Acasă · Lecții · clasa a XII-a · Sinteză: studiul complet al unei funcții — probleme de tip Bacalaureat M1

Sinteză: studiul complet al unei funcții — probleme de tip Bacalaureat M1

Q: Care este formula asimptotei oblice?

Dreapta y = mx + n este asimptotă oblică spre +∞ dacă m = limₓ→+∞ f(x)/x este finită și nenulă, iar n = limₓ→+∞(f(x) - mx) este finită. Ordinea e obligatorie: întâi m, apoi n. Spre -∞ se reia calculul separat, pentru că rezultatul poate fi o altă dreaptă.

Q: Cum se scrie ecuația tangentei la grafic?

Se folosește formula y - f(x₀) = f'(x₀)(x - x₀), calculând întâi valoarea f(x₀) și apoi panta f'(x₀). Verificarea rapidă: diferența dintre funcție și dreapta obținută trebuie să aibă în x₀ o rădăcină multiplă. Dacă multiplicitatea e impară, tangenta traversează graficul, ceea ce se întâmplă în punctele de inflexiune.

Q: Când se scriu două tabele de variație pentru aceeași funcție?

Când din domeniu lipsește un interval întreg, ca la ln(x²-4), definită pe (-∞,-2)∪(2,+∞): fiecare interval primește tabelul lui. Când lipsește doar un punct, se scrie un singur tabel, cu bară pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale pe rândul funcției.

Q: Cât valorează un studiu de funcție la examen?

O problemă de studiu de funcție ocupă 15 puncte din Subiectul al III-lea, împărțite în trei subpuncte a câte 5 puncte. Subpunctul a) cere de obicei asimptotele sau o limită, b) tabelul de variație, iar c) o cerință care se citește din tabel. Un tabel corect asigură practic toate cele trei subpuncte.

Studiul complet al unei funcții este, la clasa a XII-a, cea mai lungă rezolvare pe care ți-o cere programa de matematică-informatică: paisprezece lecții de asimptote, tabele și grafice se adună într-o singură procedură, care începe cu domeniul și se termină cu o curbă desenată. Studiul complet al unei funcții este parcurgerea celor nouă pași: domeniu, continuitate și derivabilitate, limite și asimptote, semnul derivatei întâi, semnul derivatei a doua, valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea lui și trasarea graficului. Lecția de față nu adaugă nimic nou. Ea strânge unitatea într-o listă de control și rezolvă complet șase probleme-model, în formatul în care apar la examen.

Lecția anterioară, despre graficele din fizică și verificarea cu instrumente digitale, a arătat unitatea la lucru pe mărimi măsurabile; aici o strângem în formatul de examen. Formatul acela merită spus de la început: la Bacalaureat M1, un studiu de funcție ocupă o problemă din Subiectul al III-lea, cu trei subpuncte de câte $5$ puncte fiecare. Subpunctul a) cere de obicei asimptotele sau o limită, b) cere monotonia și tabelul de variație, iar c) cere ceva ce se citește din tabel: imaginea funcției, o inegalitate, numărul soluțiilor unei ecuații sau o discuție după un parametru. Cine are tabelul corect are toate cele trei subpuncte; cine îl greșește la un capăt le pierde împreună.

Ce vei învăța

Vei ști să parcurgi schema în nouă pași ca pe o listă de control, fără să sari niciun pas.
Vei ști să scrii lista completă a asimptotelor la graficul unei funcții, cu ecuațiile lor și cu capătul precizat.
Vei ști să răspunzi, direct din tabelul de variație, la cerințele obișnuite de la subpunctul c).
Vei ști să faci discuția după un parametru și să o verifici încrucișat, algebric.
Vei ști să scrii ecuația tangentei și să folosești criteriul rădăcinii multiple ca verificare.
Vei ști în ce ordine se redactează, ca baremul pe pași să găsească fiecare punct la locul lui.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere, exact, la un studiu complet de funcție?

Studiul complet al unei funcții este parcurgerea, în ordine fixă, a celor nouă pași care duc de la expresia funcției la graficul ei: domeniul cu intersecțiile și simetriile, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete împreună cu asimptotele, semnul primei derivate, semnul derivatei a doua, valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea lui și, la final, trasarea curbei.

Numele și numărătoarea sunt cele fixate în lecția despre schema completă a reprezentării grafice, iar în tot ce urmează pașii se citează prin numărul lor. Reține lista întreagă, pentru că orice cerință de examen se așază pe unul dintre pași:

Schema în nouă pași: (1) domeniul, cu intersecțiile (1b) și paritatea sau periodicitatea (1c) $\to$ (2) continuitatea și derivabilitatea $\to$ (3) limitele la capete și asimptotele $\to$ (4) $f^{'}$ : puncte critice și semn $\to$ (5) $f^{''}$ : zerouri și semn $\to$ (6) valorile în punctele marcate $\to$ (7) tabelul de variație complet $\to$ (8) citirea tabelului $\to$ (9) trasarea graficului.

2. Cum se scrie corect lista asimptotelor?

Pasul 3 se desfășoară după schema asimptotelor în patru pași, fixată în lecția despre asimptotele funcțiilor uzuale: domeniul, apoi verticalele, apoi capătul $- \infty$ , apoi capătul $+ \infty$ . Iar la fiecare capăt infinit ordinea e obligatorie: întâi orizontala, și numai dacă ea nu există se trece la cei trei pași ai oblicei — panta $m$ finită și nenulă, apoi termenul liber $n$ finit, apoi concluzia.

