trei formule sunt îndeplinite, iar acest rând se scrie primul.

a) Rândul 2 al tabelului, cu scurtătura $\int f (a x + b) d x = \frac{1}{a} F (a x + b)$ , dă primitiva $2 x + 1$ . Cum $f > 0$ , aria subgraficului este chiar integrala: $S (Γ_{f}) = \int_{0}^{4} \frac{d x}{2 x + 1} = 2 x + 1_{0}^{4} = 3 - 1 = 2.$ (Verificat prin integrare numerică.) ✓

Barem comentat: 1 p pentru „ $f \geq 0$ , deci aria = integrala", 2 p primitiva, 2 p evaluarea. Primul rând pare formalitate; el e punctul care se pierde cel mai des.

b) Valoarea medie este $\frac{1}{4 - 0} \int_{0}^{4} f (x) d x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Funcția $f$ fiind continuă pe $[0, 4]$ , teorema de medie asigură existența unui $c \in [0, 4]$ cu $f (c) = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{2 c + 1} = \frac{1}{2} ⟹ 2 c + 1 = 2 ⟹ 2 c + 1 = 4 ⟹ c = \frac{3}{2} \in [0, 4] . ✓$

Barem comentat: 2 p valoarea medie, 1 p enunțul teoremei cu ipoteza de continuitate, 2 p determinarea lui $c$ și verificarea apartenenței la interval.

c) Formula volumului cere pătratul funcției: $f^{2} (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ , a cărei primitivă este $\frac{1}{2} ln (2 x + 1)$ , fără modul, pentru că $2 x + 1 > 0$ pe $[0, 4]$ . Atunci $V (C_{f}) = π \int_{0}^{4} \frac{d x}{2 x + 1} = \frac{π}{2} ln (2 x + 1)_{0}^{4} = \frac{π}{2} ln 9 = π ln 3.$ (Verificat numeric: $π ln 3 \approx 3, 4514$ .) ✓ Un control rapid: corpul e cuprins între cilindrii de raze $\frac{1}{3}$ și $1$ , deci volumul e între $\frac{4 π}{9} \approx 1, 40$ și $4 π \approx 12, 57$ ✓.

Barem comentat: 1 p formula $π \int f^{2}$ , 2 p primitiva, 2 p evaluarea și forma finală. Trecerea $\frac{π}{2} ln 9 = π ln 3$ nu e obligatorie, dar arată stăpânirea logaritmilor.

Să exersăm

1. Pentru legea $x * y = x y - 16 x - 16 y + 272$ , scrieți forma factorizată, elementul neutru și simetricul lui $18$ .

2. Rezolvați ecuația $x * x = 20$ pe $(16, + \infty)$ , cu legea de la exercițiul 1.

3. Calculați $ord (\hat{9})$ în $(Z_{24}, +)$ .

4. Câte elemente de ordinul $2$ are grupul $(Z_{10}, +)$ ?

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice grup cu patru elemente este ciclic."

6. Determinați $\overset{a}{^} \in Z_{5}$ pentru care $\hat{2}$ este rădăcină a polinomului $f = X^{3} + \hat{3} X^{2} + \overset{a}{^} X + \hat{2}$ .

7. Descompuneți în factori ireductibili peste $Z_{5}$ polinomul $f = X^{3} + \hat{3} X^{2} + \hat{4} X + \hat{2}$ .

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Un polinom de gradul al patrulea fără rădăcini în corpul $K$ este ireductibil peste $K$ ."

9. Determinați asimptotele graficului funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - 6 x + 34}{x - 3}$ .

10. Pentru funcția de la exercițiul 9, determinați punctele de extrem și valorile extreme.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru aceeași funcție, discutați numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$ , $m \in R$ .

12. Determinați semiaxele, focarele și excentricitatea elipsei $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ .

13. Scrieți ecuația tangentei la elipsa de la exercițiul 12 în punctul $M (4, \frac{9}{5})$ și confirmați-o cu condiția de tangență.

14. Calculați $\int \frac{3 x + 7}{x ^{2} + 4 x + 3} d x$ pe $(- 1, + \infty)$ și determinați primitiva $F$ cu $F (0) = ln 3$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Fie $f : [0, 4] \to R$ , $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ . a) Calculați aria subgraficului. b) Determinați valoarea medie a lui $f$ . c) Determinați $c$ din teorema de medie.

16. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f$ este integrabilă pe $[a, b]$ , atunci $f$ admite primitive pe $[a, b]$ ."

17. (Problemă aplicată.) Un rezervor are forma corpului obținut prin rotirea în jurul axei $O x$ a subgraficului funcției $f (x) = \frac{1}{2 x + 1}$ , $x \in [0, 4]$ , dimensiunile fiind în metri. Calculați volumul rezervorului.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru fiecare divizor $d$ al lui $28$ , mulțimea $⟨ \hat{d} ⟩$ este subgrup al lui $(Z_{28}, +)$ și are exact $\frac{28}{d}$ elemente. Câte mulțimi distincte se obțin astfel?

Răspunsuri și explicații

1. $1 6^{2} + 16 = 272$ , deci $x * y = (x - 16) (y - 16) + 16$ ; $e = 17$ ; din $(18 - 16) (x^{'} - 16) = 1$ rezultă $1 8^{'} = 16 + \frac{1}{2} = \frac{33}{2}$ .

2. $(x - 16)^{2} + 16 = 20$ dă $(x - 16)^{2} = 4$ , deci $x = 18$ sau $x = 14$ . Pe $(16, + \infty)$ rămâne $x = 18$ .

3. $(9, 24) = 3$ , deci $ord (\hat{9}) = \frac{24}{3} = 8$ .

4. $ord (\overset{a}{^}) = 2 ⟺ \frac{10}{( a , 10 )} = 2 ⟺ (a, 10) = 5$ , adică $a = 5$ : un singur element, $\hat{5}$ .

5. Fals. Grupul lui Klein are patru elemente și nu e ciclic: toate elementele diferite de $e$ au ordinul $2$ , deci niciunul nu generează grupul. (Celălalt grup cu patru elemente, $(Z_{4}, +)$ , este ciclic.)

6. $f (\hat{2}) = \hat{2} + \hat{2} \overset{a}{^} = \hat{0}$ dă $\hat{2} \overset{a}{^} = \hat{3}$ și, înmulțind cu $\hat{2}^{- 1} = \hat{3}$ , $\overset{a}{^} = \hat{4}$ .

7. $f = (X - \hat{1}) (X - \hat{2}) (X - \hat{4})$ ; factorii de gradul întâi sunt ireductibili. (Verificat prin înmulțire înapoi în $Z_{5} [X]$ .)

8. Fals. Criteriul „reductibil $⟺$ are rădăcină" e valabil numai la gradele $2$ și $3$ . Un polinom de gradul al patrulea se poate descompune în doi factori de gradul al doilea, fără nicio rădăcină în $K$ .

9. $f (x) = (x - 3) + \frac{25}{x - 3}$ , deci $x = 3$ e asimptotă verticală bilaterală, iar $y = x - 3$ e asimptotă oblică spre ambele capete. Orizontală nu există.

10. $f^{'} (x) = \frac{( x - 8 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ^{2}}$ : punct de maxim local $x = - 2$ , cu valoarea $- 10$ ; punct de minim local $x = 8$ , cu valoarea $10$ .

11. Două soluții pentru $m < - 10$ și pentru $m > 10$ ; o soluție pentru $m = - 10$ și pentru $m = 10$ (rădăcini duble — tangență); nicio soluție pentru $m \in (- 10, 10)$ .

12. $a = 5$ , $b = 3$ , $c = 25 - 9 = 4$ ; focarele $F (4, 0)$ și $F^{'} (- 4, 0)$ ; $e = \frac{4}{5}$ .

13. Dedublarea dă $\frac{4 x}{25} + \frac{y}{5} = 1$ , adică $4 x + 5 y - 25 = 0$ . Cu $m = - \frac{4}{5}$ și $n = 5$ : $n^{2} = 25$ și $a^{2} m^{2} + b^{2} = 16 + 9 = 25$ ✓.

14. $\frac{3 x + 7}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = \frac{2}{x + 1} + \frac{1}{x + 3}$ , deci integrala este $2 ln (x + 1) + ln (x + 3) + C$ . Din $F (0) = ln 3$ rezultă $c = 0$ , adică $F (x) = ln [(x + 1)^{2} (x + 3)]$ .

15. a) $\int_{0}^{4} \frac{d x}{2 x + 1} = 2 x + 1_{0}^{4} = 2$ , iar $f > 0$ , deci aria este $2$ . b) Valoarea medie: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . c) $\frac{1}{2 c + 1} = \frac{1}{2}$ dă $c = \frac{3}{2} \in [0, 4]$ .

