Sinteză: legi de compoziție și grupuri — probleme de tip Bacalaureat M1

Ai parcurs treizeci și patru de lecții, de la prima definiție a unei legi de compoziție până la izomorfismele care mută o ecuație matriceală în mulțimea numerelor complexe. Lecția aceasta nu adaugă nimic nou. Sinteza la legi de compoziție și grupuri strânge la un loc tipurile de probleme pe care le pune examenul din materia de clasa a 12-a și le dă câte o rezolvare-model, în formatul exact al Subiectului al II-lea de la Bacalaureat M1.

Rostul unei sinteze, la matematică-informatică, e altul decât al unei lecții obișnuite. Aici nu înveți o noțiune, ci înveți să recunoști repede în ce tip de problemă ai nimerit și să pornești pe drumul scurt, nu pe cel care te costă douăzeci de minute. Cele șase tipuri de mai jos acoperă aproape tot ce a apărut în subiectele de până acum: legi date prin formule, legi cu parametru, părți stabile, grupuri pe intervale, grupuri de matrice, izomorfisme și calcule în mulțimea claselor de resturi. Ultimul capitol al unității, clasele de resturi în aritmetică, intră și el în rotație, iar de aici mai departe urmează structurile cu două operații: definiție, axiome și exemple.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști tipul unei probleme de algebră din Subiectul al II-lea după prima linie a enunțului.
• Vei ști să aduci o lege dată printr-o formulă la forma factorizată și să citești din ea neutrul, simetricul și partea stabilă.
• Vei ști să determini parametrii unei legi din condiția de asociativitate, pe drumul scurt și pe cel complet.
• Vei ști să verifici structura de grup pe un interval sau pe o mulțime de matrice, în ordinea corectă a pașilor.
• Vei ști să construiești un izomorfism și să arăți, când e cazul, că el nu poate exista.
• Vei ști să rezolvi ecuații și să calculezi puteri în mulțimea claselor de resturi modulo $n$.

Hai să descoperim împreună

1. Cum arată problema de algebră din Subiectul al II-lea?

Problema de algebră din Subiectul al II-lea este, la Bacalaureat M1, o problemă cu trei subpuncte notate a), b) și c), fiecare valorând cinci puncte, care pornește de la o lege de compoziție concretă sau de la o mulțime concretă de numere, de matrice ori de clase de resturi și cere, în această ordine, un calcul numeric, o proprietate de structură și o aplicație a ei.

Ordinea nu e întâmplătoare și trebuie folosită: subpunctul a) îți dă unealta pentru b), iar b) pentru c). Dacă la a) ai găsit forma factorizată a legii, la b) nu mai reverifici asociativitatea prin calcul brut; dacă la b) ai demonstrat un izomorfism, la c) rezolvi ecuația prin transfer, nu direct.

Cum recunoști tipul? După ce apare în enunț, nu după cum sună. Dacă vezi o formulă cu $xy$ și termeni liniari, ești la tipul 1 sau 2; dacă vezi o submulțime precizată, la tipul 3; dacă vezi o familie de matrice care depinde de un parametru, la tipul 4; dacă vezi două structuri și o funcție între ele, la izomorfisme; dacă vezi ${\mathbb{Z}}_n$, la calcule cu clase de resturi. Acest reflex de un minut face diferența dintre a începe bine și a pierde un sfert de oră pe drumul lung.

O ultimă observație de strategie: subpunctele sunt independente ca punctaj. Dacă nu-ți iese b), scrii la c) „presupunem demonstrat la b) că …" și continui — corectorul acordă punctele de la c) dacă raționamentul de acolo e corect.

2. Tipul 1 — legea dată printr-o formulă: cum găsești forma factorizată?

Cel mai frecvent enunț arată așa: pe $\mathbb{R}$ se definește legea $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$. Primul gest, întotdeauna, este căutarea numărului $a$ pentru care legea se scrie

$$x\ast y=(x-a)(y-a)+a.$$

Desfăcând paranteza, obținem $xy-a(x+y)+a^2+a$, deci trebuie ca $a=-\alpha$ și $\beta =a^2+a$. Când condiția a doua e îndeplinită, forma factorizată există și îți dă tot dintr-o singură privire, așa cum ai văzut la legi de compoziție pe mulțimi de numere, definite prin formule:

Merită înțeles de ce forma aceasta explică totul: legea $\ast$ nu e altceva decât înmulțirea obișnuită, privită printr-o „mutare a originii" cu $a$ unități. Funcția $f(x)=x-a$ traduce fiecare număr în distanța lui față de $a$, iar compunerea prin $\ast$ devine, în această traducere, simpla înmulțire. De aceea toate proprietățile înmulțirii se regăsesc, una câte una, în proprietățile lui $\ast$.

Varianta cu coeficient, $x\ast y=\lambda (x-a)(y-a)+a$ cu $\lambda \ne 0$, se tratează la fel: neutrul devine $e=a+\frac{1}{\lambda }$, simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{{\lambda }^2(x-a)}$, iar izomorfismul este $f(x)=\lambda (x-a)$.