Trei lucruri se punctează separat și se uită des:

Propoziția de excludere reciprocă: orizontala și oblica spre același capăt nu pot coexista. Odată găsită orizontala, oblica nu se mai caută; ea se citează, nu se redemonstrează.
Cele două capete se tratează separat. La funcțiile cu radical de ordin par, pantele diferă: problema 2 de mai jos are $y = x$ spre $+ \infty$ și $y = - x$ spre $- \infty$ .
Formularea și modelul de redactare. Se scrie „dreapta $x = - 1$ este asimptotă la graficul funcției $f$ ", nu „funcția are asimptota $- 1$ "; iar redactarea urmează lanțul limita scrisă $\to$ valoarea $\to$ ecuația dreptei $\to$ capătul precizat.

Atenție la capcana pantei nule: dacă $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ nu rezultă că există asimptotă orizontală — rezultă doar că nu există oblică. Problema 3 arată o funcție cu panta nulă și fără nicio asimptotă la capete.

3. Ce se citește din tabelul de variație?

Aproape tot ce cere subpunctul c). Merită învățată corespondența:

Cerința din enunț	Ce se citește din tabel
intervalele de monotonie	săgețile $↗$ și $↘$ , cu capete închise unde funcția e definită
punctele și valorile extreme	coloanele-punct cu marcajul $M$ sau $m$
imaginea funcției	reuniunea imaginilor de pe fiecare interval de monotonie
o inegalitate de tipul $f (x) \geq c$	extremul global de pe intervalul cerut
numărul soluțiilor ecuației $f (x) = m$	poziția lui $m$ față de valorile extreme și de limitele de la capete
convexitatea și inflexiunile	simbolurile $\cup$ , $\cap$ și marcajul $I$

Formatul tabelului rămâne cel din clasa a XI-a, fixat la tabelul de variație complet: patru rânduri, $2 k + 4$ coloane pentru $k$ puncte interioare marcate, bară $∣$ la punctele excluse și la capetele finite deschise, celulă goală numai la $\pm \infty$ . Când din domeniu lipsește un interval întreg, se scrie câte un tabel pe fiecare interval al domeniului.

4. Tangenta: formula, verificarea și greșelile de redactare

Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_{0}$ este cea din clasa a XI-a, de la interpretarea geometrică a derivatei:

$y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$

Trei observații care aduc puncte. Prima: se calculează întâi $f (x_{0})$ , apoi $f^{'} (x_{0})$ — inversarea ordinii duce aproape sigur la o confuzie între valoare și pantă. A doua: o dreaptă e tangentă la grafic în $x_{0}$ dacă și numai dacă diferența $f (x) - (m x + n)$ are în $x_{0}$ o rădăcină multiplă; e verificarea cea mai rapidă. A treia: rădăcina multiplă poate fi de ordin impar, iar atunci tangenta traversează graficul — se întâmplă în punctele de inflexiune, deci „tangentă" nu înseamnă „nu taie curba".

5. Discuția după parametru și verificarea încrucișată

Cerințele de tipul „discutați, după $m$ , numărul soluțiilor ecuației" au două drumuri, iar cel bun le folosește pe amândouă.

Drumul analitic: se studiază funcția, se scrie tabelul și se compară $m$ cu valorile extreme și cu limitele de la capete, ca la rezolvarea grafică a ecuației $f (x) = m$ . Rezultatul e un tabel cu două coloane: intervalul lui $m$ și numărul soluțiilor.

Drumul algebric: dacă ecuația se reduce la una de gradul al doilea, se calculează $Δ$ și se discută semnul lui, cu grijă la condițiile de existență (numitor nenul, radicand pozitiv).

Când amândouă merg, ele trebuie să dea același răspuns — iar potrivirea e cea mai bună verificare pe care o poți face singur în timpul examenului. Problemele 5 și 6 fac exact această confruntare.

6. Cum se redactează, pas cu pas, ca să iasă baremul?

Baremul unui subpunct de $5$ puncte se împarte de obicei $2 + 3$ sau $1 + 2 + 2$ , pe pași identificabili. Ordinea care le face vizibile:

domeniul, scris ca reuniune de intervale, cu justificarea restricțiilor;
limitele, fiecare scrisă complet, cu forma $x \to a x < a lim f (x)$ la cele laterale;
asimptotele, ca listă de drepte cu ecuațiile lor și capătul precizat;
derivatele, cu forma factorizată alături — semnul se citește din factori, nu se ghicește;
valorile în punctele marcate, exacte, nu aproximate;
tabelul, cu numărul corect de coloane;
citirea, în două-trei propoziții;
răspunsul la cerință, formulat cu cuvintele enunțului.

Regula scurtă: fiecare rând al rezolvării trebuie să poată fi punctat singur. Un calcul corect ținut în minte și nescris nu primește nimic.

7. Cele opt capcane ale unității, adunate

Sunt cele care revin la fiecare corectare, în ordinea în care apar în schemă:

domeniul scris din obișnuință, nu din expresie (radical de ordin par, logaritm, numitor);
o singură limită calculată la $\pm \infty$ , când comportările la cele două capete diferă;
oblica se caută înainte de orizontală, sau după ce orizontala a fost deja găsită;
panta nulă declarată „asimptotă oblică $y = n$ " în loc de „nicio oblică";
semnul derivatei citit greșit pentru că numitorul, care e pătrat, a fost pus în tabelul de semn;
bara și celula goală confundate: bară numai la un punct al axei fără funcție, gol numai la $\pm \infty$ ;
inflexiune declarată acolo unde $f^{''}$ se anulează fără să-și schimbe semnul, sau într-un punct exclus;
concluzia care nu răspunde la întrebarea pusă — se cere imaginea, se dă monotonia.

Exemple rezolvate

Exemplul 1. Funcție rațională cu asimptotă oblică și tangentă

Se consideră $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2}$ . a) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$ . (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$ . (5 puncte) c) Trasați graficul funcției și scrieți ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_{0} = 0$ . (5 puncte)

Rezolvare. a) Împărțind, $f (x) = x + \frac{1}{x - 2}$ — forma care ușurează tot ce urmează. Domeniul este $(- \infty, 2) \cup (2, + \infty)$ .

