Sinteză: integrala definită — probleme de tip Bacalaureat M1

Integrala definită este, la clasa a 12-a, capitolul care aduce cei mai mulți bani la examen: nouăsprezece lecții, de la primele sume Riemann până la scurtăturile de simetrie, se strâng într-o singură problemă din Subiectul al III-lea, care valorează $15$ puncte. Lecția de față nu adaugă nicio noțiune nouă. Ea strânge unitatea într-o listă de control, rezolvă complet șase probleme-model în formatul examenului și adună cele opt capcane care fac diferența dintre un rezultat corect și un rezultat aproape corect. O problemă de integrală definită la Bacalaureat M1 are trei subpuncte: unul de calcul, rezolvat prin părți sau prin schimbare de variabilă, unul de proprietate — încadrare sau teoremă de medie — și unul de limită, de șir de integrale sau de sumă Riemann.

Formatul merită spus de la început. Problema 2 a Subiectului al III-lea are trei subpuncte de câte $5$ puncte. Subpunctul a) cere aproape întotdeauna un calcul: o integrală prin părți sau printr-o schimbare de variabilă. Subpunctul b) cere o proprietate: o încadrare, o comparație, teorema de medie, o monotonie. Subpunctul c) cere o limită: fie limita unui șir de integrale, fie o limită de șir calculată cu sume Riemann, fie o limită de funcție care conține funcția integrală. Cine recunoaște tiparul câștigă timp înainte de a scrie primul rând.

Ce vei învăța

• Vei ști să parcurgi lista de control a unității și să spui, pentru orice cerință, pe ce lecție se așază.
• Vei ști să alegi metoda de calcul potrivită dintr-o singură privire asupra integrandului.
• Vei ști să redactezi o încadrare și o aplicație a teoremei de medie astfel încât fiecare pas să fie punctabil.
• Vei ști să tratezi complet un șir de integrale: recurență, monotonie, mărginire, limită.
• Vei ști să recunoști o sumă Riemann și să justifici trecerea la integrală, nu doar să scrii rezultatul.
• Vei ști cele opt capcane ale unității și verificarea rapidă care le prinde pe fiecare.

Hai să descoperim împreună

1. Ce trebuie să știi din integrala definită?

Integrala definită a lui $f$ pe $[a,b]$ este numărul spre care tind sumele Riemann ale funcției atunci când norma diviziunii tinde la zero; când $f$ este integrabilă și admite pe $[a,b]$ o primitivă $F$, valoarea ei se obține din formula Leibniz–Newton, ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Lista de control a unității, în ordinea în care s-au construit noțiunile. Fiecare rând este o cerință care poate apărea singură într-un subpunct.

Trimiterile complete sunt la formula Leibniz–Newton, la proprietățile integralei definite și la teorema de medie și interpretarea ei geometrică; ele rămân sursa enunțurilor exacte, iar aici sunt doar adunate.

2. Cum alegi metoda de calcul a unei integrale definite?

Alegerea se face din forma integrandului, iar ordinea întrebărilor este exact cea din arborele de decizie la integrare: tabel $\to$ schimbare de variabilă $\to$ părți $\to$ funcții raționale $\to$ trigonometrice, radicali și exponențiale $\to$ recurență, iar te oprești la primul „da". Arborele a fost construit pentru integrala nedefinită și rămâne valabil întocmai; integrala definită schimbă doar ce faci după ce ai ales ramura.

Două ramuri se scriu altfel decât la integrala nedefinită, iar diferența e sursa celor mai multe puncte pierdute:

• pe ramura produs de tipuri diferite se folosește integrarea prin părți pentru integrala definită, în care termenul din afara integralei se evaluează între limite, $fg{|}_a^b$, și nu se mai poartă mai departe;
• pe ramura derivata dinăuntru se folosește schimbarea de variabilă pentru integrala definită, în care limitele devin $u(a)$ și $u(b)$ și nu se mai revine la variabila veche.

Integrala definită adaugă însă o întrebare proprie, pusă înaintea arborelui, pentru că se uită nu la integrand, ci la capetele de integrare. Trei situații se rezolvă acolo, uneori complet:

• interval de forma $[-a,a]$: se cercetează paritatea integrandului;
• integrand periodic: se mută intervalul pe o perioadă comodă;
• fracție trigonometrică pe $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$: se încearcă trucul simetriei.

Toate trei sunt în lecția despre integralele funcțiilor pare, impare și periodice. Iar dacă integrandul conține un modul sau este dat pe ramuri, se aplică mai întâi cei patru pași ai integralei pe ramuri, fixați la lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul: intervalul se taie în punctele unde expresia își schimbă semnul, și abia pe fiecare bucată se intră în arbore.