3. Tipul 2 — legi cu parametru

Enunțul dă legea cu un parametru necunoscut și cere valoarea lui pentru care legea are o anumită proprietate — de obicei asociativitatea. Sunt două drumuri, iar la examen le folosești pe amândouă, în ordinea aceasta.

Drumul scurt (pentru a ghici valoarea). Impui condiția pe numere mici: din $(1\ast 1)\ast 2=1\ast (1\ast 2)$ obții o ecuație în parametru, pe care o rezolvi în două rânduri.

Drumul complet (pentru puncte). Cu valoarea găsită, arăți că legea se scrie sub forma $(x-a)(y-a)+a$; de aici asociativitatea rezultă imediat, fără calculul celor două produse triple. Alternativ, scrii integral $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ și identifici coeficienții.

Pentru familia $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$, condiția de asociativitate se reduce la relația $\beta ={\alpha }^2-\alpha$, obținută din $\beta =a^2+a$ cu $a=-\alpha$. Verifici: pentru $\alpha =-6$ trebuie $\beta =42$, iar legea devine $xy-6x-6y+42$; pentru $\alpha =-7$ trebuie $\beta =56$, adică $xy-7x-7y+56$. Valorile mici ale lui $a$ — $2$, $3$, $4$, $5$ — au fost deja folosite în lecțiile unității, deci în subiecte le vei întâlni pe toate, iar rețeta e aceeași. Mai multe variante găsești la legi de compoziție cu parametri.

4. Tipul 3 — cum arăți că un interval este parte stabilă și grup?

Enunțul dă o submulțime $H$ și cere să arăți că este parte stabilă, apoi că $(H,\ast )$ este grup. Se parcurg cei patru pași (0–3) fixați la grupul: definiție și exemple, în ordinea aceea și cu numerotarea aceea, pentru că fiecare pas are punctajul lui în barem:

Pasul 0 (parte stabilă). Pentru $x,y\in H$ arăți $x\ast y\in H$. Cu forma factorizată, pe $H=(a,+\infty )$, calculul e imediat: din $x>a$ și $y>a$ rezultă $x\ast y-a=(x-a)(y-a)>0$.

Pasul 1 (asociativitate). O moștenești din legea de pe mulțimea mare, dacă acolo a fost deja demonstrată; scrii asta explicit, nu o reiei.

Pasul 2 (element neutru). Verifici că $e=a+1$ aparține lui $H$ — pasul cel mai des sărit; aici $a+1>a$, deci da.

Pasul 3 (simetric). Pentru orice $x\in H$, arăți că $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$ aparține tot lui $H$: din $x>a$ rezultă $\frac{1}{x-a}>0$, deci $x^{\prime }>a$. Comutativitatea se adaugă la final, într-o propoziție, dacă enunțul o cere.

⚠️ Nu confunda partea stabilă cu subgrupul. O parte stabilă poate să nu conțină neutrul: pe $(\mathbb{Z},+)$, mulțimea numerelor naturale nenule e parte stabilă, dar nu e subgrup. Criteriul de subgrup, din subgrupul: definiție și criteriu, cere în plus simetricul.

5. Tipul 4 — grupuri de matrice parametrizate

Enunțul dă o familie $G=\{A(x)\mid x\in \mathbb{R}\}$ de matrice care depind de un parametru, iar cheia este regula de compunere a parametrilor. Exemplul canonic:

$$A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ 0& 1\end{array}\right),A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}1& x+y\\ 0& 1\end{array}\right)=A(x+y).$$

Produsul se calculează cu regula de la înmulțirea a două matrice, iar aceasta este familia $A(x)$ fixată la grupuri de matrice și de permutări, alături de familia $N(a)$; odată scrisă regula de compunere, restul curge după cei patru pași (0–3): parte stabilă (din regulă), asociativitate moștenită din mulțimea tuturor matricelor de ordinul al doilea, neutru $A(0)=I_2$, simetric $A(-x)$. În plus, funcția $x\mapsto A(x)$ este izomorfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(G,\cdot )$, deci grupul e comutativ și toate puterile se calculează instantaneu: $A(x{)}^n=A(nx)$.

Atenție însă: nu orice familie de matrice se compune atât de comod. Dacă regula obținută nu are forma unei operații cunoscute pe parametri, verifici structura de grup pas cu pas, ca la orice altă mulțime; iar dacă mulțimea conține și matrice cu determinantul nul, atunci sigur nu e grup, pentru că acelea nu au inversă. Verificarea determinantului este, la acest tip, primul test de eliminare.

⚠️ Argumentul acesta are o ipoteză ascunsă: el este valabil numai când neutrul căutat este $I_2$, adică atunci când mulțimea e privită ca parte a matricelor inversabile. Există familii cu determinantul nul care sunt totuși grup, cu alt element neutru — contraexemplul canonic, familia $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)$ cu $a\ne 0$, pentru care $M(a)M(b)=M(2ab)$, iar neutrul este $M\left(\frac{1}{2}\right)$, este rezolvat complet la Subiectul al II-lea: legi de compoziție și grupuri. Deci: „$\det =0$" elimină inversabilitatea în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, nu automat structura de grup a mulțimii date.