Verticala: $x \to 2 x < 2 lim f (x) = - \infty$ și $x \to 2 x > 2 lim f (x) = + \infty$ , deci dreapta $x = 2$ este asimptotă verticală bilaterală.

La capete: $x \to \pm \infty lim f (x) = \pm \infty$ , deci nu există orizontală. Cei trei pași ai oblicei: $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 1 \in R^{*}$ ; $n = x \to + \infty lim (f (x) - x) = x \to + \infty lim \frac{1}{x - 2} = 0$ ; deci dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ . Același calcul spre $- \infty$ dă aceeași dreaptă.

b) $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x - 3 )}{( x - 2 ) ^{2}}$ , cu zerourile $1$ și $3$ ; $f^{''} (x) = \frac{2}{( x - 2 ) ^{3}}$ , fără zerouri. Valorile: $f (1) = 0$ , $f (3) = 4$ , $f^{''} (1) = - 2$ , $f^{''} (3) = 2$ .

$x$	$- \infty$		$1$		$2$		$3$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$- 2$	$-$	$∣$	$+$	$2$	$+$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$0 M$	$↘ \cap$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘ \cup$	$4 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ crește pe $(- \infty, 1]$ și pe $[3, + \infty)$ , scade pe $[1, 2)$ și pe $(2, 3]$ ; are maximul local $f (1) = 0$ și minimul local $f (3) = 4$ ; este concavă pe $(- \infty, 2)$ și convexă pe $(2, + \infty)$ , fără puncte de inflexiune, pentru că $2$ nu aparține domeniului. Imaginea este $(- \infty, 0] \cup [4, + \infty)$ . Observă că maximul local $0$ este mai mic decât minimul local $4$ — situație posibilă tocmai pentru că se află pe ramuri diferite.

c) Pasul 9, cele cinci mișcări. (i) Se desenează reperul, cu aceeași scară pe cele două axe, pentru ca asimptota $y = x$ să apară la $4 5^{\circ}$ . (ii) Se trasează punctat asimptotele $x = 2$ și $y = x$ , etichetate cu ecuațiile lor. (iii) Se marchează punctele din tabel: maximul local $(1; 0)$ , minimul local $(3; 4)$ , intersecția cu axa $O y$ , adică $(0; - \frac{1}{2})$ , și intersecția cu axa $O x$ , care este chiar $x = 1$ — zerou dublu, deci curba atinge axa fără să o traverseze. (iv) Se unesc punctele prin arce care respectă și săgeata, și simbolul de convexitate: ramura din stânga urcă concav până în $(1; 0)$ , apoi coboară concav spre $- \infty$ lipindu-se de dreapta $x = 2$ ; ramura din dreapta coboară convex din $+ \infty$ până în $(3; 4)$ , apoi urcă convex, apropiindu-se de dreapta $y = x$ . (v) Se scrie sub grafic lista asimptotelor: $x = 2$ și $y = x$ .

Tangenta. $f (0) = \frac{( - 1 ) ^{2}}{- 2} = - \frac{1}{2}$ și $f^{'} (0) = \frac{( - 1 ) ( - 3 )}{4} = \frac{3}{4}$ , deci tangenta are ecuația $y + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} (x - 0)$ , adică $y = \frac{3}{4} x - \frac{1}{2}$ . Verificare: $f (x) - (\frac{3}{4} x - \frac{1}{2}) = x + \frac{1}{x - 2} - \frac{3}{4} x + \frac{1}{2} = \frac{x ^{2}}{4 ( x - 2 )}$ , expresie care are în $x_{0} = 0$ o rădăcină dublă — semnul tangenței.

Exemplul 2. Funcție cu radical: două oblice diferite

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 4$ . a) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$ . (5 puncte) b) Alcătuiți tabelul de variație. (5 puncte) c) Arătați că $x^{2} + 4 \geq 2$ pentru orice $x$ real și precizați imaginea funcției. (5 puncte)

Rezolvare. a) $D = R$ , pentru că $x^{2} + 4 > 0$ mereu. Nu există verticale. La ambele capete $f (x) \to + \infty$ , deci nu există orizontală.

Spre $+ \infty$ : $m = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 4}{x} = 1$ , iar $n = x \to + \infty lim (x^{2} + 4 - x) = x \to + \infty lim \frac{4}{x ^{2} + 4 + x} = 0$ : dreapta $y = x$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ .

Spre $- \infty$ : aici $x^{2} + 4 = ∣ x ∣ 1 + 4/ x^{2}$ , iar $∣ x ∣ = - x$ , deci $m = - 1$ și $n = x \to - \infty lim (x^{2} + 4 + x) = x \to - \infty lim \frac{4}{x ^{2} + 4 - x} = 0$ : dreapta $y = - x$ este asimptotă oblică spre $- \infty$ .

Aceasta este capcana principală a funcțiilor cu radical de ordin par: cele două capete dau drepte diferite. Cine calculează o singură dată pierde jumătate din subpunct.

b) $f^{'} (x) = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ , cu unicul zero $x = 0$ și cu semnul lui $x$ ; $f^{''} (x) = \frac{4}{( x ^{2} + 4 ) x ^{2} + 4} > 0$ pe $R$ . Valorile: $f (0) = 2$ , $f^{''} (0) = \frac{1}{2}$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$+$	$\frac{1}{2}$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cup$	$2 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul global $f (0) = 2$ ; este convexă pe tot $R$ ; graficul e simetric față de axa $O y$ , pentru că funcția este pară (pasul 1c).

c) Din tabel, minimul global este $2$ , deci $x^{2} + 4 \geq 2$ pentru orice $x \in R$ , cu egalitate doar în $x = 0$ . Cum funcția e continuă și tinde la $+ \infty$ la ambele capete, imaginea este $[2, + \infty)$ .

