Șirul lui Rolle: pe scurt

Metoda separă soluțiile ecuației $f(x)=0$: spune câte sunt și în ce intervale se află, fără să le calculeze. Ea se sprijină pe două rezultate care se completează: cel mult una — între două rădăcini consecutive ale derivatei încape cel mult o rădăcină a funcției (Consecința 2 a teoremei lui Rolle) — și cel puțin una — consecința de semn a proprietății valorilor intermediare. Împreună dau exact una.

Procedura are cinci pași: stabilești domeniul $D$ și verifici derivabilitatea; rezolvi $f^{\prime }(x)=0$ și reții soluțiile din $D$, în ordine crescătoare; calculezi valorile funcției în ele și limitele la capetele fiecărui interval; completezi tabelul cu valorile și, dedesubt, cu semnele; citești rezultatul.

Tabelul are trei rânduri — $x$, $f(x)$, semnul — iar capetele nu se lasă niciodată necompletate. Citirea are trei reguli: semne contrare $\Rightarrow$ exact o soluție în felie; valoare nulă $\Rightarrow$ pragul este el însuși soluție, și anume multiplă; semne egale $\Rightarrow$ nicio soluție.

Dacă domeniul este o reuniune de intervale, fiecare interval primește propriul tabel, iar rezultatele se adună. La discuția după un parametru care apare ca termen liber, pragurile rămân aceleași, fiindcă derivata nu depinde de el; se schimbă doar valorile și, odată cu ele, semnele.

Exerciții din această mini-lecție

1. Ecuația $x^3-12x+20=0$ are:

   • a) trei soluții reale
   • b) două soluții reale
   • c) nicio soluție reală
   • d) exact o soluție reală
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) exact o soluție reală

   Fie $f(x)=x^3-12x+20$, cu $f^{\prime }(x)=3x^2-12$, deci pragurile sunt $-2$ și $2$; $f(-2)=36$ și $f(2)=4$, iar limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$. Șirul semnelor este $-,+,+,+$: o singură schimbare, deci exact o soluție, situată în $(-\infty ,-2)$.

2. În șirul lui Rolle al unei funcții apare valoarea $0$ în dreptul unui prag $x_i$. Aceasta înseamnă că:

   • a) $x_i$ este el însuși soluție a ecuației $f(x)=0$, și anume o soluție multiplă
   • b) ecuația nu are nicio soluție
   • c) în cele două felii vecine există câte o soluție
   • d) $x_i$ nu este rădăcină a derivatei
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $x_i$ este el însuși soluție a ecuației $f(x)=0$, și anume o soluție multiplă

   Pragurile sunt chiar rădăcinile derivatei, deci în $x_i$ se anulează și $f$, și $f^{\prime }$: soluția este multiplă. În plus, în cele două felii vecine nu mai există nicio altă soluție. Formularea de barem este „soluție dublă", nu doar „o soluție".

3. Ecuația $x^3-12x=m$ are trei soluții reale distincte dacă și numai dacă:

   • a) $m\in (-2,2)$
   • b) $m\in (-16,16)$
   • c) $m>16$
   • d) $m\in \mathbb{R}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $m\in (-16,16)$

   Cu $f(x)=x^3-12x-m$, derivata $f^{\prime }(x)=3x^2-12$ nu depinde de $m$, deci pragurile rămân $-2$ și $2$; valorile sunt $f(-2)=16-m$ și $f(2)=-16-m$. Trei schimbări de semn cer $16-m>0$ și $-16-m<0$, adică $m\in (-16,16)$.