Sinteză: primitive — probleme de tip Bacalaureat M1

Unitatea „Primitive" este, la clasa a 12-a, cea mai bine plătită bucată de programă: din cele nouăzeci de puncte ale lucrării de Bacalaureat M1, cincisprezece vin dintr-o singură problemă care se sprijină aproape în întregime pe ea. Douăzeci de lecții au construit noțiunea, tabelul, criteriile de existență și cele patru metode de calcul. Lecția de față nu adaugă nimic nou. Ea strânge unitatea într-o listă de control, adună cele opt capcane care se repetă la corectare și rezolvă complet șase probleme-model, în formatul exact în care apar la examen.

Lecția anterioară, despre metodele de integrare combinate, a arătat cum se înlănțuie metodele într-un calcul lung. Aici punem calculul la locul lui, într-o problemă întreagă. Formatul merită spus de la început: la Bacalaureat M1, primitivele ocupă a doua problemă din Subiectul al III-lea, cu trei subpuncte de câte $5$ puncte. Subpunctul a) cere de obicei o verificare — că o funcție dată este primitivă, sau că o descompunere este corectă, sau că funcția admite primitive; b) cere calculul propriu-zis, cu părți sau cu schimbare de variabilă; c) cere ceva ce se citește din funcția inițială despre primitivă: monotonie, extreme, convexitate, sau o relație de recurență. Cine ratează a) pierde de obicei și b), pentru că a) e chiar cheia calculului.

Ce vei învăța

• Vei ști să arăți, în trei rânduri, că o funcție $F$ este primitivă a unei funcții $f$ pe un interval dat.
• Vei ști să determini primitiva care îndeplinește o condiție de tipul $F(x_0)=y_0$.
• Vei ști să parcurgi lista de control a unității ca pe o fișă, fără să sari niciun criteriu.
• Vei ști să deduci monotonia, extremele și convexitatea unei primitive direct din funcția care se integrează.
• Vei ști să scrii o relație de recurență pentru un șir de primitive și să calculezi din ea primii termeni.
• Vei ști să recunoști cele opt capcane ale unității înainte să te coste puncte.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la problema de primitive din Subiectul al III-lea?

Problema de primitive este a doua problemă din Subiectul al III-lea al lucrării de Bacalaureat M1: pornește de la o funcție continuă $f$ definită pe un interval, cere la subpunctul a) o verificare pregătitoare, la b) determinarea primitivelor lui $f$ și la c) o proprietate a primitivei — monotonie, extreme, convexitate sau o recurență. Fiecare subpunct valorează $5$ puncte.

Structura e o consecință a definiției. Reamintim, în forma fixată de lecția despre noțiunea de primitivă: funcția $F$ este primitivă a lui $f$ pe intervalul $I$ dacă $F$ e derivabilă pe $I$ și $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$. De aici ies cele trei cerințe:

• a) verificarea unei primitive se face derivând, deci nu are nevoie de nicio metodă de integrare;
• b) mulțimea tuturor primitivelor este $\int f(x)dx=F(x)+\mathcal{C}$, unde $\mathcal{C}$ este mulțimea funcțiilor constante pe $I$ — a doua consecință a definiției, prin Consecința 1 a teoremei lui Lagrange;
• c) pentru că $F^{\prime }=f$, tot ce știi despre semnul lui $f$ devine monotonia lui $F$, iar tot ce știi despre monotonia lui $f$ devine convexitatea lui $F$.

Reține formularea corectă: se spune „$f$ admite primitive pe $I$", nu „$f$ este primitivabilă".

2. Cum arăți că o funcție $F$ este primitivă a lui $f$?

În trei rânduri, în această ordine, pentru cele $5$ puncte întregi:

1. Precizezi intervalul și derivabilitatea. „Funcția $F$ este derivabilă pe $I$, fiind compusă din funcții elementare derivabile pe $I$."
2. Derivezi efectiv, cu regulile din clasa a XI-a, și scrii calculul, nu doar rezultatul.
3. Compari și concluzionezi. „Am obținut $F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x\in I$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $I$."

Pasul 1 nu e decorativ. La $F(x)=2\left(\sqrt{x}-1\right)e^{\sqrt{x}}$, intervalul corect este $(0,+\infty )$, nu $[0,+\infty )$: în $0$ funcția $\sqrt{x}$ nu e derivabilă.

Există și cerința inversă, la fel de frecventă: arată că $f$ admite primitive. Acolo argumentul e criteriul de existență din lecția despre teorema lui Darboux și funcțiile continue: orice funcție continuă pe un interval admite primitive pe acel interval. Se verifică deci continuitatea — la funcțiile pe ramuri, în punctul de racord — și se invocă teorema pe nume.

3. Cum determini primitiva care îndeplinește o condiție dată?

Rețeta are trei pași și se aplică identic de fiecare dată:

Pasul 1. Determini mulțimea tuturor primitivelor: $F(x)+\mathcal{C}$, cu $\mathcal{C}$ mulțimea funcțiilor constante pe interval. Pasul 2. Scrii primitiva căutată sub forma $G(x)=F(x)+c$, cu $c\in \mathbb{R}$ o constantă necunoscută. Pasul 3. Impui condiția $G(x_0)=y_0$, rezolvi ecuația de gradul întâi în $c$ și scrii răspunsul explicit.

