Sinteză: studiul complet al unei funcții: pe scurt

Studiul complet al unei funcții este parcurgerea, în ordine fixă, a celor nouă pași: domeniul cu intersecțiile și simetriile, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete împreună cu asimptotele, semnul lui $f^{\prime }$, semnul lui $f^{\prime \prime }$, valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea lui și trasarea graficului. Orice cerință de examen se așază pe unul dintre acești pași.

Pasul al treilea urmează schema asimptotelor în patru pași: domeniul, verticalele, apoi fiecare capăt infinit separat — întâi orizontala, și numai dacă ea nu există, cei trei pași ai oblicei, adică $m$ finită și nenulă, apoi $n$ finit, apoi concluzia. Orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc. Capcana de reținut: o pantă nulă înseamnă doar că nu există oblică, nu că există orizontală. La funcțiile cu radical de ordin par cele două capete dau drepte diferite, de pildă $y=x$ spre $+\infty$ și $y=-x$ spre $-\infty$.

Din tabelul de variație se citește aproape tot ce cere ultimul subpunct: monotonia, punctele și valorile extreme, imaginea funcției, inegalitățile, convexitatea și numărul soluțiilor ecuației $f(x)=m$. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$, cu valoarea calculată înaintea pantei; verificarea rapidă este rădăcina multiplă a diferenței dintre funcție și dreaptă. La Bacalaureat M1 o astfel de problemă valorează $15$ puncte, în trei subpuncte.

Exerciții din această mini-lecție

1. Asimptotele la graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4x^2+1}$, sunt:

   • a) dreapta $y=2x$ spre $+\infty$ și dreapta $y=-2x$ spre $-\infty$
   • b) dreapta $y=0$, asimptotă orizontală
   • c) graficul nu are asimptote
   • d) dreapta $y=2x$ spre amândouă capetele
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) dreapta $y=2x$ spre $+\infty$ și dreapta $y=-2x$ spre $-\infty$

   Spre $+\infty$: $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=2$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2+1}-2x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{4x^2+1}+2x}=0$. Spre $-\infty$ se folosește $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+1/x^2}$ cu $|x|=-x$, deci $m=-2$ și $n=0$. Cele două capete se calculează întotdeauna separat.

2. Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$, atunci spre $+\infty$ graficul funcției $f$:

   • a) are asimptota orizontală $y=0$
   • b) are o asimptotă oblică de pantă nulă
   • c) nu are nicio asimptotă
   • d) are o asimptotă verticală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) nu are nicio asimptotă

   Panta nulă exclude oblica, pentru că o dreaptă de pantă nulă este orizontală, nu oblică; iar orizontala nu există, fiindcă limita funcției este infinită. Concluzia corectă este că graficul nu are nicio asimptotă la acel capăt. Exemplul canonic este $f(x)=\ln \left(x^2-4\right)$: crește mai încet decât orice dreaptă, dar nemărginit.

3. Ecuația tangentei la graficul funcției $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$, în punctul de abscisă $x_0=2$, este:

   • a) $y=\frac{3}{4}x-1$
   • b) $y=\frac{3}{4}x+1$
   • c) $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}$
   • d) $y=\frac{5}{4}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $y=\frac{3}{4}x+1$

   Se calculează întâi valoarea, $f(2)=\frac{5}{2}$, apoi panta: $f(x)=x+\frac{1}{x}$, deci $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$ și $f^{\prime }(2)=\frac{3}{4}$. Tangenta este $y-\frac{5}{2}=\frac{3}{4}(x-2)$, adică $y=\frac{3}{4}x+1$. Varianta cu $\frac{5}{2}$ ca termen liber apare când se uită translația $-\frac{3}{4}\cdot 2$.