Alte familii care apar cu aceeași structură sunt cele pentru care $A(x)A(y)=A(x+y+\gamma xy)$ sau $A(x)A(y)=A(xy)$ — de fiecare dată, primul lucru de scris este regula, iar al doilea, ce grup de numere copiază ea.

6. Cum arăți că două grupuri sunt izomorfe și cum arăți că nu sunt?

Sunt două cerințe simetrice, cu tehnici complet diferite.

Ca să arăți că sunt izomorfe, propui funcția și verifici două lucruri, ambele punctate separat, ca în izomorfisme de grupuri:

1. morfismul, adică $f(x\ast y)=f(x)\cdot f(y)$ pentru orice $x$ și $y$ — cu calculul scris, nu doar afirmat;
2. bijectivitatea, de preferat prin scrierea explicită a funcției inverse; pentru grupuri finite cu același cardinal, e destul injectivitatea sau surjectivitatea.

Funcția nu se ghicește: pentru legile din familia $(x-a)(y-a)+a$ ea este mereu $f(x)=x-a$, iar pentru familiile de matrice, $A(x)\mapsto x$.

Ca să arăți că nu sunt izomorfe, folosești unul dintre cele trei argumente din când două grupuri nu sunt izomorfe: cardinale diferite; unul comutativ și celălalt nu; profilul ordinelor diferit. Exemplul de reținut: grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ au amândouă patru elemente și sunt amândouă comutative, dar în primul toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$, iar al doilea are două elemente de ordinul $4$. Deci nu sunt izomorfe.

7. Tipul 6 — calcule și ecuații în mulțimea claselor de resturi

Aici enunțul e recunoscibil de la prima linie: apare ${\mathbb{Z}}_n$. Cele patru cerințe standard, cu rețetele lor:

• clasele inversabile: $\hat{a}$ e inversabilă exact când $(a,n)=1$; le enumeri și le numeri;
• inversa unei clase: o cauți prin încercări printre clasele inversabile, nu prin formule; pentru $n$ mic, e mai rapid;
• ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$: dacă $\hat{a}$ e inversabilă, înmulțești cu inversa și obții o singură soluție; dacă nu, verifici toate cele $n$ clase — pot fi mai multe soluții sau niciuna, cum ai văzut la elementele inversabile din mulțimea claselor de resturi;
• puteri mari: determini ordinul clasei sau folosești Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, apoi reduci exponentul.

⚠️ Capcana clasică: în ${\mathbb{Z}}_n$ nu poți simplifica prin orice clasă. Din $\hat{4}\hat{x}=\hat{4}\hat{y}$ în ${\mathbb{Z}}_6$ nu rezultă $\hat{x}=\hat{y}$, pentru că $\hat{4}$ nu e inversabilă.

8. Care sunt capcanele de barem?

Le enumerăm o dată, pentru că fiecare dintre ele apare în baremele oficiale ca punct separat.

• Parte stabilă înainte de grup. Fără ea, „legea de pe $H$" nici nu există. Un punct pierdut sigur.
• Neutrul trebuie să fie în mulțime. Pe $(2,+\infty )$, neutrul $e=3$ e acceptabil; pe $(4,+\infty )$, un „neutru" egal cu $3$ ar fi o eroare de raționament, nu doar de calcul.
• Asociativitatea moștenită se enunță. „Asociativă, fiind restricția unei legi asociative" e o propoziție care se scrie; presupusă tacit, nu se punctează.
• Izomorfismul are două condiții. Cine verifică doar morfismul primește jumătate din puncte.
• Toate soluțiile. La ecuațiile în ${\mathbb{Z}}_n$ cu coeficient neinversabil și la ecuațiile de tipul $X^n=A$, numărul soluțiilor face parte din răspuns.
• Verificarea finală. Orice element găsit (neutru, simetric, soluție) se înlocuiește înapoi în enunț, într-un rând. Costă zece secunde și prinde erorile de semn.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Lege dată printr-o formulă

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-6x-6y+42$.

a) Arătați că $x\ast y=(x-6)(y-6)+6$ pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

b) Determinați elementul neutru al legii și simetricul lui $8$.

c) Calculați $8\ast 8\ast 8$.

Rezolvare. a) Desfacem paranteza: $(x-6)(y-6)+6=xy-6x-6y+36+6=xy-6x-6y+42=x\ast y$.

b) Din $(e-6)(x-6)+6=x$ pentru orice $x$ obținem $(e-6)(x-6)=x-6$, deci $e-6=1$ și $e=7$. Verificare: $7\ast x=7x-42-6x+42=x$. ✓ Simetricul lui $8$ este $x^{\prime }$ cu $(8-6)(x^{\prime }-6)=1$, adică $x^{\prime }-6=\frac{1}{2}$ și $x^{\prime }=\frac{13}{2}$. Verificare: $8\ast \frac{13}{2}=52-48-39+42=7=e$. ✓

c) $8\ast 8=(8-6)(8-6)+6=10$, apoi $10\ast 8=(10-6)(8-6)+6=14$. Deci $8\ast 8\ast 8=14$.

Exemplul 2 — Lege cu parametru

Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-7x-7y+m$, cu $m\in \mathbb{R}$. Determinați $m$ pentru care legea este asociativă și, pentru valoarea găsită, aflați elementul neutru.