Două precizări care se punctează separat. Prima: condiția determină o singură primitivă, pentru că pe un interval două primitive diferă printr-o constantă; pe o reuniune de intervale afirmația e falsă. A doua: se cere primitiva, adică funcția, nu constanta — răspunsul se scrie ca $G(x)=\dots$, complet.

Modelările din programă se rezolvă cu aceeași rețetă. Dacă se cunoaște viteza $v$ a unui mobil și poziția lui la momentul inițial, poziția este acea primitivă a lui $v$ care satisface condiția inițială; lecția despre primitiva cu condiție și modelări a dat cadrul, aici se aplică.

4. Lista de control a unității

Parcurge-o înainte de orice problemă de primitive. Fiecare rând corespunde unui criteriu care poate fi cerut direct la examen.

Rândurile despre metode trimit la lecțiile lor: integrarea prin părți, schimbarea de variabilă și descompunerea în fracții simple.

5. Ce se citește despre primitivă direct din funcție?

Subpunctul c) se rezolvă aproape întotdeauna fără să calculezi nimic în plus, folosind egalitatea $F^{\prime }=f$, legăturile construite în lecția despre proprietățile primitivei deduse din funcție și rezultatele clasei a XI-a:

• Monotonia lui $F$ = semnul lui $f$. Unde $f>0$, primitiva e strict crescătoare; unde $f<0$, strict descrescătoare — prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, enunțată în lecția despre monotonia din semnul derivatei, pe fiecare interval separat.
• Punctele de extrem ale lui $F$ = punctele în care $f$ își schimbă semnul. Anularea singură nu ajunge: dacă $f$ se anulează fără schimbare de semn, punctul nu e de extrem.
• Convexitatea lui $F$ = monotonia lui $f$. Într-adevăr, $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar criteriul cu derivata a doua din lecția despre convexitatea și derivata a doua spune că $F$ e convexă exact unde $F^{\prime \prime }\ge 0$, adică unde $f$ e crescătoare.
• Punctele de inflexiune ale lui $F$ = punctele în care $f$ trece de la crescătoare la descrescătoare sau invers, adică punctele de extrem ale lui $f$ — cu rezerva ca $f$ să fie derivabilă acolo (proprietățile primitivei citite din funcție).

Un tabel de variație al lui $F$ se completează, prin urmare, fără să știi expresia lui $F$: prima linie de sub axă e semnul lui $f$, a doua e semnul lui $f^{\prime }$, iar săgețile și simbolurile de convexitate se citesc de acolo. Formatul rămâne cel canonic al tabelului de variație complet.

6. Recurențele: trei rânduri care valorează cinci puncte

Când enunțul definește un șir de primitive $I_n=\int f_n(x)dx$, cu $n\in \mathbb{N}$, cerința standard este să găsești o relație între $I_n$ și un termen anterior. Rețeta, fixată în lecția despre relațiile de recurență:

1. Aplici integrarea prin părți o singură dată, alegând ca factor de derivat puterea lui $x$ (sau a lui $\sin x$), pentru că ea coboară gradul.
2. Recunoști în integrala rămasă termenul anterior al șirului și scrii relația.
3. Calculezi $I_0$ sau $I_1$ direct și cobori pe recurență până la termenul cerut.

Egalitatea dintre $I_n$ și expresia din dreapta se citește între primitive, adică până la o constantă aditivă: ambii membri sunt mulțimi de funcții care diferă printr-o constantă, iar constanta se adună o singură dată, la final. Nu orice recurență cere părțile: uneori o identitate algebrică rupe singură puterea, cum se vede în Exemplul 2.

7. Cele opt capcane ale unității, adunate

Sunt cele care revin la fiecare corectare, în ordinea în care apar într-o rezolvare:

1. primitiva căutată în afara unui interval — „două primitive diferă printr-o constantă" e adevărat pe un interval și fals pe o reuniune: pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, funcția $\frac{1}{x}$ are primitive cu constante diferite pe cele două ramuri;
2. $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$ — rezultatul unei integrale nedefinite este o mulțime de funcții, iar $\mathcal{C}$ denumește mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru, nu o literă oarecare;
3. modulul la logaritm, pus sau scos fără motiv — forma implicită este $\ln |x|$; modulul dispare numai când semnul argumentului e stabilit și scris („pe $(1,+\infty )$ avem $\ln x>0$");
4. „nu e continuă, deci nu are primitive" — implicația corectă merge invers: continuitatea garantează existența, dar o funcție discontinuă poate avea primitive; ce exclude primitivele este discontinuitatea de speța I sau o imagine care nu e interval;
5. fracțiile simple aplicate fără împărțire — când gradul numărătorului este cel puțin egal cu al numitorului, se împarte întâi; altfel sistemul de coeficienți nu are soluție;
6. rezultatul lăsat în variabila de substituție — după orice schimbare de variabilă într-o integrală nedefinită, revenirea la $x$ este obligatorie;
7. constante independente pe ramuri — la o funcție definită pe ramuri, primitiva trebuie să fie continuă în punctul de racord, deci cele două constante se leagă printr-o ecuație, nu se aleg liber;
8. rândul greșit din tabel — $\int \frac{dx}{x^2+4}$ dă o arctangentă, iar $\int \frac{xdx}{x^2+4}$ dă un logaritm; numărătorul decide, nu numitorul.