Exemplul 3. Funcție logaritmică: domeniu cu interval exclus

Se consideră $f (x) = ln (x^{2} - 4)$ . a) Determinați domeniul, intersecțiile cu axele și asimptotele. (5 puncte) b) Alcătuiți tabelele de variație. (5 puncte) c) Arătați că $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ , dar că graficul nu are asimptotă orizontală spre $+ \infty$ . (5 puncte)

Rezolvare. a) Condiția $x^{2} - 4 > 0$ dă $D = (- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ — din domeniu lipsește un interval întreg. Funcția este pară, deci graficul e simetric față de axa $O y$ (pasul 1c) și e destul să studiem ramura din dreapta. Intersecțiile cu $O x$ : $ln (x^{2} - 4) = 0 ⟺ x^{2} - 4 = 1 ⟺ x = \pm 5$ ; cu $O y$ nu există, pentru că $0 \in / D$ .

Verticalele: $x \to 2 x > 2 lim ln (x^{2} - 4) = - \infty$ și, prin simetrie, $x \to - 2 x < - 2 lim f (x) = - \infty$ ; deci dreptele $x = 2$ și $x = - 2$ sunt asimptote verticale, prima la dreapta, a doua la stânga.

La capete: $f (x) \to + \infty$ , deci nu există orizontală; iar panta este nulă (subpunctul c), deci nu există nici oblică. Graficul nu are nicio asimptotă la $\pm \infty$ .

b) $f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} - 4}$ , care nu se anulează în domeniu; pe $(- \infty, - 2)$ este negativă, pe $(2, + \infty)$ pozitivă. $f^{''} (x) = \frac{- 2 ( x ^{2} + 4 )}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}} < 0$ pe tot domeniul: funcția este concavă pe fiecare ramură. Cum domeniului îi lipsește un interval, se scriu două tabele.

Pe $(- \infty, - 2)$ :

$x$	$- \infty$		$- 2$
$f^{'} (x)$		$-$	$∣$
$f^{''} (x)$		$-$	$∣$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cap$	$- \infty$

Pe $(2, + \infty)$ :

$x$	$2$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$	$∣$	$+$
$f^{''} (x)$	$∣$	$-$
$f (x)$	$- \infty$	$↗ \cap$	$+ \infty$

Citirea tabelelor: funcția scade strict pe prima ramură și crește strict pe a doua, fără extreme și fără puncte de inflexiune; este concavă pe amândouă; pe fiecare ramură parcurge tot $R$ , deci imaginea este $R$ .

c) $x \to + \infty lim \frac{ln ( x ^{2} - 4 )}{x} = 0$ , prin regula lui L'Hôpital sau prin creșterea comparată a logaritmului față de funcția de gradul întâi. Panta este așadar finită, dar nulă, deci nu poate fi panta unei drepte oblice. Iar orizontală nu există, pentru că $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ . Concluzia corectă: panta nulă nu înseamnă asimptotă orizontală; ea înseamnă doar că oblica nu există.

Exemplul 4. Funcție cu exponențială: asimptotă doar la un capăt

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = e^{x} - x$ . a) Alcătuiți tabelul de variație. (5 puncte) b) Deduceți inegalitatea $e^{x} \geq x + 1$ pentru orice $x$ real. (5 puncte) c) Determinați asimptotele la graficul funcției. (5 puncte)

Rezolvare. a) $D = R$ , funcție continuă și derivabilă. $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ , care se anulează în $x = 0$ , este negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ ; $f^{''} (x) = e^{x} > 0$ pe $R$ . Limitele: $x \to - \infty lim (e^{x} - x) = + \infty$ și $x \to + \infty lim (e^{x} - x) = + \infty$ . Valorile: $f (0) = 1$ , $f^{''} (0) = 1$ .

$x$	$- \infty$		$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$+$	$1$	$+$
$f (x)$	$+ \infty$	$↘ \cup$	$1 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul global $f (0) = 1$ ; este convexă pe $R$ , fără puncte de inflexiune; imaginea este $[1, + \infty)$ .

b) Din tabel, $f (x) \geq f (0) = 1$ pentru orice $x$ real, adică $e^{x} - x \geq 1$ , deci $e^{x} \geq x + 1$ , cu egalitate doar în $x = 0$ . Geometric: graficul exponențialei stă deasupra tangentei duse în punctul $(0, 1)$ — consecință a convexității.

c) Nu există verticale ( $D = R$ , funcție continuă) și nici orizontale (limitele la capete sunt infinite).

Spre $+ \infty$ : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x} - x}{x} = + \infty$ , deci panta nu e finită: nicio asimptotă spre $+ \infty$ .

Spre $- \infty$ : $m = x \to - \infty lim \frac{e ^{x} - x}{x} = x \to - \infty lim (\frac{e ^{x}}{x} - 1) = - 1$ , iar $n = x \to - \infty lim (e^{x} - x + x) = x \to - \infty lim e^{x} = 0$ . Prin urmare dreapta $y = - x$ este asimptotă oblică spre $- \infty$ .

Exemplul 5. Discuție după parametru

Se consideră familia $f_{m} : R ∖ {2} \to R$ , $f_{m} (x) = x + \frac{m}{x - 2}$ , cu $m$ număr real. Funcția din Exemplul 1 este membrul $m = 1$ al acestei familii. a) Arătați că pentru $m \leq 0$ funcția nu are puncte de extrem. (5 puncte) b) Pentru $m > 0$ , determinați punctele și valorile extreme. (5 puncte) c) Discutați, după $k$ real, numărul soluțiilor ecuației $f_{4} (x) = k$ . (5 puncte)

Rezolvare. Pentru orice $m \neq = 0$ , dreapta $x = 2$ este asimptotă verticală, iar dreapta $y = x$ este asimptotă oblică la ambele capete (calculul e cel din Exemplul 1). Derivata:

$f_{m}^{'} (x) = 1 - \frac{m}{( x - 2 ) ^{2}} = \frac{( x - 2 ) ^{2} - m}{( x - 2 ) ^{2}} .$

a) Pentru $m < 0$ , numărătorul $(x - 2)^{2} - m$ este suma unui pătrat și a unui număr pozitiv, deci strict pozitiv; pentru $m = 0$ derivata este constant $1$ . În ambele cazuri $f_{m}^{'} > 0$ pe fiecare interval al domeniului, deci funcția este strict crescătoare acolo și nu are puncte de extrem.

b) Pentru $m > 0$ , derivata se anulează când $(x - 2)^{2} = m$ , adică $x = 2 - m$ și $x = 2 + m$ . Valorile: $f_{m} (2 - m) = 2 - m - \frac{m}{m} = 2 - 2 m$ și, analog, $f_{m} (2 + m) = 2 + 2 m$ .