Rezolvare. Drumul scurt. Impunem $(1\ast 1)\ast 2=1\ast (1\ast 2)$. Avem $1\ast 1=1-7-7+m=m-13$ și $1\ast 2=2-7-14+m=m-19$. Atunci

$$(m-13)\ast 2=2(m-13)-7(m-13)-14+m=2m-26-7m+91-14+m=-4m+51,$$ $$1\ast (m-19)=(m-19)-7-7(m-19)+m=m-19-7-7m+133+m=-5m+107.$$

Egalitatea $-4m+51=-5m+107$ dă $m=56$.

Drumul complet. Pentru $m=56$ observăm că $x\ast y=(x-7)(y-7)+7$, formă din care asociativitatea rezultă imediat:

$$(x\ast y)\ast z=((x-7)(y-7))(z-7)+7=x\ast (y\ast z),$$

ambele fiind egale cu $(x-7)(y-7)(z-7)+7$. Elementul neutru este $e=7+1=8$; verificare: $8\ast x=8x-56-7x+56=x$. ✓

Exemplul 3 — Grup pe un interval

Pe $H=(7,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-7x-7y+56$. Arătați că $(H,\ast )$ este grup comutativ.

Rezolvare. Folosim forma $x\ast y=(x-7)(y-7)+7$ și parcurgem cei patru pași (0–3).

Pasul 0 (parte stabilă): dacă $x>7$ și $y>7$, atunci $(x-7)(y-7)>0$, deci $x\ast y>7$, adică $x\ast y\in H$.

Pasul 1 (asociativitate): legea de pe $\mathbb{R}$ este asociativă (Exemplul 2), iar legea de pe $H$ este restricția ei, deci este asociativă.

Pasul 2 (element neutru): $e=8$, iar $8>7$, deci $e\in H$.

Pasul 3 (simetric): pentru $x\in H$, din $(x-7)(x^{\prime }-7)=1$ rezultă $x^{\prime }=7+\frac{1}{x-7}$; cum $x>7$, avem $\frac{1}{x-7}>0$, deci $x^{\prime }>7$ și $x^{\prime }\in H$.

Comutativitate: forma factorizată este simetrică în $x$ și $y$.

Prin urmare $(H,\ast )$ este grup comutativ. Ca verificare numerică: $9\ast 9=4+7=11$ și $11\ast 9=8+7=15$, iar simetricul lui $9$ este $7+\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$, cu $9\ast \frac{15}{2}=(9-7)\left(\frac{15}{2}-7\right)+7=2\cdot \frac{1}{2}+7=8=e$. ✓

Exemplul 4 — Un grup de matrice

Fie $G = \left{ P(x) = \begin{pmatrix} x & 0 \ 0 & \frac{1}{x} \end{pmatrix} \middle\vert x \in \mathbb{R}^{} \right}$.*

a) Arătați că $P(x)\cdot P(y)=P(xy)$.

b) Arătați că $(G,\cdot )$ este grup comutativ, izomorf cu $\big(\mathbb{R}^{}, \cdot\big)$.*

c) Calculați $P(2{)}^5$.

Rezolvare. a) $\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& \frac{1}{x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}y& 0\\ 0& \frac{1}{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}xy& 0\\ 0& \frac{1}{xy}\end{array}\right)=P(xy)$. Aici regula de compunere a parametrilor nu este adunarea, ca la familiile $A(x)$ și $N(a)$ din lecția despre grupuri de matrice, ci înmulțirea — de aceea grupul-model va fi altul.

b) Pasul 0 (parte stabilă): din a), iar $xy\ne 0$ când $x,y\ne 0$. Pasul 1 (asociativitate): moștenită din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$. Pasul 2 (neutru): $P(1)=I_2\in G$. Pasul 3 (simetric): $P(x)P\left(\frac{1}{x}\right)=P(1)=I_2$, deci $P(x{)}^{-1}=P\left(\frac{1}{x}\right)\in G$. Comutativitate: $P(x)P(y)=P(xy)=P(yx)=P(y)P(x)$.

Izomorfismul este $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to G$, $f(x)=P(x)$: e morfism, pentru că $f(xy)=P(xy)=P(x)P(y)=f(x)f(y)$; e injectiv, pentru că $P(x)=P(y)$ dă $x=y$; e surjectiv prin definiția lui $G$. Observă și că $\det P(x)=1$ pentru orice $x$.

c) Prin izomorfism, $P(2{)}^5=P(2^5)=P(32)=\left(\begin{array}{cc}32& 0\\ 0& \frac{1}{32}\end{array}\right)$.

Exemplul 5 — Calcule în mulțimea claselor de resturi

a) Determinați $U({\mathbb{Z}}_8)$ și rezolvați în ${\mathbb{Z}}_8$ ecuația $\hat{3}\cdot \hat{x}=\hat{5}$.

b) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{12}$ ecuația $\hat{4}\cdot \hat{x}=\hat{8}$.

c) Determinați suma tuturor elementelor lui ${\mathbb{Z}}_7$.

