Sinteză: legi și grupuri: pe scurt

Problema de algebră din Subiectul al II-lea are trei subpuncte de câte cinci puncte, iar fiecare îl pregătește pe următorul: un calcul, o proprietate de structură, o aplicație. Tipul se recunoaște după ce apare în enunț. La o lege dată printr-o formulă, primul gest este căutarea formei $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$: din ea se citesc asociativitatea, comutativitatea, neutrul $e=a+1$, simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$, partea stabilă $(a,+\infty )$ și izomorfismul $f(x)=x-a$ cu $\left({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot \right)$. Pentru familia $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$, condiția de asociativitate este $\beta ={\alpha }^2-\alpha$, obținută punând $a=-\alpha$. Varianta cu coeficient, $\lambda (x-a)(y-a)+a$, are $e=a+\frac{1}{\lambda }$.

Structura de grup se verifică mereu în cei patru pași (0–3): parte stabilă, asociativitate (moștenită — dar enunțată!), element neutru care aparține mulțimii, simetric care aparține mulțimii. La grupurile de matrice parametrizate, totul pornește de la regula de compunere, de tipul $A(x)A(y)=A(x+y)$, care dă simultan partea stabilă, neutrul $A(0)$, simetricul $A(-x)$, izomorfismul cu $(\mathbb{R},+)$ și formula $A(x{)}^n=A(nx)$. Un izomorfism cere două verificări punctate separat, morfismul și bijectivitatea; neizomorfismul se arată prin cardinal, comutativitate sau profilul ordinelor. În ${\mathbb{Z}}_n$, o ecuație cu coeficient neinversabil poate avea mai multe soluții sau niciuna, iar numărul lor face parte din răspuns.

Exerciții din această mini-lecție

1. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=xy-21x-21y+462$. Elementul neutru al ei este:

   • a) $21$
   • b) $22$
   • c) $1$
   • d) $462$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $22$

   Căutăm forma factorizată: cu $a=21$ avem $(x-21)(y-21)+21=xy-21x-21y+441+21=xy-21x-21y+462$, deci legea o are. Pentru astfel de legi, $e=a+1=22$. Verificare: $22\ast x=(22-21)(x-21)+21=x$. Varianta $21$ confundă neutrul cu parametrul $a$, care este chiar elementul fără simetric.

2. Pentru ce valoare a lui $\beta$ este legea $x\ast y=xy+13(x+y)+\beta$ asociativă pe $\mathbb{R}$?

   • a) $\beta =142$
   • b) $\beta =169$
   • c) $\beta =156$
   • d) $\beta =182$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $\beta =156$

   Pentru familia $xy+\alpha (x+y)+\beta$, condiția de asociativitate este $\beta ={\alpha }^2-\alpha$; cu $\alpha =13$ obținem $\beta =169-13=156$. Echivalent, $a=-\alpha =-13$ și $\beta =a^2+a=169-13=156$, iar legea devine $(x+13)(y+13)-13$. Varianta $182$ folosește $a=13$ în loc de $a=-13$, iar $169$ uită termenul liniar.

3. Fie $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$. Atunci $A(7{)}^{2026}$ este egală cu:

   • a) $A(14182)$
   • b) $A(7^{2026})$
   • c) $A(2026)$
   • d) $A(289,43)$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $A(14182)$

   Regula de compunere este $A(x)A(y)=A(x+y)$, deci funcția $x\mapsto A(x)$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(G,\cdot )$ și puterile se traduc în multipli: $A(x{)}^n=A(nx)$. Rezultă $A(7{)}^{2026}=A(7\cdot 2026)=A(14182)$. Varianta $A(7^{2026})$ ar corespunde unei familii cu regula $A(x)A(y)=A(xy)$, care nu este cazul aici.