3. Ce se cere la subpunctul b): încadrare sau teorema de medie?

Aproape toate subpunctele b) se rezolvă cu monotonia integralei, nu cu un calcul. Rețeta încadrării este cea fixată la lecția despre încadrarea și compararea integralelor, cu Etapele 1, 2 și 3 de acolo, citate ca atare:

1. Etapa 1 — se găsesc marginile integrandului pe intervalul dat, prin inegalități elementare sau din monotonie: $x^2+1\in [1,2]$ pentru $x\in [0,1]$, $e^x\in [1,e]$ pentru $x\in [0,1]$, $\sin x\le x$ pe $[0,+\infty )$;
2. Etapa 2 — se scrie dubla inegalitate $m\le f(x)\le M$, cu justificarea ei;
3. Etapa 3 — se integrează, folosind monotonia integralei, și se calculează cele două margini; condiția $a<b$ este obligatorie, altfel inegalitățile se răstoarnă.

Teorema de medie dă altceva: nu o încadrare, ci un punct. Dacă $f$ e continuă pe $[a,b]$, există $c\in [a,b]$ cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$; numărul $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$ este valoarea medie. Interpretarea geometrică e cea a dreptunghiului de aceeași mărime cu subgraficul: pe undeva, între $a$ și $b$, funcția trece exact prin înălțimea medie.

Două precizări care aduc puncte. Prima: punctul $c$ nu este unic și nu este mijlocul intervalului — Problema 4 arată un caz cu două valori posibile. A doua: teorema spune doar că $c$ există; ca să-l localizezi, folosești proprietatea valorilor intermediare sau monotonia, exact ca la Problema 1.

4. Ce se cere la subpunctul c): șiruri, sume Riemann sau funcția integrală?

Trei tipare, care acoperă practic toate variantele.

Șirurile de integrale. Se parcurg Etapele 1, 2 și 3 fixate la șiruri de integrale: recurențe și limite: Etapa 1, monotonia, citită din monotonia integrandului (pe $[0,1]$, $x^{n+1}\le x^n$); Etapa 2, mărginirea, obținută dintr-o încadrare; Etapa 3, limita, din încadrare sau din relația de recurență, cu criteriul cleștelui. Etalonul lecției 121 este $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x+1}dx$, cu încadrarea $\frac{1}{2(n+1)}\le I_n\le \frac{1}{n+1}$ și cu $\lim n{I}_n=\frac{1}{2}$; revenim la el ca reper, iar Problema 6 duce aceeași idee pe o rudă apropiată, cu numitorul $x^2+1$, unde recurența leagă termenii din doi în doi.

Sumele Riemann. Rețeta din lecția despre calculul limitelor unor șiruri cu sume Riemann cere, în această ordine: se scoate factorul $\frac{1}{n}$ în față, se scrie restul ca $f\left(\frac{k}{n}\right)$, se recunoaște diviziunea echidistantă a lui $[0,1]$ cu ${\xi }_k=\frac{k}{n}$ și — pasul care se uită — se justifică integrabilitatea, spunând că $f$ este continuă pe $[0,1]$. Abia atunci limita este ${\int }_0^{1}f(x)dx$. Fără justificarea integrabilității, subpunctul e incomplet la Bacalaureat M1, oricât de corect ar fi rezultatul.

Funcția integrală. Pentru $f$ continuă, funcția $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ este derivabilă, cu $F^{\prime }=f$ — teorema de existență a primitivelor, din lecția despre funcția integrală și existența primitivelor. De aici ies trei cerințe: monotonia lui $F$ din semnul lui $f$, extremele lui $F$ din zerourile lui $f$ și limitele de tipul $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^{x}f(t)dt$, care sunt cazuri $\frac{0}{0}$ și se ridică cu regulile lui L'Hôpital. Atenție la variabilă: sub integrală se scrie $t$, pentru că $x$ e ocupat de limita superioară.

5. Cum se redactează ca să iasă baremul?

Un subpunct de $5$ puncte se împarte de obicei $2+3$ sau $1+2+2$, pe pași identificabili. Ordinea care îi face vizibili:

1. ipoteza verificată — continuitate, monotonie, paritate, periodicitate: o propoziție, nu subînțeleasă;
2. metoda numită — „integrăm prin părți cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^x$" sau „notăm $u(x)=x^2+1$";
3. transformarea scrisă complet, cu limitele noi la schimbarea de variabilă;
4. calculul integralei rămase, cu $F(x){|}_a^b$ scris explicit;
5. rezultatul, exact, nu aproximat;
6. răspunsul la cerință, cu cuvintele enunțului.

Regula scurtă e aceeași ca în toată analiza: fiecare rând trebuie să poată fi punctat singur. Un pas ținut în minte nu primește nimic.

6. Care sunt cele opt capcane ale unității Integrala definită?

Sunt cele care revin la fiecare corectare, în ordinea în care apar în rezolvare.