Rezolvare. a) Clasele inversabile sunt cele cu reprezentantul prim cu $8$: $U({\mathbb{Z}}_8)=\{\hat{1},\hat{3},\hat{5},\hat{7}\}$. Cum $\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{1}$, avem ${\hat{3}}^{-1}=\hat{3}$, deci $\hat{x}=\hat{3}\cdot \hat{5}=\widehat{15}=\hat{7}$. Verificare: $\hat{3}\cdot \hat{7}=\widehat{21}=\hat{5}$. ✓ Soluția e unică.

b) Clasa $\hat{4}$ nu e inversabilă în ${\mathbb{Z}}_{12}$, pentru că $(4,12)=4\ne 1$; verificăm toate cele douăsprezece clase. Produsele $\hat{4}\hat{x}$ sunt, pentru $x=0,1,\dots ,11$: $\hat{0},\hat{4},\hat{8},\hat{0},\hat{4},\hat{8},\hat{0},\hat{4},\hat{8},\hat{0},\hat{4},\hat{8}$. Valoarea $\hat{8}$ apare pentru $x\in \{2,5,8,11\}$, deci ecuația are patru soluții: $\hat{2},\hat{5},\hat{8},\widehat{11}$.

c) $\hat{0}+\hat{1}+\cdots +\hat{6}=\widehat{0+1+\cdots +6}=\widehat{21}=\hat{0}$. (Se putea și fără calcul: elementele nenule se grupează în perechi $\hat{k}$ și $\widehat{7-k}$, fiecare cu suma $\hat{0}$.)

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Pe mulțimea $M=(2,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=3xy-6x-6y+14$.

a) Arătați că $x\ast y=3(x-2)(y-2)+2$ și că $M$ este parte stabilă în raport cu legea $\ast$.

b) Arătați că funcția $f : M \to \mathbb{R}^{}{+}$,$f(x) = 3(x - 2)$,esteizomorfismdela$(M, \ast)$la$\big(\mathbb{R}^{*}{+}, \cdot\big)$.*

c) Rezolvați în $M$ ecuația $x\ast x\ast x=11$.

Rezolvare. a) Desfacem: $3(x-2)(y-2)+2=3(xy-2x-2y+4)+2=3xy-6x-6y+12+2=x\ast y$. Dacă $x>2$ și $y>2$, atunci $3(x-2)(y-2)>0$, deci $x\ast y>2$, adică $x\ast y\in M$: mulțimea $M$ este parte stabilă.

b) Bine definită și bijectivă: pentru $x>2$ avem $f(x)=3(x-2)>0$, deci $f$ ia valori în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$; inversa ei este $f^{-1}(u)=2+\frac{u}{3}$, definită pe ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ cu valori în $M$, deci $f$ e bijectivă.

Morfism: $f(x\ast y)=3(3(x-2)(y-2)+2-2)=9(x-2)(y-2)=3(x-2)\cdot 3(y-2)=f(x)\cdot f(y)$.

Prin urmare $f$ este izomorfism și $(M,\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

c) Aplicăm $f$ ambilor membri; prin izomorfism, ecuația devine $(f(x){)}^3=f(11)$, adică

$$(3(x-2){)}^3=3\cdot 9=27⟹3(x-2)=3⟹x=3.$$

În ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ ecuația $u^3=27$ are o singură soluție, deci și ecuația inițială are exact una. Verificare directă: $3\ast 3=3\cdot 1\cdot 1+2=5$, apoi $5\ast 3=3\cdot 3\cdot 1+2=11$. ✓

Să exersăm

La fiecare problemă, notează întâi tipul în care se încadrează și primul gest de făcut. Verifică fiecare element găsit, înlocuindu-l în enunț.

1. Aduceți legea $x\ast y=xy+x+y$ la forma $(x-a)(y-a)+a$ și determinați $a$.

2. Pentru legea de la exercițiul precedent, determinați elementul neutru și simetricul lui $1$.

3. Calculați $1\ast 1\ast 1$ pentru aceeași lege.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice parte stabilă a unui grup este subgrup al lui."

5. Determinați $\beta$ pentru care legea $x\ast y=xy+5(x+y)+\beta$ este asociativă.

6. Arătați că $(9,+\infty )$ este parte stabilă în raport cu legea $x\ast y=xy-9x-9y+90$.

7. Arătați că legea $x\ast y=2xy-8x-8y+36$ se scrie $2(x-4)(y-4)+4$ și determinați elementul ei neutru.

8. Determinați $U({\mathbb{Z}}_{10})$ și rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{10}$ ecuația $\hat{3}\cdot \hat{x}=\hat{7}$.

9. Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația ${\hat{x}}^2=\hat{x}$.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Grupul lui Klein și $({\mathbb{Z}}_4,+)$ sunt izomorfe, pentru că amândouă au patru elemente și sunt comutative."

11. Fie $G=\left\{B(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right)|x\in \mathbb{R}\right\}$. Arătați că $B(x)B(y)=B(x+y)$ și determinați $B(3{)}^4$.

12. (Problemă aplicată.) Un cod de acces se schimbă zilnic după regula „noul cod este restul împărțirii la $12$ a codului de ieri adunat cu $5$". Dacă azi codul este $\hat{7}$, care va fi peste $2026$ de zile? Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_{12}$.