8. Cum se redactează, ca să iasă baremul?

Baremul oficial acordă punctele pe pași, nu pe rezultat. Ordinea care le adună pe toate:

• scrie intervalul și motivul pentru care se poate lucra pe el (continuitate, derivabilitate, semn constant al numitorului);
• scrie metoda pe nume înainte de calcul („integrăm prin părți, cu $f(x)=\ln x$ derivat și $g^{\prime }(x)=x$ integrat");
• fă calculul pe rânduri scurte, fiecare rând o transformare;
• încheie cu rezultatul complet, cu $+\mathcal{C}$ și cu intervalul repetat;
• dacă mai ai treizeci de secunde, derivează rezultatul pe ciornă: e singura verificare pe care o poți face singur.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Verificarea unei primitive și primitiva cu condiție

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-2x\right)e^x$.

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\left(x^2-4x+4\right)e^x$, este o primitivă a lui $f$. (5 puncte)

b) Determinați primitiva $G$ a lui $f$ cu proprietatea $G(0)=1$. (5 puncte)

c) Studiați monotonia funcției $F$ și determinați punctele ei de extrem. (5 puncte)

Rezolvare. a) $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, fiind produs de funcții derivabile pe $\mathbb{R}$. Derivăm cu regula produsului: $$F^{\prime }(x)=(2x-4)e^x+\left(x^2-4x+4\right)e^x=\left(x^2-2x\right)e^x=f(x).$$ Cum egalitatea are loc pentru orice $x\in \mathbb{R}$, funcția $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric în $-1$, $1$ și $3$.)

b) Din a), mulțimea primitivelor lui $f$ este $F(x)+\mathcal{C}$, deci $G(x)=\left(x^2-4x+4\right)e^x+c$, cu $c\in \mathbb{R}$. Din $G(0)=4\cdot e^0+c=4+c$ și condiția $G(0)=1$ obținem $c=-3$, prin urmare $$G(x)=\left(x^2-4x+4\right)e^x-3,x\in \mathbb{R}.$$

c) Avem $F^{\prime }=f$, iar $f(x)=x(x-2)e^x$; cum $e^x>0$, semnul lui $f$ este semnul trinomului $x(x-2)$. Valorile: $F(0)=4$ și $F(2)=0$.

Citirea tabelului: $F$ este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și pe $[2,+\infty )$ și strict descrescătoare pe $[0,2]$; are un maxim local $F(0)=4$ și un minim local $F(2)=0$. (Semnele au fost verificate numeric pe cele trei intervale.)

Exemplul 2. Relație de recurență

Se consideră șirul de primitive $I_n=\int \frac{x^n}{x+1}dx$, definit pe $(0,+\infty )$, pentru $n\in \mathbb{N}$.

a) Calculați $I_0$ și $I_1$. (5 puncte)

b) Arătați că $I_n+I_{n-1}=\frac{x^n}{n}$, pentru orice $n\ge 1$. (5 puncte)

c) Determinați $I_3$. (5 puncte)

Recurențele obținute prin integrare prin părți au fost strânse în lecția despre relațiile de recurență; aici alegem dinadins o familie la care părțile nu sunt necesare, pentru că o identitate algebrică rupe singură puterea. E situația pe care o ratează cei care pornesc mecanic cu formula părților.

Rezolvare. a) Pe $(0,+\infty )$ avem $x+1>0$, deci logaritmii se scriu fără modul. Direct, $I_0=\int \frac{dx}{x+1}=\ln (x+1)+\mathcal{C}$. Pentru $I_1$, gradele numărătorului și numitorului fiind egale, împărțim întâi: $$I_1=\int \frac{x}{x+1}dx=\int \left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx=x-\ln (x+1)+\mathcal{C}.$$

b) Adunăm cele două integrale și folosim identitatea $x^n+x^{n-1}=x^{n-1}(x+1)$, valabilă pentru orice $n\ge 1$: $$I_n+I_{n-1}=\int \frac{x^n+x^{n-1}}{x+1}dx=\int \frac{x^{n-1}(x+1)}{x+1}dx=\int x^{n-1}dx=\frac{x^n}{n}+\mathcal{C}.$$ Toți membrii egalității sunt mulțimi de primitive, iar $\mathcal{C}$ se scrie o singură dată, la capătul lanțului: egalitatea se citește până la o constantă aditivă. Simplificarea cu $x+1$ e legitimă pentru că $x+1\ne 0$ pe intervalul de lucru.

c) Coborâm pe recurență, sub forma $I_n=\frac{x^n}{n}-I_{n-1}$, pornind de la $I_1$ calculat la a): $$I_2=\frac{x^2}{2}-I_1=\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)+\mathcal{C};$$ $$I_3=\frac{x^3}{3}-I_2=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln (x+1)+\mathcal{C}.$$ Observă alternanța semnelor: la fiecare pas logaritmul își schimbă semnul, iar polinomul crește cu un grad. (Toate cele patru forme închise au fost verificate prin derivare, numeric, și recurența a fost verificată pentru $n=1,2,3$.)