1. Leibniz–Newton peste un punct din afara domeniului. Scrierea ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}{|}_{-1}^1=-2$ este falsă: funcția nu e definită în $0$, e nemărginită, deci nu e integrabilă. Un rezultat negativ pentru un integrand pozitiv este semnalul de alarmă.
2. Modulul integrat fără ruperea intervalului. ${\int }_0^3|x-1|dx$ nu este ${\int }_0^3(x-1)dx$; se aplică cei patru pași ai integralei pe ramuri: intervalul se taie în $1$, unde expresia își schimbă semnul, și pe fiecare bucată se scrie modulul fără bare.
3. Schimbarea de variabilă fără schimbarea limitelor. La integrala definită limitele devin $u(a)$ și $u(b)$ și nu se revine la variabila veche; amestecul dintre limitele vechi și variabila nouă este cea mai costisitoare greșeală din unitate.
4. Suma Riemann fără justificarea integrabilității. Trecerea de la $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ la ${\int }_0^{1}f$ trebuie sprijinită pe continuitatea lui $f$ pe $[0,1]$; fără propoziția aceasta, baremul nu acordă punctul.
5. Convențiile de orientare uitate. ${\int }_a^{a}f=0$ pentru orice funcție, iar inversarea limitelor schimbă semnul; când o schimbare de variabilă răstoarnă intervalul, semnul trebuie urmărit până la capăt.
6. Paritatea produsului citită greșit. Produsul a două funcții impare este par: ${\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin xdx=2\pi$, nu $0$.
7. Punctul din teorema de medie tratat ca unic sau ca mijloc. Teorema afirmă doar existența; pot fi mai multe valori, iar valoarea medie nu este $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ — pentru $f(x)=x^2$ pe $[0,3]$ media este $3$, în timp ce $f(1,5)=2,25$.
8. Monotonia integralei aplicată în gol. Inegalitatea $f\le g$ trebuie să fie adevărată pe tot intervalul, iar $a<b$ este obligatoriu. Și $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$ este o inegalitate, nu o egalitate: pentru $f(x)=\sin x$ pe $[0,2\pi ]$, membrul stâng este $0$ și cel drept este $4$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Părți, încadrare, teorema de medie

Se consideră funcția $f:[0,1]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. a) Calculați ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$. (5 puncte) b) Arătați că $\frac{1}{2}\le {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx\le \frac{e}{2}$. (5 puncte) c) Arătați că există $c\in (0,1)$ cu $c{e}^c=1$ și că $c\in (0,5;0,6)$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Este exemplul-etalon al lecției despre integrarea prin părți, reluat aici ca punct de plecare. Integrandul este un produs în care unul dintre factori se simplifică prin derivare, deci se aplică integrarea prin părți cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^x$, adică $g(x)=e^x$:

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-e^x{|}_0^1=e-(e-1)=1.$$

b) Pe $[0,1]$ avem $1\le e^x\le e$, iar $x\ge 0$, deci înmulțind cu $x$ păstrăm sensul: $x\le x{e}^x\le ex$. Prin monotonia integralei,

$${\int }_0^{1}xdx\le {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx\le {\int }_0^{1}exdx,\text{adica˘}\frac{1}{2}\le {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx\le \frac{e}{2}.$$

Încadrarea e consistentă cu punctul a): $\frac{1}{2}\le 1\le \frac{e}{2}\approx 1,359$.

c) Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci teorema de medie dă un $c\in [0,1]$ cu ${\int }_0^{1}f(x)dx=f(c)(1-0)$, adică $c{e}^c=1$. Cum $f(0)=0\ne 1$ și $f(1)=e\ne 1$, punctul este interior.

Pentru localizare: $f$ este strict crescătoare pe $[0,1]$, fiind produs de funcții pozitive și strict crescătoare, iar $f(0,5)=0,5e^{0,5}\approx 0,824<1$ și $f(0,6)=0,6e^{0,6}\approx 1,093>1$. Prin consecința de semn a proprietății valorilor intermediare, ecuația $f(x)=1$ are soluție în $(0,5;0,6)$, iar monotonia strictă arată că este unica pe $[0,1]$. (Ambele valori au fost verificate numeric.)

Exemplul 2. Schimbare de variabilă, încadrare, funcția integrală

a) Calculați ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$. (5 puncte) b) Deduceți că $\frac{1}{2}\le \ln 2\le 1$. (5 puncte) c) Fie $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x\frac{t}{t^2+1}dt$. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Este exemplul-etalon al lecției despre schimbarea de variabilă, reluat aici. Numărătorul este, până la un factor, derivata numitorului, deci se aplică schimbarea de variabilă cu $u(x)=x^2+1$, funcție derivabilă cu $u^{\prime }(x)=2x$. Limitele devin $u(0)=1$ și $u(1)=2$:

$${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln |t|{|}_1^2=\frac{\ln 2}{2}.$$

Observă că nu am revenit la variabila $x$: la integrala definită limitele poartă toată informația.

b) Pe $[0,1]$ avem $1\le x^2+1\le 2$, deci, împărțind pe $x\ge 0$ la aceste margini, $\frac{x}{2}\le \frac{x}{x^2+1}\le x$. Integrând,