$x$	$- \infty$		$2 - m$		$2$		$2 + m$		$+ \infty$
$f_{m}^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$	$∣$	$-$	$0$	$+$
$f_{m} (x)$	$- \infty$	$↗$	$2 - 2 m M$	$↘$	$- \infty ∣ + \infty$	$↘$	$2 + 2 m m$	$↗$	$+ \infty$

Citirea tabelului: pe ramura din stânga funcția are maximul local $2 - 2 m$ , pe cea din dreapta minimul local $2 + 2 m$ , iar imaginea este $(- \infty, 2 - 2 m] \cup [2 + 2 m, + \infty)$ . Pentru $m = 1$ regăsim valorile $0$ și $4$ din Exemplul 1.

c) Drumul analitic. Cu $m = 4$ avem extremele $2 - 4 = - 2$ și $2 + 4 = 6$ , deci: pentru $k < - 2$ două soluții; $k = - 2$ una; $- 2 < k < 6$ niciuna; $k = 6$ una; $k > 6$ două.

Drumul algebric, ca verificare. Ecuația $x + \frac{4}{x - 2} = k$ devine, după înmulțirea cu $x - 2 \neq = 0$ , $x^{2} - (2 + k) x + (4 + 2 k) = 0$ , cu $Δ = (2 + k)^{2} - 4 (4 + 2 k) = k^{2} - 4 k - 12 = (k - 2)^{2} - 16$ . Atunci $Δ > 0 ⟺ ∣ k - 2 ∣ > 4 ⟺ k < - 2$ sau $k > 6$ ; $Δ = 0 ⟺ k \in {- 2, 6}$ ; $Δ < 0 ⟺ - 2 < k < 6$ . În plus $x = 2$ nu este niciodată soluție, pentru că înlocuind în trinom obținem $4 - 2 (2 + k) + 4 + 2 k = 4 \neq = 0$ . Cele două drumuri coincid.

Exemplul 6. Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 1) e^{x}$ . Problema are formatul obișnuit al unei probleme din Subiectul al III-lea: trei subpuncte de câte $5$ puncte.

a) Determinați asimptotele la graficul funcției $f$ . (5 puncte)

b) Alcătuiți tabelul de variație al funcției $f$ . (5 puncte)

c) Determinați, în funcție de $m$ real, numărul soluțiilor reale ale ecuației $(x - 1) e^{x} = m$ . (5 puncte)

Rezolvare. a) $D = R$ și funcția e continuă, deci nu există asimptote verticale. La $- \infty$ : $x \to - \infty lim (x - 1) e^{x} = 0$ (produs dintre $- \infty$ și $0$ , ridicat cu regula lui L'Hôpital pe forma $\frac{x - 1}{e ^{- x}}$ ), deci dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $- \infty$ ; prin Propoziția de excludere reciprocă, oblică spre $- \infty$ nu mai există. La $+ \infty$ : $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ și $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = + \infty$ , deci nicio asimptotă spre $+ \infty$ .

b) $f^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ , cu unicul zero $x = 0$ ; cum $e^{x} > 0$ , semnul lui $f^{'}$ este semnul lui $x$ . $f^{''} (x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1) e^{x}$ , cu unicul zero $x = - 1$ , unde își schimbă semnul. Valorile: $f (0) = - 1$ , $f (- 1) = - \frac{2}{e}$ , $f^{'} (- 1) = - \frac{1}{e}$ , $f^{''} (0) = 1$ .

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$-$	$- \frac{1}{e}$	$-$	$0$	$+$
$f^{''} (x)$		$-$	$0$	$+$	$1$	$+$
$f (x)$	$0$	$↘ \cap$	$- \frac{2}{e} I$	$↘ \cup$	$- 1 m$	$↗ \cup$	$+ \infty$

Citirea tabelului: $f$ scade pe $(- \infty, 0]$ și crește pe $[0, + \infty)$ , cu minimul global $f (0) = - 1$ ; este concavă pe $(- \infty, - 1]$ și convexă pe $[- 1, + \infty)$ , cu punctul de inflexiune $(- 1, - \frac{2}{e})$ ; imaginea este $[- 1, + \infty)$ .

c) Pe ramura descrescătoare $(- \infty, 0]$ funcția coboară de la $0$ (fără să atingă valoarea, fiind limită) până la $- 1$ : imaginea acestei ramuri este $[- 1, 0)$ . Pe ramura crescătoare $[0, + \infty)$ urcă de la $- 1$ la $+ \infty$ : imaginea este $[- 1, + \infty)$ . Așadar:

Valorile lui $m$	Numărul soluțiilor
$m < - 1$	$0$
$m = - 1$	$1$ (soluție dublă, $x = 0$ )
$- 1 < m < 0$	$2$
$m = 0$	$1$ (anume $x = 1$ )
$m > 0$	$1$

Cazul $m = 0$ merită atenție: valoarea $0$ este limita de la $- \infty$ , deci ramura din stânga se apropie de ea fără să o atingă; singura soluție este $x = 1$ , de pe ramura crescătoare. (Toate cazurile au fost verificate prin numărarea efectivă a rădăcinilor; cazul $m = - 1$ a fost verificat separat, ca rădăcină dublă.)