Exemplul 3. Schimbare de variabilă și fracții simple

Se consideră funcția $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x\ln x\left(\ln x+1\right)}$.

a) Arătați că $\frac{1}{t(t+1)}=\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}$, pentru orice $t>0$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$ pe $(1,+\infty )$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu $F(e)=-\ln 2$ și arătați că $F$ este strict crescătoare și concavă pe $(1,+\infty )$. (5 puncte)

Rezolvare. a) Aducem la același numitor: $\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}=\frac{(t+1)-t}{t(t+1)}=\frac{1}{t(t+1)}$. Pentru $t>0$ ambii numitori sunt nenuli, deci scrierea are sens.

b) Lanțul de metode este: substituție $t=\ln x$ $\to$ fracții simple $\to$ tabel. Pe $(1,+\infty )$ avem $\ln x>0$; notăm $t=\ln x$, cu $dt=\frac{dx}{x}$, iar factorul $\frac{1}{x}$ există în integrand. Folosind descompunerea de la a), $$\int \frac{dx}{x\ln x(\ln x+1)}=\int \frac{dt}{t(t+1)}=\int \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+1}\right)dt=\ln t-\ln (t+1)+\mathcal{C}.$$ Am scris logaritmii fără modul pentru că $t>0$. Revenind la $x$: $$\int f(x)dx=\ln \frac{\ln x}{\ln x+1}+\mathcal{C},x\in (1,+\infty ).$$ (Verificat numeric în $1,5$, $3$ și $10$.)

c) Din b), $F(x)=\ln \frac{\ln x}{\ln x+1}+c$. Cum $F(e)=\ln \frac{1}{2}+c=-\ln 2+c$, condiția dă $c=0$, deci $F(x)=\ln \frac{\ln x}{\ln x+1}$.

Monotonia: $F^{\prime }=f>0$ pe $(1,+\infty )$, pentru că toți cei trei factori de la numitor sunt strict pozitivi acolo; prin Consecința 2 a teoremei lui Lagrange, $F$ este strict crescătoare pe interval.

Convexitatea: $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $f$ este strict descrescătoare pe $(1,+\infty )$, fiind inversul funcției $x\mapsto x\ln x(\ln x+1)$, produs de trei funcții strict crescătoare și strict pozitive. Prin urmare $f^{\prime }<0$, adică $F^{\prime \prime }<0$, deci $F$ este concavă pe $(1,+\infty )$. (Descreșterea lui $f$ a fost verificată numeric prin eșantionare pe $(1,21)$.)

Exemplul 4. Trinom la numitor, cu numărător de gradul întâi

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+4}{x^2+6x+13}$.

a) Arătați că $f(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+6}{x^2+6x+13}+\frac{1}{(x+3{)}^2+4}$, pentru orice $x$ real. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$. (5 puncte)

c) Determinați primitiva $F$ cu $F(-3)=\ln 2$ și punctul ei de extrem. (5 puncte)

Rezolvare. a) Trinomul are $\Delta =36-52=-16<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $x^2+6x+13>0$ pentru orice $x$ real, iar forma canonică este $x^2+6x+13=(x+3{)}^2+4$. Derivata numitorului este $2x+6$, iar $x+4=\frac{2x+6}{2}+1$ — aceasta e ruperea numărătorului cerută de rețeta trinomului. Adunând cele două fracții din membrul drept, care au același numitor, obținem $\frac{(x+3)+1}{x^2+6x+13}=\frac{x+4}{x^2+6x+13}=f(x)$.

b) Descompunerea de la a) rupe integrala în două bucăți cunoscute: prima are la numărător derivata numitorului, a doua e rândul 12 din tabel, cu $a=2$. $$\int \frac{1}{2}\cdot \frac{2x+6}{x^2+6x+13}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+6x+13\right)+\mathcal{C};$$ $$\int \frac{dx}{(x+3{)}^2+2^2}=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{2}+\mathcal{C}.$$ Logaritmul se scrie fără modul pentru că argumentul e strict pozitiv, cum am arătat la a). Prin urmare $$\int f(x)dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+6x+13\right)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{2}+\mathcal{C},x\in \mathbb{R}.$$ (Verificat numeric în $-6$, $-3$ și $2$.)

c) Notând cu $F_0$ expresia de la b) fără constantă, avem $F_0(-3)=\frac{1}{2}\ln 4+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}0=\ln 2$, deci constanta este $0$ și $F(x)=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+6x+13\right)+\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x+3}{2}$.

Extremul: $F^{\prime }=f$, iar numitorul lui $f$ e strict pozitiv, deci semnul lui $f$ este semnul lui $x+4$ — negativ pe $(-\infty ,-4)$ și pozitiv pe $(-4,+\infty )$. Așadar $F$ e strict descrescătoare, apoi strict crescătoare, iar $x=-4$ este punct de minim al lui $F$ (unicul punct de extrem). (Semnele au fost verificate numeric pe cele două intervale.)

Exemplul 5. Funcție definită pe ramuri

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ 2x-1,& x>1\end{array}$.

a) Arătați că $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și deduceți că admite primitive pe $\mathbb{R}$. (5 puncte)

b) Determinați primitivele funcției $f$ pe $\mathbb{R}$. (5 puncte)

c) Arătați că orice primitivă a lui $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (5 puncte)

Este tipul construit în lecția despre primitivele funcțiilor definite pe ramuri, reluat aici cu cerințele așezate în formatul examenului.