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{1}xdx\le {\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx\le {\int }_0^{1}xdx,\text{adica˘}\frac{1}{4}\le \frac{\ln 2}{2}\le \frac{1}{2}.$$

Înmulțind cu $2$, obținem $\frac{1}{2}\le \ln 2\le 1$. (Într-adevăr, $\ln 2\approx 0,693$.)

c) Integrandul $t\mapsto \frac{t}{t^2+1}$ este continuu pe $\mathbb{R}$, deci $F$ este derivabilă cu $F^{\prime }(x)=\frac{x}{x^2+1}$. Cum $F(0)=0$, limita este un caz $\frac{0}{0}$ și aplicăm regula lui L'Hôpital:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{x^2+1}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{1}{2}.$$

(Verificat numeric: raportul valorează $0,49999975$ pentru $x=10^{-4}$.)

Exemplul 3. Două limite cu sume Riemann

a) Calculați ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}$. (5 puncte) b) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$. (5 puncte) c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Integrandul este rândul $12$ din tabelul primitivelor, cu $a=1$:

$${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}.$$

b) Scoatem $\frac{1}{n}$ în față, împărțind numărătorul și numitorul la $n^2$:

$$\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right),\text{unde }f(x)=\frac{1}{x^2+1}.$$

Aceasta este suma Riemann a funcției $f$ pe intervalul $[0,1]$, pentru diviziunea echidistantă $x_k=\frac{k}{n}$ și sistemul de puncte intermediare ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar norma diviziunii, $\frac{1}{n}$, tinde la $0$. Prin urmare limita există și este ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{\pi }{4}$, de la subpunctul a).

c) Aceeași prelucrare, cu alt $f$:

$$\sum _{k=1}^n\frac{k}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{\frac{k}{n}}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2},\text{deci }f(x)=\frac{x}{x^2+1}.$$

Funcția este continuă pe $[0,1]$, deci limita este ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{\ln 2}{2}$, calculată la Exemplul 2. (Verificat numeric: pentru $n=10^4$, suma valorează $0,346599$, iar $\frac{\ln 2}{2}\approx 0,346574$.)

Exemplul 4. Modul, paritate și teorema de medie

a) Calculați ${\int }_0^3|x-1|dx$. (5 puncte) b) Calculați ${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx$. (5 puncte) c) Determinați toate valorile $c\in [0,3]$ pentru care $|c-1|$ este valoarea medie a funcției de la subpunctul a). (5 puncte)

Rezolvare. a) Aplicăm cei patru pași ai integralei pe ramuri. Funcția este continuă, deci integrabilă; expresia de sub modul își schimbă semnul în $x=1$, deci rupem intervalul acolo, prin aditivitate:

$${\int }_0^3|x-1|dx={\int }_0^1(1-x)dx+{\int }_1^3(x-1)dx=\left(x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^1+\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_1^3=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}.$$

b) Integrandul este par, pentru că $|(-x{)}^2-1|=|x^2-1|$, iar intervalul e simetric, deci integrala este dublul celei pe $[0,2]$. Acolo expresia își schimbă semnul în $x=1$:

$${\int }_0^2|x^2-1|dx={\int }_0^1\left(1-x^2\right)dx+{\int }_1^2\left(x^2-1\right)dx=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2,$$

deci ${\int }_{-2}^2|x^2-1|dx=4$. Cele două scurtături — paritatea și ruperea la modul — se folosesc împreună, în această ordine.

c) Valoarea medie pe $[0,3]$ este $\frac{1}{3-0}{\int }_0^3|x-1|dx=\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{6}$. Ecuația $|c-1|=\frac{5}{6}$ are pe $[0,3]$ două soluții:

$$c-1=\frac{5}{6}\Rightarrow c=\frac{11}{6},1-c=\frac{5}{6}\Rightarrow c=\frac{1}{6}.$$

Amândouă sunt în $[0,3]$, deci punctul din teorema de medie nu este unic. Observă totodată că niciuna nu este mijlocul intervalului, $1,5$.

Exemplul 5. Funcția integrală: monotonie, valoare, limită

Se consideră $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_0^x\frac{dt}{t^2+t+1}$. a) Arătați că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (5 puncte) b) Calculați $F(1)$. (5 puncte) c) Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x}$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Trinomul $t^2+t+1$ are discriminantul $1-4=-3<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci este strict pozitiv pe $\mathbb{R}$; funcția $t\mapsto \frac{1}{t^2+t+1}$ este atunci continuă pe $\mathbb{R}$. Prin teorema de existență a primitivelor, $F$ este derivabilă și

$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+x+1}>0\text{pentru orice }x\in \mathbb{R},$$

deci $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ (Consecința 2 a teoremei lui Lagrange).