16. Fals. Funcția treaptă (de pildă $f = 0$ pe $[0, 1)$ și $f = 1$ în rest, pe $[0, 2]$ ) e monotonă, deci integrabilă, dar are o discontinuitate de speța I, deci nu admite primitive. Cele două noțiuni sunt independente.

17. $V = π \int_{0}^{4} \frac{d x}{2 x + 1} = \frac{π}{2} ln 9 = π ln 3 \approx 3, 45$ metri cubi.

18. $⟨ \hat{d} ⟩$ e subgrup prin criteriul de subgrup: e nevidă, suma a doi multipli de $\hat{d}$ e tot multiplu de $\hat{d}$ , iar opusul unui multiplu de $\hat{d}$ e multiplu de $\hat{d}$ . Cardinalul ei este $ord (\hat{d}) = \frac{28}{( d , 28 )} = \frac{28}{d}$ , fiindcă $d ∣ 28$ . Divizorii lui $28$ sunt $1, 2, 4, 7, 14, 28$ , deci se obțin șase mulțimi distincte, cu $28, 14, 7, 4, 2$ și, respectiv, $1$ elemente. (Toate șase verificate numeric.)

De reținut

Problemele de examen nu sunt „de capitol", ci de familie: cele șase familii de probleme ale anului acoperă tot ce se poate cere din clasa a XII-a, iar recunoașterea familiei se face din primele două rânduri ale enunțului.
Fiecare subpunct valorează $5$ puncte, împărțite pe pași, iar pasul de recunoaștere („ $f$ e continuă", „punctul aparține conicei", „ $f \geq 0$ , deci aria e integrala") se scrie întotdeauna, oricât de evident pare.
Cele zece capcane ale clasei a XII-a se prind cu o singură întrebare pusă înainte de calcul: în ce mulțime, pe ce interval, cu ce semn?
Metoda se scrie chiar și când calculul s-a rupt, pentru că un subpunct care se sprijină pe unul greșit se punctează pentru metodă.
Ultimele două săptămâni se organizează pe variante, nu pe capitole: o variantă completă la trei zile, cronometrată, urmată de o oră de analiză a greșelilor.

Greșeli frecvente

Se verifică proprietățile de grup fără să se arate că neutrul și simetricul sunt în mulțime. Corect: pașii 2 și 3 se încheie de fiecare dată cu „ $\in G$ ", altfel structura verificată e alta decât cea cerută.
Se scriu rezultatele din $Z_{p}$ ca numere întregi nereduse. Corect: răspunsul e o clasă, $\hat{4}$ , nu $9$ ; iar la final se verifică prin înlocuire în polinomul inițial.
Se citesc elementele unei conice înainte de a aduce ecuația la forma canonică. Corect: primul gest e normalizarea, apoi decizia asupra tipului și a orientării.
Se uită cazurile de egalitate la discuția după parametru. Corect: valorile-prag se tratează separat, ca rădăcini duble; ele sunt jumătate din punctajul subpunctului.
Se aplică formula ariei fără să se studieze semnul funcției. Corect: dacă $f$ schimbă semnul pe interval, se caută zerourile, se face tabelul de semn și se adună valorile absolute ale integralelor.

Aplică acasă

Un subiect complet la trei zile, cu ceasul pornit. Trei ore, fără pauze, fără formular deschis. La final, notează nu doar ce ai greșit, ci din ce familie era problema care ți-a scăpat — vei descoperi că greșelile se repetă în două-trei familii, nu în șase.
Fișa celor zece capcane, pe frigider. Copiază cele zece rânduri din secțiunea 4 pe o singură bucată de hârtie și, după fiecare variantă rezolvată, bifează capcanele în care ai căzut. În trei săptămâni lista se scurtează singură.
Rescrie o rezolvare ca un barem. Ia una dintre cele șase probleme de mai sus, acoperă rezolvarea și scrie tu împărțirea punctelor pe pași, apoi compară. Cine știe unde sunt punctele nu le mai lasă pe foaie.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie clasa a XII-a și este, ca și cea de la finalul clasei a XI-a, o lecție de strategie, nu de conținut nou. Ea răspunde competențelor XII.CS.4.1, XII.CS.4.5 și XII.CS.3.6 din programă și mai ales cerinței din sugestiile metodologice ca elevul să poată alege metoda potrivită dintr-un set de metode disponibile, nu doar să aplice o metodă indicată.