Rezolvare. a) Pe $(-\infty ,1)$ și pe $(1,+\infty )$ funcția e polinomială, deci continuă. În $x=1$: limita la stânga este $1^2=1$, limita la dreapta este $2\cdot 1-1=1$, iar $f(1)=1$. Cele trei valori coincid, deci $f$ e continuă în $1$ și, prin urmare, pe $\mathbb{R}$. Fiind continuă pe un interval, $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

b) Pe fiecare ramură integrăm cu tabelul: pe $(-\infty ,1]$ obținem $\frac{x^3}{3}+c_1$, iar pe $(1,+\infty )$ obținem $x^2-x+c_2$. Constantele nu sunt independente: primitiva trebuie să fie derivabilă, deci continuă, în $x=1$. Impunem egalitatea limitelor laterale: $$\frac{1}{3}+c_1=1-1+c_2⟹c_2=c_1+\frac{1}{3}.$$ Notând $c_1=c$, mulțimea primitivelor este $$F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}+c,& x\le 1\\ x^2-x+\frac{1}{3}+c,& x>1\end{array}$$ cu $c\in \mathbb{R}$. (Verificat numeric pe fiecare ramură; racordul a fost verificat separat: cele două ramuri au în $x=1$ aceeași valoare și aceeași derivată, $1$.)

c) Avem $F^{\prime }=f$, iar $f(x)=x^2\ge 0$ pe $(-\infty ,1]$ și $f(x)=2x-1>0$ pe $(1,+\infty )$. Deci $F^{\prime }\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, cu anulare într-un singur punct, $x=0$. De aici $F$ este crescătoare, iar monotonia este strictă prin argumentul punctelor izolate fixat la clasa a XI-a, în lecția despre inegalitățile demonstrate cu derivate: dacă $F$ ar lua aceeași valoare în două puncte, ar fi constantă între ele, deci $F^{\prime }$ ar fi identic nulă acolo — imposibil, pentru că se anulează doar în $0$. Concluzia se formulează pe $\mathbb{R}$, care este un interval — condiție esențială. (Semnele au fost verificate numeric.)

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$. Problema are formatul obișnuit al unei probleme din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Determinați primitivele funcției $f$ pe $(0,+\infty )$. (5 puncte)

b) Determinați primitiva $F$ a lui $f$ cu proprietatea $F(1)=0$. (5 puncte)

c) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $F$ și determinați punctul ei de inflexiune. (5 puncte)

Rezolvare. a) Reluăm intenționat calculul făcut în lecția despre integrarea prin părți, pentru că subpunctele b) și c) se sprijină pe el. Integrăm prin părți: după regula descreșterii, derivăm $\ln x$ (se simplifică) și integrăm $\frac{1}{x^2}$, a cărei primitivă este $-\frac{1}{x}$. $$\int \frac{\ln x}{x^2}dx=-\frac{\ln x}{x}+\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{x}dx=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+\mathcal{C}=-\frac{\ln x+1}{x}+\mathcal{C},$$ pentru $x\in (0,+\infty )$. (Verificat prin derivare și numeric în $0,5$, $2$ și $6$.)

b) Scriem $F(x)=-\frac{\ln x+1}{x}+c$. Din $F(1)=-\frac{0+1}{1}+c=-1+c=0$ obținem $c=1$, deci $$F(x)=1-\frac{\ln x+1}{x},x\in (0,+\infty ).$$

c) Folosim $F^{\prime }=f$ și $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, fără să mai derivăm expresia lui $F$.

Semnul lui $F^{\prime }$: $F^{\prime }(x)=\frac{\ln x}{x^2}$ are semnul lui $\ln x$ — negativ pe $(0,1)$, nul în $1$, pozitiv pe $(1,+\infty )$.

Semnul lui $F^{\prime \prime }$: $F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}$, care se anulează pentru $\ln x=\frac{1}{2}$, adică $x=\sqrt{e}$, e pozitiv înainte și negativ după.

Valorile de care avem nevoie: $F(1)=0$, $F\left(\sqrt{e}\right)=1-\frac{3}{2\sqrt{e}}$, $F^{\prime }\left(\sqrt{e}\right)=\frac{1}{2e}$, $F^{\prime \prime }(1)=1$; la capete, $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }F(x)=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$.

Citirea tabelului: $F$ este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$, cu minimul global $F(1)=0$; este convexă pe $\left(0,\sqrt{e}\right]$ și concavă pe $\left[\sqrt{e},+\infty \right)$, deci punctul de inflexiune al graficului este $\left(\sqrt{e},1-\frac{3}{2\sqrt{e}}\right)$. (Toate semnele și valorile au fost verificate numeric.)

Să exersăm

1. Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x-1)e^x$, este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

2. Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x$, cu proprietatea $F(1)=5$.

3. Determinați primitivele funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\ln x$.

4. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

5. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge 0\\ -1,& x<0\end{array}$, admite primitive pe $\mathbb{R}$."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $F$ și $G$ sunt primitive ale aceleiași funcții pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$, atunci $F-G$ este constantă pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$."

8. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$.

9. Fie $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$, și $F$ primitiva ei cu $F(1)=0$. Arătați că $F(x)=x\ln x-x+1$ și că $F$ are un punct de minim în $x=1$.