b) Scriem trinomul sub formă canonică, $t^2+t+1={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$, și facem schimbarea de variabilă $u(t)=t+\frac{1}{2}$, cu $u^{\prime }(t)=1$. Limitele devin $u(0)=\frac{1}{2}$ și $u(1)=\frac{3}{2}$:

$$F(1)={\int }_{1/2}^{3/2}\frac{ds}{s^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{arctg}\frac{2s}{\sqrt{3}}{|}_{1/2}^{3/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(\mathrm{arctg}\sqrt{3}-\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}\right).$$

Cum $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$, obținem

$$F(1)=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3\sqrt{3}}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\approx 0,604600.$$

c) Este un caz $\frac{0}{0}$, pentru că $F(0)=0$. Cea mai scurtă cale nu e L'Hôpital, ci chiar definiția derivatei:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F^{\prime }(0)=\frac{1}{0+0+1}=1.$$

(Verificat numeric: raportul valorează $0,99995$ pentru $x=10^{-4}$.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Pentru orice $n\in \mathbb{N}$ se consideră $I_n={\int }_0^1\frac{x^n}{x^2+1}dx$. Problema are formatul obișnuit al problemei 2 din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Calculați $I_0$ și $I_1$. (5 puncte)

b) Arătați că $I_{n+2}+I_n=\frac{1}{n+1}$, pentru orice $n\in \mathbb{N}$. (5 puncte)

c) Arătați că șirul $(I_n{)}_{n\ge 0}$ este strict descrescător și calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$. (5 puncte)

Rezolvare. a) $I_0={\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}=\mathrm{arctg}x{|}_0^1=\frac{\pi }{4}$, iar $I_1={\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{\ln 2}{2}$, ambele calculate în exemplele anterioare.

b) Adunăm cele două integrale prin liniaritate și simplificăm integrandul:

$$I_{n+2}+I_n={\int }_0^1\frac{x^{n+2}+x^n}{x^2+1}dx={\int }_0^1\frac{x^n\left(x^2+1\right)}{x^2+1}dx={\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}{|}_0^1=\frac{1}{n+1}.$$

Cheia e că numărătorul se factorizează exact cu numitorul — de aceea recurența iese fără nicio integrare prin părți.

c) Monotonia. Pentru $x\in [0,1]$ avem $x^{n+1}\le x^n$, cu inegalitate strictă pe $(0,1)$, iar numitorul e pozitiv, deci $\frac{x^{n+1}}{x^2+1}\le \frac{x^n}{x^2+1}$. Prin monotonia integralei, $I_{n+1}\le I_n$; inegalitatea este strictă, pentru că integranzii diferă pe un interval întreg. Șirul este așadar strict descrescător și, fiind pozitiv, este mărginit.

Limita. Din monotonie, $I_{n+2}\le I_n$, deci relația de la b) se încadrează de două ori:

$$2I_{n+2}\le I_{n+2}+I_n\le 2I_n,\text{adica˘}{I}_{n+2}\le \frac{1}{2(n+1)}\le I_n.$$

Din inegalitatea din dreapta, $I_n\ge \frac{1}{2(n+1)}$. Din cea din stânga, scrisă pentru $n-2$ în loc de $n$, obținem $I_n\le \frac{1}{2(n-1)}$ pentru orice $n\ge 2$. Înmulțind cu $n$,

$$\frac{n}{2(n+1)}\le n{I}_n\le \frac{n}{2(n-1)},n\ge 2.$$

Ambele capete tind la $\frac{1}{2}$, deci, prin criteriul cleștelui, $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n=\frac{1}{2}$ — aceeași valoare ca la etalonul lecției 121, obținută pe o recurență care leagă termenii din doi în doi. (Verificat numeric: din recurență, $1000\cdot I_{1000}=0,4999995$.)

Să exersăm

1. Calculați ${\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx$.

2. Calculați ${\int }_1^e\ln xdx$.

3. Calculați ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+4}dx$.

4. Calculați ${\int }_0^{\pi /2}\sin x{\cos }^{2}xdx$.

5. Calculați ${\int }_{-1}^2|x|dx$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Din ${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}{|}_{-1}^1=-2$ rezultă că integrala este negativă."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă ${\int }_a^{b}f(x)dx=0$, atunci $f$ este identic nulă pe $[a,b]$."

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcție integrabilă, $\left|{\int }_a^{b}f\right|={\int }_a^b|f|$."

9. Arătați că $\frac{1}{2}\le {\int }_0^1\frac{dx}{x+1}\le 1$ și deduceți o încadrare pentru $\ln 2$.

10. Arătați că ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+1}\le {\int }_0^1\frac{dx}{x^3+1}$, folosind monotonia integralei.

11. Determinați valoarea medie a funcției $f(x)=x^2$ pe $[0,3]$ și punctul $c$ dat de teorema de medie.

12. Fie $F(x)={\int }_0^x(t-1)(t-3)dt$. Determinați intervalele de monotonie ale lui $F$ și punctele ei de extrem local.

13. Calculați $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}{\int }_0^x\frac{dt}{t^2+t+1}$.

14. Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}$ și verificați rezultatul direct, cu formula sumei primelor $n$ numere naturale.

