Sinteza primitivelor pentru examen: pe scurt

Problema de primitive din Subiectul al III-lea are un tipar stabil: a) o verificare pregătitoare, b) un calcul de primitive, c) o proprietate a primitivei sau o recurență. Verificarea „$F$ este primitivă a lui $f$” se face derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul lui $F{}^{\prime }$, concluzia.

Existența primitivelor se decide cu două unelte. Orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo. Ce exclude primitivele sunt consecințele teoremei lui Darboux: o discontinuitate de speța I sau o imagine care nu este interval. Implicația „nu e continuă, deci nu are primitive” este falsă.

Despre primitivă se citește mult direct din $f$, fără să derivezi expresia găsită: semnul lui $f$ dă monotonia lui $F$, iar monotonia lui $f$ dă convexitatea lui $F$. Pe o funcție definită pe ramuri, cele două constante nu se aleg liber: continuitatea primitivei în punctul de racord o determină pe a doua din prima.

Capcanele care costă puncte: intervalul nescris; $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$; modulul scos din $\ln |x|$ fără justificare; fracțiile simple aplicate înainte de împărțire; rezultatul lăsat în $t$; rândul greșit din tabel — $\int \frac{dx}{x^2+4}$ dă arctangentă, iar $\int \frac{xdx}{x^2+4}$ dă logaritm.

Exerciții din această mini-lecție

1. Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, cu $f(x)=x+1$ pentru $x\le 0$ și $f(x)=x^2+1$ pentru $x>0$. Atunci:

   • a) $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, pentru că este continuă
   • b) $f$ nu admite primitive, pentru că este definită pe ramuri
   • c) $f$ nu admite primitive, pentru că are o discontinuitate de speța I în $0$
   • d) $f$ admite primitive numai pe $(0,+\infty )$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$, pentru că este continuă

   În $0$ limitele laterale și valoarea coincid, toate egale cu $1$, deci $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și admite primitive. Faptul că o funcție este scrisă pe ramuri nu spune nimic despre primitive: decid continuitatea și, la nevoie, consecințele teoremei lui Darboux.

2. Care dintre următoarele funcții definite pe $\mathbb{R}$ nu admite primitive?

   • a) $f(x)=|x|$
   • b) $f(x)=x\sin x$
   • c) $f(x)=x^2$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\ge 1$
   • d) $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $f(x)=x^2$ pentru $x<1$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\ge 1$

   Funcția de la c) are în $1$ limite laterale finite și diferite ($1$ și $3$), adică o discontinuitate de speța I: prin Consecința 1 a teoremei lui Darboux, nu admite primitive. Celelalte trei sunt continue pe $\mathbb{R}$, deci admit primitive — inclusiv $|x|$, a cărei primitivă se racordează în $0$.

3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$, și $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $F$ este:

   • a) strict crescătoare pe $[-2,2]$
   • b) strict descrescătoare pe $[-2,2]$
   • c) convexă pe $\mathbb{R}$
   • d) constantă pe $[-2,2]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) strict descrescătoare pe $[-2,2]$

   Monotonia primitivei se citește din semnul lui $f$: pe $(-2,2)$ avem $f(x)<0$, deci $F{}^{\prime }<0$ și $F$ este strict descrescătoare pe $[-2,2]$. Convexitatea s-ar citi din monotonia lui $f$, iar $f$ scade pe $(-\infty ,0]$ și crește pe $[0,+\infty )$, deci $F$ nu este convexă pe tot $\mathbb{R}$.