10. Determinați primitivele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$.

11. Fie $I_n=\int x^n\ln xdx$ pe $(0,+\infty )$, cu $n\in \mathbb{N}$. Arătați că $I_n=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}+\mathcal{C}$ și verificați formula pentru $n=0$, comparând cu primitiva cunoscută a lui $\ln x$.

12. (Problemă aplicată.) Un mobil are viteza $v(t)=6t^2-6t$ metri pe secundă, pentru $t\ge 0$, și pornește din origine. Determinați legea de mișcare $s(t)$ și momentul în care mobilul își schimbă sensul.

13. Determinați primitivele funcției $f:\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\mathrm{tg}x$.

14. Determinați primitivele funcției $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+1)e^{-x}$. Determinați primitivele lui $f$, apoi primitiva $F$ cu $F(0)=0$, și studiați monotonia lui $F$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{x}{x^2+1}$, este o primitivă a funcției $f(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$ și determinați punctele de extrem ale lui $F$.

17. Parcurgeți lista de control din subsecțiunea 4 și spuneți, pentru fiecare dintre cerințele următoare, ce rând din listă o rezolvă: „arătați că $f$ admite primitive", „calculați $\int \frac{x^3+1}{x+2}dx$", „arătați că primitiva este convexă", „determinați $F$ cu $F(2)=0$".

18. (Provocare.) Fie $I_n=\int {\sin }^{n}xdx$, cu $n\in \mathbb{N}$. Arătați că $I_n=-\frac{{\sin }^{n-1}x\cos x}{n}+\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ pentru $n\ge 2$ și deduceți $I_2$ și $I_4$.

Răspunsuri și explicații

1. $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x=f(x)$ pentru orice $x$ real, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$. (Verificat numeric.)

2. Primitivele sunt $x^3+x^2+c$. Din $1+1+c=5$ rezultă $c=3$, deci $F(x)=x^3+x^2+3$. (Verificat numeric.)

3. Prin părți, cu $\ln x$ derivat și $x$ integrat: $\frac{x^2\ln x}{2}-\int \frac{x}{2}dx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

4. La numărător apare, până la un factor $\frac{1}{2}$, derivata numitorului, deci rezultatul este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+4\right)+\mathcal{C}$, fără modul, pentru că $x^2+4>0$. (Verificat numeric.)

5. Este rândul 12 din tabel, cu $a=2$: $\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\frac{x}{2}+\mathcal{C}$. Compară cu exercițiul 4: aceeași expresie la numitor, dar numărători diferiți duc la rânduri diferite din tabel — capcana 8. (Verificat numeric.)

6. Fals. Funcția are în $0$ o discontinuitate de speța I (limitele laterale există, sunt finite și diferite). O funcție care admite primitive are proprietatea valorilor intermediare, prin teorema lui Darboux, deci nu poate avea astfel de discontinuități. Se vede și direct: imaginea $\{-1,1\}$ nu este interval.

7. Fals. Afirmația „două primitive diferă printr-o constantă" e adevărată pe un interval, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ este reuniunea a două intervale. Contraexemplu: pentru $f(x)=\frac{1}{x}$, funcțiile $F=\ln |x|$ și $G$, egală cu $F$ pe $(0,+\infty )$ și cu $F+7$ pe $(-\infty ,0)$, sunt amândouă primitive ale lui $f$, iar $F-G$ ia valorile $0$ și $-7$: nu e constantă.

8. La numărător stă exact derivata numitorului, deci rezultatul este $\ln \left(e^x+1\right)+\mathcal{C}$, fără modul, pentru că $e^x+1>0$. (Verificat numeric.)

9. Prin părți, cu $\ln x$ derivat și $1$ integrat: $\int \ln xdx=x\ln x-x+c$. Din $F(1)=-1+c=0$ rezultă $c=1$ și $F(x)=x\ln x-x+1$. Cum $F^{\prime }=\ln x$ e negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$, punctul $x=1$ este punct de minim, cu valoarea $F(1)=0$. (Verificat numeric.)

10. Numărătorul este derivata numitorului, iar $x^2+x+1>0$ (discriminantul e $-3$), deci rezultatul este $\ln \left(x^2+x+1\right)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

11. Este familia din lecția despre relațiile de recurență, scrisă aici direct ca formulă închisă. Prin părți, derivând $\ln x$ și integrând $x^n$: $I_n=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}\ln x}{n+1}-\frac{x^{n+1}}{(n+1{)}^2}+\mathcal{C}$. Pentru $n=0$ formula dă $x\ln x-x+\mathcal{C}$, adică exact primitiva cunoscută a lui $\ln x$ — o formulă generală se controlează întotdeauna pe cazul cel mai simplu. (Verificat numeric pentru $n=0,1,2,3$.)

12. Legea de mișcare este acea primitivă a vitezei care satisface $s(0)=0$: din $s(t)=2t^3-3t^2+c$ și $s(0)=c=0$ obținem $s(t)=2t^3-3t^2$ metri. Viteza $6t(t-1)$ este negativă pe $(0,1)$ și pozitivă pe $(1,+\infty )$, deci mobilul își schimbă sensul la $t=1$ secundă. (Verificat numeric.)