13. Determinați ordinul elementului $\hat{4}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$.

14. Arătați că funcția $f(x)=x+1$ este izomorfism de la $((-1,+\infty ),\ast )$, cu $x\ast y=xy+x+y$, la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-8x-8y+72$. a) Arătați că $x\ast y=(x-8)(y-8)+8$. b) Arătați că $(8,+\infty )$ este parte stabilă și că, împreună cu legea indusă, formează grup comutativ. c) Rezolvați ecuația $x\ast x=12$ în $(8,+\infty )$.

16. Determinați toate clasele $\hat{x}$ din ${\mathbb{Z}}_9$ pentru care ${\hat{x}}^2=\hat{0}$.

17. Arătați că grupurile $(\mathbb{Z},+)$ și $(\mathbb{Q},+)$ nu sunt izomorfe, folosind faptul că primul este ciclic, iar al doilea nu.

18. (Provocare.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=\lambda (x-a)(y-a)+a$, cu $\lambda >0$ și $a\in \mathbb{R}$ fixate. Determinați, în funcție de $\lambda$ și $a$, elementul neutru, simetricul unui element $x\ne a$ și izomorfismul cu $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, apoi verificați formulele pentru $\lambda =3$ și $a=2$.

Răspunsuri și explicații

1. $(x+1)(y+1)-1=xy+x+y+1-1=xy+x+y$, deci $a=-1$. (Se putea și direct: $a=-\alpha =-1$, iar condiția $\beta =a^2+a=1-1=0$ se verifică, fiindcă legea nu are termen liber.)

2. $e=a+1=0$; verificare: $0\ast x=0+0+x=x$. ✓ Simetricul lui $1$: din $(1+1)(x^{\prime }+1)=1$ rezultă $x^{\prime }+1=\frac{1}{2}$, deci $x^{\prime }=-\frac{1}{2}$; verificare: $1\ast \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2}=0$. ✓

3. $1\ast 1=(1+1)(1+1)-1=3$, apoi $3\ast 1=(3+1)(1+1)-1=7$. Deci $1\ast 1\ast 1=7$.

4. Fals. O parte stabilă poate să nu conțină elementul neutru sau simetricele. În $(\mathbb{Z},+)$, mulțimea ${\mathbb{N}}^{\ast }$ este parte stabilă, dar nu conține pe $0$ și nici opusele elementelor ei, deci nu e subgrup.

5. Aici $\alpha =5$, deci $a=-5$ și condiția este $\beta =a^2+a=25-5=20$. Legea devine $x\ast y=(x+5)(y+5)-5$; verificare: $(x+5)(y+5)-5=xy+5x+5y+25-5=xy+5(x+y)+20$. ✓

6. Cu forma $(x-9)(y-9)+9$: dacă $x>9$ și $y>9$, atunci $(x-9)(y-9)>0$, deci $x\ast y-9>0$ și $x\ast y\in (9,+\infty )$.

7. $2(x-4)(y-4)+4=2(xy-4x-4y+16)+4=2xy-8x-8y+36$. ✓ Neutrul: $e=a+\frac{1}{\lambda }=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$; verificare: $\frac{9}{2}\ast x=9x-36-8x+36=x$. ✓

8. $U({\mathbb{Z}}_{10})=\{\hat{1},\hat{3},\hat{7},\hat{9}\}$. Inversa lui $\hat{3}$ este $\hat{7}$, pentru că $\widehat{21}=\hat{1}$. Deci $\hat{x}=\hat{7}\cdot \hat{7}=\widehat{49}=\hat{9}$; verificare: $\hat{3}\cdot \hat{9}=\widehat{27}=\hat{7}$. ✓

9. Calculăm pătratele: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{3}$, ${\hat{4}}^2=\hat{4}$, ${\hat{5}}^2=\hat{1}$. Egalitatea ${\hat{x}}^2=\hat{x}$ are loc pentru $\hat{x}\in \{\hat{0},\hat{1},\hat{3},\hat{4}\}$.

10. Fals. Cardinalul egal și comutativitatea nu sunt suficiente. În grupul lui Klein toate cele trei elemente diferite de neutru au ordinul $2$, pe când în $({\mathbb{Z}}_4,+)$ elementele $\hat{1}$ și $\hat{3}$ au ordinul $4$. Profilurile ordinelor diferă, deci grupurile nu sunt izomorfe.

11. $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ y& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ x+y& 1\end{array}\right)=B(x+y)$. De aici $B(3{)}^4=B(12)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 12& 1\end{array}\right)$.

12. Fiecare zi adaugă $\hat{5}$, deci după $2026$ de zile codul este $\hat{7}+2026\cdot \hat{5}=\hat{7}+\widehat{10130}$. Reducem: $2026=12\cdot 168+10$, deci $2026\cdot \hat{5}=\widehat{10}\cdot \hat{5}=\widehat{50}=\hat{2}$. Codul va fi $\hat{7}+\hat{2}=\hat{9}$.

13. Căutăm cel mai mic $k$ natural nenul cu $k\cdot \hat{4}=\hat{0}$: $\hat{4},\hat{8},\widehat{12}=\hat{0}$. Deci $\mathrm{ord}(\hat{4})=3$, iar $3$ divide $\mathrm{card}{\mathbb{Z}}_{12}=12$, cum cere Consecința 1 a teoremei lui Lagrange.