Să exersăm

1. Determinați domeniul și asimptotele la graficul funcției $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ .

2. Pentru funcția de la exercițiul 1, arătați că $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ și deduceți că $f$ nu are puncte de extrem.

3. Arătați că graficul funcției $f (x) = x^{2} + 9$ are asimptota $y = x$ spre $+ \infty$ și asimptota $y = - x$ spre $- \infty$ .

4. Determinați punctele și valorile extreme ale funcției $f (x) = x + \frac{9}{x - 2}$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Graficul unei funcții poate avea, spre același capăt, și o asimptotă orizontală, și una oblică."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ , atunci graficul are asimptotă orizontală spre $+ \infty$ ."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $f^{''} (x_{0}) = 0$ , atunci $x_{0}$ este punct de inflexiune."

8. Arătați că funcția $f (x) = e^{x} - x - 1$ este pozitivă pe $R$ și deduceți inegalitatea $e^{x} \geq x + 1$ .

9. Determinați domeniul și asimptotele la graficul funcției $f (x) = ln (x^{2} - 9)$ .

10. Determinați numărul soluțiilor reale ale ecuației $x + \frac{4}{x - 2} = k$ pentru $k = 8$ și pentru $k = 1$ .

11. (Problemă aplicată.) Costul mediu de producție al unei firme este $\overline{C} (q) = q + \frac{4}{q - 2}$ , pentru $q > 2$ mii de bucăți. Determinați producția la care costul mediu este minim și valoarea lui.

12. Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $f (x) = \frac{( x - 1 ) ^{2}}{x - 2}$ în punctul de abscisă $x_{0} = 4$ .

13. Determinați imaginea funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 4$ , folosind tabelul din Exemplul 2.

14. Arătați că graficul funcției $f (x) = (x - 1) e^{x}$ are asimptotă orizontală spre $- \infty$ , dar nu are nicio asimptotă spre $+ \infty$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care graficul funcției $f_{m} (x) = x + \frac{m}{x - 2}$ nu are puncte de extrem.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $(x - 1) e^{x} = m$ are exact două soluții reale.

17. Enumerați cei nouă pași ai schemei și spuneți, pentru fiecare, ce anume aduce el desenului final.

18. (Provocare.) Arătați că, pentru orice $m > 0$ , funcția $f_{m} (x) = x + \frac{m}{x - 2}$ are maximul local $2 - 2 m$ și minimul local $2 + 2 m$ , iar diferența dintre valoarea minimă și cea maximă este $4 m$ .

Răspunsuri și explicații

1. $D = (- \infty, - 1) \cup (- 1, + \infty)$ . Cum $x \to \pm \infty lim f (x) = 2$ , dreapta $y = 2$ este asimptotă orizontală la ambele capete (deci oblică nu există, prin Propoziția de excludere reciprocă). Cum $x \to - 1 x < - 1 lim f (x) = + \infty$ și $x \to - 1 x > - 1 lim f (x) = - \infty$ , dreapta $x = - 1$ este asimptotă verticală bilaterală.

2. $f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ pe tot domeniul. Funcția e strict crescătoare pe fiecare dintre cele două intervale, deci nu are puncte critice și nici extreme.

3. Spre $+ \infty$ : $m = lim \frac{x ^{2} + 9}{x} = 1$ și $n = lim (x^{2} + 9 - x) = lim \frac{9}{x ^{2} + 9 + x} = 0$ . Spre $- \infty$ , cu $∣ x ∣ = - x$ , se obține $m = - 1$ și $n = lim \frac{9}{x ^{2} + 9 - x} = 0$ . Deci dreptele sunt $y = x$ și, respectiv, $y = - x$ .

4. Aici $m = 9$ , deci $m = 3$ : punctul de maxim este $x = - 1$ , cu valoarea $2 - 2 \cdot 3 = - 4$ , iar punctul de minim este $x = 5$ , cu valoarea $2 + 2 \cdot 3 = 8$ . (Verificat numeric.)

5. Fals. Este exact conținutul Propoziției de excludere reciprocă, demonstrată în lecția despre asimptota oblică: dacă limita la un capăt e finită, panta oblicei ar fi nulă, iar o dreaptă de pantă nulă este orizontală, nu oblică. Spre celălalt capăt, în schimb, poate exista o oblică — Exemplul 4 e chiar un astfel de caz.

6. Fals. Panta nulă exclude oblica, dar nu garantează orizontala. Contraexemplul din Exemplul 3: pentru $f (x) = ln (x^{2} - 4)$ avem $lim \frac{f ( x )}{x} = 0$ , dar $lim f (x) = + \infty$ , deci nu există nicio asimptotă spre $+ \infty$ .

7. Fals. Anularea derivatei a doua este necesară, nu suficientă: la $f (x) = x^{4}$ avem $f^{''} (0) = 0$ , dar $f^{''} = 12 x^{2} \geq 0$ nu își schimbă semnul, deci funcția rămâne convexă. Inflexiunea cere schimbarea semnului lui $f^{''}$ într-un punct interior domeniului.

8. $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ , negativă pe $(- \infty, 0)$ și pozitivă pe $(0, + \infty)$ , deci $x = 0$ este punct de minim global, cu $f (0) = 0$ . Prin urmare $f (x) \geq 0$ pentru orice $x$ , adică $e^{x} \geq x + 1$ , cu egalitate doar în $x = 0$ .

9. $x^{2} - 9 > 0$ dă $D = (- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ . Verticalele: $x = - 3$ (la stânga) și $x = 3$ (la dreapta), pentru că limitele acolo sunt $- \infty$ . La $\pm \infty$ funcția tinde la $+ \infty$ , iar panta este nulă, deci nu există nici orizontală, nici oblică.