Valoarea ei stă în două lucruri. Primul: cele șase probleme sunt scrise în formatul examenului, cu trei subpuncte fiecare și cu baremul comentat alături — elevul vede unde sunt punctele, nu doar cum se ajunge la răspuns. Al doilea: capcanele sunt adunate din tot anul, iar nouă din zece se prind cu aceeași întrebare pusă înainte de calcul.

Ce verifică lecția: (1) recunoașterea familiei de probleme din enunț; (2) verificarea completă a structurii de grup, cu apartenența la mulțime; (3) lucrul corect în $Z_{p}$ , inclusiv scrierea rezultatelor ca clase; (4) discuția completă după un parametru, cu cazurile de egalitate; (5) alegerea metodei de integrare și interpretarea rezultatului ca arie sau volum.

Întrebări bune de control: „Din ce familie e problema aceasta?", „Ce ai scris înainte de primul calcul?", „Cât valorează rândul acesta la barem?", „Pe ce interval lucrezi?". La BAC, un elev care poate spune, citind enunțul, ce unelte va folosi și cum se împart punctele are deja jumătate din problemă rezolvată. Semn că e pregătit: rezolvă o variantă completă în sub două ore și jumătate, lăsând timp pentru recitire.

Întrebări frecvente

Ce se cere din clasa a 12-a la Bacalaureat M1? Din clasa a XII-a se cer două probleme din cele patru mari: a doua problemă a Subiectului al II-lea (legi de compoziție, grupuri și, până la schimbarea programei, inele și polinoame) și a doua problemă a Subiectului al III-lea (primitive, integrale definite, arii și volume). Împreună înseamnă $30$ de puncte din $90$ , adică o treime din notă.

Cum recunosc din enunț ce metodă trebuie folosită? După primele două rânduri. „Pe $R$ se definește $x * y = \dots$ " cheamă forma factorizată; „în $Z_{p} [X]$ " cheamă Horner și derivata formală; „determinați asimptotele" cheamă schema în patru pași; „arătați că $f$ admite primitive" cheamă continuitatea; „aria suprafeței" cheamă semnul funcției înainte de orice integrală.

Cât valorează fiecare subpunct și cum se împart punctele? Fiecare subpunct al problemelor de la Subiectele al II-lea și al III-lea valorează $5$ puncte, împărțite de barem pe doi sau trei pași — de regulă $2 + 3$ sau $1 + 2 + 2$ . Primul pas e aproape întotdeauna recunoașterea condițiilor, ultimul e finalizarea cu o concluzie scrisă în cuvinte.

Care sunt greșelile care costă cele mai multe puncte? Trei, în ordinea frecvenței: verificarea structurii de grup fără apartenența neutrului și a simetricului la mulțime; uitarea cazurilor de egalitate la discuția după parametru; calculul unei arii fără studiul semnului funcției. Toate trei sunt greșeli de condiții, nu de calcul — de aceea lista celor zece capcane merită recitită înaintea fiecărei variante.

Se cer conicele la examen? Nu în variantele de până acum: conicele intră în subiecte odată cu prima sesiune pe programa nouă. Până atunci ele sunt materie de clasă și de teză, iar problema de conice din această lecție are rolul de a fixa dedublarea și condiția de tangență, care rămân utile oricum.

Cum îmi organizez ultimele două săptămâni? Pe variante, nu pe capitole. O variantă completă la trei zile, cronometrată la trei ore, urmată de o oră de analiză a greșelilor; în zilele dintre ele, doar capcanele și rândurile de formular pe care nu le știi. În ultima zi nu se învață nimic nou: o pagină recitită și somn.

De ce trebuie să scriu că funcția este continuă, dacă se vede? Pentru că baremul plătește acel rând. Existența primitivelor, teorema de medie, integrabilitatea și formula ariei au toate ipoteze, iar enunțarea lor e pasul de recunoaștere din barem. Un rezultat corect fără ipoteze scrise ia, de obicei, jumătate din punctele subpunctului.

Ce fac dacă mă blochez la un subpunct în timpul examenului? Treci la următorul și revii. Subpunctele b) și c) se punctează pentru metodă chiar dacă a) a ieșit greșit, deci nu se pierde tot. Scrie ce metodă ai fi folosit și ce ipoteze sunt îndeplinite: și un început corect de rezolvare aduce puncte, în timp ce o pagină goală nu aduce niciunul.