14. Pentru $x>-1$ avem $f(x)=x+1>0$, deci $f$ ia valori în ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$; inversa este $f^{-1}(u)=u-1$, deci $f$ e bijectivă. Morfism: $f(x\ast y)=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)=f(x)f(y)$.

15. a) $(x-8)(y-8)+8=xy-8x-8y+64+8=xy-8x-8y+72$. ✓ b) Pasul 0: din $x,y>8$ rezultă $(x-8)(y-8)>0$, deci $x\ast y>8$. Pasul 1: asociativitatea e moștenită de la legea de pe $\mathbb{R}$, care are forma factorizată. Pasul 2: neutrul este $e=9\in (8,+\infty )$. Pasul 3: simetricul lui $x$ este $8+\frac{1}{x-8}>8$; comutativitatea se citește din formă. c) $(x-8{)}^2+8=12$ dă $(x-8{)}^2=4$, deci $x-8=2$ (rădăcina negativă se respinge, fiindcă $x>8$) și $x=10$. Verificare: $10\ast 10=100-80-80+72=12$. ✓

16. Pătratele claselor din ${\mathbb{Z}}_9$ sunt $\hat{0},\hat{1},\hat{4},\hat{0},\hat{7},\hat{7},\hat{0},\hat{4},\hat{1}$. Deci ${\hat{x}}^2=\hat{0}$ pentru $\hat{x}\in \{\hat{0},\hat{3},\hat{6}\}$ — clasele ai căror reprezentanți sunt multipli de $3$.

17. Grupul $(\mathbb{Z},+)$ este ciclic, generat de $1$. Dacă ar exista un izomorfism $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$, atunci $\mathbb{Q}$ ar fi generat de $q=f(1)$, adică orice număr rațional s-ar scrie $kq$ cu $k$ întreg. Dar $\frac{q}{2}$ este rațional și nu are această formă, pentru că din $\frac{q}{2}=kq$ ar rezulta $k=\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$. Contradicție, deci grupurile nu sunt izomorfe.

18. Neutrul: din $\lambda (e-a)(x-a)+a=x$ pentru orice $x$ rezultă $\lambda (e-a)=1$, deci $e=a+\frac{1}{\lambda }$. Simetricul: din $\lambda (x-a)(x^{\prime }-a)+a=e=a+\frac{1}{\lambda }$ rezultă $(x-a)(x^{\prime }-a)=\frac{1}{{\lambda }^2}$, deci $x^{\prime }=a+\frac{1}{{\lambda }^2(x-a)}$. Izomorfismul este $f(x)=\lambda (x-a)$, pentru că $f(x\ast y)=\lambda \cdot \lambda (x-a)(y-a)=f(x)f(y)$. Pentru $\lambda =3$ și $a=2$: $e=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ și $x^{\prime }=2+\frac{1}{9(x-2)}$; pentru $x=3$ se obține $x^{\prime }=\frac{19}{9}$, iar verificarea dă $3\ast \frac{19}{9}=3\cdot 1\cdot \frac{1}{9}+2=\frac{7}{3}=e$. ✓

De reținut

• Primul gest la o lege dată printr-o formulă este căutarea formei $(x-a)(y-a)+a$, din care se citesc dintr-o dată asociativitatea, comutativitatea, neutrul $e=a+1$, simetricul și partea stabilă $(a,+\infty )$.
• O lege de forma $xy+\alpha (x+y)+\beta$ este asociativă exact atunci când $\beta ={\alpha }^2-\alpha$, condiție care se obține punând $a=-\alpha$ în forma factorizată.
• Verificarea structurii de grup se face mereu în aceeași ordine: parte stabilă, asociativitate, element neutru care aparține mulțimii, simetric care aparține mulțimii.
• La un grup de matrice parametrizat, totul pornește de la regula de compunere a parametrilor, de tipul $A(x)A(y)=A(x+y)$, care dă simultan partea stabilă, neutrul, simetricul și izomorfismul cu un grup de numere.
• Un izomorfism cere două verificări punctate separat, morfismul și bijectivitatea, iar neizomorfismul se arată prin cardinal, prin comutativitate sau prin profilul ordinelor.

Greșeli frecvente

• Se afirmă că mulțimea e grup fără verificarea părții stabile. Fără ea, legea indusă nici nu există; baremul acordă un punct separat pentru acest pas.
• Se uită apartenența neutrului la mulțime. Pe un interval $(a,+\infty )$ neutrul $a+1$ aparține mulțimii, dar pe un interval mărginit sau pe o mulțime de numere întregi verificarea poate să pice — și atunci structura nu e grup.
• Se calculează $(x\ast y)\ast z$ și $x\ast (y\ast z)$ când există forma factorizată. E o pierdere de cinci minute: forma $(x-a)(y-a)+a$ dă asociativitatea într-un rând, prin produsul $(x-a)(y-a)(z-a)+a$.
• Se simplifică în ${\mathbb{Z}}_n$ prin clase neinversabile. Din $\hat{4}\hat{x}=\hat{4}\hat{y}$ nu rezultă $\hat{x}=\hat{y}$ decât dacă $(4,n)=1$; altfel se verifică toate clasele.
• Se dă o singură soluție acolo unde sunt mai multe. Ecuațiile cu coeficient neinversabil în ${\mathbb{Z}}_n$ și ecuațiile de tipul $X^n=A$ au, de regulă, mai multe soluții, iar numărul lor face parte din răspuns.