15. (Problemă aplicată.) Într-un experiment, temperatura măsurată la momentul $t$, în ore, este $T(t)=20+4t-t^2$ grade Celsius, pentru $t\in [0,4]$. Calculați temperatura medie pe intervalul $[0,4]$ și momentele $c$ date de teorema de medie, în care temperatura este egală cu media.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pentru $n\in \mathbb{N}$, fie $J_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$. Arătați că $J_n+n{J}_{n-1}=e$ pentru orice $n\ge 1$ și calculați $J_2$.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\ln 2$.

18. (Provocare.) Cu notațiile Exemplului 6, notați $S_n=\sum _{k=0}^{n-1}(-1{)}^k\frac{1}{2k+1}$ și arătați că $I_{2n}=(-1{)}^n\left(\frac{\pi }{4}-S_n\right)$; deduceți că $S_n$ se apropie de $\frac{\pi }{4}$ când $n$ crește.

Răspunsuri și explicații

1. Prin părți, cu $f(x)=x$ și $g^{\prime }(x)=e^{2x}$, deci $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$: $\frac{x{e}^{2x}}{2}{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}$.

2. Prin părți, cu $f(x)=\ln x$ și $g^{\prime }(x)=1$: $x\ln x{|}_1^e-{\int }_1^{e}1dx=e-(e-1)=1$.

3. Schimbare de variabilă cu $u(x)=x^2+4$; limitele devin $4$ și $5$, iar integrala este $\frac{1}{2}{\int }_4^5\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln \frac{5}{4}$.

4. Cu $u(x)=\cos x$, limitele devin $1$ și $0$, iar integrala este $-{\int }_1^0{t}^{2}dt={\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}$.

5. Se rupe în $0$: ${\int }_{-1}^0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

6. Fals. Calculul nu are sens: funcția $\frac{1}{x^2}$ nu este definită în $0$, este nemărginită pe $[-1,1]$ și deci nu este integrabilă acolo. Rezultatul negativ pentru un integrand pozitiv este chiar semnalul că formula Leibniz–Newton a fost aplicată în afara ipotezelor ei.

7. Fals. Contraexemplu: ${\int }_{-1}^{1}xdx=0$, deși funcția nu e nulă. Afirmația devine adevărată doar cu ipoteze suplimentare, de pildă dacă $f$ este continuă și pozitivă pe $[a,b]$.

8. Fals. Este doar o inegalitate. Pentru $f(x)=\sin x$ pe $[0,2\pi ]$: membrul stâng este $|0|=0$, iar membrul drept este ${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=4$.

9. Pe $[0,1]$ avem $1\le x+1\le 2$, deci $\frac{1}{2}\le \frac{1}{x+1}\le 1$; integrând pe un interval de lungime $1$, obținem $\frac{1}{2}\le \ln 2\le 1$, pentru că ${\int }_0^1\frac{dx}{x+1}=\ln |x+1|{|}_0^1=\ln 2$.

10. Pe $[0,1]$ avem $x^3\le x^2$, deci $x^3+1\le x^2+1$ și, prin trecerea la invers a numerelor pozitive, $\frac{1}{x^2+1}\le \frac{1}{x^3+1}$. Monotonia integralei dă inegalitatea cerută.

11. Valoarea medie este $\frac{1}{3}{\int }_0^3{x}^{2}dx=\frac{1}{3}\cdot 9=3$. Teorema de medie cere $c^2=3$, deci $c=\sqrt{3}\approx 1,73$ (singura soluție din $[0,3]$). Observă că $c$ nu este mijlocul $1,5$, iar $f(1,5)=2,25\ne 3$.

12. Integrandul e continuu, deci $F^{\prime }(x)=(x-1)(x-3)$, pozitivă pe $(-\infty ,1)$ și pe $(3,+\infty )$, negativă pe $(1,3)$. Deci $F$ crește pe $(-\infty ,1]$, scade pe $[1,3]$ și crește pe $[3,+\infty )$: are maxim local în $x=1$ și minim local în $x=3$.

13. Caz $\frac{0}{0}$; prin definiția derivatei, limita este $F^{\prime }(0)$ pentru $F(x)={\int }_0^x\frac{dt}{t^2+t+1}$, adică $\frac{1}{0+0+1}=1$ — același rezultat ca la Exemplul 5 c).

14. Suma este $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ cu $f(x)=x$, continuă pe $[0,1]$, deci limita este ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$. Direct: $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2n}\to \frac{1}{2}$.

15. ${\int }_0^{4}T(t)dt=\left(20t+2t^2-\frac{t^3}{3}\right){|}_0^4=80+32-\frac{64}{3}=\frac{272}{3}$, deci temperatura medie este $\frac{1}{4}\cdot \frac{272}{3}=\frac{68}{3}\approx 22,67$ grade. Ecuația $T(c)=\frac{68}{3}$ devine $3c^2-12c+8=0$, cu soluțiile $c=2\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$, adică $c\approx 0,85$ și $c\approx 3,15$ — ambele în $[0,4]$, încă un caz în care punctul din teorema de medie nu e unic. (Model simplificat: temperatura reală nu urmează exact o parabolă.)