10. Cu $Δ = (k - 2)^{2} - 16$ : pentru $k = 8$ , $Δ = 36 - 16 = 20 > 0$ , deci două soluții; pentru $k = 1$ , $Δ = 1 - 16 = - 15 < 0$ , deci nicio soluție. Se regăsește discuția din Exemplul 5, cu extremele $- 2$ și $6$ .

11. Este membrul $m = 4$ al familiei din Exemplul 5, restrâns la $q > 2$ . Punctul critic din acest interval este $q = 2 + 4 = 4$ , cu $\overline{C} (4) = 4 + 2 = 6$ : costul mediu minim se obține la o producție de patru mii de bucăți și este de 6 unități monetare pe bucată.

12. $f (4) = \frac{( 4 - 1 ) ^{2}}{4 - 2} = \frac{9}{2}$ și $f^{'} (4) = \frac{( 4 - 1 ) ( 4 - 3 )}{( 4 - 2 ) ^{2}} = \frac{3}{4}$ . Tangenta: $y - \frac{9}{2} = \frac{3}{4} (x - 4)$ , adică $y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{2}$ .

13. Din tabel, minimul global este $2$ , iar funcția tinde la $+ \infty$ la ambele capete și este continuă, deci $Im f = [2, + \infty)$ .

14. Spre $- \infty$ : $x \to - \infty lim (x - 1) e^{x} = 0$ , deci dreapta $y = 0$ este asimptotă orizontală. Spre $+ \infty$ : limita funcției este $+ \infty$ , deci nu există orizontală, iar $x \to + \infty lim \frac{( x - 1 ) e ^{x}}{x} = + \infty$ , deci panta nu e finită și nu există nici oblică.

15. Derivata $f_{m}^{'} (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2} - m}{( x - 2 ) ^{2}}$ nu se anulează în domeniu exact când $(x - 2)^{2} = m$ nu are soluții cu $x \neq = 2$ , adică pentru $m \leq 0$ . Pentru $m = 0$ funcția devine $f (x) = x$ pe $R ∖ {2}$ , iar pentru $m < 0$ este strict crescătoare pe fiecare ramură.

16. Din tabelul Exemplului 6, ecuația are exact două soluții când $m$ este strict între valoarea minimă $- 1$ și limita $0$ de la $- \infty$ , adică pentru $m \in (- 1, 0)$ . La capete numărul scade la $1$ : pentru $m = - 1$ soluția este dublă, iar pentru $m = 0$ ramura din stânga nu atinge valoarea.

17. (1) domeniul — spune câte ramuri are graficul; (1b) intersecțiile — ancorează curba pe axe; (1c) simetriile — înjumătățesc munca; (2) continuitatea și derivabilitatea — anunță colțurile și semitangentele verticale; (3) limitele și asimptotele — dau cadrul desenului; (4) $f^{'}$ — dă săgețile și extremele; (5) $f^{''}$ — dă curbura și inflexiunile; (6) valorile — dau punctele de trecut prin ele; (7) tabelul — adună totul; (8) citirea — traduce în cuvinte; (9) trasarea — desenul propriu-zis.

18. Din $f_{m}^{'} (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2} - m}{( x - 2 ) ^{2}}$ rezultă, pentru $m > 0$ , punctele critice $x = 2 \pm m$ . Cu $t = x - 2$ , valoarea funcției este $f_{m} = t + 2 + \frac{m}{t}$ ; pentru $t = \pm m$ obținem $\pm m + 2 \pm m = 2 \pm 2 m$ . Semnul derivatei este $+, -, -, +$ pe cele patru intervale, deci $2 - m$ este punct de maxim local și $2 + m$ punct de minim local. Diferența cerută este $(2 + 2 m) - (2 - 2 m) = 4 m$ . Observă că minimul local este mai mare decât maximul local — situație posibilă tocmai pentru că cele două se află pe ramuri diferite.

De reținut

Studiul complet al unei funcții se face după schema în nouă pași, iar fiecare cerință de examen se așază pe unul dintre acești pași.
Lista asimptotelor se scrie ca listă de drepte cu ecuațiile lor și cu capătul precizat, niciodată ca afirmația vagă „funcția are asimptote".
Orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc, iar cele două capete infinite se studiază întotdeauna separat.
O pantă nulă la un capăt înseamnă doar că nu există asimptotă oblică acolo, nu că există una orizontală.
Aproape tot ce se cere la subpunctul c) al unei probleme de Bacalaureat M1 se citește direct din tabelul de variație, deci un tabel corect valorează cele trei subpuncte laolaltă.

Greșeli frecvente

Calculezi o singură limită la infinit. La $f (x) = x^{2} + 4$ , pantele diferă: $y = x$ spre $+ \infty$ și $y = - x$ spre $- \infty$ . Cine scrie o singură dreaptă pierde jumătate din subpunct.
Confunzi panta nulă cu asimptota orizontală. Pentru $ln (x^{2} - 4)$ panta la $+ \infty$ este $0$ , dar funcția tinde la $+ \infty$ : graficul nu are nicio asimptotă acolo.
Pui bară unde trebuie celulă goală, și invers. Bara $∣$ marchează un punct al axei în care funcția nu există; celula rămâne goală numai la $\pm \infty$ , care nu sunt puncte ale axei.
Declari inflexiune într-un punct exclus. La funcția din Exemplul 1, $f^{''}$ își schimbă semnul „în jurul lui $2$ ", dar $2$ nu aparține domeniului, deci nu există punct de inflexiune.
Răspunzi la altă întrebare. Dacă se cere imaginea funcției, nu e destul să scrii monotonia; imaginea se obține reunind imaginile de pe fiecare interval de monotonie, citite între valorile de la capete.