Aplică acasă

1. Fișa de recunoaștere. Scrie pe o singură pagină cele șase tipuri de probleme, iar sub fiecare, într-un rând, primul gest de făcut. Recitește-o înainte de fiecare simulare; în două săptămâni o vei ști pe de rost.

2. Colecția de legi. Alege cinci valori pentru $a$ și scrie, pentru fiecare, legea $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$ în forma desfăcută. Notează de fiecare dată neutrul și simetricul lui $a+2$, apoi verifică-le prin calcul direct.

3. Tabla din memorie. Scrie din memorie tabla grupului $({\mathbb{Z}}_5,+)$ și tabla grupului claselor inversabile din ${\mathbb{Z}}_5$ față de înmulțire. Compară-le și spune care dintre ele are un element de ordinul $4$.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea de legi de compoziție și grupuri și este, prin construcție, o lecție de recapitulare structurată pe tipuri de probleme, nu pe capitole. Nu introduce noțiuni noi: toate rețetele au fost demonstrate în lecțiile anterioare, iar aici sunt strânse laolaltă, cu rezolvări-model în formatul Subiectului al II-lea, așa cum cere programa la competențele XII.CS.3.2, XII.CS.4.2 și XII.CS.5.2.

De verificat în caiet: (1) la fiecare lege dată printr-o formulă apare, în primul rând al rezolvării, forma factorizată; (2) verificarea structurii de grup respectă ordinea celor patru pași, cu apartenența neutrului scrisă explicit; (3) la izomorfisme sunt verificate ambele condiții; (4) fiecare element găsit este verificat prin înlocuire. Întrebări de control: „Ce citești imediat din forma $(x-a)(y-a)+a$?"; „Când este asociativă legea $xy+\alpha (x+y)+\beta$?"; „De ce partea stabilă nu înseamnă subgrup?"; „Când are ecuația $\hat{a}\hat{x}=\hat{b}$ o singură soluție?".

La BAC M1, această materie ocupă una dintre cele două probleme din partea a doua a subiectului, deci $15$ puncte din $90$. Semn că elevul e pregătit: citește enunțul, spune tipul problemei și scrie primul rând al rezolvării în mai puțin de un minut, fără să reia definițiile.

Întrebări frecvente

Ce se cere la Subiectul al II-lea de la Bacalaureat M1 din legi de compoziție? Se cere o problemă cu trei subpuncte de câte cinci puncte: un calcul concret, o proprietate de structură (parte stabilă, grup, izomorfism) și o aplicație, de obicei o ecuație. Subpunctele se folosesc unul pe altul, deci rezolvarea corectă a primului scurtează mult drumul la celelalte.

Cum se aduce o lege de compoziție la forma factorizată? Pentru $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$ se ia $a=-\alpha$ și se verifică relația $\beta =a^2+a$. Dacă ea are loc, legea se scrie $(x-a)(y-a)+a$, iar din această formă se citesc direct asociativitatea, comutativitatea, elementul neutru și partea stabilă.

Care este formula elementului neutru pentru astfel de legi? Pentru legea $(x-a)(y-a)+a$ elementul neutru este $e=a+1$, iar pentru varianta cu coeficient, $\lambda (x-a)(y-a)+a$, el este $e=a+\frac{1}{\lambda }$. Se obține punând condiția $e\ast x=x$ pentru orice $x$ și simplificând prin $x-a$.

Cum se arată că o mulțime este parte stabilă? Se iau două elemente oarecare din mulțime și se arată, prin calcul, că rezultatul compunerii lor rămâne în mulțime. Pentru intervale de forma $(a,+\infty )$ și legi factorizate, calculul e imediat: din $x>a$ și $y>a$ rezultă $(x-a)(y-a)>0$, deci $x\ast y>a$.

Când o lege de compoziție cu parametru este asociativă? Pentru familia $x\ast y=xy+\alpha (x+y)+\beta$, exact atunci când $\beta ={\alpha }^2-\alpha$. Valoarea parametrului se ghicește repede impunând asociativitatea pe numere mici, de pildă $(1\ast 1)\ast 2=1\ast (1\ast 2)$, iar apoi se justifică prin forma factorizată.

Cum se rezolvă o ecuație în mulțimea claselor de resturi? Dacă coeficientul necunoscutei este o clasă inversabilă, se înmulțește ecuația cu inversa ei și se obține o singură soluție. Dacă nu este inversabilă, se verifică toate cele $n$ clase, iar ecuația poate avea mai multe soluții sau niciuna; numărul lor face parte din răspuns.

Cum arăți că două grupuri nu sunt izomorfe? Prin unul dintre trei argumente: cardinale diferite; unul comutativ și celălalt nu; profiluri ale ordinelor diferite. Ultimul este cel mai des folosit la grupuri finite cu același număr de elemente, cum sunt grupul lui Klein și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $4$.