16. Prin părți, cu $f(x)=x^n$ și $g^{\prime }(x)=e^x$: $J_n=x^n{e}^x{|}_0^1-n{\int }_0^1{x}^{n-1}{e}^{x}dx=e-n{J}_{n-1}$, adică exact relația cerută. Cu $J_0={\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$ obținem $J_1=e-J_0=1$ și $J_2=e-2J_1=e-2$.

17. $\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}$, care este suma Riemann a funcției $f(x)=\frac{1}{1+x}$ pe $[0,1]$, cu diviziunea echidistantă și ${\xi }_k=\frac{k}{n}$. Funcția este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă, iar limita este ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln 2$.

18. Recurența scrisă pentru indicele $2n-2$ dă $I_{2n}=\frac{1}{2n-1}-I_{2n-2}$. Aplicând-o repetat până la $I_0=\frac{\pi }{4}$, semnele alternează și se obține prin inducție $I_{2n}=(-1{)}^n\left(\frac{\pi }{4}-S_n\right)$. Cum $0<I_{2n}\le \frac{1}{2(2n-1)}$, din încadrarea de la Exemplul 6 c), iar marginea tinde la $0$, rezultă $\left|S_n-\frac{\pi }{4}\right|\to 0$. Precizare: $S_n$ este o sumă finită, iar afirmația este despre limita șirului $(S_n)$ — teoria seriilor nu face parte din programa clasei a XII-a și nu se folosește aici. (Verificat numeric: identitatea se confirmă pentru $n\in \{1,2,3,10,50\}$, iar $S_{1000}\approx 0,785148$ față de $\frac{\pi }{4}\approx 0,785398$.)

De reținut

• Orice problemă de integrală definită începe cu o privire asupra capetelor de integrare — simetrie, periodicitate, modul — și abia apoi intră în arborele de decizie al metodelor de integrare.
• La schimbarea de variabilă în integrala definită limitele se transformă în $u(a)$ și $u(b)$, iar revenirea la variabila veche nu se mai face niciodată.
• Subpunctul b) al unei probleme de examen cere de regulă o încadrare: se încadrează integrandul, se integrează inegalitatea prin monotonia integralei și se calculează cele două margini.
• Teorema de medie afirmă doar existența unui punct $c$; el nu este unic și nu este mijlocul intervalului, iar valoarea medie nu este valoarea funcției la mijloc.
• La o limită calculată cu sume Riemann, justificarea integrabilității funcției — de obicei prin continuitatea ei pe $[0,1]$ — este un pas punctat separat, nu o formalitate.

Greșeli frecvente

• Aplici formula Leibniz–Newton peste un punct în care funcția nu e definită. Un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă; când se întâmplă, ipoteza de integrabilitate a fost sărită.
• Integrezi un modul fără să rupi intervalul. Se caută întâi punctele în care expresia de sub modul își schimbă semnul, se taie intervalul acolo prin aditivitate, apoi se scrie fiecare bucată fără bare.
• Schimbi variabila și păstrezi limitele vechi. La integrala definită, limitele devin $u(a)$ și $u(b)$ în același rând în care se schimbă variabila; altfel rezultatul e greșit chiar dacă toate calculele următoare sunt corecte.
• Treci de la suma Riemann la integrală fără justificare. Propoziția „funcția $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă" este obligatorie; fără ea, subpunctul rămâne incomplet.
• Confunzi $\left|{\int }_a^{b}f\right|$ cu ${\int }_a^b|f|$. Prima poate fi $0$ când a doua este mare; egalitatea are loc doar când $f$ păstrează semn constant pe interval.

Aplică acasă

1. Fișa de o pagină. Scrie pe o singură foaie lista de control de la secțiunea 1, dar în ordinea inversă: pornind de la cerințele care apar la examen și mergând spre noțiunea care le rezolvă. Adaugă în dreapta, pentru fiecare rând, greșeala pe care ai făcut-o cel mai des. Folosește foaia la următoarele cinci probleme de analiză.

2. Trierea în treizeci de secunde. Ia douăzeci de integrale definite dintr-o culegere și, fără să le rezolvi, notează în dreptul fiecăreia doar eticheta metodei: simetrie sau periodicitate, modul, tabel, schimbare de variabilă, părți, funcție rațională. Verifică apoi rezolvând cinci dintre ele. Trierea corectă e jumătate din timpul câștigat la examen.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele 1, 3 și 6, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează unde ai pierdut timp: de regulă se pierde la încadrare, iar puncte se pierd la justificările sărite.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea „Integrala definită" și adună competențele XII.CS.3.6, XII.CS.4.6 și XII.CS.6.6 într-un singur format: cel al problemei 2 din Subiectul al III-lea. Nu introduce noțiuni noi; valoarea ei stă în triere, redactare și verificare. Cele șase probleme-model acoperă exact tiparele care apar în subiecte: calcul prin părți, calcul prin schimbare de variabilă, încadrare, teoremă de medie, șir de integrale cu recurență, limită cu sume Riemann și limită cu funcția integrală.

