Sinteză: integrala definită: pe scurt

Sinteza unității strânge, în ordinea în care se folosesc, deciziile care rezolvă o problemă de integrală definită la Bacalaureat M1. Pasul zero este privirea asupra capetelor de integrare: interval simetric înseamnă paritate, capete la distanța unei perioade înseamnă periodicitate, iar un modul cere pasul preliminar: tabelul de semn, apoi tăierea intervalului prin aditivitate. Abia după aceea se intră în arborele de decizie al metodelor: prelucrare algebrică, liniaritate și tabel, apoi părți sau schimbare de variabilă. La schimbarea de variabilă în integrala definită limitele devin $u(a)$ și $u(b)$ în același rând în care se schimbă variabila, iar revenirea la $x$ nu se mai face niciodată — aceasta este deosebirea față de integrala nedefinită. Subpunctul b) cere de obicei o încadrare: se încadrează integrandul, se integrează inegalitatea prin monotonia integralei, se calculează cele două margini. Teorema de medie afirmă doar existența unui punct $c$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$; el nu este unic și nu este mijlocul intervalului. Se rețin și cele două capcane de semn: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă, iar $\left|{\int }_a^{b}f\right|$ și ${\int }_a^b|f|$ coincid numai când $f$ păstrează semn constant.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați ${\int }_0^{1}2x{\left(x^2+3\right)}^{4}dx$.

   • a) $\frac{1}{5}$
   • b) $\frac{1024}{5}$
   • c) $\frac{781}{4}$
   • d) $\frac{781}{5}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{781}{5}$

   Cu substituția $t=x^2+3$ avem $dt=2xdx$, iar limitele devin $t(0)=3$ și $t(1)=4$: ${\int }_3^4{t}^{4}dt=\frac{t^5}{5}{|}_3^4=\frac{1024-243}{5}=\frac{781}{5}$. Varianta $\frac{1024}{5}$ apare când se păstrează limita de jos $0$ în loc de $3$ — greșeala clasică a schimbării de variabilă la integrala definită.

2. Calculați ${\int }_0^4|x^2-3x-4|dx$.

   • a) $\frac{56}{3}$
   • b) $-\frac{56}{3}$
   • c) $\frac{8}{3}$
   • d) $\frac{112}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{56}{3}$

   Rădăcinile trinomului sunt $-1$ și $4$, deci pe $[0,4]$ expresia este negativă (doar rădăcina $4$ aparține intervalului, ca și capăt). Nu apare nicio ruptură interioară: ${\int }_0^4\left(4+3x-x^2\right)dx=\left(4x+\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^4=16+24-\frac{64}{3}=\frac{56}{3}$. Varianta negativă este integrala fără modul, iar $\frac{112}{3}$ dublează inutil.

3. Fie $f:[1,5]\to \mathbb{R}$ continuă. Teorema de medie garantează că:

   • a) ${\int }_1^{5}f(x)dx=4f(3)$
   • b) există $c\in [1,5]$ cu ${\int }_1^{5}f(x)dx=4f(c)$
   • c) există un unic $c$ cu ${\int }_1^{5}f(x)dx=4f(c)$
   • d) $f$ își atinge valoarea medie exact în mijlocul intervalului
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) există $c\in [1,5]$ cu ${\int }_1^{5}f(x)dx=4f(c)$

   Teorema afirmă existența unui punct $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$, aici $b-a=4$. Ea nu spune că $c$ este unic și nici că $c$ ar fi mijlocul intervalului — celelalte trei variante presupun una dintre aceste două afirmații false: pentru $f(x)=x^2$ pe $[1,5]$ punctul $c$ nu este $3$.