Aplică acasă

Fișa de control pe o pagină. Scrie schema în nouă pași pe o singură foaie, cu o coloană în dreapta în care notezi, pentru fiecare pas, greșeala pe care ai făcut-o cel mai des în unitatea aceasta. Folosește fișa la următoarele trei studii complete și bifează pașii pe măsură ce îi parcurgi.
Cinci funcții, cinci profiluri de asimptote. Alege câte o funcție pentru fiecare situație: două oblice diferite, orizontală la un capăt și oblică la celălalt, două verticale și nimic la infinit, nicio asimptotă, o verticală și o orizontală. Pentru fiecare, scrie doar pasul 3 complet, cu redactarea în lanțul limita $\to$ valoarea $\to$ dreapta $\to$ capătul.
Trei probleme cu cronometrul. Rezolvă Exemplele 1, 4 și 6 din nou, cu foaia acoperită, în cel mult zece minute fiecare, cu redactare completă. Notează la fiecare unde ai pierdut timp; de regulă, timpul se pierde la limitele de la capete, iar punctele la citirea tabelului.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie unitatea „Asimptote și reprezentarea grafică a funcțiilor" și adună competențele XII.CS.2.4, XII.CS.3.4 și XII.CS.4.4 într-un singur format: cel al problemei de studiu de funcție din structura examenului. Nu introduce noțiuni noi; valoarea ei este în ordine, redactare și verificare încrucișată.

Ce verifică lecția: (1) parcurgerea completă a schemei în nouă pași; (2) scrierea listei de asimptote cu ecuații și capete; (3) tratarea separată a celor două capete infinite; (4) formatul tabelului, inclusiv cazul domeniului căruia îi lipsește un interval; (5) citirea tabelului pentru imagine, inegalități și număr de soluții; (6) discuția după parametru, confirmată algebric.

Întrebări bune de control: „Câte ramuri are graficul și de ce?", „Ce ai calculat la fiecare capăt și ce ai obținut?", „De ce nu mai cauți oblica după ce ai găsit orizontala?", „Ce scrii în tabel în coloana punctului exclus?", „Cum verifici discuția după parametru?". Semn că elevul a înțeles: începe orice studiu scriind domeniul și termină scriind lista asimptotelor, chiar dacă enunțul nu o cere explicit. La BAC, problema de acest tip valorează 15 puncte, adică o șesime din lucrare.

Recomandare practică: exercițiile 15 și 16 sunt formulate exact ca la examen; merită rezolvate cu cronometrul, în cel mult opt minute fiecare. Unitatea următoare, care începe cu conicele ca secțiuni ale conului, va folosi aceleași unelte de trasare pentru curbe care nu mai sunt grafice de funcții.

Întrebări frecvente

Cum se face studiul complet al unei funcții?

Se parcurg cei nouă pași, în ordine: domeniul cu intersecțiile și simetriile, continuitatea și derivabilitatea, limitele la capete și asimptotele, semnul primei derivate, semnul derivatei a doua, valorile în punctele marcate, tabelul de variație, citirea lui și trasarea graficului. Ordinea nu e decorativă: fiecare pas folosește rezultatul celui dinainte.

Care este formula asimptotei oblice?

Dreapta $y = m x + n$ este asimptotă oblică spre $+ \infty$ dacă $m = x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ este finită și nenulă, iar $n = x \to + \infty lim (f (x) - m x)$ este finită. Ordinea e obligatorie: întâi $m$ , apoi $n$ . Spre $- \infty$ se reia calculul separat, pentru că rezultatul poate fi o altă dreaptă.

De ce se caută întâi asimptota orizontală?

Pentru că orizontala și oblica spre același capăt se exclud reciproc: dacă limita funcției la acel capăt e finită, panta oblicei ar ieși nulă, iar o dreaptă de pantă nulă este orizontală. Odată găsită orizontala, calculul oblicei nu mai are obiect, iar continuarea lui nu aduce niciun punct în plus.

Ce înseamnă că panta este nulă, dar funcția tinde la infinit?

Înseamnă că graficul crește mai încet decât orice dreaptă, dar totuși nemărginit — cazul logaritmului. Atunci nu există nici asimptotă oblică (panta trebuie să fie nenulă), nici orizontală (limita funcției e infinită). Concluzia corectă este: graficul nu are nicio asimptotă la capătul respectiv.

Cum se scrie ecuația tangentei la grafic?

Se folosește formula $y - f (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ , calculând întâi valoarea $f (x_{0})$ și apoi panta $f^{'} (x_{0})$ . Verificarea rapidă: diferența dintre funcție și dreapta obținută trebuie să aibă în $x_{0}$ o rădăcină multiplă. Dacă multiplicitatea e impară, tangenta traversează graficul, ceea ce se întâmplă în punctele de inflexiune.

Cum se discută numărul soluțiilor unei ecuații cu parametru?

Se studiază funcția, se scrie tabelul de variație și se compară parametrul cu valorile extreme și cu limitele de la capete; răspunsul e un tabel cu intervalele parametrului și numărul soluțiilor. Dacă ecuația se reduce la una de gradul al doilea, discuția semnului lui $Δ$ dă aceeași concluzie și servește drept verificare.

Când se scriu două tabele de variație pentru aceeași funcție?

Când din domeniu lipsește un interval întreg, ca la $ln (x^{2} - 4)$ , definită pe $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ : fiecare interval primește tabelul lui. Când lipsește doar un punct, se scrie un singur tabel, cu bară pe rândurile derivatelor și cu cele două limite laterale pe rândul funcției.

Cât valorează un studiu de funcție la examen?

O problemă de studiu de funcție ocupă $15$ puncte din Subiectul al III-lea, împărțite în trei subpuncte a câte $5$ puncte. Subpunctul a) cere de obicei asimptotele sau o limită, b) tabelul de variație, iar c) o cerință care se citește din tabel. Un tabel corect asigură practic toate cele trei subpuncte.