Ce verifică lecția: (1) alegerea metodei din forma integrandului; (2) schimbarea corectă a limitelor de integrare; (3) ruperea intervalului la modul; (4) redactarea unei încadrări; (5) tratarea completă a unui șir de integrale — monotonie, mărginire, limită; (6) justificarea integrabilității la sumele Riemann.

Întrebări bune de control: „Ce metodă ai ales și din ce ai văzut-o?", „Ce s-a întâmplat cu limitele când ai schimbat variabila?", „De unde știi că funcția e integrabilă?", „Punctul din teorema de medie este unic?", „Cum ai obținut încadrarea?". Semn că elevul a înțeles: se uită întâi la interval și la simetrie, și abia apoi începe să scrie. La BAC, problema de acest tip valorează $15$ puncte, adică o șesime din lucrare, iar subpunctul a) este aproape întotdeauna accesibil.

Recomandare practică: exercițiile 16 și 17 sunt formulate exact ca la examen și merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult opt minute fiecare. Unitatea următoare folosește tot ce s-a construit aici pentru prima aplicație geometrică a integralei definite — aceleași metode de calcul, alt tip de întrebare.

Întrebări frecvente

Cum se rezolvă o problemă cu integrale la Bacalaureat M1?

Se identifică întâi tiparul: subpunctul a) cere un calcul, b) cere o proprietate — încadrare, comparație, teoremă de medie — iar c) cere o limită, de șir de integrale, de sumă Riemann sau de funcție cu funcția integrală. Apoi se alege metoda de calcul din forma integrandului și se redactează pe pași, fiecare rând punctabil separat.

Care sunt metodele de calcul pentru integrala definită?

Trei, în această ordine de încercare: primitivă directă din tabel plus formula Leibniz–Newton; integrare prin părți, când integrandul e un produs în care un factor se simplifică prin derivare; schimbare de variabilă, când se vede o funcție compusă înmulțită cu derivata interiorului. Înaintea lor se verifică simetria, periodicitatea și eventualele module.

De ce se schimbă limitele la schimbarea de variabilă?

Pentru că integrala definită este un număr atașat unui interval, iar noua variabilă parcurge alt interval: dacă $t=u(x)$, atunci când $x$ merge de la $a$ la $b$, $t$ merge de la $u(a)$ la $u(b)$. Odată schimbate limitele, revenirea la variabila veche nu mai este necesară — și e chiar greșeala cea mai des sancționată.

Cum se face o încadrare a unei integrale?

Se încadrează integrandul între două funcții simple pe intervalul dat, se integrează inegalitatea folosind monotonia integralei, apoi se calculează cele două integrale marginale. De exemplu, din $1\le e^x\le e$ pe $[0,1]$ se obține $\frac{1}{2}\le {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx\le \frac{e}{2}$. Sensul inegalității se păstrează doar dacă $a<b$.

Ce spune teorema de medie și la ce se folosește?

Spune că pentru orice funcție continuă pe $[a,b]$ există un punct $c$ în interval cu ${\int }_a^{b}f=f(c)(b-a)$. Se folosește pentru a arăta că o ecuație are soluție, pentru a estima o integrală și pentru a introduce valoarea medie $\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f$. Punctul $c$ nu este unic și nu este mijlocul intervalului.

Cum recunosc o sumă Riemann într-o limită de șir?

După factorul $\frac{1}{n}$ care se poate scoate în față și după faptul că restul depinde de $k$ numai prin raportul $\frac{k}{n}$. Atunci limita este ${\int }_0^{1}f(x)dx$, unde $f$ e funcția obținută înlocuind $\frac{k}{n}$ cu $x$ — dar numai după ce ai spus că $f$ este continuă pe $[0,1]$, deci integrabilă.

Cum se studiază un șir de integrale?

În patru pași: se calculează primii termeni, se caută o relație de recurență prin părți sau prin simplificarea integrandului, se stabilește monotonia din monotonia integrandului și se găsește limita dintr-o încadrare sau din recurență. Pentru limite de forma $\lim n{I}_n$ se pornește de la recurență și se aplică criteriul cleștelui.

De ce nu pot aplica formula Leibniz–Newton oricând?

Pentru că ea cere ca funcția să fie integrabilă pe $[a,b]$ și să admită acolo o primitivă. Dacă funcția nu e definită într-un punct interior — cum e $\frac{1}{x^2}$ în $0$ — niciuna dintre ipoteze nu e îndeplinită, iar „rezultatul" obținut mecanic este fals. Verificarea rapidă: un integrand pozitiv nu poate da o integrală negativă.