13. Este rândul 16 din tabel: $\int \mathrm{tg}xdx=-\ln |\cos x|+\mathcal{C}$. Pe intervalul dat $\cos x>0$, deci modulul se poate scoate, cu justificarea scrisă: $-\ln (\cos x)+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

14. Este rândul 11 din tabel, cu $a=1$: $\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\mathcal{C}$. Pe $(1,+\infty )$ raportul este strict pozitiv, deci $\frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+\mathcal{C}$. (Verificat numeric.)

15. Prin părți, cu $x+1$ derivat și $e^{-x}$ integrat (primitiva lui e $-e^{-x}$): $\int (x+1)e^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x+2)e^{-x}+\mathcal{C}$. Din $F(0)=-2+c=0$ rezultă $c=2$ și $F(x)=2-(x+2)e^{-x}$. Cum $F^{\prime }=f=(x+1)e^{-x}$ are semnul lui $x+1$, funcția $F$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$ și strict crescătoare pe $[-1,+\infty )$, cu minimul $F(-1)=2-e$. Observă că primitiva găsită este chiar $I_1$ din Exemplul 2, plus constanta $2$. (Verificat numeric.)

16. $F$ e derivabilă pe $\mathbb{R}$, iar $F^{\prime }(x)=\frac{\left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}=f(x)$. Semnul lui $F^{\prime }$ este semnul lui $1-x^2$: negativ, pozitiv, negativ. Deci $x=-1$ e punct de minim, cu $F(-1)=-\frac{1}{2}$, iar $x=1$ e punct de maxim, cu $F(1)=\frac{1}{2}$. (Verificat numeric.)

17. Pe rând: rândul „existența" (continuitatea pe interval); rândul „funcțiile raționale" (gradul numărătorului e mai mare, deci întâi împărțirea, apoi fracțiile simple); rândul „proprietățile primitivei" (convexitatea lui $F$ = monotonia lui $f$); rândul „mulțimea primitivelor" plus rețeta în trei pași din subsecțiunea 3.

18. Este recurența demonstrată în lecția despre relațiile de recurență, reluată aici ca exercițiu de sinteză. Scriem ${\sin }^{n}x={\sin }^{n-1}x\cdot \sin x$ și integrăm prin părți, derivând ${\sin }^{n-1}x$ și integrând $\sin x$: $I_n=-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)\int {\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx$. Cu ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ obținem $I_n=-{\sin }^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$, de unde relația cerută. Cum $I_0=x+\mathcal{C}$, rezultă $I_2=-\frac{\sin x\cos x}{2}+\frac{x}{2}+\mathcal{C}$ și apoi $I_4=-\frac{{\sin }^{3}x\cos x}{4}-\frac{3\sin x\cos x}{8}+\frac{3x}{8}+\mathcal{C}$. (Ambele forme închise și recurența au fost verificate numeric.)

De reținut

• Se spune „$f$ admite primitive pe intervalul $I$", iar orice afirmație despre primitive se face pe un interval, niciodată pe o reuniune de intervale.
• Verificarea „$F$ este primitivă a lui $f$" se face derivând, în trei rânduri: intervalul și derivabilitatea, calculul derivatei, concluzia.
• Orice funcție continuă pe un interval admite primitive acolo; ce exclude primitivele este o discontinuitate de speța I sau o imagine care nu este interval.
• Semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, iar monotonia lui $f$ dă convexitatea primitivei — deci subpunctul c) se rezolvă fără să mai derivezi expresia găsită.
• O condiție de tipul $F(x_0)=y_0$ determină o singură primitivă, iar răspunsul se scrie ca funcție completă, nu ca valoare a constantei.

Greșeli frecvente

• Scrii $+C$ în loc de $+\mathcal{C}$. Rezultatul unei integrale nedefinite este o mulțime de funcții, iar $\mathcal{C}$ denumește mulțimea funcțiilor constante pe intervalul de lucru. Notația nu e un moft: ea amintește că răspunsul nu e o funcție, ci o familie.
• Alegi liber constantele pe ramuri. La o funcție definită pe ramuri, primitiva trebuie să fie continuă în punctul de racord, deci a doua constantă se determină din prima. Două constante independente dau o funcție care nici măcar nu e continuă acolo.
• Deduci „nu e continuă, deci nu are primitive". Implicația merge invers. Continuitatea garantează existența, dar există funcții discontinue care admit primitive; ce exclude primitivele este discontinuitatea de speța I.
• Scoți modulul din logaritm fără justificare. $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+\mathcal{C}$ este forma implicită. Modulul dispare numai când scrii de ce: „pe $(1,+\infty )$ avem $x>0$".
• Confunzi rândurile tabelului după numitor. $\int \frac{dx}{x^2+4}$ dă o arctangentă, iar $\int \frac{xdx}{x^2+4}$ dă un logaritm. Numărătorul decide: dacă e derivata numitorului, rezultatul e logaritmic.

Aplică acasă

1. Fișa unității pe o singură pagină. Copiază lista de control din subsecțiunea 4 și adaugă-i o coloană în care scrii, pentru fiecare rând, exercițiul din lecție care îl folosește. Bifează rândurile la următoarele cinci probleme; cele rămase nebifate sunt exact ce nu stăpânești.

2. Cele opt capcane, pe exemple proprii. Pentru fiecare capcană din subsecțiunea 7, scrie o rezolvare greșită de trei rânduri care cade în ea, apoi corectarea alături. Greșeala scrisă de mână se ține minte mai bine decât cea citită.

3. Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă din nou Exemplele 1, 4 și 6, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. De regulă, timpul se pierde la alegerea metodei, iar punctele la interval și la constantă.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea „Primitive" și adună competențele XII.CS.2.5, XII.CS.5.5 și XII.CS.6.5 într-un singur format: cel al problemei a doua din Subiectul al III-lea. Nu introduce nicio noțiune nouă — toate cele șase probleme folosesc exclusiv metode predate în cele douăzeci de lecții anterioare ale unității. Valoarea ei stă în ordinea rezolvării, redactarea pe pași și verificarea prin derivare.

Ce verifică lecția: (1) verificarea unei primitive prin derivare, cu intervalul precizat; (2) criteriul de existență și cele două criterii de non-existență; (3) determinarea primitivei cu condiție; (4) cele patru metode de calcul, aplicate în lanț; (5) citirea monotoniei, extremelor și convexității primitivei din funcția inițială; (6) o relație de recurență obținută printr-o singură integrare prin părți.

Întrebări bune de control: „Pe ce interval lucrezi și de ce?", „De unde știi că funcția admite primitive?", „Ce metodă ai ales și după ce criteriu?", „De ce ai scris logaritmul fără modul?", „Ce spune semnul funcției despre primitiva ei?", „Cum verifici rezultatul în treizeci de secunde?". Semn că elevul a înțeles: începe orice problemă scriind intervalul, și termină derivând rezultatul, chiar dacă enunțul nu cere nici una, nici alta.

La BAC, problema de acest tip valorează 15 puncte, adică o șesime din lucrare, și apare la fiecare sesiune. Exercițiile 15 și 16 sunt formulate exact ca la examen și merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult opt minute. Unitatea următoare, care începe cu problema ariei și subgraficul unei funcții, pornește de la aceleași primitive, dar cu o întrebare nouă: cât de mare este suprafața de sub grafic.

Întrebări frecvente

Cum arăți că o funcție $F$ este o primitivă a lui $f$?

Se scrie în trei rânduri: se precizează intervalul și se spune că $F$ este derivabilă pe el, se derivează efectiv, cu calculul scris, și se compară cu $f$. Concluzia se formulează complet: „$F^{\prime }(x)=f(x)$ pentru orice $x$ din interval, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ acolo". Intervalul nu se omite: el face parte din definiție.

Cum se determină primitiva care trece printr-un punct dat?

În trei pași. Întâi se determină mulțimea tuturor primitivelor, sub forma $F(x)+\mathcal{C}$. Apoi se scrie primitiva căutată ca $G(x)=F(x)+c$, cu $c$ o constantă necunoscută. În final se impune condiția $G(x_0)=y_0$, se rezolvă ecuația de gradul întâi în $c$ și se scrie răspunsul ca funcție completă, nu ca valoare a constantei.

Ce funcții nu admit primitive?

Nu admit primitive funcțiile care au, pe intervalul dat, o discontinuitate de speța întâi, adică un punct în care limitele laterale există, sunt finite și diferite. Nu admit primitive nici funcțiile a căror imagine nu este interval. Ambele criterii sunt consecințe ale teoremei lui Darboux: o funcție care admite primitive are proprietatea valorilor intermediare.

Ce spune semnul funcției despre primitiva ei?

Semnul lui $f$ dă monotonia primitivei, pentru că $F^{\prime }=f$: unde $f$ este pozitivă, $F$ este strict crescătoare, iar unde $f$ este negativă, $F$ este strict descrescătoare. Punctele de extrem ale lui $F$ sunt exact punctele în care $f$ își schimbă semnul, nu simpla anulare a lui $f$.

Cum afli convexitatea unei primitive fără să o derivezi de două ori?

Se folosește egalitatea $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$: primitiva este convexă exact acolo unde funcția $f$ este crescătoare și concavă acolo unde $f$ este descrescătoare. Punctele de inflexiune ale lui $F$ sunt extremele lui $f$, când $f$ e derivabilă acolo. Astfel, tot subpunctul de convexitate se rezolvă studiind funcția din enunț.

Cum se scrie o relație de recurență pentru integrale nedefinite?

Se aplică integrarea prin părți o singură dată, alegând ca factor de derivat puterea, pentru că derivarea îi coboară gradul. În integrala rămasă se recunoaște un termen anterior al șirului și se scrie relația. Apoi se calculează direct primul termen și se coboară pe recurență până la cel cerut, adunând constanta o singură dată.

De ce trebuie precizat intervalul la primitive?

Pentru că afirmația „două primitive ale aceleiași funcții diferă printr-o constantă" este adevărată doar pe un interval. Pe o reuniune de intervale, cum e ${\mathbb{R}}^{\ast }$, constantele de pe ramuri pot fi diferite, iar diferența a două primitive nu mai este constantă. De aceea toate enunțurile unității pornesc de la o funcție definită pe un interval.

Ce se cere la subiectul cu primitive la Bacalaureat M1?

Este a doua problemă din Subiectul al III-lea, cu trei subpuncte de câte cinci puncte. Subpunctul a) cere o verificare pregătitoare — că o funcție dată este primitivă, că o descompunere e corectă sau că funcția admite primitive. Subpunctul b) cere calculul primitivelor, iar c) o proprietate a primitivei: monotonie, extreme, convexitate sau o relație de recurență.